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    基于數(shù)學(xué)歷史名題的解題教學(xué)
    ——以“不可及物的測(cè)量問題”為例

    2022-11-24 17:35:06張維忠浙江師范大學(xué)教師教育學(xué)院321004
    中學(xué)數(shù)學(xué)雜志 2022年10期
    關(guān)鍵詞:名題海島變式

    侯 甜 張維忠 (浙江師范大學(xué)教師教育學(xué)院 321004)

    解題教學(xué)是數(shù)學(xué)教學(xué)的重要部分,學(xué)生在學(xué)會(huì)解題的過程中發(fā)展了思維能力,提高了數(shù)學(xué)核心素養(yǎng)[1].目前的解題教學(xué)存在一些問題:學(xué)生的學(xué)習(xí)興趣被大量解題沖淡;注重解題技巧,忽視思維發(fā)展;題目遠(yuǎn)離教材,出現(xiàn)難題怪題;課堂缺乏文化氣息……數(shù)學(xué)歷史名題作為數(shù)學(xué)史的重要內(nèi)容,對(duì)數(shù)學(xué)發(fā)展、數(shù)學(xué)教學(xué)和數(shù)學(xué)應(yīng)用有著推動(dòng)作用,題中真實(shí)的問題情境、實(shí)質(zhì)性的數(shù)學(xué)思想方法、豐富的人文背景等對(duì)于教學(xué)都有重要意義.[2]鑒于此,本文以“不可及物的測(cè)量問題”為例,選取《海島算經(jīng)》中的數(shù)學(xué)歷史名題進(jìn)行教學(xué)設(shè)計(jì),探索數(shù)學(xué)歷史名題如何助推解題教學(xué).

    1 數(shù)學(xué)解題教學(xué)存在的問題

    美國(guó)數(shù)學(xué)家哈爾莫斯說:“數(shù)學(xué)的真正組成部分應(yīng)該是問題和解,解題才是數(shù)學(xué)的心臟.”解題教學(xué)是培養(yǎng)學(xué)生發(fā)現(xiàn)和提出問題、分析和解決問題能力,拓展學(xué)生數(shù)學(xué)思維,發(fā)展數(shù)學(xué)核心素養(yǎng)的重要手段.但目前的解題教學(xué)還存在一些問題.為了更好地改進(jìn)教學(xué),教師應(yīng)當(dāng)正確認(rèn)識(shí)問題,并提出解決策略.

    第一,學(xué)生的學(xué)習(xí)興趣被大量解題沖淡.大多數(shù)解題教學(xué)都是通過枯燥的題目訓(xùn)練來達(dá)到讓學(xué)生學(xué)會(huì)解題的教學(xué)目的,這種缺乏創(chuàng)新的教學(xué)方法不能滿足學(xué)生的心理需求,大量的題目將數(shù)學(xué)學(xué)科的枯燥性放大,學(xué)生的學(xué)習(xí)興趣、探索熱情被不斷沖淡[3].

    第二,注重解題技巧,忽視思維發(fā)展.解題教學(xué)中通常都充斥著各種類型的題目,教師注重題型分類和變式練習(xí),在對(duì)例題進(jìn)行分類講解后,歸納每種題型的解題方法,要求學(xué)生利用技巧求解問題,并做大量練習(xí).這種教學(xué)方法雖然可以讓學(xué)生快速掌握一些問題的求解方法,收獲短期效益,但長(zhǎng)遠(yuǎn)來看并不利于學(xué)生的思維發(fā)展,學(xué)生在學(xué)習(xí)過程中沒有進(jìn)行主動(dòng)的思考探索,將解題視為根據(jù)題型套技巧的活動(dòng)[4].

    第三,題目遠(yuǎn)離教材,出現(xiàn)難題怪題.重視題型歸類和技巧訓(xùn)練的解題教學(xué),往往從各式各類的題目出發(fā)展開教學(xué),欠缺對(duì)學(xué)生知識(shí)建構(gòu)的考慮,出現(xiàn)遠(yuǎn)離教材的現(xiàn)象,一些難題、怪題還會(huì)作為創(chuàng)新點(diǎn)出現(xiàn).

    第四,課堂缺乏文化氣息.盡管當(dāng)前課程改革多次強(qiáng)調(diào)數(shù)學(xué)課堂文化,但解題教學(xué)中的文化氣息仍較為缺乏.教學(xué)在大量刷題中追求標(biāo)準(zhǔn)答案,重視從問題背景中提煉關(guān)鍵信息,忽視問題的文化韻味,多為達(dá)到功利性、應(yīng)試性目的[5].

