楊輝的簡捷算法思想

李京昌，郭世榮

（內蒙古師范大學 科學技術史研究院，內蒙古 呼和浩特 010022）

《乘除通變本末》共三卷，楊輝于1274 年完成，其中下卷與史仲榮合作。卷上的“習算綱目”，受到研究者的廣泛重視。目前對唐代以來簡捷算法的發(fā)展與演變已有一些研究，關于楊輝著作中的個別內容也有少量的論述，但是對于楊輝這部著作中的整體思想缺少研究和論述。本文將對簡捷算法的發(fā)展歷程進行梳理，同時結合楊輝著作中的各種簡捷算法，分析楊輝對于簡捷算法的認識，并對楊輝的簡捷算法思想進行深入分析與研究，探討其主要特點，最后以楊輝著作中的例題為主要研究對象，討論楊輝是如何應用其簡捷算法的思想來解決實際問題。

1 《楊輝算法》中的簡捷算法

楊輝是南宋數(shù)學家和數(shù)學教育家。他注意收集社會生產(chǎn)和生活中的數(shù)學問題，多年從事數(shù)學研究和數(shù)學工作，先后完成數(shù)學著作5 種21 卷，即《詳解九章算法》12 卷（1261），《日用算法》2 卷（1262），《乘除通變本末》3 卷（1274），《田畝比類乘除捷法》2 卷（1275）和《續(xù)古摘奇算法》2 卷（1275），后三種合稱為《楊輝算法》。其中《日用算法》已失傳。

《乘除通變本末》幾乎囊括了當時所有的簡捷算法，并且取得新的成果。楊輝在序言中說“學者惟知有加減、歸損之術，而不知伸引變通之用”［1］1047，正體現(xiàn)了楊輝的簡捷算法思想。《田畝比類乘除捷法》中有大量的題目采用了多種算法進行求解，在一定程度上體現(xiàn)了楊輝在解題時尋求簡捷算法的思想。因此，本文將對《楊輝算書》中的簡捷算法進行介紹和概括，同時探討楊輝的簡捷算法思想。

1.1 《算法通變本末》中的簡捷算法

《乘除通變本末》卷上為《算法通變本末》，內容可分為三部分：

第一部分“習算綱目”為學習實用算術者制訂出了一個詳備的大綱，是一份珍貴的古代數(shù)學教學計劃［2］，也是我國最早的數(shù)學教學大綱［3］。介紹了學習數(shù)學的三個階段：首先學習乘除的基本算法，其次學習乘除簡捷算法及各種引申出來的問題，最后系統(tǒng)地學習《九章算術》［4］?！读曀憔V目》中有完善的數(shù)學知識體系，明確的技能培訓要求，可行的學習進度日程，精辟的教材層次分析，有適用的教學參考書目，中肯的學習方法指導［5］。

習算綱目之后簡要論述了三個基本問題：“乘除加減用法”“因乘損三法即一”和“乘除加減定法”?！俺顺訙p用法”，即用加減化簡乘除的算法，楊輝的簡捷算法就是圍繞以加減代乘除這一中心展開的，這是研究楊輝簡捷算法的關鍵［6］。這一部分講述了運算過程中使用的具體方法?！耙虺藫p三法即一”，即因、乘、損是三種意義相同的運算。“乘除加減定法”，即乘除運算和加減代乘除運算中如何定位的問題。

