關(guān)注建模過程 培育核心素養(yǎng)
——北師大版數(shù)學(xué)教材四年級上冊“乘法分配律”教學(xué)思考與實(shí)踐

林玉芬

（福建省泉州市豐澤區(qū)豐盛實(shí)驗(yàn)小學(xué)）

《義務(wù)教育數(shù)學(xué)課程標(biāo)準(zhǔn)（2022 年版）》指出，小學(xué)階段，核心素養(yǎng)主要表現(xiàn)為：數(shù)感、量感、符號意識、運(yùn)算能力、幾何直觀、空間觀念、推理意識、數(shù)據(jù)意識、模型意識、應(yīng)用意識、創(chuàng)新意識。在核心素養(yǎng)觀念下，通過運(yùn)算律的教學(xué)可以培養(yǎng)學(xué)生的模型意識和推理意識，發(fā)展數(shù)感。教學(xué)中，教師不能只關(guān)注運(yùn)算律的表象特征，還應(yīng)關(guān)注運(yùn)算律的內(nèi)涵和教學(xué)價值。運(yùn)算律不僅運(yùn)用在簡便的運(yùn)算中，還滲透在整個小學(xué)數(shù)學(xué)學(xué)習(xí)的過程中，如多位數(shù)的乘法是以乘法分配律作為有效支撐、多位數(shù)加法是以加法結(jié)合律作為重要支撐、加法交換律和乘法交換律是驗(yàn)算的依據(jù)等。在教學(xué)運(yùn)算律時，教師要讓學(xué)生親歷建模的一般過程：先通過觀察和比較大量的例子，初步發(fā)現(xiàn)規(guī)律，建立模型；再聯(lián)系已學(xué)知識或生活實(shí)例解釋模型，運(yùn)用不完全歸納法驗(yàn)證規(guī)律成立后表述模型；最后，應(yīng)用模型解決實(shí)際問題。下面以北師大版《義務(wù)教育教科書·數(shù)學(xué)》四年級上冊“乘法分配律”為例，探討如何關(guān)注建模過程，培育核心素養(yǎng)。

一、實(shí)施前測，確定教學(xué)路徑

乘法分配律的學(xué)習(xí)是學(xué)生在學(xué)習(xí)了乘法的意義、四則運(yùn)算、加法交換和結(jié)合律、乘法交換和結(jié)合律的基礎(chǔ)上進(jìn)行的，乘法分配律是簡算的依據(jù)，對提高學(xué)生的計算能力有著重要的作用。在上本節(jié)課之前，學(xué)生對乘法分配律已經(jīng)有了一定的感知，如教科書從二年級學(xué)習(xí)的乘法口訣開始滲透乘法分配律，三年級用點(diǎn)子圖探索一位數(shù)乘兩位數(shù)或三位數(shù)、兩位數(shù)乘兩位數(shù)計算方法的過程，長方形的周長、相遇問題等，這都是在借助圖形直觀，使學(xué)生體會基于乘法分配律的算理。為了優(yōu)化教學(xué)過程，我進(jìn)行了前測，出示題目：求出 4 個 25 與 4 個 75 的和。結(jié)果有10%的學(xué)生用連加，有75%的學(xué)生用25×4+75×4，只有 15%的學(xué)生用(25+75) ×4 進(jìn)行計算，他們用的是湊整法，并未提到用乘法分配律簡算。這說明，學(xué)生已掌握了乘法的意義，但對乘法分配律的結(jié)構(gòu)并未認(rèn)知，缺乏簡算意識。因此，教學(xué)中教師應(yīng)利用學(xué)生已有的類比、遷移、抽象、建模、符號化思想等經(jīng)驗(yàn)，促進(jìn)學(xué)生建構(gòu)乘法分配律模型，并重視對算理表述及簡算價值的滲透，幫助學(xué)生由感性認(rèn)識上升為理性認(rèn)識?；诖?，我確定本課的教學(xué)目標(biāo)是：讓學(xué)生經(jīng)歷乘法分配律的探索過程，會用字母表示；讓學(xué)生初步學(xué)會用觀察、比較、歸納等方法進(jìn)行意義建構(gòu)，積累數(shù)學(xué)活動經(jīng)驗(yàn)；在探索活動中，培養(yǎng)學(xué)生團(tuán)結(jié)合作、積極交流的習(xí)慣。我確定本課的教學(xué)重點(diǎn)是：讓學(xué)生發(fā)現(xiàn)乘法分配律，并用字母表示；確定本節(jié)課的教學(xué)難點(diǎn)是：乘法分配律的意義建構(gòu)。