    2 數(shù)學(xué)歷史名題助推解題教學(xué)

    在數(shù)學(xué)歷史發(fā)展的長(zhǎng)河中,產(chǎn)生了很多對(duì)數(shù)學(xué)史有較大影響,對(duì)數(shù)學(xué)發(fā)展、數(shù)學(xué)應(yīng)用和數(shù)學(xué)教學(xué)有重要推動(dòng)作用的數(shù)學(xué)歷史名題.歷史名題通常從現(xiàn)實(shí)問題中提出,問題背景真實(shí)自然,能很好地體現(xiàn)所涉及數(shù)學(xué)內(nèi)容的實(shí)踐價(jià)值,同時(shí)對(duì)于學(xué)生來說,真實(shí)的情境不僅利于激發(fā)學(xué)習(xí)興趣還利于知識(shí)理解.問題中蘊(yùn)含的數(shù)學(xué)思想方法,對(duì)于學(xué)生的思維發(fā)展有重要促進(jìn)作用,學(xué)生收獲的不僅是解某一類數(shù)學(xué)問題的方法,更是數(shù)學(xué)地看待問題的思維.教師還可通過數(shù)學(xué)歷史名題中豐富的人文背景對(duì)學(xué)生進(jìn)行文化熏陶、情感教育,落實(shí)“立德樹人”的教育目標(biāo).如此,數(shù)學(xué)歷史名題可以從激發(fā)興趣、拓展思維、強(qiáng)化應(yīng)用、文化育人四方面助推解題教學(xué),解決現(xiàn)存問題,改善現(xiàn)有教學(xué).

    融入歷史名題,激發(fā)學(xué)習(xí)興趣.巧妙運(yùn)用數(shù)學(xué)歷史名題真實(shí)自然的問題背景,為原本枯燥的解題過程增添活力.一方面,可以將歷史名題作為教學(xué)引入,用耐人尋味的問題開啟課堂,將學(xué)生的注意力吸引到如何利用所學(xué)解決問題上.另一方面,由于學(xué)生的興趣容易被大量枯燥的題目沖淡,因此在對(duì)例題進(jìn)行分類講解時(shí),可以將歷史名題作為例題或者將歷史名題中的情境改編到例題中,激發(fā)學(xué)生學(xué)習(xí)興趣.

    探究名題解法,拓展數(shù)學(xué)思維.在講解名題時(shí)注重多種解法的探究,打破固有思維.?dāng)?shù)學(xué)發(fā)展的不同階段對(duì)于名題的求解方法不同,這些方法往往可以體現(xiàn)當(dāng)時(shí)數(shù)學(xué)發(fā)展的特點(diǎn),蘊(yùn)含著重要的數(shù)學(xué)思想方法,因此教師可以從已有的解題角度出發(fā),引導(dǎo)學(xué)生探究.在引導(dǎo)探究的過程中,更重要的是讓學(xué)生感受解決數(shù)學(xué)問題的多種視角,培養(yǎng)發(fā)散思維[6].

    聯(lián)系教材實(shí)際,強(qiáng)化知識(shí)應(yīng)用.新一輪課程改革中強(qiáng)調(diào)數(shù)學(xué)文化融入教學(xué),多版初中教科書都分布有數(shù)學(xué)歷史名題,中考試題中數(shù)學(xué)歷史名題的出現(xiàn)頻次也呈上升趨勢(shì).解題教學(xué)應(yīng)與教材實(shí)際和學(xué)生已有的知識(shí)體系緊密相連[7].為此,教師既可以充分挖掘教材中已有的或隱含的數(shù)學(xué)歷史名題來開啟教學(xué),也可以選取中高考中包含歷史名題的試題進(jìn)行應(yīng)用鏈接,改善解題教學(xué)中題目遠(yuǎn)離教材、偏難偏怪的現(xiàn)象.

    滲透文化背景,進(jìn)行情感熏陶.?dāng)?shù)學(xué)歷史名題作為數(shù)學(xué)發(fā)展長(zhǎng)河中留存下來的經(jīng)典問題,是數(shù)學(xué)世界的璀璨明珠,其深厚的人文背景是對(duì)學(xué)生進(jìn)行情感教育的良好素材.教師在應(yīng)用歷史名題前,應(yīng)充分了解其時(shí)代背景、相關(guān)數(shù)學(xué)家、發(fā)展歷史等,讓學(xué)生在認(rèn)識(shí)名題的過程中獲得良好的情感體驗(yàn),如感受我國(guó)古代數(shù)學(xué)的博大精深,增長(zhǎng)民族自信,體會(huì)數(shù)學(xué)家嚴(yán)謹(jǐn)?shù)闹螌W(xué)態(tài)度和鍥而不舍的探索精神,改變錯(cuò)誤的學(xué)習(xí)觀念等.

