• <tr id="yyy80"></tr>
  • <sup id="yyy80"></sup>
  • <tfoot id="yyy80"><noscript id="yyy80"></noscript></tfoot>
  • 99热精品在线国产_美女午夜性视频免费_国产精品国产高清国产av_av欧美777_自拍偷自拍亚洲精品老妇_亚洲熟女精品中文字幕_www日本黄色视频网_国产精品野战在线观看 ?

    基于數(shù)學(xué)歷史名題的解題教學(xué)
    ——以“不可及物的測(cè)量問題”為例

    2022-11-24 17:35:06張維忠浙江師范大學(xué)教師教育學(xué)院321004
    中學(xué)數(shù)學(xué)月刊 2022年10期
    關(guān)鍵詞:名題海島變式

    侯 甜 張維忠 (浙江師范大學(xué)教師教育學(xué)院 321004)

    解題教學(xué)是數(shù)學(xué)教學(xué)的重要部分,學(xué)生在學(xué)會(huì)解題的過程中發(fā)展了思維能力,提高了數(shù)學(xué)核心素養(yǎng)[1].目前的解題教學(xué)存在一些問題:學(xué)生的學(xué)習(xí)興趣被大量解題沖淡;注重解題技巧,忽視思維發(fā)展;題目遠(yuǎn)離教材,出現(xiàn)難題怪題;課堂缺乏文化氣息……數(shù)學(xué)歷史名題作為數(shù)學(xué)史的重要內(nèi)容,對(duì)數(shù)學(xué)發(fā)展、數(shù)學(xué)教學(xué)和數(shù)學(xué)應(yīng)用有著推動(dòng)作用,題中真實(shí)的問題情境、實(shí)質(zhì)性的數(shù)學(xué)思想方法、豐富的人文背景等對(duì)于教學(xué)都有重要意義.[2]鑒于此,本文以“不可及物的測(cè)量問題”為例,選取《海島算經(jīng)》中的數(shù)學(xué)歷史名題進(jìn)行教學(xué)設(shè)計(jì),探索數(shù)學(xué)歷史名題如何助推解題教學(xué).

    1 數(shù)學(xué)解題教學(xué)存在的問題

    美國(guó)數(shù)學(xué)家哈爾莫斯說:“數(shù)學(xué)的真正組成部分應(yīng)該是問題和解,解題才是數(shù)學(xué)的心臟.”解題教學(xué)是培養(yǎng)學(xué)生發(fā)現(xiàn)和提出問題、分析和解決問題能力,拓展學(xué)生數(shù)學(xué)思維,發(fā)展數(shù)學(xué)核心素養(yǎng)的重要手段.但目前的解題教學(xué)還存在一些問題.為了更好地改進(jìn)教學(xué),教師應(yīng)當(dāng)正確認(rèn)識(shí)問題,并提出解決策略.

    第一,學(xué)生的學(xué)習(xí)興趣被大量解題沖淡.大多數(shù)解題教學(xué)都是通過枯燥的題目訓(xùn)練來達(dá)到讓學(xué)生學(xué)會(huì)解題的教學(xué)目的,這種缺乏創(chuàng)新的教學(xué)方法不能滿足學(xué)生的心理需求,大量的題目將數(shù)學(xué)學(xué)科的枯燥性放大,學(xué)生的學(xué)習(xí)興趣、探索熱情被不斷沖淡[3].

    第二,注重解題技巧,忽視思維發(fā)展.解題教學(xué)中通常都充斥著各種類型的題目,教師注重題型分類和變式練習(xí),在對(duì)例題進(jìn)行分類講解后,歸納每種題型的解題方法,要求學(xué)生利用技巧求解問題,并做大量練習(xí).這種教學(xué)方法雖然可以讓學(xué)生快速掌握一些問題的求解方法,收獲短期效益,但長(zhǎng)遠(yuǎn)來看并不利于學(xué)生的思維發(fā)展,學(xué)生在學(xué)習(xí)過程中沒有進(jìn)行主動(dòng)的思考探索,將解題視為根據(jù)題型套技巧的活動(dòng)[4].

    第三,題目遠(yuǎn)離教材,出現(xiàn)難題怪題.重視題型歸類和技巧訓(xùn)練的解題教學(xué),往往從各式各類的題目出發(fā)展開教學(xué),欠缺對(duì)學(xué)生知識(shí)建構(gòu)的考慮,出現(xiàn)遠(yuǎn)離教材的現(xiàn)象,一些難題、怪題還會(huì)作為創(chuàng)新點(diǎn)出現(xiàn).

    第四,課堂缺乏文化氣息.盡管當(dāng)前課程改革多次強(qiáng)調(diào)數(shù)學(xué)課堂文化,但解題教學(xué)中的文化氣息仍較為缺乏.教學(xué)在大量刷題中追求標(biāo)準(zhǔn)答案,重視從問題背景中提煉關(guān)鍵信息,忽視問題的文化韻味,多為達(dá)到功利性、應(yīng)試性目的[5].

