助力探究 揭示本質(zhì)
——“用二分法求方程的近似解”教學(xué)實(shí)錄與反思

張國良 (江蘇省武進(jìn)高級(jí)中學(xué) 213149)

1 基本情況

1.1 授課對象

高一學(xué)生已初步理解了函數(shù)圖象與方程解之間的關(guān)系，具備用數(shù)形結(jié)合解決數(shù)學(xué)問題的能力，這為理解函數(shù)零點(diǎn)附近的函數(shù)值符號(hào)提供了知識(shí)儲(chǔ)備．雖然學(xué)生熟悉一元二次方程解與函數(shù)零點(diǎn)的關(guān)系，但對于一元高次方程、超越方程與對應(yīng)函數(shù)零點(diǎn)之間的聯(lián)系還比較模糊．另外，學(xué)生對計(jì)算器的使用不夠熟練，這些都給學(xué)生學(xué)習(xí)本節(jié)內(nèi)容造成一定困難．

1.2 教材分析

本節(jié)課是《普通高中教科書·數(shù)學(xué)》(蘇教版)必修第一冊第8章“8.1二分法求方程近似解”第2課時(shí)，要求學(xué)生能夠借助計(jì)算器或計(jì)算機(jī)用二分法求方程的近似解，從中體會(huì)函數(shù)與方程之間的聯(lián)系．用二分法求方程的近似解既是本冊書中的內(nèi)容，又是對函數(shù)知識(shí)的拓展，既體現(xiàn)了函數(shù)在解方程中的重要應(yīng)用，同時(shí)又滲透函數(shù)與方程、數(shù)形結(jié)合、轉(zhuǎn)化與化歸的數(shù)學(xué)思想，培養(yǎng)學(xué)生的圖形能力、判斷能力以及利用現(xiàn)代信息技術(shù)解決問題的能力．

教學(xué)目標(biāo) (1)能夠借助計(jì)算器用二分法求方程的近似解，了解二分法是求方程近似解的常用方法；(2)掌握用二分法求方程近似解的操作流程，感受信息技術(shù)的優(yōu)越性；(3)通過探究活動(dòng)，體會(huì)數(shù)學(xué)的“逼近”思想，感受精確與近似的相對統(tǒng)一．

教學(xué)重點(diǎn) 利用二分法求方程的近似解．

教學(xué)難點(diǎn) 二分法求方程近似解的操作流程．

2 教學(xué)過程

2.1 情境體驗(yàn)，感受思想

師：同學(xué)們，讓我們先做一個(gè)猜數(shù)游戲．

計(jì)算機(jī)隨機(jī)給定10～90之間的二位整數(shù)，讓學(xué)生猜這個(gè)數(shù)，對于每次猜測的結(jié)果，計(jì)算機(jī)的提示是“對了”或“大了”或“小了”(圖1)．

圖1

2.2 師生討論，理解感悟

師：只要給出一個(gè)不超出該范圍的整數(shù)，采用正確的方法，都可以在7次以內(nèi)猜中，你們是否可以做到？

師：為什么采用正確的方法，7次以內(nèi)一定能猜中？

學(xué)生討論并回答．

師：上述猜數(shù)游戲中，每次猜數(shù)都將所給區(qū)間一分為二，進(jìn)行比較后得到新的區(qū)間，再一分為二，進(jìn)而使得所猜數(shù)逐步逼近計(jì)算機(jī)給出的數(shù)，這種思想就是二分法．

師：在游戲活動(dòng)中我們也能學(xué)到很多知識(shí)，下面請同學(xué)們再舉例說明二分法的一些應(yīng)用．

生：輸電線路的故障檢測等．

師：我們今天就來一起研究用二分法求方程的近似解．

揭題 用二分法求方程的近似解．

師：前面我們已經(jīng)學(xué)習(xí)了一元二次方程實(shí)數(shù)解的有關(guān)問題，如方程x2+3x-1=0有兩個(gè)不相等的實(shí)數(shù)解，那么你能知道方程x3+3x-1=0的實(shí)數(shù)解的情況嗎？近似解呢？

2.3 活動(dòng)探究，課堂建構(gòu)

