（2+1）維Caudrey-Dodd-Gibbon-Kotera-Sawada方程的混合波解

孫海瑩，扎其勞，2

（1.內(nèi)蒙古師范大學(xué) 數(shù)學(xué)科學(xué)學(xué)院，內(nèi)蒙古 呼和浩特 010022；2.內(nèi)蒙古自治區(qū)應(yīng)用數(shù)學(xué)中心，內(nèi)蒙古 呼和浩特 010022）

0 引言

非線性科學(xué)的研究對象是混沌、孤子和分形，其中，孤子是非線性動態(tài)系統(tǒng)中色散與非線性平衡的結(jié)果，是一類非線性波。作為一種典型的非線性現(xiàn)象，非線性波經(jīng)常在非線性光學(xué)、電磁學(xué)、等離子體物理學(xué)、凝聚態(tài)物理學(xué)和生物學(xué)中出現(xiàn)。由于求解非線性演化方程的難度很大，所以對不同方程采用的求解方法各不相同，研究者需要尋找更新、更有效的方法來獲得顯式解。因此，尋找非線性演化方程的精確解是一項重要而有意義的工作。研究者在孤立子與可積系統(tǒng)理論中建立了一些求解非線性演化方程的精確解的有效方法，例如反散射方法［1］、李群法［2］、Jacobi 橢圓函數(shù)展開法［3-4］、Hirota 雙線性法［5-6］、達(dá)布變換法［7-9］、貝克隆變換［10］，輔助方程法等［11］。

其中u，v是關(guān)于變量x，y，t的函數(shù)。通過v=ux的變換，方程（1）變成（2+1）維CDGKS 方程［12］

方程（2）作為Kadomtsev-Petviashvil（iKP）方程的高階推廣形式［13］，源于可積系統(tǒng)的無限對稱性，它能很好地描述非線性色散物理現(xiàn)象，廣泛應(yīng)用于許多物理分支。如二維量子引力規(guī)范場理論和共形場理論［14］。關(guān)于（2+1）維CDGKS 方程現(xiàn)在已有較多研究工作，例如Konopelchenko 和Dubovsky［13］提出的五階非線性演化方程引起了眾多學(xué)者的關(guān)注，他們通過考慮兩個給定的算子的交換性條件，給出了（2+1）維CDGKS方程的相容性條件。Sidra Saleem 和Malik Zawwar Hussain［15］指出傳統(tǒng)的五階KdV 方程可以變成（1+1）維CDGKS 方程。通過取適當(dāng)?shù)南禂?shù)值，方程（1）可以看作是傳統(tǒng)的五階KdV 方程向（2+1）維的擴(kuò)展，這類似KdV 方程和KP 方程的關(guān)系。到目前為止方程（2）的許多不同類型的精確解，如周期解［16］，怪波解［17］，lump解［18］等已經(jīng)得到廣泛研究，但關(guān)于（2+1）維CDGKS 方程的混合波解的研究還很少。所以本文基于Hirota雙線性方程和長波極限法，通過構(gòu)造合適的輔助函數(shù)推導(dǎo)出了CDGKS 方程N(yùn)-kink 解、L-呼吸子解和Klump 解的混合波解。

為了獲得方程（2）的顯式解，在變換

下，其中f是關(guān)于變量x，y，t的函數(shù)，方程（2）可轉(zhuǎn)化為雙線性形式

變換（3）表明u=u(x，y，t)是方程（2）的解當(dāng)且僅當(dāng)f=f(x，y，t)是雙線性方程（4）的解。

1 方程（2）的混合波解

1.1 N-kink 解

首先假設(shè)u具有如下形式

將方程（6）帶入方程（2）的線性部分，得到色散關(guān)系的表達(dá)式為

選擇輔助函數(shù)［19］

其中ki，li是常數(shù)，μi=0，1(1 ≤i≤N)，并且有

將方程（10）—（13）帶入方程（3）中并選取適當(dāng)?shù)膮?shù)，可以得到方程（2）的1-、2-、3-、4-kink 解。

1.2 L-呼吸子解

借助2L-kink 解的輔助函數(shù)，并取參數(shù)兩兩為復(fù)共軛，可以得到方程（2）的L-呼吸子解。但由于解的非奇異性，因此必須保證參數(shù)ki，li，eAij滿足以下要求［20］

因此，在得到2L-kink 解的前提下，就得到了L-呼吸子解。本文只給出1-呼吸子解和2-呼吸子解這兩種情況。當(dāng)L=1 時，將方程（11）帶入方程（3）可得到

令k1=-1+2i，k2=-1-2i，l1=-2+i，l2=-2-i，t=0，會獲得方程（2）的1-呼吸子解，如圖1（a）所示。

當(dāng)L=2 時，重復(fù)獲得1-呼吸子解的方法，將方程（13）帶入方程（3）可得

圖1 方程（2）的1-呼吸子解和2-呼吸子解Fig.1 One-breather and two-breather solution of equation（2）