“雙減”政策要求“提質(zhì)增效”，課程標(biāo)準(zhǔn)則要求“在數(shù)學(xué)課程中，要幫助學(xué)生建立數(shù)感、符號意識，發(fā)展運(yùn)算能力和推理能力，初步形成模型思想。在小學(xué)階段，模型思想的建立是學(xué)生體會和理解數(shù)學(xué)與外部世界聯(lián)系的基本途徑?！币虼耍@節(jié)課我需要讓學(xué)生經(jīng)歷建模的全過程，將“事理”上升為“數(shù)理”，為培養(yǎng)學(xué)生的數(shù)學(xué)模型思想提供載體。

二、觀察比較，初步建立模型

這個環(huán)節(jié)解決的是第一個核心問題：對比每個等式兩邊，你發(fā)現(xiàn)了什么？首先，我讓學(xué)生通過算一算，根據(jù)計算結(jié)果把6 個算式分成3 個等式。其次，我讓學(xué)生在圍繞這個核心問題獨(dú)立思考后，根據(jù)以下四點(diǎn)要求自主探究：輪流說想法，重復(fù)的不說；認(rèn)真傾聽，及時補(bǔ)充；交流完后，把組內(nèi)一致的想法整理在學(xué)習(xí)單上；展示、辨析學(xué)習(xí)單。我預(yù)設(shè)學(xué)生可能的發(fā)現(xiàn)有：兩邊得數(shù)一樣，但是運(yùn)算順序不同，一個先算加法，另一個先算乘法；等式兩邊都有乘法和加法兩種運(yùn)算，一種是兩步計算，另一種是三步計算；一邊是兩個數(shù)的和乘以一個數(shù)，一邊是兩個乘法式子相加，兩個乘法式子相加時有相同的因數(shù)；個別學(xué)生還可能發(fā)現(xiàn)算式兩邊意義相同：都是求相同的幾個幾相加的和是多少，如（10+4）×25=10×25+4×25，這個等式的左右兩邊都表示14 個25 相加的和是多少。最后，我引導(dǎo)學(xué)生概括出這些等式兩邊的相同點(diǎn)是都有兩級運(yùn)算，得數(shù)相等，意義也相同；不同點(diǎn)是運(yùn)算順序不同，結(jié)構(gòu)不同。

這樣設(shè)計的目的是為了了解學(xué)生學(xué)習(xí)乘法分配律的難點(diǎn)在哪里，如對其本質(zhì)不理解、對其結(jié)構(gòu)不熟悉、無法體現(xiàn)其簡便性、乘法結(jié)合律的負(fù)遷移等。針對這些難點(diǎn)，我精選題目，讓學(xué)生分類計算，意在抓住學(xué)生學(xué)習(xí)乘法分配律的“最近發(fā)展區(qū)”，也就是基于數(shù)的運(yùn)算，同時滲透簡算意識。再啟發(fā)學(xué)生通過橫向?qū)Ρ?，直接指向乘法分配律的表象特征，消除乘法結(jié)合律的負(fù)遷移：乘法結(jié)合律只有一級運(yùn)算，而乘法分配律有兩級運(yùn)算，根據(jù)結(jié)構(gòu)不同，一邊是兩步計算，一邊是三步計算，目的是減少（10+4）×25=10×25+4 這種錯誤。我引導(dǎo)學(xué)生在橫、縱向?qū)Ρ戎邪l(fā)現(xiàn)乘法分配律的本質(zhì)：每個等式左右兩邊結(jié)構(gòu)雖然不同，意義卻相同，都是求相同的幾個幾，所以每個等式的兩邊相等。通過引領(lǐng)學(xué)生聚焦算式，觀察特點(diǎn)，感受等值變形，他們建立了清晰的乘法分配律雛形，初步發(fā)現(xiàn)了規(guī)律：兩個數(shù)的和與一個數(shù)相乘，等于這兩個加數(shù)分別與這個數(shù)相乘，再相加。

三、多元表征，解釋表述模型

大部分學(xué)生在學(xué)完第一個環(huán)節(jié)后，仍對“等式兩邊的意義相同”這個認(rèn)知存在困惑，因此我提出了第二個核心問題：你能解釋算式左右兩邊相等的道理嗎？我先讓學(xué)生獨(dú)立仿寫算式、探究算理，完成學(xué)習(xí)單，再展示并辨析學(xué)習(xí)單。我預(yù)設(shè)學(xué)生的第一種方法是聯(lián)系已學(xué)知識（如多位數(shù)筆算乘法）來解釋。學(xué)生可以舉生活實(shí)例：1 件上衣35 元，1 條褲子25 元，3 套共多少元？學(xué)生可以先合起來算出1套衣服的錢數(shù)再乘以3 套，也可以分開算出3 件上衣的錢數(shù)、3 件褲子的錢數(shù)，再合起來。這樣，不管分開算還是合在一起算，都是在算3 套衣服的總錢數(shù)，所以可以列出算式：(35+25)×3 = 35×3+25×3。我預(yù)設(shè)學(xué)生的第二種方法是借助畫圖來解釋。如白色正方形的個數(shù)是3 個4 相加，紅色正方形是5 個4 相加，一共是 8 個 4 相加；也可以先求一列有 8 個正方形，再乘以 4 列，即（3+5）×4，一共也是 8 個 4 相加，所以3×4+5×4=（3+5）×4；還可以直接用乘法的意義解釋：4×8+6×8，4×8 表示 4 個 4 相加，6×8表示6 個8 它們合起來一共有10 個8，也就是（4+6）×8，所以（4+6）×8=4×8+6×8。