    2 數(shù)學(xué)歷史名題助推解題教學(xué)

    在數(shù)學(xué)歷史發(fā)展的長(zhǎng)河中,產(chǎn)生了很多對(duì)數(shù)學(xué)史有較大影響,對(duì)數(shù)學(xué)發(fā)展、數(shù)學(xué)應(yīng)用和數(shù)學(xué)教學(xué)有重要推動(dòng)作用的數(shù)學(xué)歷史名題.歷史名題通常從現(xiàn)實(shí)問題中提出,問題背景真實(shí)自然,能很好地體現(xiàn)所涉及數(shù)學(xué)內(nèi)容的實(shí)踐價(jià)值,同時(shí)對(duì)于學(xué)生來說,真實(shí)的情境不僅利于激發(fā)學(xué)習(xí)興趣還利于知識(shí)理解.問題中蘊(yùn)含的數(shù)學(xué)思想方法,對(duì)于學(xué)生的思維發(fā)展有重要促進(jìn)作用,學(xué)生收獲的不僅是解某一類數(shù)學(xué)問題的方法,更是數(shù)學(xué)地看待問題的思維.教師還可通過數(shù)學(xué)歷史名題中豐富的人文背景對(duì)學(xué)生進(jìn)行文化熏陶、情感教育,落實(shí)“立德樹人”的教育目標(biāo).如此,數(shù)學(xué)歷史名題可以從激發(fā)興趣、拓展思維、強(qiáng)化應(yīng)用、文化育人四方面助推解題教學(xué),解決現(xiàn)存問題,改善現(xiàn)有教學(xué).

    融入歷史名題,激發(fā)學(xué)習(xí)興趣.巧妙運(yùn)用數(shù)學(xué)歷史名題真實(shí)自然的問題背景,為原本枯燥的解題過程增添活力.一方面,可以將歷史名題作為教學(xué)引入,用耐人尋味的問題開啟課堂,將學(xué)生的注意力吸引到如何利用所學(xué)解決問題上.另一方面,由于學(xué)生的興趣容易被大量枯燥的題目沖淡,因此在對(duì)例題進(jìn)行分類講解時(shí),可以將歷史名題作為例題或者將歷史名題中的情境改編到例題中,激發(fā)學(xué)生學(xué)習(xí)興趣.

    探究名題解法,拓展數(shù)學(xué)思維.在講解名題時(shí)注重多種解法的探究,打破固有思維.?dāng)?shù)學(xué)發(fā)展的不同階段對(duì)于名題的求解方法不同,這些方法往往可以體現(xiàn)當(dāng)時(shí)數(shù)學(xué)發(fā)展的特點(diǎn),蘊(yùn)含著重要的數(shù)學(xué)思想方法,因此教師可以從已有的解題角度出發(fā),引導(dǎo)學(xué)生探究.在引導(dǎo)探究的過程中,更重要的是讓學(xué)生感受解決數(shù)學(xué)問題的多種視角,培養(yǎng)發(fā)散思維[6].

    聯(lián)系教材實(shí)際,強(qiáng)化知識(shí)應(yīng)用.新一輪課程改革中強(qiáng)調(diào)數(shù)學(xué)文化融入教學(xué),多版初中教科書都分布有數(shù)學(xué)歷史名題,中考試題中數(shù)學(xué)歷史名題的出現(xiàn)頻次也呈上升趨勢(shì).解題教學(xué)應(yīng)與教材實(shí)際和學(xué)生已有的知識(shí)體系緊密相連[7].為此,教師既可以充分挖掘教材中已有的或隱含的數(shù)學(xué)歷史名題來開啟教學(xué),也可以選取中高考中包含歷史名題的試題進(jìn)行應(yīng)用鏈接,改善解題教學(xué)中題目遠(yuǎn)離教材、偏難偏怪的現(xiàn)象.

    滲透文化背景,進(jìn)行情感熏陶.?dāng)?shù)學(xué)歷史名題作為數(shù)學(xué)發(fā)展長(zhǎng)河中留存下來的經(jīng)典問題,是數(shù)學(xué)世界的璀璨明珠,其深厚的人文背景是對(duì)學(xué)生進(jìn)行情感教育的良好素材.教師在應(yīng)用歷史名題前,應(yīng)充分了解其時(shí)代背景、相關(guān)數(shù)學(xué)家、發(fā)展歷史等,讓學(xué)生在認(rèn)識(shí)名題的過程中獲得良好的情感體驗(yàn),如感受我國(guó)古代數(shù)學(xué)的博大精深,增長(zhǎng)民族自信,體會(huì)數(shù)學(xué)家嚴(yán)謹(jǐn)?shù)闹螌W(xué)態(tài)度和鍥而不舍的探索精神,改變錯(cuò)誤的學(xué)習(xí)觀念等.

    3 相關(guān)教學(xué)設(shè)計(jì)

    解雙直角三角形是初中數(shù)學(xué)的重點(diǎn)內(nèi)容,《義務(wù)教育數(shù)學(xué)課程標(biāo)準(zhǔn)(2022年版)》中強(qiáng)調(diào):“知道直角三角形的邊角關(guān)系,理解銳角三角函數(shù),能用銳角三角函數(shù)解決簡(jiǎn)單的實(shí)際問題.”[8]不可及物的測(cè)量問題是解雙直角三角形的經(jīng)典題型,在中考中多次出現(xiàn).《海島算經(jīng)》是我國(guó)數(shù)學(xué)家劉徽所著的中國(guó)最早運(yùn)用幾何理論解決各種測(cè)量難題的數(shù)學(xué)專著,主要解釋“重差術(shù)”問題,即不可及物高度和距離的測(cè)量問題,書中的數(shù)學(xué)問題包含多種真實(shí)情境,蘊(yùn)含著重要的數(shù)學(xué)思想方法,是“不可及物測(cè)量問題”教學(xué)的優(yōu)秀素材.