第二部分“相乘六法”分別為：（1）單因，被乘數(shù)為多位數(shù)，乘數(shù)為一位數(shù)的乘法運算；（2）重因，當乘數(shù)可以按九九乘法表分解為兩個一位數(shù)乘積時，可用這些一位因數(shù)，連續(xù)進行“單因”運算；（3）身前因，當乘數(shù)個位為1 時，利用這些乘數(shù)個位數(shù)字為1 的特點，將十位上數(shù)字與被乘數(shù)相乘，將積向高位移一位，加上原被乘數(shù)，即可得積；（4）相乘，是被乘數(shù)與乘數(shù)都是多位數(shù)的乘法運算，運算方法是依次由高位數(shù)到低位數(shù)，用被乘數(shù)的各數(shù)位上的數(shù)字與乘數(shù)作單因運算；（5）重乘，如果乘數(shù)能分解成幾個不是1 的整數(shù)的積，其中至少有一個不是一位數(shù)，可用被乘數(shù)連乘這幾個因數(shù)得到積；（6）損乘，是一種用減法配合加法代替乘法的運算。

第三部分“商除二法”即“實多法少”和“實少法多”。就是除法運算中的兩種定位方法，一種是被除數(shù)大，除數(shù)小；另一種是被除數(shù)小，除數(shù)大。（1）實多法少：被除數(shù)大于除數(shù)時，從被除數(shù)的首位開始估商，然后由被除數(shù)中減去所估商與除數(shù)的積，要用九九乘法表的口訣，凡用到有“十”的口訣就在上位減，用到有“如”的口訣就在本位減數(shù)。（2）實少法多：如同“實多法少”的運算法則，把除數(shù)換成被除數(shù)，把被除數(shù)換成除數(shù)。

1.2 《乘除通變算寶》中的簡捷算法

卷中為《乘除通變算寶》，是全書最重要的一卷，有關乘除的各種方法大部分都集中在本卷。內容可分為“加術五法”“減術四法”“求一法”“九歸法”以及“算無定法”五部分。

第一部分為“加術五法”，是以加代乘的方法。（1）加一位：當乘數(shù)是11，12，13，…，18，19 時適用，這些乘數(shù)都是兩位數(shù)，十位都是1，個位的數(shù)是從1 到9。楊輝稱個位上的數(shù)為“零數(shù)”，“加一位”就是將被乘數(shù)乘以10，再加上被乘數(shù)乘以“零數(shù)”的積。（2）加二位：當乘數(shù)是111，112，113，…，198，199 時適用。（3）重加：如果題中乘數(shù)可以化為因數(shù)乘積的形式，再用“加一位”的方法求積。（4）加隔位：當乘數(shù)是101，102，…，109 時適用。（5）連身加：當乘數(shù)為21，22，…，29 時適用。

第二部分為“減術四法”，是以減代除的方法。（1）減一位：當除數(shù)為11，12，…，19 時適用。（2）減二位：當除數(shù)為111，112，…，198，199 時適用。（3）重減：當遇到除數(shù)數(shù)位較多時，可把除數(shù)寫成首位為1 的幾個因數(shù)連乘的形式，用多次“減一位”運算。（4）隔位減：當除數(shù)為101，102，…，109 時適用。

第三部分為“求一法”，即將乘數(shù)或除數(shù)首位不是1 轉化為1 的方法。楊輝在這一部分分別給出了“求一乘法”和“求一除法”的口訣。（1）求一乘法：五六七八九，倍之數(shù)不走；二三須當半，遇四兩折紐；倍折本從法，實即反其有；用加以代乘，斯數(shù)足可守。（2）求一除法：五六七八九，倍之數(shù)不走；二三須當半，遇四兩折紐；倍折本從法，為除積相就；用減以代除，定位求如舊。

第四部分為“九歸詳說”，“九歸法”即除數(shù)是1，2，…，8，9 的除法。楊輝在前人工作的基礎上，歸納總結出“九歸新括”，共有“歸數(shù)求成十”“歸除自上加”和“半而為五計”三類，還給出了運算的定位法則“定位退無差”。楊輝還舉出了除數(shù)分別為83、69 的兩個例題，他認為兩位以上的數(shù)作除數(shù)時也可以仿照“九歸”制定相應的口訣。［7］