師：請同學(xué)們對這個(gè)三次方程的實(shí)數(shù)解提出一些問題．

生1：該方程有無實(shí)數(shù)解？

生2：該方程若有實(shí)數(shù)解，有幾個(gè)？

生3：這個(gè)實(shí)數(shù)解大概是多少？

生4：函數(shù)y=x3+3x-1的圖象是怎么樣的？

生5：如何獲得方程x3+3x-1=0的近似解？

……

引導(dǎo)學(xué)生思考：還可以通過函數(shù)的單調(diào)性知道該方程只有一個(gè)實(shí)數(shù)解．

師：這個(gè)實(shí)數(shù)解在區(qū)間(0,1)內(nèi)，能否更精確些？

記f(x)=x3+3x-1，設(shè)方程x3+3x-1=0的實(shí)數(shù)解為x0，則x0∈(0,1)．

第一次：f(0)<0,f(0.5)>0

第二次：f(0.25)<0,f(0.5)>0

第三次：f(0.25)<0,f(0.375)>0

第四次：f(0.312 5)<0,f(0.375)>0

第五次：f(0.312 5)<0,f(0.343 75)>0

第六次：f(0.312 5)<0,f(0.328 125)>0

第七次：f(0.320 312 5)<0,f(0.328 125)>0

第八次：f(0.320 312 5)<0,f(0.324 218 75)>0

讓學(xué)生展示自己的解決策略，師生共同完成前三次的計(jì)算，組織同桌的兩位學(xué)生合作，一人計(jì)算，一人記錄，完成后面的計(jì)算過程，并展示學(xué) 生的成果．在此過程中教師借助幾何畫板顯示這個(gè)實(shí)數(shù)解的范圍逐步縮小，直觀形象地體現(xiàn)出二分法的思想(圖2)．通過這種活動(dòng)來創(chuàng)造探究 機(jī)會(huì)，促進(jìn)學(xué)生主動(dòng)探究，并注重學(xué)生參與、探究的實(shí)效，在提出問題、建構(gòu)數(shù)學(xué)、解決問題方面進(jìn)行有意識(shí)的引導(dǎo)，培養(yǎng)學(xué)生的合作精神與協(xié)作能力．

圖2

師：若精確到0.1呢？算幾次就可以了？

師：若精確到0.01呢？

由學(xué)生討論并總結(jié)得出：欲近似到0.1，由兩個(gè)端點(diǎn)近似值都為0.3，則x0=0.3；欲近似到0.01，由兩個(gè)端點(diǎn)近似值都為0.32，則x0=0.32．

通過上述解題過程，結(jié)合幾何畫板，形象地給出一段區(qū)間，不斷地取一半，并表明每一段的兩個(gè)端點(diǎn)的符號(hào)．

師生討論：(1)精確度如何達(dá)到？二分的次數(shù)如何確定？有無規(guī)律？(2)使用二分法有無前提條件？(3)二分法的一般思路和操作流程是什么？

2.4 鞏固反饋，總結(jié)提煉

利用計(jì)算器，求方程lgx=3-x的一個(gè)近似解．(精確到0.1)

小組合作，一人計(jì)算，一人記錄，完成后通過投影展示學(xué)生的研究成果．

通過學(xué)生思考并用自己的語言把二分法的解題過程表達(dá)出來，并展示學(xué)生的成果，讓學(xué)生共同評價(jià)和完善補(bǔ)充．

生：二分法求方程的近似解就是每次都取區(qū)間的中點(diǎn)，將區(qū)間一分為二，再經(jīng)比較，按需要留下其中一個(gè)小區(qū)間的方法，其實(shí)質(zhì)是不斷把函數(shù)零點(diǎn)所在的區(qū)間逐步縮小，使區(qū)間兩個(gè)端點(diǎn)逐步逼近零點(diǎn)，進(jìn)而得到函數(shù)零點(diǎn)近似值．

師：大家一起來完善用二分法求方程的近似解的操作流程．

用二分法求方程的近似解的操作流程如圖3所示．

圖3

2.5 體驗(yàn)交流，練習(xí)拓展

請學(xué)生談?wù)劺枚址ㄇ蠓匠探平獾囊恍w驗(yàn)，并進(jìn)行交流．例如：

(1)近似計(jì)算高中階段較少遇到，用二分法求方程的近似解是數(shù)學(xué)嚴(yán)謹(jǐn)而科學(xué)的體現(xiàn)．

(2)無限逼近的思想是高中數(shù)學(xué)重要的思想方法，如我國古代數(shù)學(xué)家劉徽用割圓術(shù)計(jì)算圓周率π也正是用無限逼近的思想．