    3.1 名題引入,激起興趣

    魏晉時(shí)期偉大的數(shù)學(xué)家劉徽在其著作《海島算經(jīng)》中留下了九道經(jīng)典的測(cè)量名題,其中第1題為“望海島”問題——在地面立前后兩根表來測(cè)量遠(yuǎn)方的一處海島,兩表高均為3丈(5步),相距1 000步,先從前表出發(fā)后退123步觀察海島頂端,再從后表后退127步觀察海島頂端.問:海島高為多少?海島與前表之間的距離為多少?(注:古代1丈=10尺,1步=6尺)

    設(shè)計(jì)意圖此題源于現(xiàn)實(shí)生活,是有關(guān)不可及物測(cè)量問題的數(shù)學(xué)歷史名題,出自我國(guó)古代數(shù)學(xué)家劉徽的著作《海島算經(jīng)》,選取此種與教學(xué)內(nèi)容緊密相連的歷史名題引出教學(xué),激發(fā)學(xué)生的學(xué)習(xí)興趣.

    3.2 一題多探,發(fā)展思維

    探究1 預(yù)設(shè)學(xué)生最先想到的解題思路是利用相似三角形的判定及性質(zhì)進(jìn)行證明,引導(dǎo)學(xué)生應(yīng)用平面幾何的知識(shí)證明島高和島去表的測(cè)量公式.

    探究2 “望海島”問題本質(zhì)上是解雙直角三角形.在進(jìn)行本課之前,學(xué)生已經(jīng)學(xué)習(xí)了利用銳角三角函數(shù)解直角三角形,故此引導(dǎo)學(xué)生利用銳角三角函數(shù)的知識(shí)證明島高和島去表的測(cè)量公式.

    探究3 《海島算經(jīng)》是劉徽在魏晉時(shí)期所著,根據(jù)當(dāng)時(shí)的數(shù)學(xué)水平,三角學(xué)還未出現(xiàn),現(xiàn)代數(shù)學(xué)家吳文俊認(rèn)為可以采用“出入相補(bǔ)”原理進(jìn)行證明,趙爽在《周髀算經(jīng)》中遺留的“日高圖”中也蘊(yùn)含此思想.引導(dǎo)學(xué)生思考如何利用面積思想和“出入相補(bǔ)”原理證明“望海島”問題.

    設(shè)計(jì)意圖引導(dǎo)學(xué)生探究名題的多種解法,從教解題到教思維,在解題教學(xué)中進(jìn)行思維教學(xué),幫助學(xué)生在問題思考過程中認(rèn)識(shí)問題和解法的本質(zhì),提升思維能力,發(fā)展核心素養(yǎng)[3].探究1中的“比例法”涉及初中平面幾何知識(shí),利用相似三角形對(duì)應(yīng)邊成比例的性質(zhì)定理進(jìn)行求解,是初中生最容易理解和掌握的方法.探究2的“三角法”體現(xiàn)了銳角三角函數(shù)在解直角三角形中的重要作用,“望海島”問題本質(zhì)上是不可及物高度和距離的測(cè)量問題,此類問題正是解直角三角形的經(jīng)典題型,三角法是最為普遍的解題方法.探究3中的“面積法”所用到的“出入相補(bǔ)”原理是我國(guó)古代數(shù)學(xué)的智慧結(jié)晶,此原理可以應(yīng)用于勾股定理、多邊形面積公式、等差數(shù)列求和等多個(gè)教學(xué)之中,引導(dǎo)學(xué)生利用此原理思考“望海島”問題,既是對(duì)學(xué)生數(shù)學(xué)思維的培養(yǎng),也能通過體會(huì)古代數(shù)學(xué)的博大精深激發(fā)愛國(guó)熱情.三次解題探究,讓學(xué)生掌握了多種求解不可及物測(cè)量問題的方法,體會(huì)從幾何、函數(shù)、代數(shù)等方面進(jìn)行問題探究的發(fā)散思維.

    3.3 變式檢測(cè),合作探究

    變式1 改編自《海島算經(jīng)》中的“登山望津”問題:如圖1,今有登山望津(AB),津在山南.偃矩山上,令勾(CD)高一丈二尺,從勾端(C)斜望津南岸(A),入下股(DE)二丈三尺一寸;又望津北岸(B),入前望股里一丈八寸(EF),津南岸去山腳(G)五丈二尺(AG).問津廣(AB)幾何?

    圖1 圖2

    變式2 摘自《海島算經(jīng)》中的“望波口”問題:如圖2,今有東南望波口(AB),立兩表(C,D)南北相去九丈(CD),以索薄地連之.當(dāng)北表之西卻行去表六丈(CE),薄地(E)遙望波口南岸(B),入索北端(H)四丈二寸(CH);以望北岸(A),入前所望表里(G)一丈二尺(GH).又卻后行去表十三丈五尺(CF),薄地(F)遙望波口南岸(B),與南表參合.問波口(AB)廣幾何?

    教學(xué)活動(dòng):以小組為單位進(jìn)行討論,探究“望海島”問題的三種解題方法能否求解上述兩個(gè)變式,討論“登山望津”問題、“望波口”問題與“望海島”問題有哪些不同.

    設(shè)計(jì)意圖《海島算經(jīng)》中包括不可及物測(cè)量問題的多種情境,選取其中兩道符合初中生認(rèn)知發(fā)展水平的名題作為變式探究,并以小組為單位用3.2節(jié)中的三種解題方法求解變式問題.教學(xué)引入的“望海島”問題是在與不可及物底端同一平面上的兩個(gè)點(diǎn),對(duì)物體的頂端進(jìn)行兩次觀測(cè);變式1中改編的“登山望津”問題是在與觀測(cè)物不處于同一平面的一個(gè)點(diǎn),對(duì)不可及物的兩個(gè)端點(diǎn)分別進(jìn)行觀測(cè);變式2中的“望波口”問題是在兩個(gè)點(diǎn)對(duì)不可及物進(jìn)行多次觀測(cè).通過變式問題進(jìn)一步鞏固解法,在探究解法是否適用的過程中進(jìn)一步體會(huì)數(shù)形結(jié)合、等量代換等數(shù)學(xué)思想,同時(shí)將改編后的歷史名題作為變式,真實(shí)生動(dòng)的情境能為解題增添活力,調(diào)動(dòng)學(xué)生探究的積極性.