    3 相關(guān)教學(xué)設(shè)計(jì)

    解雙直角三角形是初中數(shù)學(xué)的重點(diǎn)內(nèi)容,《義務(wù)教育數(shù)學(xué)課程標(biāo)準(zhǔn)(2022年版)》中強(qiáng)調(diào):“知道直角三角形的邊角關(guān)系,理解銳角三角函數(shù),能用銳角三角函數(shù)解決簡(jiǎn)單的實(shí)際問題.”[8]不可及物的測(cè)量問題是解雙直角三角形的經(jīng)典題型,在中考中多次出現(xiàn).《海島算經(jīng)》是我國(guó)數(shù)學(xué)家劉徽所著的中國(guó)最早運(yùn)用幾何理論解決各種測(cè)量難題的數(shù)學(xué)專著,主要解釋“重差術(shù)”問題,即不可及物高度和距離的測(cè)量問題,書中的數(shù)學(xué)問題包含多種真實(shí)情境,蘊(yùn)含著重要的數(shù)學(xué)思想方法,是“不可及物測(cè)量問題”教學(xué)的優(yōu)秀素材.

    3.1 名題引入,激起興趣

    魏晉時(shí)期偉大的數(shù)學(xué)家劉徽在其著作《海島算經(jīng)》中留下了九道經(jīng)典的測(cè)量名題,其中第1題為“望海島”問題——在地面立前后兩根表來測(cè)量遠(yuǎn)方的一處海島,兩表高均為3丈(5步),相距1 000步,先從前表出發(fā)后退123步觀察海島頂端,再?gòu)暮蟊砗笸?27步觀察海島頂端.問:海島高為多少?海島與前表之間的距離為多少?(注:古代1丈=10尺,1步=6尺)

    設(shè)計(jì)意圖此題源于現(xiàn)實(shí)生活,是有關(guān)不可及物測(cè)量問題的數(shù)學(xué)歷史名題,出自我國(guó)古代數(shù)學(xué)家劉徽的著作《海島算經(jīng)》,選取此種與教學(xué)內(nèi)容緊密相連的歷史名題引出教學(xué),激發(fā)學(xué)生的學(xué)習(xí)興趣.

    3.2 一題多探,發(fā)展思維

    探究1 預(yù)設(shè)學(xué)生最先想到的解題思路是利用相似三角形的判定及性質(zhì)進(jìn)行證明,引導(dǎo)學(xué)生應(yīng)用平面幾何的知識(shí)證明島高和島去表的測(cè)量公式.

    探究2 “望海島”問題本質(zhì)上是解雙直角三角形.在進(jìn)行本課之前,學(xué)生已經(jīng)學(xué)習(xí)了利用銳角三角函數(shù)解直角三角形,故此引導(dǎo)學(xué)生利用銳角三角函數(shù)的知識(shí)證明島高和島去表的測(cè)量公式.

    探究3 《海島算經(jīng)》是劉徽在魏晉時(shí)期所著,根據(jù)當(dāng)時(shí)的數(shù)學(xué)水平,三角學(xué)還未出現(xiàn),現(xiàn)代數(shù)學(xué)家吳文俊認(rèn)為可以采用“出入相補(bǔ)”原理進(jìn)行證明,趙爽在《周髀算經(jīng)》中遺留的“日高圖”中也蘊(yùn)含此思想.引導(dǎo)學(xué)生思考如何利用面積思想和“出入相補(bǔ)”原理證明“望海島”問題.