在辨析完學(xué)習(xí)單后，我引導(dǎo)學(xué)生概括出“算式左右兩邊結(jié)構(gòu)不同，意義相同，都是求相同的幾個幾相加的和是多少”。然后，讓學(xué)生討論發(fā)現(xiàn)，這種等式的共同特點(diǎn)是兩個數(shù)的和乘第三個數(shù)，等于這兩個數(shù)分別乘第三個數(shù)再相加。學(xué)生質(zhì)疑：這樣的等式能寫完嗎？學(xué)生猜測寫不完后，我再通過一道題引導(dǎo)學(xué)生進(jìn)行驗(yàn)證：小紅家的果園原來長60 米，寬20米，擴(kuò)建后，長增加了30 米，現(xiàn)在果園的面積是多少平方米？學(xué)生根據(jù)題意想象畫圖、獨(dú)立解答，結(jié)合課件講算理。在學(xué)生借助圖形自主決定增加長的數(shù)量之后，我引導(dǎo)學(xué)生在一、二、三、四位數(shù)……范圍內(nèi)舉例，列出等式并驗(yàn)證，借助不完全歸納法，使學(xué)生發(fā)現(xiàn)：找不到反例，從而得出有無數(shù)種。學(xué)生再次質(zhì)疑：能用一個等式概括出前面所有的等式嗎？我引導(dǎo)學(xué)生思考創(chuàng)造，用圖形、文字、字母表示后揭題：（a+b）×c=a×c+b×c是一個運(yùn)算定律，叫做乘法分配律，即兩個數(shù)的和同一個數(shù)相乘，可以把兩個加數(shù)分別同這個數(shù)相乘，再相加，結(jié)果不變。最后，我組織學(xué)生討論：怎樣能快速記住乘法分配律？學(xué)生討論后認(rèn)為可借助幾何直觀理解記憶：小紅家的果園原來長a米，寬b米，擴(kuò)建后，長增加了c米，現(xiàn)在果園的面積是幾平方米？學(xué)生通過嘗試、驗(yàn)證、交流簡化模型，經(jīng)歷從具體到抽象，從個別到一般的建模過程，再次深層次領(lǐng)悟了乘法分配律的內(nèi)涵。

本環(huán)節(jié)是這節(jié)課的“靈魂”，學(xué)生通過聯(lián)系已學(xué)知識，借助情境，數(shù)形結(jié)合，最終回歸乘法分配律本質(zhì)：運(yùn)用乘法的意義解釋，明確每個等式左右兩邊結(jié)構(gòu)不同，意義相同，都是求相同的幾個幾相加的和是多少。這樣，就讓學(xué)生從關(guān)注規(guī)律的“形”到重新審視規(guī)律的“意”，以內(nèi)在不變的“理”，理解外在變化的“形”，突顯意義建構(gòu)，領(lǐng)悟數(shù)形結(jié)合思想、無限思想、合情推理、演繹推理、歸納推理及模型思想的魅力，同時培養(yǎng)學(xué)生的探索精神。

