活用思維導(dǎo)圖 助力微課生長
——以“二次函數(shù)的圖象、性質(zhì)與系數(shù)的關(guān)系”微專題教學(xué)設(shè)計為例

朱佳煒

(蘇州大學(xué)實驗學(xué)校 215131)

任宏章

(南京師范大學(xué)蘇州實驗學(xué)校 215133)

微專題課是教師根據(jù)學(xué)生的學(xué)習(xí)情況及作業(yè)反饋出來的突出問題而組織進(jìn)行的課堂教學(xué)，通常是用一節(jié)課的時間解決一個重要知識點或一類題型.微專題課以“微”漸進(jìn)，具有很強(qiáng)的針對性和可操作性，課堂指向知識點體系生成、數(shù)學(xué)思想方法生成，著力發(fā)展學(xué)生的數(shù)學(xué)思維能力.實際教學(xué)過程中，由于學(xué)生學(xué)習(xí)經(jīng)驗、知識儲備不足等原因，一般很難在課堂上以思維導(dǎo)圖的形式完全呈現(xiàn)學(xué)習(xí)內(nèi)容；同時，受課堂學(xué)習(xí)時間的限制，也不會有充足的時間繪制“大”且“全”的思維導(dǎo)圖.在此筆者提出在課堂教學(xué)過程中圍繞一個知識點、一道題目或一種數(shù)學(xué)方法展開思維聯(lián)想，繪制與此相關(guān)的微型思維導(dǎo)圖.

下面以區(qū)級示范課“二次函數(shù)的圖象、性質(zhì)與系數(shù)的關(guān)系”中考復(fù)習(xí)微專題課為例，談?wù)劵谖⑿退季S導(dǎo)圖的初中數(shù)學(xué)微專題教學(xué)，以及兼具蘇州特色的“問題導(dǎo)向、深度理解、高度參與、開放多元”的初中數(shù)學(xué)課堂教學(xué)要求.

1 教學(xué)分析

(1)教學(xué)內(nèi)容分析

二次函數(shù)的圖象與性質(zhì)是本章節(jié)的重點知識.本節(jié)課是在學(xué)生對相關(guān)知識點的理解還不成體系的情況下組織教學(xué)的，特別是學(xué)生對解析式y(tǒng)=ax2+bx+c(a≠0)中的系數(shù)a，b，c與二次函數(shù)圖象之間的關(guān)系還不夠清晰.

(2)教學(xué)目標(biāo)確定

①繪制思維導(dǎo)圖，梳理知識要點，建構(gòu)二次函數(shù)圖象、性質(zhì)與系數(shù)關(guān)系的知識體系；

②編撰思維導(dǎo)圖，通過典型例析，感悟解決二次函數(shù)圖象、性質(zhì)與系數(shù)關(guān)系問題的數(shù)學(xué)思想；

③活用思維導(dǎo)圖，通過拓展延伸，變式運用，學(xué)會分析、解決二次函數(shù)圖象、性質(zhì)與系數(shù)關(guān)系的問題；

④創(chuàng)新思維導(dǎo)圖，建立方法體系，形成解決二次函數(shù)圖象、性質(zhì)與系數(shù)關(guān)系問題的經(jīng)驗、方法和策略.

2 教學(xué)過程

2.1 憑借問題，繪制導(dǎo)圖，梳理要點

問題1根據(jù)y=x2，y=2x2，y=-2x2，y=2x2-3，y=2(x+4)2，y=2(x+4)2-3，y= -2(x+4)2-3的圖象，從開口方向、頂點坐標(biāo)、對稱軸、最值等方面試比較它們之間的異同點.

追問：y=a(x+h)2+k是什么式？二次函數(shù)還有哪些形式？

圖1

教學(xué)意圖問題1教學(xué)時引導(dǎo)學(xué)生畫思維導(dǎo)圖(圖1、圖2)，動態(tài)呈現(xiàn)知識要點，準(zhǔn)確表示二次函數(shù)相關(guān)性質(zhì).

圖2

問題1有助于學(xué)生加深對“a定形定”的理解，通過改變y=a(x+h)2+k中的h與k值實現(xiàn)圖象平移，總結(jié)為“上加下減、左加右減”.通過追問幫助學(xué)生梳理一般式、頂點式、交點式之間的聯(lián)系，發(fā)現(xiàn)三者“各有千秋、殊途同歸”(圖3).

圖3

2.2 典型例析，編撰導(dǎo)圖，感悟思想

問題2將拋物線y=x2-6x+5向上平移2個單位長度，再向右平移1個單位長度，得到的拋物線解析式是什么？

變式：若將拋物線y=(x-3)2-4沿直線y=2x-10方向進(jìn)行平移，且新拋物線經(jīng)過點(0,-10)，求新拋物線的解析式.

教學(xué)意圖問題2是問題1基礎(chǔ)上的知識應(yīng)用.

圖4

問題3拋物線y=x2+bx+c與x軸只有一個交點，與x軸平行的直線l交拋物線于點A，B，交y軸于點M，若AB=4,試求OM的長.

追問：什么時候拋物線與x軸有一個交點、兩個交點、沒有交點呢？這其中有什么規(guī)律嗎？

教學(xué)意圖由關(guān)鍵條件“與x軸只有一個交點”得該交點即拋物線頂點，將y=x2+bx+c左右平移得y=x2，平移不改變線段AB與OM的長度，易得OM=4.以上過程體現(xiàn)數(shù)形結(jié)合、化歸思想(圖5).