第五部分為“算無定法”，這一部分的題目，沒有十分明顯的規(guī)律，可以用多種不同的算法來進行運算，體現(xiàn)了楊輝“算無定法，惟理是用”的思想，并且舉出實例，將“損乘”法則的“損一位”推廣到“損二位”“損三位”和“隔位損”。

1.3 楊輝對于簡捷算法的認識

楊輝在《算法通變本末》中的“習算綱目”中提道：“諸家算書用度不出乘、除、開方三法，起例不出如、十二字，下算不出橫、直二位。引而伸之，其機殆無窮盡矣，乘除者本鉤深致遠之法?！吨改纤惴ā芬约?、減、九歸、求一，旁求捷徑。學者豈容不曉，宜兼而用之?！保?］1048由此可知，楊輝對于簡捷算法的重要性有清晰的認識，對過去數(shù)學著作中的簡捷算法進行總結，并且提出自己的觀點。如《指南算法》這部數(shù)學著作現(xiàn)已失傳，但是通過楊輝在其著作中的記述，可以知道《指南算法》中提到了關于加減法、九歸和求一的簡捷算法。

楊輝在《習算綱目》中提到了關于分數(shù)的看法：“《張丘建算經(jīng)》序云：不患乘除為難，而患分母、子之為難。以輝言之，分子本不為難，不過位繁。剖析諸分，不致差錯而已矣?！保?］1049可以看出，《張丘建算經(jīng)》中認為分數(shù)運算是各種運算中的難點，而楊輝則認為分數(shù)運算并不難，只是運算過程中定位比較復雜。所以，楊輝在其著作中也強調了在運算過程中布算和定位的重要性。

楊輝的著作與過去的數(shù)學經(jīng)典著作如《九章算術》相比，例題有詳細的解釋，并且附有詳盡的解答過程與演算過程（圖1）。

圖1 相乘法示意圖Fig.1 Multiplication schematic diagram

如楊輝在介紹“相乘”時列舉的例題為：

“銀二十四兩七錢，每兩價錢七貫三百六十文，問錢若干？

答曰：一百八十一貫七百九十二文。

草曰：置銀數(shù)為實，兩價為法?！保?］1053

此即：24.7×7 360=247×736=181 792

在介紹“連身加”時的例題為：

“銅二十九砣，每砣二十三斤，問重幾何。

答曰：六百六十七斤。

草曰：置銅數(shù)為身。先加三，后入身。”

此即：29×23=29×（10+13）=290+377=667。

“又草曰：置二十三斤為身。先加九，后入身?！保?］1056

此即：29×23=23×（10+19）=230+437=667。

具體解題過程如圖2-3 所示。

圖2 連身加法示意圖（1）Fig.2 The schematic diagram of double addition

圖3 連身加法示意圖（2）Fig.3 The schematic diagram of double addition

綜上所述，楊輝充分認識到簡捷算法的重要性，只有充分掌握各種簡捷算法，才能更好的學習數(shù)學知識，即他所言“學者豈容不曉，宜兼而用之”。所以他盡可能的對前人的研究進行收集并總結，但并不迷信前人及經(jīng)典著作中的觀點，敢于提出自己的想法，值得學習。

楊輝在《乘除通變本末》中詳細論述了各種關于乘除的簡捷算法，他的目的并不是單純的介紹這些簡捷算法，而是如何應用這些簡捷算法來解決實際問題。所以他在書中用大量篇幅列舉了許多例題，每道例題都有詳細的解答過程，有的例題甚至有多種解題方法?？梢钥闯鰲钶x已經(jīng)形成了自己關于簡捷算法的思想。

2 楊輝簡捷算法思想的分析

簡捷算法盛行于唐代，到宋代逐漸豐富和發(fā)展，形成了數(shù)學的一個領域，是宋代數(shù)學的研究方向之一［6］149?！冻顺ㄗ儽灸啡碚菞钶x在簡捷算法方面的研究成果。楊輝把前人著作中的零散算法匯集，然后按乘、除分為兩大類逐一介紹。楊輝簡捷算法的重點在其著作的名字中就體現(xiàn)出來：“通變”和“加減代乘除”。