    3.4 實(shí)戰(zhàn)演練,深化理解

    題1(浙教版)廣場(chǎng)上空有一個(gè)氣球A,地面上點(diǎn)B,C,D在一條直線上,BC=20 m.在點(diǎn)B,C分別測(cè)得氣球A的仰角∠ABD為45°,∠ACD為56°.求氣球A離地面的高度AD(精確到0.1 m).

    題2(2018·寧波中考)如圖3,某高速公路建設(shè)中需要測(cè)量某條江的寬度AB,飛機(jī)上的測(cè)量人員在C處測(cè)得A,B兩點(diǎn)的俯角分別為45°和30°.若飛機(jī)離地高度CH為1 200 m,且點(diǎn)H,A,B在同一水平直線上,則這條江的寬度AB為多少m?(結(jié)果保留根號(hào))

    圖3 圖4

    設(shè)計(jì)意圖不可及物測(cè)量問題在課后習(xí)題中常有出現(xiàn),在中考中出現(xiàn)的頻率也很高,2020年河南省、2019年天津市、2018年衢州市、2014年紹興市等地的中考卷中都有類似考題.選用教材中的課后習(xí)題和中考真題作為應(yīng)用鏈接,加強(qiáng)解題與教材之間的聯(lián)系,一方面能幫助學(xué)生鞏固所學(xué),在解題時(shí)回顧教材,梳理知識(shí),進(jìn)一步完善知識(shí)網(wǎng)絡(luò),同時(shí)在練習(xí)中考真題時(shí)能更好地把握考點(diǎn),大多數(shù)中考真題的條件簡(jiǎn)單,難度較低,利用銳角三角函數(shù)求解最為快捷有效;另一方面,學(xué)生在解題過程中可以體會(huì)知識(shí)的實(shí)際應(yīng)用,感受豐富的文化韻味,保持學(xué)習(xí)的積極性.

    4 進(jìn)一步的思考

    將《海島算經(jīng)》中的歷史名題融入“不可及物測(cè)量問題”的解題教學(xué),真實(shí)有趣的情境為課堂增添了活力,學(xué)生在探究名題解法的過程中掌握了求解此類問題的通法,體會(huì)到數(shù)形結(jié)合、等量代換等數(shù)學(xué)思想的博大精深,最后練習(xí)相關(guān)課后習(xí)題和中考真題進(jìn)行知識(shí)鞏固,同時(shí)教學(xué)還利用歷史名題的時(shí)代背景、相關(guān)人物、發(fā)展歷史等對(duì)學(xué)生進(jìn)行文化教育.

    4.1 歷史名題合理融入教學(xué)

    融入教學(xué)的歷史名題應(yīng)與教學(xué)存在緊密聯(lián)系,并符合學(xué)生的認(rèn)知水平.“望海島”問題是“不可及物測(cè)量問題”的經(jīng)典題型,教學(xué)中探究的“比例法”“三角法”“面積法”都能被學(xué)生理解掌握.通常來說,數(shù)學(xué)歷史名題的語言表達(dá)較為晦澀難懂,會(huì)給學(xué)生帶來一定的認(rèn)知負(fù)擔(dān),教師在教學(xué)過程中可以對(duì)題目進(jìn)行合理改編或增加注釋、圖示,同時(shí)注重引導(dǎo)學(xué)生從問題中抽象出數(shù)學(xué)模型.如本教學(xué)案例中的變式2是對(duì)《海島算經(jīng)》中“登山望津”問題進(jìn)行的簡(jiǎn)化改編,并配以圖示呈現(xiàn)給學(xué)生,減少學(xué)生的認(rèn)知負(fù)擔(dān).?dāng)?shù)學(xué)歷史名題在經(jīng)過科學(xué)合理的組織之后,能更好地融入并促進(jìn)教學(xué).

    4.2 多種解法拓展數(shù)學(xué)思維

    解題教學(xué)不能只關(guān)注教解題,還應(yīng)著眼于學(xué)生的思維發(fā)展,讓學(xué)生學(xué)解題.為使學(xué)生在面對(duì)問題時(shí)積極運(yùn)用已有知識(shí)經(jīng)驗(yàn)多角度思考,教師可以通過引導(dǎo)學(xué)生一題多解來進(jìn)行思維培養(yǎng).如在本教學(xué)案例中,共引導(dǎo)學(xué)生進(jìn)行了三次解法探究:第一種應(yīng)用平面幾何知識(shí)的“比例法”是史料中的解法,該方法最易于理解;第二種運(yùn)用銳角三角函數(shù)的“三角法”是初中階段解直角三角形的常用辦法,適用范圍最廣;第三種基于“出入相補(bǔ)”原理的“面積法”是我國(guó)古代數(shù)學(xué)中轉(zhuǎn)化思想的重要體現(xiàn),雖然此方法在不可及物測(cè)量問題中適用范圍較窄,但可以讓學(xué)生體會(huì)我國(guó)古代數(shù)學(xué)智慧,增長(zhǎng)民族自信,獲得良好的情感體驗(yàn).

