基于模態(tài)局部化的耦合懸臂梁能量收集分析

胡帥釗，邵明玉，劉漢彪，張洪瑜，馬馳騁，李波

(山東理工大學(xué) 交通與車輛工程學(xué)院, 山東 淄博 255049)

生活中的振動能無處不在，如何通過特殊的能量收集器將振動能收集起來轉(zhuǎn)化為其他能量為人類所利用是當(dāng)前的一個研究熱點(diǎn)。壓電能量收集方式具有綠色環(huán)保、投入成本低、適應(yīng)環(huán)境能力強(qiáng)等優(yōu)點(diǎn)。隨著國內(nèi)外對能量收集技術(shù)的研究，壓電收集技術(shù)被社會所重視并深入研究，現(xiàn)在已經(jīng)成為能量收集領(lǐng)域的熱門對象之一。振動能收集的方式可分為三種：電磁式、壓電式和靜電式。

國外關(guān)于壓電能量收集技術(shù)的研究開展較早，已經(jīng)取得豐富的研究成果。Ajitsaria等[1]建立了雙晶型壓電懸臂梁的動力學(xué)模型，分析了結(jié)構(gòu)的能量收集效率，表明該結(jié)構(gòu)可以提供傳感器和數(shù)據(jù)傳輸?shù)某渥汶娏?。Shi等[2]基于多項(xiàng)式形式的應(yīng)力函數(shù)和歸納函數(shù)，分析了不同載荷作用對功能梯度壓電懸臂梁能量收集的影響。Izadgoshasb等[3]進(jìn)行了壓電懸臂梁的實(shí)際應(yīng)用，采用理論集中模型把實(shí)驗(yàn)測量的加速度作為輸入數(shù)據(jù)預(yù)測電壓輸出。Johnson等[4]設(shè)計(jì)出微變形的壓電懸臂梁，將小振幅機(jī)械振動轉(zhuǎn)換為可用于低功耗電子設(shè)備的能源。Zhao等[5]基于有限元方法設(shè)計(jì)壓電懸臂梁，進(jìn)行了低頻振動實(shí)驗(yàn)設(shè)計(jì)和性能分析，結(jié)果表明低頻條件對能量收集效率有所提高。Lin等[6]提出了一種耦合壓電效應(yīng)的瞬時最優(yōu)閉環(huán)控制算法，進(jìn)行了自適應(yīng)控制分析，分析了兩者之間的耦合作用。Bonello等[7]基于能量捕獲光束的替代建模原理，提出了一種雙晶型能量收集結(jié)構(gòu)。

國內(nèi)關(guān)于壓電能量收集技術(shù)的研究開展稍晚，但是近年來取得了豐碩的研究成果和應(yīng)用產(chǎn)品。李彬[8]進(jìn)行了低頻寬頻帶壓電振動能量收集研究，設(shè)計(jì)出能在低頻、寬頻帶條件下高效收集振動能量的六階折疊懸臂梁壓電收集器。劉紅俊[9]基于壓電效應(yīng)原理建立相應(yīng)的數(shù)學(xué)模型和有限元分析模型，旨在優(yōu)化和改善低頻換能器結(jié)構(gòu)，增加工作振動頻率帶寬，提高輸出響應(yīng)性能。于斌[10]研究低頻驅(qū)動懸臂梁振動能量收集器，設(shè)計(jì)出低頻驅(qū)動懸臂梁能量收集器實(shí)物，并對采集器進(jìn)行了物理測試。費(fèi)立凱[11]基于電站低頻環(huán)境影響，設(shè)計(jì)和分析壓電振動懸臂梁結(jié)構(gòu)，通過結(jié)構(gòu)理論分析確定出合適的模型。楊炯炯[12]將非線性彈簧與傳統(tǒng)的雙穩(wěn)態(tài)壓電式俘能系統(tǒng)相結(jié)合，提出了含非線性彈簧的雙穩(wěn)態(tài)壓電式振動俘能裝置，從而達(dá)到更好的動力學(xué)輸出響應(yīng)。查宏[13]進(jìn)行了壓氣機(jī)離心葉輪錯頻葉盤結(jié)構(gòu)的模態(tài)和振動響應(yīng)分析,比較了不同模態(tài)局部化下葉輪的模態(tài)振型和強(qiáng)迫振動響應(yīng)幅值。洪婧[14]基于模態(tài)局部化的四耦合懸臂梁質(zhì)量感知方法，確定了最優(yōu)耦合因子。李曉東[15]基于模態(tài)局部化的耦合懸臂梁質(zhì)敏機(jī)理，建立了耦合懸臂梁結(jié)構(gòu)的彈簧-質(zhì)量-阻尼模型，分析了系統(tǒng)的模態(tài)局部化振動特性，提出了外界擾動對系統(tǒng)諧振特性的作用機(jī)制。學(xué)者側(cè)重對低頻帶環(huán)境以及能量收集器的外形研究，很少考慮模態(tài)局部化對系統(tǒng)的影響，模態(tài)局部化能夠改變系統(tǒng)的固有頻率，降低制作成本。針對研究結(jié)構(gòu)的不足，為了提高能量采集的實(shí)用性，本文提出基于模態(tài)局部化的耦合壓電懸臂梁的設(shè)計(jì)，以降低壓電振動能量收集器的固有頻率，提高能量收集效率。