從全書整體看，楊輝在卷上《算法通變本末》的“習算綱目”中，闡述了學習乘除的方法和簡化算法的必要性，并具體提出簡化方法：以加代乘、以減代除、求一、九歸等。然后先給出“乘除加減用法”，指出基本的運算方法和定位方法，并說明乘、因、損三個概念的一致性，這是進行乘除運算的基本規(guī)則，接下來介紹了相乘的六種方法和作估商除法的兩種定位方法。卷中《乘除通變算寶》在之前內容的基礎上，開始探討簡化乘除法的方法：加法五術和減法四術，這是解決首位數(shù)是1 的乘數(shù)或除數(shù)的乘除法的，首位數(shù)如是其他數(shù)，則用“求一法”，給出將首位數(shù)化成1。同時，為方便除法計算，又給出各種除法口訣。在本卷的最后，楊輝強調“算無定法，惟理是用”的原則，還給出了適用于各種方法的“定位詳說”。卷下《法算取用本末》給出了“加因代乘三百題”和“歸減代除三百題”，是對前兩卷所介紹方法的具體分析。

楊輝提出的簡捷算法種類豐富，方法靈活，其背后的思想值得深入分析。

2.1 關于乘除的簡捷算法思想

楊輝關于乘除簡捷算法主要介紹了與乘法相關的相乘六法、加法五術和求一乘法，與除法相關的商除二法、減法四術、求一除法和九歸除。他還細分了前乘、后乘等不同的情形，在實際計算題目中還包括其它一些算法，如歸除、飛歸等。這些算法都是乘除法的一種，有些在前人的數(shù)學著作中出現(xiàn)過，但只是在個別算題中偶爾使用，既沒有解釋，也缺少系統(tǒng)說明。楊輝不僅收集和整理這些算法，并進行系統(tǒng)論述，具體解釋每一種算法的運算步驟與過程，并配有算題、算圖和算草，表述清晰明確。楊輝還詳細總結了倍、折以實現(xiàn)“求一”的技術處理方法，并編成口訣，指明遇到實際算題時，如何通過倍、折將計算轉化為可以用“加法”或“減法”進行運算。

同時，楊輝更關注算法的多樣性，所以他匯集并詳細講述計算乘除運算的各種可能方法，并且細分算法，盡量多的給出各種算法。比如“加法五術”原理相同，“減法五術”原理亦同，完全可以合并講解，但是他認為只有分別講解才能更清晰明確。所以說楊輝的基本思想就是要從多角度、全方面地審視乘除運算，盡可能開發(fā)計算的新視野，窮盡各種可能性。

楊輝在其著作中都提到了他對于簡捷算法的看法。他在《乘除通變算寶》中的“求一代乘除說”中提道：“隨題用法者捷，以法就題者拙?！保?］1057在“算無定法詳說”中說：“算無定法，惟理是用。”［1］1060可以看出楊輝關于乘除簡捷算法的思想就是“隨題用法”，所以他先在書中盡可能多地列舉各種算法，就是為了之后的應用，面對不同的題選擇不同的算法，最終達到“通變”的目的。他在卷下《法算取用本末》中列出了“加因代乘三百題”和“歸減代除三百題”，即乘數(shù)和除數(shù)為1-300 時的運算方法，集中體現(xiàn)了楊輝的這種思想。在這些題中，楊輝采用靈活多變的運算方法，比如在計算乘數(shù)為101-109 的問題時，用“隔位加零”的方法進行計算，但在乘數(shù)為105 的計算時，其方法是“七因加五”；乘數(shù)為108 時，方法是“六因加八”。說明楊輝盡可能全面地列舉乘除的各種簡捷算法是為實際運算中可以選擇更合適、更便捷的方法來進行計算，并非單純只講方法來生硬套用。