    4.3 回歸教材強(qiáng)化知識(shí)應(yīng)用

    解題教學(xué)最終要落實(shí)到學(xué)生的實(shí)際應(yīng)用中,所教內(nèi)容回歸教材、鏈接考試,有助于學(xué)生進(jìn)一步作解題反思,鞏固所學(xué).本案例中將浙教版教材中的課后習(xí)題和各地中考真題作為練習(xí)題目,一方面檢測(cè)教學(xué)效果,補(bǔ)充教學(xué)不足;另一方面引導(dǎo)學(xué)生在練習(xí)的過程中梳理知識(shí)點(diǎn)、把握考點(diǎn),深化知識(shí)理解,強(qiáng)化知識(shí)應(yīng)用.

    猜你喜歡
    名題海島變式
    詠桂花
    一道拓廣探索題的變式
    聚焦正、余弦定理的變式在高考中的應(yīng)用
    平面幾何兩個(gè)名題及其妙解
    冰與火共存的海島
    奧秘(2020年5期)2020-06-30 10:12:10
    在海島度假
    課后習(xí)題的變式練習(xí)與拓展應(yīng)用
    問題引路,變式拓展
    從課本例題走向世界名題
    數(shù)學(xué)美本質(zhì)上終究是簡(jiǎn)單
    亚洲欧美精品综合久久99| 99re在线观看精品视频| 欧美高清成人免费视频www| 51午夜福利影视在线观看| 亚洲国产精品sss在线观看| 麻豆久久精品国产亚洲av| 欧美丝袜亚洲另类 | 又黄又粗又硬又大视频| 露出奶头的视频| 中文字幕最新亚洲高清| 91麻豆精品激情在线观看国产| 亚洲av电影不卡..在线观看| 国产高清视频在线播放一区| 亚洲欧美日韩卡通动漫| 每晚都被弄得嗷嗷叫到高潮| 精品日产1卡2卡| 中文字幕人妻丝袜一区二区| 99久久精品一区二区三区| 90打野战视频偷拍视频| 小蜜桃在线观看免费完整版高清| 久久精品综合一区二区三区| 无人区码免费观看不卡| www.自偷自拍.com| 国产精品久久久久久人妻精品电影| 一个人看视频在线观看www免费 | 天天添夜夜摸| 免费电影在线观看免费观看| 天天一区二区日本电影三级| 午夜精品在线福利| 成人国产综合亚洲| 久9热在线精品视频| 国产欧美日韩精品亚洲av| 国产精品1区2区在线观看.| 黄频高清免费视频| 村上凉子中文字幕在线| 亚洲国产精品久久男人天堂| 美女黄网站色视频| 中文字幕高清在线视频| a级毛片在线看网站| 天天躁狠狠躁夜夜躁狠狠躁| 村上凉子中文字幕在线| 熟妇人妻久久中文字幕3abv| 狂野欧美激情性xxxx| 九九热线精品视视频播放| 亚洲国产精品999在线| 日韩高清综合在线| 免费在线观看影片大全网站| 99久国产av精品| 黄色视频,在线免费观看| 又紧又爽又黄一区二区| 国产精品久久电影中文字幕| 久久中文字幕人妻熟女| ponron亚洲| 熟妇人妻久久中文字幕3abv| 亚洲精品456在线播放app | 中文在线观看免费www的网站| 亚洲国产欧美人成| 一区二区三区高清视频在线| 国内精品一区二区在线观看| 亚洲 欧美 日韩 在线 免费| 国产乱人视频| 夜夜躁狠狠躁天天躁| 天天添夜夜摸| 久久久久久人人人人人| www.熟女人妻精品国产| 两个人视频免费观看高清| 亚洲成人精品中文字幕电影| 日本熟妇午夜| 老司机福利观看| or卡值多少钱| 日韩欧美国产一区二区入口| 欧美最黄视频在线播放免费| 一级作爱视频免费观看| 哪里可以看免费的av片| ponron亚洲| 看片在线看免费视频| 麻豆成人午夜福利视频| 亚洲专区中文字幕在线| 国产高清三级在线| 成年人黄色毛片网站| 日韩欧美精品v在线| 亚洲av中文字字幕乱码综合| 操出白浆在线播放| 午夜免费观看网址| 两性午夜刺激爽爽歪歪视频在线观看| 一级作爱视频免费观看| 午夜福利欧美成人| 天堂网av新在线| 我要搜黄色片| 国产一区二区在线观看日韩 | 国产综合懂色| 91在线精品国自产拍蜜月 | 天堂影院成人在线观看| 日韩三级视频一区二区三区| 亚洲va日本ⅴa欧美va伊人久久| 操出白浆在线播放| 嫁个100分男人电影在线观看| 亚洲无线在线观看| 国产高清视频在线播放一区| 黄片小视频在线播放| 亚洲精品美女久久久久99蜜臀| 亚洲中文字幕日韩| 亚洲avbb在线观看| 国内精品久久久久久久电影| av天堂在线播放| 国产免费男女视频| 老鸭窝网址在线观看| 亚洲18禁久久av| www.