1 數(shù)學(xué)方程

基于模態(tài)局部化的原理，本文采用圖1所示的結(jié)構(gòu)進(jìn)行能量收集研究，該結(jié)構(gòu)由兩個懸臂梁通過中間部分彈性連接，兩個懸臂梁的長度分別為a+d、a+d-δ，厚度為h，彈性模量為E,密度為ρ，中間的連接長度為c。

圖1 機(jī)械式耦合懸臂梁簡化力學(xué)模型

對于圖1所示的系統(tǒng)，根據(jù)簡化力學(xué)模型，其彈性變形能V和動能T可以通過Euler-Bernoulli梁理論得到：

(1)

(2)

式中：Kc為耦合剛度；w1為左懸臂梁的撓度；w2為右懸臂梁的撓度；Ib為橫截面對中性軸的慣性矩；A為橫截面的面積。

(3)

為求解微分方程(3)，需要施加必要的邊界條件，由于梁結(jié)構(gòu)為懸臂梁，因此對于梁I和梁II，邊界條件為：

(4)

(5)

根據(jù)模態(tài)疊加法(mode superposition method，簡稱MSM)，式(1)的解可以表示為模態(tài)組合的形式，即

(6)

式中：n表示模態(tài)階數(shù)；qi(t)為廣義坐標(biāo)；φi(x,t)為瞬時模態(tài)。

機(jī)械式耦合懸臂梁的左、右梁均采用等截面的類型。其邊界條件滿足一端固定，另一端自由振動，因此可以用等截面橫向振動頻率方程進(jìn)行求解。等截面橫向振動頻率計(jì)算式為：

cos(βl)ch(βl)=-1，

(7)

Yi(x)=Ci[cos(βix)-ch(βix)+

ri(sin(βix)-sh(βix))]，

(8)

ri=(sin(βil)-sh(βil))/(cos(βil)+

ch(βil))，

(9)

式中：Ci代表常數(shù)；βl為等截面梁頻率方程的根；l為懸臂梁的梁長。

通過定積分求出與固有頻率相關(guān)的系數(shù)，定積分為：

(10)

(11)

(12)

(13)

通過Galerkin方法可以得到變質(zhì)量梁系統(tǒng)的振動控制方程：

(14)

(15)

(16)

當(dāng)僅考慮梁I和梁II的第一階振型時，系統(tǒng)的質(zhì)量矩陣和剛度矩陣為：

(17)

采用Rayleigh比例阻尼形式，C=αM+βΚ， 則阻尼矩陣為

(18)

首先計(jì)算結(jié)構(gòu)的無阻尼頻率，簡化后的模型如圖2所示，其中M1代表左懸臂梁，M2代表右懸臂梁；K1代表左懸臂梁的剛度系數(shù)，K2代表右懸臂梁的剛度系數(shù)，二者之間的連接可以看成剛度系數(shù)為Kc的彈簧連接；左右兩端進(jìn)行固定。