此外，楊輝在卷上《算法通變本末》中說：“因法不獨能乘，而亦能除?！保?］1050即楊輝認為乘除法之間可以互相轉化。如：

“錢二千七百四十六貫，買田每畝二十貫，問共買幾畝。

答曰：一百三十七畝七十二步。

術曰：五因以代二除也?！保?］1057

即2 746÷20=27.46×5=137.3。

同時，用乘法代替除法進行計算的問題還可以運用于近似計算：

“粟二千七百四十六石，給一千一百一十一人，問各幾何。

答曰：二石四斗七升一合四勺?？傆喽菲呱暮狭住?/p>

術曰：九因以代繁一除也?！保?］1052

即2 746÷1 111=0.274 6×9 ≈2.471 4。

因此，可以看出楊輝的簡捷算法思想的核心就是“通變”，他詳細介紹了各種各樣的簡捷算法，并且通過加減代乘除、以因代除等不同的運算方法，說明了加減乘除運算之間可以互相轉化，并且在面對不同的問題要“隨題用法”，靈活的運用各種簡捷算法來解決不同的問題。楊輝對于簡捷算法的認識就是不同的運算法則之間可以“通變”，一道問題的不同運算方法之間也可以“通變”，他的這種思想，對于當下的數(shù)學研究同樣具有積極意義。

2.2 一題多解的思想

通過《習算綱目》可以看出，楊輝為數(shù)學初學者制定了詳細的教學大綱與學習計劃，由淺入深、循序漸進地對數(shù)學知識進行了梳理與講解，同時書中運算法則、計算方法、數(shù)學理論、例題習題一應俱全，可以稱得上是一部非常優(yōu)秀的數(shù)學教科書，而且對于數(shù)學教育者講授數(shù)學理論知識、編寫數(shù)學教材，都具有較高的參考價值。楊輝在書中的部分題目中用兩種或以上方法來解題，這種“一題多解”的思想，不僅為數(shù)學學習者提供了不同解題思路，同時也反映了楊輝在數(shù)學教育方面的理念。“一題多解”的思想，對當下數(shù)學的發(fā)展也有著積極意義，在數(shù)學教學與研究中提倡一題多解，對數(shù)學學習者鼓勵發(fā)散思維、開拓視野，而對數(shù)學教育者，也可以更加全面的闡述數(shù)學知識。

楊輝《詳解九章算法》中，第十卷為“題兼二法”，共十二問。衰分，方程：九節(jié)竹；互換，盈朒：故問糲米、持錢之屬，油自和漆；合率，盈胸：瓜瓠求逢；分率，盈胞：玉石隱互，二酒求價，金銀易重，善惡求田；方程，盈腩：二器求容，牛羊直金；勾股，合率：勾中容方。楊輝在《九章算術》原有解法的基礎上，又給出了自己的解法。如第三題“持錢之屬”，《九章算術》采用盈不足術計算，楊輝給出另一種解法，所以這道題即可用盈不足術計算，也可用互換術計算。

楊輝在《田畝比類乘除捷法》61 題中，有14 題列有兩種或兩種以上方法，對某些題目不同方法的繁簡差不多，可以起到互相驗證的作用。但在更多的情況下，方法是有繁有簡的。楊輝的意圖在于比較優(yōu)劣，提倡簡捷法。楊輝認為數(shù)學學習者應該根據(jù)具體的題目來選擇相應的算法，而本書作為數(shù)學啟蒙讀物，應該列舉多種計算方法，從而使方法的選擇趨于優(yōu)化和合理。

楊輝在《乘除通變本末》卷下《法算取用本末》中更集中體現(xiàn)了這一思想。如在“加因代乘三百題”中乘數(shù)二十一至二十九的計算問題，總法是用連身加，而乘數(shù)為二十一時算法采用“三因七因”，乘數(shù)為二十五時算法采用“兩次折半”。