圖5

問題3以問題2為基礎(chǔ)，通過對條件、結(jié)論以及表達(dá)形式等方面的形式演變，不斷擴(kuò)大問題的應(yīng)用范圍，翻新問題的應(yīng)用形式，加深了對知識的內(nèi)在本質(zhì)、應(yīng)用規(guī)律和解決方法的理解[1].在追問環(huán)節(jié)，有學(xué)生提出可通過開口方向、頂點位置直觀判斷拋物線與x軸交點個數(shù)，這與利用Δ=b2-4ac的正負(fù)性進(jìn)行判斷是有區(qū)別的.學(xué)生作為獨立的、有思想的個體，對課堂學(xué)習(xí)內(nèi)容可以有他自己獨特的看法，我們的數(shù)學(xué)課堂應(yīng)包容、鼓勵.

問題4已知二次函數(shù)y=ax2+bx+c的圖象經(jīng)過點(-3，0)，(1，0)，(0，-3)，請問y=(a-b)x+c的圖象經(jīng)過哪些象限？你能否不求函數(shù)解析式就回答這個問題？

追問：a，b，c三個常數(shù)與圖象之間的關(guān)系是什么？

教學(xué)意圖問題4引導(dǎo)學(xué)生繪制函數(shù)圖象確定a，b，c的正負(fù)性，梳理了這三個常數(shù)與圖象之間的關(guān)系(圖6).

圖6

問題4蘊(yùn)含數(shù)形結(jié)合等數(shù)學(xué)思想，在把控好課堂節(jié)奏的前提下，應(yīng)鼓勵學(xué)生打開思維，通過交流探究自然生成新知識，培養(yǎng)理性思考、演繹推理的數(shù)學(xué)精神.

2.3 拓展延伸，活用導(dǎo)圖，提高能力

問題5已知拋物線解析式為y=-4x2，當(dāng)1

變式：已知拋物線解析式為y=(x-m)2+2m，若圖象經(jīng)過第一、二、三、四象限，求m的取值范圍.

教學(xué)意圖問題5只需畫出函數(shù)的大致圖象即可解決(圖7).

圖7

變式中，y=(x-m)2+2m的頂點坐標(biāo)是(m，2m)，該點是直線y=2x上的動點，只需研究“當(dāng)拋物線經(jīng)過原點”的臨界狀態(tài)，此時m=0或m=-2.結(jié)合圖象，當(dāng)m<-2時、m=-2或0時、m>0時，均不符合要求；而當(dāng)-2

2.4 課堂小結(jié)，創(chuàng)新導(dǎo)圖，系統(tǒng)構(gòu)建

本節(jié)課的課堂小結(jié)，先是各學(xué)習(xí)小組在組內(nèi)討論匯總，再以小組為單位進(jìn)行成果展示，其余小組評價補(bǔ)充.在評價過程中生生互動、師生互動，讓數(shù)學(xué)課堂成為思想碰撞的課堂.這節(jié)課從問題1到問題5，從特殊到一般，再從一般到特殊，類比尋找到問題解決的根本方法.思維轉(zhuǎn)瞬即逝，圖象卻可以存留彌久，因此，圖象的表達(dá)性是定格思維的“魔法”，是思維得以持久發(fā)展的支柱.[2]這節(jié)課在系統(tǒng)思維和整體觀念的引領(lǐng)下，生成性繪制思維導(dǎo)圖，構(gòu)建解決二次函數(shù)圖象、性質(zhì)與系數(shù)關(guān)系問題的方法框架.

3 設(shè)計反思

3.1 問題串聯(lián)，導(dǎo)圖助力建構(gòu)體系

本節(jié)課通過五個問題串聯(lián)，完成了“從1到a、復(fù)習(xí)舊知”“平移變換、a定形定”“觀察圖象、理解系數(shù)”“數(shù)形結(jié)合、留意頂點”“參數(shù)函數(shù)、能力提升”五個教學(xué)任務(wù)，幫助學(xué)生深度理解、高度參與、激發(fā)思維.根據(jù)實際情況，一節(jié)課可以繪制多張微型思維導(dǎo)圖，幫助學(xué)生梳理解題思路，整合知識結(jié)構(gòu)，取得了很好的課堂效果.

3.2 問題解決，導(dǎo)圖助力感悟思想

復(fù)習(xí)課的設(shè)計要全面系統(tǒng)幫助學(xué)生構(gòu)建知識網(wǎng)絡(luò)，這節(jié)課通過繪制小而精致的微型思維導(dǎo)圖，讓學(xué)生能夠參與、樂于參與，把知識、方法進(jìn)行整合“聚焦”，引導(dǎo)學(xué)生透過數(shù)學(xué)問題感悟數(shù)學(xué)思想.

3.3 問題提煉，導(dǎo)圖助力形成素養(yǎng)

初高中的數(shù)學(xué)思想是一脈相承的，通過典型例析幫助學(xué)生體會函數(shù)與方程思想、數(shù)形結(jié)合等思想，能夠為學(xué)生將來高中學(xué)習(xí)函數(shù)內(nèi)容埋下伏筆.當(dāng)然，數(shù)學(xué)思想不是簡單的灌輸，要充分體現(xiàn)以生為本的原則，鼓勵學(xué)生敢嘗試、敢質(zhì)疑、敢出錯，暢所欲言.在交流中，多角度解決問題，實現(xiàn)數(shù)學(xué)知識、方法的鞏固.在繪制微型思維導(dǎo)圖過程中，形成思考的能力，最終我們要使學(xué)生獲得良好的數(shù)學(xué)素養(yǎng)，深植必需的數(shù)學(xué)思想，樹立強(qiáng)大的數(shù)學(xué)精神[3].