自偷自拍.com| 亚洲国产精品合色在线| 成年女人毛片免费观看观看9| 久久中文字幕人妻熟女| www日本黄色视频网| 日韩欧美一区二区三区在线观看| 免费电影在线观看免费观看| 欧美在线黄色| 欧美日本亚洲视频在线播放| 黄色日韩在线| 少妇的逼水好多| 久久伊人香网站| 欧美成狂野欧美在线观看| 国产精品久久视频播放| 久久99热这里只有精品18| 18禁观看日本| 精品不卡国产一区二区三区| 无限看片的www在线观看| 午夜精品一区二区三区免费看| 精品一区二区三区四区五区乱码| 亚洲欧美日韩卡通动漫| 90打野战视频偷拍视频| 香蕉av资源在线| 人人妻人人澡欧美一区二区| 老汉色∧v一级毛片| 亚洲电影在线观看av| 好看av亚洲va欧美ⅴa在| 熟女少妇亚洲综合色aaa.| 国产美女午夜福利| 中国美女看黄片| 偷拍熟女少妇极品色| 19禁男女啪啪无遮挡网站| 日本 av在线| 人妻夜夜爽99麻豆av| 亚洲专区国产一区二区| 少妇熟女aⅴ在线视频| 人人妻人人看人人澡| 欧美最黄视频在线播放免费| 国产欧美日韩一区二区精品| 一二三四社区在线视频社区8| 国产三级中文精品| 人妻丰满熟妇av一区二区三区| 69av精品久久久久久| 久久天堂一区二区三区四区| 亚洲自拍偷在线| 国产一级毛片七仙女欲春2| 9191精品国产免费久久| 99久久成人亚洲精品观看| e午夜精品久久久久久久| 十八禁人妻一区二区| 免费看十八禁软件| 91在线精品国自产拍蜜月 | 国产一区二区三区视频了| 亚洲欧美日韩东京热| 搞女人的毛片| 亚洲成人免费电影在线观看| 日韩国内少妇激情av| 成人18禁在线播放| 亚洲欧美激情综合另类| 精品欧美国产一区二区三| 啪啪无遮挡十八禁网站| or卡值多少钱| 久久久精品欧美日韩精品| 他把我摸到了高潮在线观看| av国产免费在线观看| 精品乱码久久久久久99久播| 欧美av亚洲av综合av国产av| 午夜视频精品福利| 亚洲色图av天堂| 韩国av一区二区三区四区| 国产 一区 欧美 日韩| 欧美日韩亚洲国产一区二区在线观看| 一级作爱视频免费观看| 日韩高清综合在线| 男女视频在线观看网站免费| 制服丝袜大香蕉在线| av在线天堂中文字幕| 天天添夜夜摸| 露出奶头的视频| 国产蜜桃级精品一区二区三区| 午夜福利高清视频| 日韩免费av在线播放| 亚洲成人免费电影在线观看| 少妇熟女aⅴ在线视频| 亚洲最大成人中文| 一个人看视频在线观看www免费 | 欧美xxxx黑人xx丫x性爽| 一二三四社区在线视频社区8| 日韩欧美精品v在线| 波多野结衣高清无吗| 日韩中文字幕欧美一区二区| 老司机深夜福利视频在线观看| 久久久精品大字幕| xxx96com| 国产精品 欧美亚洲| 欧美成人免费av一区二区三区| 午夜精品久久久久久毛片777| 男女之事视频高清在线观看| 国产午夜精品久久久久久| 免费av毛片视频| av欧美777| 91av网一区二区| 日本 av在线| 最新中文字幕久久久久 | 变态另类丝袜制服| 久久精品综合一区二区三区| 亚洲无线在线观看| 午夜亚洲福利在线播放| 九九热线精品视视频播放| 国产精品av久久久久免费| 国产黄a三级三级三级人| 精品国产美女av久久久久小说| 国产男靠女视频免费网站| 在线观看66精品国产| 欧美乱色亚洲激情| 窝窝影院91人妻| 国内久久婷婷六月综合欲色啪| 日本一二三区视频观看| 成人性生交大片免费视频hd| 亚洲色图 男人天堂 中文字幕| 成人无遮挡网站| 午夜免费激情av| 一本久久中文字幕| 在线观看午夜福利视频| 亚洲国产精品成人综合色| 亚洲精品久久国产高清桃花| a在线观看视频网站| 麻豆av在线久日| 日韩高清综合在线| 极品教师在线免费播放| 听说在线观看完整版免费高清| 综合色av麻豆| 成在线人永久免费视频| 国产精品精品国产色婷婷| 国产成人精品无人区| 国产精品 国内视频| 一级作爱视频免费观看| 黄色视频,在线免费观看| 日韩免费av在线播放| 午夜福利在线观看免费完整高清在 | 日本熟妇午夜| 激情在线观看视频在线高清| 欧美日韩精品网址| 亚洲电影在线观看av| 日韩人妻高清精品专区| 丁香欧美五月| 亚洲熟妇熟女久久| 国产三级黄色录像| 十八禁网站免费在线| 黄色女人牲交| 1024香蕉在线观看| 国产成人福利小说| 在线观看美女被高潮喷水网站 | 国产精品久久久久久人妻精品电影| 欧美日韩乱码在线| 搡老妇女老女人老熟妇| 中亚洲国语对白在线视频| 久久久久九九精品影院| 久久精品91无色码中文字幕| 亚洲色图 男人天堂 中文字幕| 午夜精品在线福利| 欧美成狂野欧美在线观看| 成年免费大片在线观看| av黄色大香蕉| 麻豆一二三区av精品| 国产精品野战在线观看| 白带黄色成豆腐渣| 一区二区三区高清视频在线| 亚洲国产看品久久| 美女高潮喷水抽搐中文字幕| 国产高清视频在线观看网站| 午夜福利免费观看在线| 老鸭窝网址在线观看| 禁无遮挡网站| 特大巨黑吊av在线直播| 日韩大尺度精品在线看网址| 99国产精品99久久久久| 国产一级毛片七仙女欲春2| 