圖2 簡化后的懸臂梁模型

將式(10)—式(13)的計(jì)算結(jié)果代入式(14)，可以得出質(zhì)量矩陣M和剛度矩陣K，然后通過MATLAB軟件進(jìn)行編程求(M,K)的特征值，進(jìn)而求得只含Kc的結(jié)果。

取鋁合金懸臂梁，其梁長為0.2 m，橫截面積A=0.002×0.025 m2為例，通過理論公式的推導(dǎo)計(jì)算，求出該懸臂梁的第一、二階固有頻率分別為41.1、257.7 Hz。通過軟件仿真結(jié)果分別為41.2、259.9 Hz。理論公式推導(dǎo)的計(jì)算結(jié)果與ANSYS仿真結(jié)果非常接近，這說明了推導(dǎo)公式的正確性，為后續(xù)實(shí)驗(yàn)驗(yàn)證提供了理論依據(jù)。

2 模型設(shè)計(jì)

通過文獻(xiàn)閱讀，在壓電式振動能量收集器的研究成果中，降低諧振頻率或者提升帶寬是提高壓電能量收集器能量收集效率的關(guān)鍵因素。本文設(shè)計(jì)不同尺寸的矩形壓電懸臂梁，仿真與實(shí)驗(yàn)分析輸出響應(yīng)的影響因素。

2.1 能量收集器的整體結(jié)構(gòu)

能量收集器的整體設(shè)計(jì)分為4個步驟，分別為建模分析、仿真實(shí)驗(yàn)、實(shí)物制作和實(shí)驗(yàn)驗(yàn)證。本文設(shè)計(jì)的壓電懸臂梁能量收集器主要由3部分組成：鋁合金懸臂梁，靠黏液粘貼的壓電片和2根電路導(dǎo)線。壓電片比較薄，在設(shè)計(jì)的同時，還要保證壓電片不被破壞，因此選擇硬度相對較弱的懸臂梁。壓電片的厚度為0.5 mm，長和寬分別為4 cm和2 cm。結(jié)構(gòu)示意如圖3所示。紅色部分表示懸臂梁，藍(lán)色部分表示壓電片，鋁合金懸臂梁由2個懸臂梁左右耦合而成，左端黑色部分表示約束，也就是說整體能量收集器被固定。采用激振器不斷地給系統(tǒng)提供的激振力，使得系統(tǒng)發(fā)生振動，從而達(dá)到收集能量獲得電能的目的。為了獲得較大的能量輸出效應(yīng)應(yīng)將壓電片粘貼在懸臂梁的根部。

圖3 壓電懸臂梁的結(jié)構(gòu)圖

2.2 壓電懸臂梁的仿真分析

利用ANSYSAPDL軟件對壓電懸臂梁進(jìn)行仿真分析，其有限元分析的具體過程分為4個階段，分別為制作壓電懸臂梁、建立幾何模型、有限元模型模態(tài)分析、獲得結(jié)果。通過設(shè)置尺寸和坐標(biāo)對壓電懸臂梁進(jìn)行有限元建模，為了縮短建模時間和改變尺寸時方便建模，后續(xù)采用命令流的方式進(jìn)行建模。建立的實(shí)體模型如圖4所示。

圖4 懸臂梁的實(shí)體建模

本文共設(shè)計(jì)9組懸臂梁模型，先對其中1個模型進(jìn)行仿真。壓電懸臂梁的俯視圖如圖5所示。

圖5 懸臂梁模型的俯視圖

耦合剛度Kc不能直接獲取。通過模態(tài)疊加法計(jì)算出單懸臂梁的剛度矩陣和質(zhì)量矩陣，耦合懸臂梁由左、右懸臂梁以及彈簧耦合組成，通過振動微分方程列出含耦合剛度Kc的運(yùn)動方程，將ANSYSAPDL仿真結(jié)果與理論結(jié)果進(jìn)行對比進(jìn)而求出Kc，得到Kc隨d的變化曲線如圖6所示。左、右懸臂梁可以看成由一個彈簧連接，這個彈簧的剛度系數(shù)為Kc，耦合長度為d，當(dāng)d從10 mm變化到20 mm時，Kc從40.8變化至10.1，從而可以得出隨著d的增加，Kc呈減小趨勢。