楊輝“一題多解”的思想，正是其對簡捷算法思想的延伸：在一道題中盡可能多地列舉各種解題方法，對比不同解題方法的優(yōu)劣，面對不同的問題靈活選取合適的簡捷算法，“隨題用法”，以達到“通變”的目的。同時，從數(shù)學教育的角度來講，對同一問題從不同角度討論，最后得出正確答案，不僅對問題本身有了更加全面充分的認識，而且拓寬了解題思路，對數(shù)學學習者有更好的啟迪效果。

3 楊輝簡捷算法思想的應用——“隨題用法”

楊輝簡捷算法思想“通變”的最終目的，是更好的掌握數(shù)學知識和數(shù)學方法，并以此來解決實際問題。因此，楊輝的數(shù)學著作在編排結構上也有相似之處，即開始都是盡可能詳細、全面的列舉數(shù)學方法，接下來則是具體如何應用。如在《乘除通變本末》的上中二卷是在前人的基礎上詳細介紹各種關于乘除的簡捷算法，下卷則列舉加因代乘三百題和歸減代除三百題來對之前講到的各種簡捷算法進行應用。同樣在《田畝比類乘除捷法》卷上介紹了各種田畝的圖形，卷下則是進一步引申介紹了開方法，并且在許多題目中都給出了不同的解題方法。這種編排結構正體現(xiàn)了其“隨題用法者捷，以法就題者拙”的思想。

3.1 《法算取用本末》中的簡捷算法

《乘除通變本末》卷下為《法算取用本末》，本卷為楊輝與史仲榮合著。本卷內容為乘除捷法的應用問題，由“加因代乘三百題”和“歸減代除三百題”兩部分構成。

第一部分為“加因代乘三百題”，主要用“加”和“因”這兩類算法替代乘法?！凹印卑ā凹右晃弧薄凹佣弧薄案粑患印?；“因”包括“單因”“重因”“身前因”等。根據(jù)乘數(shù)的特點分7 組給出算法：

（1）乘數(shù)為1-9 的乘法：乘數(shù)為1，10，100 時，只需定位，不必另外計算；乘數(shù)為2 時，直接翻倍即可；乘數(shù)為3，4，6 時，其運算為“因”；乘數(shù)為5 時，其運算為“折半進”，即a×5=a÷2×10；乘數(shù)為7，8，9 時，其運算為“損乘”。

（2）乘數(shù)為11-19 的乘法：這種運算與“加”相同，是“加一位?！?/p>

（3）乘數(shù)為21-29 的乘法：一般用“連身加”，具體到不同的乘數(shù)應采用不同的方法。如乘數(shù)為22 時，用“倍位加一”，即a×22=a×2×11；乘數(shù)為23 時，用“損二位”算法，“一定百，退七七”，即a×23=a×(100-77)；乘數(shù)為29 時，用“連身加九”，即a×29=a×(10+19)。

（4）乘數(shù)為31-100 的乘法：“用雜法”，即根據(jù)不同的情況采用不同的方法。如乘數(shù)為31 時，“身前因三”，即a×31=a×(30+1)=a×30+a；乘數(shù)為37 時，“加一一用三除”，即a×37=a×111÷3；乘數(shù)為92 時，“四因退七七”，即a×92=a×4×(100-77)。

（5）乘數(shù)為101-109 的乘法：用“隔位加零”；即“隔位加”，但這只是總法，具體到不同數(shù)會采用不同的方法。如乘數(shù)為102 時，用“六因加七”，即a×102=a×6×17。

（6）乘數(shù)為111-199 的乘法：用“并加兩位”，即“加二位”。如乘數(shù)為113 時，用“加一三”，即a×113=a×(100+13)=a×100+a×13。

（7）乘數(shù)為201-300 的乘法：“用雜法”，即根據(jù)不同的情況采用不同的方法。如乘數(shù)為204 時，用“加二加七”，即a×204=a×12×17；乘數(shù)為291 時，用“三因隔位退三”，即a×291=a×3×(100-3)。