一个人看的www免费观看视频| 99视频精品全部免费 在线 | 丰满人妻一区二区三区视频av | 伦理电影免费视频| 午夜日韩欧美国产| 国产视频一区二区在线看| 又粗又爽又猛毛片免费看| 久久精品夜夜夜夜夜久久蜜豆| 在线视频色国产色| 一进一出好大好爽视频| 九色成人免费人妻av| 色播亚洲综合网| bbb黄色大片| 国产综合懂色| 国产精品亚洲美女久久久| 精品国产亚洲在线| 91字幕亚洲| 1024香蕉在线观看| 狠狠狠狠99中文字幕| 亚洲黑人精品在线| 99精品久久久久人妻精品| 欧美日韩亚洲国产一区二区在线观看| 午夜福利成人在线免费观看| 99精品在免费线老司机午夜| 99久久99久久久精品蜜桃| 日本熟妇午夜| 麻豆久久精品国产亚洲av| 神马国产精品三级电影在线观看| 国产美女午夜福利| 亚洲成人久久爱视频| 久久久久国内视频| 99re在线观看精品视频| 老汉色av国产亚洲站长工具| 啪啪无遮挡十八禁网站| 亚洲人与动物交配视频| 观看免费一级毛片| 黄色成人免费大全| 久久精品人妻少妇| 欧美黑人欧美精品刺激| 听说在线观看完整版免费高清| 又大又爽又粗| 女人被狂操c到高潮| 精品久久久久久久久久免费视频| 欧美日韩亚洲国产一区二区在线观看| 国产亚洲av嫩草精品影院| 成人午夜高清在线视频| 免费看美女性在线毛片视频| 国产精品精品国产色婷婷| a级毛片a级免费在线| 亚洲无线观看免费| 九色国产91popny在线| 制服人妻中文乱码| 欧美中文综合在线视频| 日本撒尿小便嘘嘘汇集6| 十八禁人妻一区二区| 国产精品 国内视频| 一夜夜www| 美女高潮喷水抽搐中文字幕| 男女下面进入的视频免费午夜| 国产精品免费一区二区三区在线| 日韩 欧美 亚洲 中文字幕| 久久欧美精品欧美久久欧美| 不卡一级毛片| 一二三四在线观看免费中文在| 91字幕亚洲| 在线免费观看的www视频| 久久久久久久精品吃奶| 又大又爽又粗| 亚洲国产中文字幕在线视频| 亚洲av成人一区二区三| 国产视频一区二区在线看| 久久亚洲精品不卡| 一夜夜www| 女警被强在线播放| 精品久久久久久久久久免费视频| 亚洲av中文字字幕乱码综合| 日本黄大片高清| 宅男免费午夜| 母亲3免费完整高清在线观看| 桃红色精品国产亚洲av| 日本撒尿小便嘘嘘汇集6| 日本一本二区三区精品| 又黄又爽又免费观看的视频| 男人舔女人的私密视频| 亚洲国产欧洲综合997久久,| 一本久久中文字幕| 午夜成年电影在线免费观看| 脱女人内裤的视频| 久久精品91蜜桃| 久久99热这里只有精品18| 精品免费久久久久久久清纯| 久久性视频一级片| 国产激情久久老熟女| 国产精品国产高清国产av| 亚洲自拍偷在线| 亚洲狠狠婷婷综合久久图片| 美女高潮的动态| 又紧又爽又黄一区二区| 久久精品影院6| 亚洲成a人片在线一区二区| 黄色成人免费大全| 久久精品国产清高在天天线| 日本一二三区视频观看| 日日摸夜夜添夜夜添小说| 亚洲av成人不卡在线观看播放网| 亚洲,欧美精品.| 制服丝袜大香蕉在线| 一级作爱视频免费观看| 国产成人一区二区三区免费视频网站| 免费看日本二区| 91九色精品人成在线观看| 国产精品影院久久| 午夜a级毛片| 日韩av在线大香蕉| 精品国产乱码久久久久久男人| 国产一区二区三区在线臀色熟女| 好男人在线观看高清免费视频| 日本在线视频免费播放| 国语自产精品视频在线第100页| 少妇丰满av| 亚洲欧美日韩卡通动漫| 精品久久久久久成人av| 手机成人av网站| 少妇丰满av| 99riav亚洲国产免费| 欧美国产日韩亚洲一区| 精品不卡国产一区二区三区| 国产精品,欧美在线| 99在线视频只有这里精品首页| 狂野欧美白嫩少妇大欣赏| 国产激情欧美一区二区| 午夜免费成人在线视频| 国产黄色小视频在线观看| 午夜精品一区二区三区免费看| 欧美精品啪啪一区二区三区| 一个人看视频在线观看www免费 | 日本熟妇午夜| 亚洲 欧美 日韩 在线 免费| 国产高清视频在线播放一区| 国产精品影院久久| 99国产极品粉嫩在线观看| 日本与韩国留学比较| 99久久精品热视频| 色吧在线观看| 久久精品国产清高在天天线| 亚洲精品美女久久久久99蜜臀| 婷婷六月久久综合丁香| 巨乳人妻的诱惑在线观看| 国产免费av片在线观看野外av| 久久久久久久久久黄片| 最近视频中文字幕2019在线8| 欧美乱妇无乱码| 97碰自拍视频| 午夜福利欧美成人| 久久天躁狠狠躁夜夜2o2o| tocl精华| av黄色大香蕉| 亚洲av五月六月丁香网| 老熟妇仑乱视频hdxx| 亚洲精品美女久久av网站| 一本久久中文字幕| 亚洲狠狠婷婷综合久久图片| 男人的好看免费观看在线视频| 亚洲天堂国产精品一区在线| 成人国产综合亚洲| 国产乱人视频| 