圖6 耦合剛度與耦合部分長度的關(guān)系曲線

利用ANSYSAPDL軟件對建模后的模型進(jìn)行網(wǎng)格劃分。為研究壓電懸臂梁能量收集效率的影響因素，本文設(shè)計(jì)不同尺寸的懸臂梁。為使研究更有說服力和針對性，設(shè)計(jì)出只改變左右懸臂梁長度的不同規(guī)格懸臂梁。模型序號為1—9，表1、表2為不同尺寸d的壓電懸臂梁的前兩階固有頻率。

表1 d=10 mm時壓電懸臂梁的前兩階固有頻率

表2 d=20 mm時壓電懸臂梁的前兩階固有頻率

由表1、表2可知，當(dāng)d=10、20 mm，懸臂梁按不同的方式固定，系統(tǒng)會出現(xiàn)不同的固有頻率。隨著右懸臂梁的長度逐漸增加，壓電懸臂梁的前二階固有頻率均逐漸減小。此時，壓電材料發(fā)生正壓電效應(yīng)的能力逐漸變強(qiáng)，能量收集效率也會逐漸提高。系統(tǒng)的固有頻率與耦合長度也有聯(lián)系。隨著d的增大，系統(tǒng)的固有頻率呈現(xiàn)降低的趨勢，不同類型的壓電懸臂梁都有效地將前二階固有共振頻率控制在30～40 Hz范圍內(nèi)，這意味壓電懸臂梁滿足在低頻環(huán)境中供電的條件，適當(dāng)改變懸臂梁的梁長，系統(tǒng)的諧振頻率也會發(fā)生改變。因此根據(jù)實(shí)際環(huán)境中的自然振動頻率，有效改變懸臂梁的長度，可以有效地提高能量收集器的收集效率。

3 壓電懸臂梁的實(shí)驗(yàn)測試

3.1 振動能量收集器的制作

振動能量收集器制作由4個部分組成，分別為制作壓電懸臂梁、壓電片的粘結(jié)、引出電極以及壓電片尺寸的選擇。

3.2 實(shí)驗(yàn)測試和結(jié)果分析

主要設(shè)備有HVP-1070B功率放大器、DG1032信號發(fā)生器、激振臺、示波器和電源，實(shí)驗(yàn)平臺示意如圖7所示。整個實(shí)驗(yàn)平臺的工作原理是：打開電源，信號發(fā)生器輸出正弦波信號，該信號被傳遞給功率放大器；功率放大器將收到的信號通過驅(qū)動信號傳遞給激振器，從而激振器為壓電懸臂梁提供持續(xù)激勵；示波器測出能量收集器的輸出電壓與時間的關(guān)系曲線，并以Excel的形式導(dǎo)出數(shù)據(jù)。

圖7 實(shí)驗(yàn)平臺

仿真、理論計(jì)算與實(shí)驗(yàn)測試系統(tǒng)固有頻率與懸臂梁尺寸的關(guān)系曲線如圖8所示。由圖8可知，懸臂梁長度的差值從-8 mm變化為8 mm且耦合長度為10 mm時，能量收集器系統(tǒng)的第一階固有頻率從38.92 Hz下降到36.90 Hz，系統(tǒng)的第二階固有頻率從43.13 Hz下降為41.21 Hz;耦合長度為20 mm時，系統(tǒng)的第一階固有頻率從34.04 Hz下降到31.04 Hz，系統(tǒng)的第二階固有頻率從41.94 Hz下降到38.89 Hz。從變化結(jié)果可以得出改變懸臂梁的梁長范圍，可以有效降低系統(tǒng)的振動頻率，從而有效提高能量收集效率。仿真與實(shí)驗(yàn)結(jié)果在誤差范圍以內(nèi)，這證明了實(shí)驗(yàn)的準(zhǔn)確性。