第二部分為“歸減代除三百題”，主要用“歸”和“減”這兩類算法代除法?！皻w”包括“九歸”“歸除”；“減”包括“減一位”“減二位”“隔位減”等，根據(jù)除數(shù)的特點分7 組給出算法：

（1）除數(shù)為1-9 的除法：“總同歸法”；即基本上用“歸”法。如除數(shù)為9 時，用“九歸，或兩次三歸”。

（2）除數(shù)為11-19 的除法：“從上位減”；即基本上用“減”法。如除數(shù)為13 時，用“減三”。

（3）除數(shù)為21-100 的除法：“隨題用法”；即根據(jù)不同的情況采用不同的方法。如除數(shù)為26 時，用“折半減三”，即a÷26=a÷2÷13；除數(shù)為41 時，用“三因減二三”，即a÷41=a×3÷123。

（4）除數(shù)為101-109 的除法：“隔位減零”；“先有隔位加，故立隔位減。”

（5）除數(shù)為111-189 的除法：“減兩位”；“有加兩位之法，則立減兩位之術?！?/p>

（6）除數(shù)為191-199 的除法：“置積數(shù)，從上逐位折半，見一隔位還零，遇本數(shù)起而成百”；如除數(shù)為198時，“折半，九歸，減一”，即a÷198=a÷2÷9÷11。

（7）除數(shù)為201-300 的除法：“隨題用法”，即根據(jù)不同的情況采用不同的方法［7］142。如除數(shù)為219 時，用“減四六，減五”，即a÷219=a÷146÷15；如除數(shù)為294 時，用“六歸，兩次七歸”，即a÷294=a÷6÷7÷7。

3.2 《田畝比類乘除捷法》中的簡捷算法

《田畝比類乘除捷法》61 題中，有14 題列有兩種或兩種以上方法。通過比較不同算法的優(yōu)劣，從中選擇最簡捷的算法。

如《田畝比類乘除捷法》卷下第四題：

“直田長四十八步，闊四十步，計積八畝。今欲依原長四十八步，截賣三畝，問闊幾何。

答曰：闊十五步。

商除術曰：置截積七百二十步，以原長四十八除之，得闊。合問。

互換術曰：置闊四十步，以所截三畝乘之；以原田八畝除之，亦得十五步。尤捷?！保?］1085

《田畝比類乘除捷法》卷下第十二題：

“直田積八百六十四步，只云長、闊共六十步。欲先求闊步，得幾何。

答曰：二十四步。

益隅術曰：置積為實，共步為從方，以一為益隅，開平方除之。

減從術曰：置積為實，共步為從方，以一為負隅，開平方除之?！保?］1088

3.3 “隨題用法”的思想

綜上所述，在研究楊輝的簡捷算法思想乃至其整體的數(shù)學思想時，不能將其著作分割開獨立進行研究，而應看做一個整體。比如在楊輝的《乘除通變本末》三卷中，《算法通變本末》卷上在開篇就介紹了“習算綱目”，接下來就是基本的運算方法：相乘六法和商除二法；《乘除通變算寶》卷中在卷上的基礎上，對算法進行了拓展，進一步論述了加法五術、減法四術、求一乘法和求一除法等一系列簡捷算法；《法算取用本末》卷下可以看做是卷上和卷中的應用，在卷下介紹的“加因代乘三百題”和“歸減代除三百題”詳細講解1-300 乘除運算的簡捷算法。

楊輝簡捷算法思想的核心就是“通變”，目的就是使數(shù)學學習者能夠學“通”，在學“通”之后求“變”，楊輝在許多例題中都列有多種解題方法，希望數(shù)學學習者能夠對不同的解題方法進行對比擇優(yōu)，選用最便捷的方法進行求解，同時也可以養(yǎng)成在解答數(shù)學問題時主動尋求最簡捷方法的思想。