四、溝通聯(lián)系，整體架構(gòu)知識

整體架構(gòu)知識指的是基于數(shù)學(xué)知識的內(nèi)在系統(tǒng)關(guān)聯(lián)和學(xué)生的已有認(rèn)知基礎(chǔ)，通過結(jié)構(gòu)化教學(xué)，幫助學(xué)生完善認(rèn)知體系，發(fā)展思維能力，培育數(shù)學(xué)素養(yǎng)，進(jìn)而促進(jìn)學(xué)生更好地理解數(shù)學(xué)、愛上數(shù)學(xué)、學(xué)好數(shù)學(xué)，逐步學(xué)會學(xué)習(xí)并成為學(xué)習(xí)的主人?！读x務(wù)教育數(shù)學(xué)課程標(biāo)準(zhǔn)（2022年版）》明確指出，教學(xué)內(nèi)容是落實(shí)教學(xué)目標(biāo)、發(fā)展學(xué)生核心素養(yǎng)的載體。教師要重視對教學(xué)內(nèi)容的分析，幫助學(xué)生建立能體現(xiàn)數(shù)學(xué)學(xué)科本質(zhì)、對未來學(xué)習(xí)有支撐意義的結(jié)構(gòu)化數(shù)學(xué)知識體系。為此，我提出了兩個問題：我們之前學(xué)過哪些運(yùn)算律？有用過乘法分配律嗎？第一個問題提出的目的是架構(gòu)加法交換、結(jié)合律，乘法交換、結(jié)合、分配律這5 個運(yùn)算律的框架；第二個問題提出的目的是豐富乘法分配律的背景，使學(xué)生學(xué)會多位數(shù)的口算，如要求 16×3 的積，可以把 10×3 與 6×3 的積相加；再如，筆算乘法145×12，可以先算2 個145，再算10 個145，最后把兩個積相加；又如，相遇問題：張小東和王小紅同時從大橋的兩端相對走來，張小東每分鐘走60米，王小紅每分鐘走50米，經(jīng)過5分鐘后兩人相遇。這座大橋全長多少米？這樣，在數(shù)學(xué)教學(xué)中，教師站在學(xué)生的立場，用結(jié)構(gòu)化的觀點(diǎn)指導(dǎo)教學(xué)，引導(dǎo)學(xué)生對已學(xué)的相關(guān)數(shù)學(xué)知識進(jìn)行統(tǒng)合，驅(qū)動學(xué)生思維的深度參與；教師引領(lǐng)學(xué)生對本質(zhì)相通的相關(guān)教學(xué)內(nèi)容進(jìn)行整體建構(gòu)，以幫助學(xué)生理清數(shù)學(xué)知識之間的邏輯關(guān)系以及內(nèi)在知識結(jié)構(gòu)；這樣，就使學(xué)生建立了數(shù)學(xué)知識之間的聯(lián)系，有效實(shí)現(xiàn)了“從直觀到抽象、從抽象到具體”的教學(xué)目標(biāo)，使學(xué)生真正深入理解了乘法分配律的意義本質(zhì)，完善了知識體系。在此過程中，學(xué)生的認(rèn)知也不斷得到深化，實(shí)現(xiàn)了對數(shù)學(xué)知識的類化理解與認(rèn)知結(jié)構(gòu)的重構(gòu)。

五、深化應(yīng)用，反思質(zhì)疑總結(jié)

亞里士多德說：“思維是從疑問和驚奇開始的?！背Ｓ幸牲c(diǎn)，常有問題，才常有思考、常有創(chuàng)新。弗賴登塔爾也指出：“反思是數(shù)學(xué)活動的核心和動力?！睌?shù)學(xué)教學(xué)中，如果沒有反思、質(zhì)疑、總結(jié)，學(xué)生的理解就很難從一個水平上升到更高的水平。因此，在本環(huán)節(jié)，我首先以問題引領(lǐng)學(xué)生的學(xué)習(xí)：我們是怎么發(fā)現(xiàn)乘法分配律的？你有什么收獲？還有什么問題？其次，我充分發(fā)揮評價的激勵性作用，引發(fā)學(xué)生質(zhì)疑：有除法分配律嗎？兩個數(shù)的差、三個數(shù)的和、四個數(shù)的和，甚至更多個數(shù)的和乘以一個數(shù)，有這樣的規(guī)律嗎？這樣可以促進(jìn)學(xué)生深度學(xué)習(xí)，培養(yǎng)問題意識。同時，還可以促使學(xué)生在反思回顧中提煉建模的一般過程——建立模型、解釋模型、表述模型和應(yīng)用模型。最后，我還讓學(xué)生自己設(shè)計一個需要運(yùn)用乘法分配律解決的問題。

總之，本節(jié)課緊扣數(shù)學(xué)本質(zhì)，以核心問題和學(xué)習(xí)單統(tǒng)領(lǐng)“說理”課堂，通過在“計算中感知模型”“在合作中梳理模型”“在解釋中表述模型”“在辨析中鞏固模型”，凸顯意義建構(gòu)。本課中，學(xué)生根據(jù)自身的知識經(jīng)驗(yàn)，分別從問題的實(shí)際意義和數(shù)學(xué)運(yùn)算的意義兩個層面來解釋，從中進(jìn)一步發(fā)展演繹推理能力和模型意識，豐富認(rèn)知，提升數(shù)學(xué)核心素養(yǎng)。同時，本課注重數(shù)學(xué)思想方法的滲透，關(guān)注學(xué)生個性發(fā)展，溝通新舊知識的聯(lián)系，實(shí)現(xiàn)了結(jié)構(gòu)化教學(xué)。