    設(shè)計(jì)意圖引導(dǎo)學(xué)生探究名題的多種解法,從教解題到教思維,在解題教學(xué)中進(jìn)行思維教學(xué),幫助學(xué)生在問題思考過程中認(rèn)識(shí)問題和解法的本質(zhì),提升思維能力,發(fā)展核心素養(yǎng)[3].探究1中的“比例法”涉及初中平面幾何知識(shí),利用相似三角形對(duì)應(yīng)邊成比例的性質(zhì)定理進(jìn)行求解,是初中生最容易理解和掌握的方法.探究2的“三角法”體現(xiàn)了銳角三角函數(shù)在解直角三角形中的重要作用,“望海島”問題本質(zhì)上是不可及物高度和距離的測(cè)量問題,此類問題正是解直角三角形的經(jīng)典題型,三角法是最為普遍的解題方法.探究3中的“面積法”所用到的“出入相補(bǔ)”原理是我國(guó)古代數(shù)學(xué)的智慧結(jié)晶,此原理可以應(yīng)用于勾股定理、多邊形面積公式、等差數(shù)列求和等多個(gè)教學(xué)之中,引導(dǎo)學(xué)生利用此原理思考“望海島”問題,既是對(duì)學(xué)生數(shù)學(xué)思維的培養(yǎng),也能通過體會(huì)古代數(shù)學(xué)的博大精深激發(fā)愛國(guó)熱情.三次解題探究,讓學(xué)生掌握了多種求解不可及物測(cè)量問題的方法,體會(huì)從幾何、函數(shù)、代數(shù)等方面進(jìn)行問題探究的發(fā)散思維.

    3.3 變式檢測(cè),合作探究

    變式1 改編自《海島算經(jīng)》中的“登山望津”問題:如圖1,今有登山望津(AB),津在山南.偃矩山上,令勾(CD)高一丈二尺,從勾端(C)斜望津南岸(A),入下股(DE)二丈三尺一寸;又望津北岸(B),入前望股里一丈八寸(EF),津南岸去山腳(G)五丈二尺(AG).問津廣(AB)幾何?

    圖1 圖2

    變式2 摘自《海島算經(jīng)》中的“望波口”問題:如圖2,今有東南望波口(AB),立兩表(C,D)南北相去九丈(CD),以索薄地連之.當(dāng)北表之西卻行去表六丈(CE),薄地(E)遙望波口南岸(B),入索北端(H)四丈二寸(CH);以望北岸(A),入前所望表里(G)一丈二尺(GH).又卻后行去表十三丈五尺(CF),薄地(F)遙望波口南岸(B),與南表參合.問波口(AB)廣幾何?

    教學(xué)活動(dòng):以小組為單位進(jìn)行討論,探究“望海島”問題的三種解題方法能否求解上述兩個(gè)變式,討論“登山望津”問題、“望波口”問題與“望海島”問題有哪些不同.

    設(shè)計(jì)意圖《海島算經(jīng)》中包括不可及物測(cè)量問題的多種情境,選取其中兩道符合初中生認(rèn)知發(fā)展水平的名題作為變式探究,并以小組為單位用3.2節(jié)中的三種解題方法求解變式問題.教學(xué)引入的“望海島”問題是在與不可及物底端同一平面上的兩個(gè)點(diǎn),對(duì)物體的頂端進(jìn)行兩次觀測(cè);變式1中改編的“登山望津”問題是在與觀測(cè)物不處于同一平面的一個(gè)點(diǎn),對(duì)不可及物的兩個(gè)端點(diǎn)分別進(jìn)行觀測(cè);變式2中的“望波口”問題是在兩個(gè)點(diǎn)對(duì)不可及物進(jìn)行多次觀測(cè).通過變式問題進(jìn)一步鞏固解法,在探究解法是否適用的過程中進(jìn)一步體會(huì)數(shù)形結(jié)合、等量代換等數(shù)學(xué)思想,同時(shí)將改編后的歷史名題作為變式,真實(shí)生動(dòng)的情境能為解題增添活力,調(diào)動(dòng)學(xué)生探究的積極性.

    3.4 實(shí)戰(zhàn)演練,深化理解

    題1(浙教版)廣場(chǎng)上空有一個(gè)氣球A,地面上點(diǎn)B,C,D在一條直線上,BC=20 m.在點(diǎn)B,C分別測(cè)得氣球A的仰角∠ABD為45°,∠ACD為56°.求氣球A離地面的高度AD(精確到0.1 m).

    題2(2018·寧波中考)如圖3,某高速公路建設(shè)中需要測(cè)量某條江的寬度AB,飛機(jī)上的測(cè)量人員在C處測(cè)得A,B兩點(diǎn)的俯角分別為45°和30°.若飛機(jī)離地高度CH為1 200 m,且點(diǎn)H,A,B在同一水平直線上,則這條江的寬度AB為多少m?(結(jié)果保留根號(hào))

    圖3 圖4

    設(shè)計(jì)意圖不可及物測(cè)量問題在課后習(xí)題中常有出現(xiàn),在中考中出現(xiàn)的頻率也很高,2020年河南省、2019年天津市、2018年衢州市、2014年紹興市等地的中考卷中都有類似考題.選用教材中的課后習(xí)題和中考真題作為應(yīng)用鏈接,加強(qiáng)解題與教材之間的聯(lián)系,一方面能幫助學(xué)生鞏固所學(xué),在解題時(shí)回顧教材,梳理知識(shí),進(jìn)一步完善知識(shí)網(wǎng)絡(luò),同時(shí)在練習(xí)中考真題時(shí)能更好地把握考點(diǎn),大多數(shù)中考真題的條件簡(jiǎn)單,難度較低,利用銳角三角函數(shù)求解最為快捷有效;另一方面,學(xué)生在解題過程中可以體會(huì)知識(shí)的實(shí)際應(yīng)用,感受豐富的文化韻味,保持學(xué)習(xí)的積極性.