楊輝在“求一代乘除說”中說道：“隨題用法者捷，以法就題者拙。遇求一題則用求一法，遇九歸題則用九歸法。或倍、或折、或加、或減、或因、或變。莫不隨題用意?！保?］1058

楊輝在其著作中系統(tǒng)介紹了簡捷算法，其目的是“通變”，而“通變”的最終應用就是“隨題用法”。只有把各種運算方法全面系統(tǒng)的掌握，才可以在解決數(shù)學問題時靈活運用，最終達到“隨題用法”。所以，楊輝“通變”的簡捷算法思想是“隨題用法”的指導，而“隨題用法”則是“通變”的應用和目的。

4 小結

宋代的科學技術處于中國古代的高峰時期，在數(shù)學、醫(yī)學、天文、建筑、水利等方面都取得了領先世界的成就。宋代的教育相比之前也非常發(fā)達，地方教育以及各地書院的興起，使得越來越多的人可以學習文化知識；印刷術的廣泛使用也為宋代教育的發(fā)展提供了相應的物質基礎，共同促進了宋代教育的繁榮。

楊輝的研究成果正是在這種時代背景下取得的。隨著民間教育的普及，數(shù)學教育變得越來越重要，楊輝在《習算綱目》中制定的數(shù)學學習大綱，詳細列出了每個階段的教學進度，學習重點和課程時長，非常適合數(shù)學初學者；同時，楊輝提倡的簡捷算法在經(jīng)濟繁榮的背景下，在商業(yè)和手工業(yè)方面也有著廣闊的應用空間。楊輝歸納總結了前人著作中出現(xiàn)的各種乘除簡捷算法，同時結合自己的日常生活與研究工作，不僅對各種乘除簡捷算法進行了收集與整理，還進行了系統(tǒng)論述，詳細、具體解釋了各種算法的運算步驟，并且配有算題、算草，盡可能的給出各種算法，展示了算法的多樣性與運算的靈活性。

宋元時期的主要計算工具仍是算籌，在籌算為主的年代里，能夠記下各種乘除簡捷算法并不是一件容易的事。因此，楊輝在其著作中引入了大量的歌訣，使繁雜而單調的計算變的靈活而有效。楊輝以歌訣的形式記載并總結乘除簡捷算法，對珠算的發(fā)展也起到了促進作用。劉鈍認為楊輝在《乘除通變本末》中對唐中葉以來的算法改革作了系統(tǒng)的總結，并將當時流行的“九歸”歌訣進行精簡，楊輝還在其著作中給出除數(shù)為兩位以上的除法口訣，成為后來“飛歸”的先河，之后朱世杰簡化了楊輝的“九歸”歌訣，而經(jīng)過其簡化的歌訣，與現(xiàn)代珠算的口訣基本一致。可以說楊輝對各種乘除簡捷算法的記載，反映了珠算產(chǎn)生前籌算算法變革的歷史［8］。李儼認為歸除歌訣，最早記載于楊輝的《日用算法》與《乘除通變本末》，之后又見于元朱世杰《算學啟蒙》，只是楊輝和朱世杰都用籌算來進行說明，到了明代吳敬《九章算法比類大全》和程大位《算法統(tǒng)宗》中的珠算依然沿用了這些歌訣［9］。

楊輝在其著作中所記載的乘除簡捷算法，不但在當時的社會實踐中起到積極作用，而且構成了從籌算向珠算過渡的必要橋梁［10］。楊輝的乘除簡捷算法不僅可以解決當時社會的許多實際應用問題，而且對以乘除法為主的基本算法的普及工作以及后世珠算發(fā)展發(fā)揮了積極的促進作用。因此，楊輝的簡捷算法思想對中國古代數(shù)學的發(fā)展具有重要影響，值得繼續(xù)深入研究。