(3)操作流程是一種算法思想．算法是數(shù)學(xué)及其應(yīng)用的重要組成部分，是計(jì)算科學(xué)的重要基礎(chǔ)，通過本堂課讓學(xué)生感受到程序化思想，體會(huì)算法思想在解決問題和培養(yǎng)理性思維中的意義和作用．算法思想已經(jīng)成為現(xiàn)代人應(yīng)具備的一種不可或缺的重要數(shù)學(xué)素養(yǎng)．

師：利用計(jì)算器，求方程10x=3-x的一個(gè)近似解．(精確到0.1)

師：結(jié)合上述方程lgx=3-x，你能得到什么結(jié)論？

借助幾何畫板作圖，幫助學(xué)生獲得y=10x與y=lgx的關(guān)于直線y=x的對稱關(guān)系，從而獲得這兩個(gè)方程的實(shí)數(shù)解的和為定值3．

·鞏固練習(xí)

下列函數(shù)圖象中，不能用二分法求函數(shù)零點(diǎn)的是( )．

利用以上圖象，指出對于連續(xù)函數(shù)f(x)滿足f(a)f(b)<0，則函數(shù)在(a,b)上至少有一個(gè)零點(diǎn)；但f(a)f(b)>0，卻不能得出函數(shù)在(a,b)上一定沒有零點(diǎn)．

·課后拓展

師：同學(xué)們有無其他方法求方程的近似解．

提示：如秦九韶法、迭代法等．

3 回顧反思

3.1 教學(xué)效果

利用信息技術(shù)與課程整合，動(dòng)態(tài)圖象的演示，激發(fā)學(xué)生學(xué)習(xí)興趣、激活學(xué)生思維，掌握二分法的本質(zhì)，較好地完成了教學(xué)目標(biāo)．

3.2 教學(xué)反思

本節(jié)課通過猜數(shù)游戲創(chuàng)設(shè)情境，不僅激發(fā)了學(xué)生的學(xué)習(xí)興趣，學(xué)生也在猜數(shù)過程中初步感受二分法的思想．利用幾何畫板求方程近似解的動(dòng)態(tài)效果，優(yōu)勢有三：

(1)動(dòng)態(tài)逼近

幾何畫板能動(dòng)態(tài)展示零點(diǎn)所在的區(qū)間，直觀地體現(xiàn)“逼近”的過程，動(dòng)態(tài)變化過程清晰明了，這樣有利于突破傳統(tǒng)教學(xué)的難點(diǎn)，幫助學(xué)生揭示數(shù)學(xué)本質(zhì)，提高了探究活動(dòng)的有效性，充分體現(xiàn)了信息技術(shù)與數(shù)學(xué)課程的有機(jī)整合．

(2)形象直觀

在教師的引導(dǎo)下，學(xué)生也可以觀察圖形、猜測并驗(yàn)證，在觀察、探索、發(fā)現(xiàn)的過程中增強(qiáng)對函數(shù)零點(diǎn)的感性認(rèn)識(shí)，形成豐厚的經(jīng)驗(yàn)背景，從而更有助于理解．

(3)操作簡單

借助幾何畫板可實(shí)時(shí)作出函數(shù)圖象，一切操作都只靠工具欄和菜單實(shí)現(xiàn)，隱藏、顯示可以反復(fù)操作．

本節(jié)課由學(xué)生自主提出一些問題，主動(dòng)探究，總結(jié)體驗(yàn)探究過程，從而獲得方法，體驗(yàn)到成功的樂趣．學(xué)生只有通過自主探究、創(chuàng)造性運(yùn)用知識(shí)、合作交流才能完成相關(guān)課題，這將促進(jìn)學(xué)生學(xué)習(xí)方式發(fā)生轉(zhuǎn)變，由被動(dòng)接受、死記硬背、機(jī)械訓(xùn)練變?yōu)樽灾魈骄?、注重過程、合作交流，有利于提升學(xué)生的數(shù)學(xué)核心素養(yǎng)．