(a)耦合長度10 mm

通過示波器測出振動能量收集器的電壓，繪制在d=20 mm時壓電懸臂梁的電壓隨時間變化關(guān)系曲線如圖9所示。激振器為系統(tǒng)提高基礎(chǔ)激勵，隨著時間不斷變長，系統(tǒng)所提供的外界激振頻率不段增加，壓電懸臂梁發(fā)生的形變不斷增加，當(dāng)外界激振頻率與系統(tǒng)的諧振頻率相等時，系統(tǒng)發(fā)生共振，壓電懸臂梁達(dá)到最大的形變，從而系統(tǒng)發(fā)出最大的電壓。因?yàn)椴煌Ｐ偷膽冶哿洪L度差值不同，導(dǎo)致了系統(tǒng)的固有頻率也不盡相同，系統(tǒng)達(dá)到共振要求也不同，適當(dāng)改變系統(tǒng)的諧振頻率，系統(tǒng)更容易達(dá)到共振，從而壓電懸臂梁發(fā)生最大形變，為系統(tǒng)提高最大的電壓，進(jìn)而提高系統(tǒng)的能量收集效率。將示波器測定的電壓與時間關(guān)系經(jīng)過傅里葉變換得到圖10。懸臂梁左右梁長度差值的變化，影響系統(tǒng)的固有頻率，當(dāng)給系統(tǒng)提供基礎(chǔ)激勵時，因其固有頻率不同，壓電懸臂梁發(fā)生的形變也存在差異，形變的大小影響系統(tǒng)的電壓輸出。如果在一定的基礎(chǔ)激勵下，系統(tǒng)所需要的固有頻率越低，那么系統(tǒng)越容易達(dá)到要求，越能盡快地達(dá)到最大形變，進(jìn)而提供最大的電壓輸出，從而提高能量收集效率。由圖10可知，振動能量收集器的固有頻率與懸臂梁的長度差值呈負(fù)相關(guān)關(guān)系，固有頻率低的懸臂梁，對外界激振頻率要求低，更有利于能量收集。系統(tǒng)中首先是主懸臂梁發(fā)生共振，然后耦合懸臂梁發(fā)生共振。因此能量收集效率和輸出電壓不僅受懸臂梁尺寸的影響，還和壓電懸臂梁所固定的位置有關(guān)。

(a)右、左梁長度差值-8 mm，耦合長度20 mm

圖10 傅里葉變換圖

圖11為圖9所示5組模型的電壓與功率對比圖。當(dāng)系統(tǒng)發(fā)生共振時，耦合懸臂梁發(fā)生最大的形變，系統(tǒng)得到最大的電壓和功率。從圖11可知，改變懸臂梁的左右懸臂梁長度，從而減小系統(tǒng)的固有頻率，增大壓電懸臂梁的最大形變，系統(tǒng)的電壓和功率得到了有效提高。

圖11 5組模型電壓與功率對比圖

4 結(jié)論

本文設(shè)計(jì)不同尺寸的壓電懸臂梁，通過ANSYSAPDL軟件對振動能收集器進(jìn)行仿真，根據(jù)仿真結(jié)果制作9組壓電懸臂梁能量收集器實(shí)物樣機(jī)，并針對其輸出電壓、固有頻率及能量收集效率進(jìn)行了實(shí)驗(yàn)與仿真。實(shí)驗(yàn)結(jié)果與仿真結(jié)果相互佐證。分析了影響壓電懸臂梁能量收集器能量收集效率的因素，得出以下結(jié)論。

1)壓電懸臂梁振動能量收集器的固有頻率與懸臂梁的尺寸呈負(fù)相關(guān)關(guān)系，實(shí)驗(yàn)結(jié)果與仿真結(jié)果顯示，當(dāng)改變懸臂梁的尺寸時，系統(tǒng)的固有頻率會發(fā)生改變，為了讓能量收集器適應(yīng)工作環(huán)境，因此根據(jù)周圍振動環(huán)境的振動頻率，制作出符合環(huán)境要求的能量收集器，提高振動能量收集器的能量收集效率。

2)本文所設(shè)計(jì)的9種壓電懸臂梁在保證輸出功率的前提下能夠在低頻環(huán)境下收集振動能量。從實(shí)驗(yàn)結(jié)果來看振動能量收集器的特征頻率大約在33～40 Hz之間，這表明了該振動能量收集器能夠在較寬的頻帶中進(jìn)行工作，基于模態(tài)局部化的耦合懸臂梁可以提高系統(tǒng)的共振頻率頻寬，提高收集能量的效率。