热99在线观看视频| 精品熟女少妇八av免费久了| 丰满人妻熟妇乱又伦精品不卡| 一本综合久久免费| 色在线成人网| 久久国产精品影院| 久久人人精品亚洲av| 久久久久久九九精品二区国产| 亚洲成人精品中文字幕电影| 亚洲国产高清在线一区二区三| 色在线成人网| 露出奶头的视频| 丝袜人妻中文字幕| 亚洲欧洲精品一区二区精品久久久| 欧美乱码精品一区二区三区| 神马国产精品三级电影在线观看| 精品国产美女av久久久久小说| 欧美黑人巨大hd| 国产激情偷乱视频一区二区| 在线视频色国产色| 久久久久国内视频| 亚洲 欧美一区二区三区| 神马国产精品三级电影在线观看| 亚洲熟妇中文字幕五十中出| 亚洲成av人片免费观看| 久久久久久久久免费视频了| 亚洲午夜精品一区,二区,三区| 国产乱人视频| 欧美性猛交╳xxx乱大交人| 久99久视频精品免费| 窝窝影院91人妻| 欧美三级亚洲精品| 一进一出好大好爽视频| 这个男人来自地球电影免费观看| 欧美黄色淫秽网站| 白带黄色成豆腐渣| 黄片小视频在线播放| 精品一区二区三区四区五区乱码| 久久久久精品国产欧美久久久| 亚洲成av人片在线播放无| 亚洲成人精品中文字幕电影| 最近最新免费中文字幕在线| 成人亚洲精品av一区二区| 欧美日韩国产亚洲二区| 国产精品亚洲一级av第二区| 国产主播在线观看一区二区| 精品国产乱码久久久久久男人| 国产一区二区激情短视频| 制服丝袜大香蕉在线| 久久草成人影院| 少妇熟女aⅴ在线视频| 久久久久久久久久黄片| 欧美成狂野欧美在线观看| 少妇熟女aⅴ在线视频| 在线视频色国产色| 亚洲黑人精品在线| 熟女少妇亚洲综合色aaa.| 国产激情偷乱视频一区二区| 久久婷婷人人爽人人干人人爱| 一个人免费在线观看的高清视频| 成年人黄色毛片网站| 午夜成年电影在线免费观看| 日韩人妻高清精品专区| 少妇裸体淫交视频免费看高清| 熟女人妻精品中文字幕| 一个人看的www免费观看视频| 欧美一区二区精品小视频在线| 亚洲,欧美精品.| 成年人黄色毛片网站| 国产乱人伦免费视频| 精华霜和精华液先用哪个| 51午夜福利影视在线观看| 久久久精品大字幕| 亚洲一区二区三区色噜噜| 九九热线精品视视频播放| 午夜激情福利司机影院| 婷婷精品国产亚洲av| 午夜免费观看网址| 给我免费播放毛片高清在线观看| 一区二区三区国产精品乱码| 我的老师免费观看完整版| 97超视频在线观看视频| 在线观看日韩欧美| 在线国产一区二区在线| 国产精品久久久久久亚洲av鲁大| 国产成年人精品一区二区| 操出白浆在线播放| 国产午夜精品论理片| 欧美午夜高清在线| 免费在线观看亚洲国产| 黄色丝袜av网址大全| 国产又黄又爽又无遮挡在线| 99国产精品一区二区三区| 欧美黑人欧美精品刺激| 国产视频内射| 激情在线观看视频在线高清| 亚洲真实伦在线观看| АⅤ资源中文在线天堂| 老司机午夜十八禁免费视频| 窝窝影院91人妻| 999精品在线视频| 一个人看视频在线观看www免费 | 久久亚洲精品不卡| 国产成人精品无人区| 国产精品永久免费网站| 天天一区二区日本电影三级| 日本与韩国留学比较| 国产精品久久视频播放| 久久午夜综合久久蜜桃| 亚洲国产高清在线一区二区三| 岛国视频午夜一区免费看| 成年人黄色毛片网站| 夜夜躁狠狠躁天天躁| 日本与韩国留学比较| 欧美黑人欧美精品刺激| 一本久久中文字幕| 韩国av一区二区三区四区| 久久欧美精品欧美久久欧美| 色综合站精品国产| 蜜桃久久精品国产亚洲av| 精品国产亚洲在线| 视频区欧美日本亚洲| 久久午夜综合久久蜜桃| 女人高潮潮喷娇喘18禁视频| 狠狠狠狠99中文字幕| 日韩大尺度精品在线看网址| 午夜免费成人在线视频| 午夜福利免费观看在线| 啦啦啦观看免费观看视频高清| 日韩精品青青久久久久久| 久久中文字幕人妻熟女| 天堂影院成人在线观看| 每晚都被弄得嗷嗷叫到高潮| 亚洲aⅴ乱码一区二区在线播放| 99久久99久久久精品蜜桃| 12—13女人毛片做爰片一| 国产精品自产拍在线观看55亚洲| 18禁黄网站禁片午夜丰满| 成人永久免费在线观看视频| 欧美在线黄色| 亚洲国产色片| 午夜两性在线视频| 国产伦人伦偷精品视频| 精品久久久久久久久久免费视频| 神马国产精品三级电影在线观看| 床上黄色一级片| 午夜成年电影在线免费观看| 欧美乱色亚洲激情| 国产精品香港三级国产av潘金莲| 母亲3免费完整高清在线观看| aaaaa片日本免费| 又紧又爽又黄一区二区| 少妇裸体淫交视频免费看高清| 国产 一区 欧美 日韩| 国产精品综合久久久久久久免费| 九九热线精品视视频播放| 欧美大码av| 身体一侧抽搐| 国产成人精品无人区| 国内久久婷婷六月综合欲色啪| 又粗又爽又猛毛片免费看| 免费看美女性在线毛片视频| 久久人妻av系列|