    4 進(jìn)一步的思考

    將《海島算經(jīng)》中的歷史名題融入“不可及物測(cè)量問題”的解題教學(xué),真實(shí)有趣的情境為課堂增添了活力,學(xué)生在探究名題解法的過程中掌握了求解此類問題的通法,體會(huì)到數(shù)形結(jié)合、等量代換等數(shù)學(xué)思想的博大精深,最后練習(xí)相關(guān)課后習(xí)題和中考真題進(jìn)行知識(shí)鞏固,同時(shí)教學(xué)還利用歷史名題的時(shí)代背景、相關(guān)人物、發(fā)展歷史等對(duì)學(xué)生進(jìn)行文化教育.

    4.1 歷史名題合理融入教學(xué)

    融入教學(xué)的歷史名題應(yīng)與教學(xué)存在緊密聯(lián)系,并符合學(xué)生的認(rèn)知水平.“望海島”問題是“不可及物測(cè)量問題”的經(jīng)典題型,教學(xué)中探究的“比例法”“三角法”“面積法”都能被學(xué)生理解掌握.通常來說,數(shù)學(xué)歷史名題的語(yǔ)言表達(dá)較為晦澀難懂,會(huì)給學(xué)生帶來一定的認(rèn)知負(fù)擔(dān),教師在教學(xué)過程中可以對(duì)題目進(jìn)行合理改編或增加注釋、圖示,同時(shí)注重引導(dǎo)學(xué)生從問題中抽象出數(shù)學(xué)模型.如本教學(xué)案例中的變式2是對(duì)《海島算經(jīng)》中“登山望津”問題進(jìn)行的簡(jiǎn)化改編,并配以圖示呈現(xiàn)給學(xué)生,減少學(xué)生的認(rèn)知負(fù)擔(dān).?dāng)?shù)學(xué)歷史名題在經(jīng)過科學(xué)合理的組織之后,能更好地融入并促進(jìn)教學(xué).

    4.2 多種解法拓展數(shù)學(xué)思維

    解題教學(xué)不能只關(guān)注教解題,還應(yīng)著眼于學(xué)生的思維發(fā)展,讓學(xué)生學(xué)解題.為使學(xué)生在面對(duì)問題時(shí)積極運(yùn)用已有知識(shí)經(jīng)驗(yàn)多角度思考,教師可以通過引導(dǎo)學(xué)生一題多解來進(jìn)行思維培養(yǎng).如在本教學(xué)案例中,共引導(dǎo)學(xué)生進(jìn)行了三次解法探究:第一種應(yīng)用平面幾何知識(shí)的“比例法”是史料中的解法,該方法最易于理解;第二種運(yùn)用銳角三角函數(shù)的“三角法”是初中階段解直角三角形的常用辦法,適用范圍最廣;第三種基于“出入相補(bǔ)”原理的“面積法”是我國(guó)古代數(shù)學(xué)中轉(zhuǎn)化思想的重要體現(xiàn),雖然此方法在不可及物測(cè)量問題中適用范圍較窄,但可以讓學(xué)生體會(huì)我國(guó)古代數(shù)學(xué)智慧,增長(zhǎng)民族自信,獲得良好的情感體驗(yàn).

    4.3 回歸教材強(qiáng)化知識(shí)應(yīng)用

    解題教學(xué)最終要落實(shí)到學(xué)生的實(shí)際應(yīng)用中,所教內(nèi)容回歸教材、鏈接考試,有助于學(xué)生進(jìn)一步作解題反思,鞏固所學(xué).本案例中將浙教版教材中的課后習(xí)題和各地中考真題作為練習(xí)題目,一方面檢測(cè)教學(xué)效果,補(bǔ)充教學(xué)不足;另一方面引導(dǎo)學(xué)生在練習(xí)的過程中梳理知識(shí)點(diǎn)、把握考點(diǎn),深化知識(shí)理解,強(qiáng)化知識(shí)應(yīng)用.

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