1.3 K-lump 解

使用長波極限法獲得方程（2）的lump 解。由于篇幅有限，因此在本文中只給出1-lump 和2-lump 解。令，然后輔助函數(shù)fN變成［21-22］

當(dāng)N=2 時，令方程（17）中k1→0，k2→0，收集k1k2的系數(shù)后輔助方程f2變成

當(dāng)N=4 時，令方程（17）中ki→0(i=1，2，3，4)，收集k1、k2、k3、k4的系數(shù)后輔助方程f4變成

將方程（19）帶入方程（3），得到方程（2）的2-lump 解，如圖2（b）所示。

圖2 方程（2）的1-lump 解和2-lump 解Fig.2 The first-order and the second-order lump solution of equation（2）

2 方程（2）的混合波解

討論方程（2）的四種混合波解。通過選擇合適的參數(shù)值，可以得到N-kink 解和L-呼吸子的混合波解。將長波極限法應(yīng)用于方程（17）得到新的輔助函數(shù)，可以求出由lump 解和其他兩種解組成的混合波解。

2.1 Kink 和呼吸子的混合波解

當(dāng)N=4 時，將方程（13）代入方程（3），令-1，k4=2，t=0，可以構(gòu)造出2-kink 和1-呼吸子的混合波解，如圖3（a）。

當(dāng)方程（8）中N=5 時，將表達(dá)式帶入方程（3）。通過選取合適的參數(shù)，可以得到兩組混合解，分別是3-kink和1-呼吸子的混合波解、以及1-kink 和2-呼吸子的混合波解，如圖3（b）和3（c）。

圖3 方程（2）的kink 和呼吸子的混合波解Fig.3 Mixed solution of kink and breather of equation（2）

2.2 Kink 和lump 的混合解

為了構(gòu)造由1-kink 和1-lump 組成的混合解，需要令方程（12）中的且k1→0，k2→0。收集k1k2的系數(shù)后輔助方程f3取為

將方程（20）帶入方程（3）中，可以得到1-kink 和1-lump 的混合波解

圖4 方程（2）的1-kink 和1-lump 的混合波解Fig.4 Mixed solution of one-kink and the first-order lump of equation（2）

當(dāng)N=4 時，令方程（13）中的且k1→0，k2→0，可以獲得2-kink 和1-lump 的混合波解。重復(fù)上述步驟，即收集k1k2的系數(shù)后輔助方程f4化成

將方程（22）帶入方程（3），可以得到2-kink 和1-lump 的混合波解u=2(lnf4)x。選取參數(shù)-1-2i，l3=2，k3=3，l4=-2，k4=2，t=-1/2，0，1/2，利用Mathematica 軟件畫圖展示了2-kink 和1-lump的相互作用。在圖5（a）中，2-kink 和1-lump 解分離，在圖5（b）中它們發(fā)生碰撞，然后2-kink 和1-lump 保持形狀速度恒定沿著y軸正向移動，在圖5（c）中可以看出二者隨著時間的增加僅僅改變了位置。

圖5 方程（2）的2-kink 和1-lump 的混合解Fig.5 Mixed solution of two-kink and the first-order lump of equation（2）

當(dāng)N=5 時，令方程（8）中的且k1→0，k2→0，此時構(gòu)造3-kink 和1-lump的混合解的輔助函數(shù)變成

其中

圖6 方程（2）的3-kink 和1-lump 的混合波解Fig.6 Mixed solution of three-kink and the first-order lump of equation（2）

如果要構(gòu)造1-kink 和2-lump 的混合波解的輔助函數(shù)，則令方程（8）中N=5 時的且ki→0(i=1，2，3，4)，此時輔助函數(shù)f5變成

其中θi，Bij，Cr5(i，j，r=1，2，3，4)的表達(dá)形式同方程（23）的保持一致。將方程（24）帶入方程（3），并取參數(shù)-2，k3=-2，l4=2，k4=1，l5=-1，k5=-2，t=-1/2，0，1/2，可以得到1-kink 和2-lump 的混合波解。如圖7（a）-（c）。

圖7 方程（2）的1-kink 和2-lump 的混合波解Fig.7 Mixed solution of one-kink and the second-order lump of equation（2）

2.3 呼吸子和lump 的混合波解

基于已經(jīng)得到的2-kink 和1-lump 的混合波解，若要獲得呼吸子和lump 的混合波解，則需要為已經(jīng)得到的輔助方程（22）添加參數(shù)約束條件

圖8 方程（2）的1 呼吸子和1-lump 的混合波解Fig.8 Mixed solution of one-breather and the first-order lump of equation（2）

2.4 方程的kink-呼吸子-lump 的混合波解

當(dāng)N=5 時，通過方程（23）的輔助函數(shù)，得到了1-kink、1-呼吸子和1-lump 的混合解［23-24］。在圖9 中描述了三者在時間變化下的演化過程，可以看到隨著時間的推移，1-lump 是沿x軸的正方向移動。當(dāng)t=-1/5 時，lump 在呼吸子的左邊。當(dāng)t=0 時，1-kink、1-呼吸子和1-lump 發(fā)生彈性碰撞。當(dāng)t=1/5 時，lump 運動到呼吸子的右邊。

圖9 方程（2）的1-kink、1 呼吸子和1-lump 的混合解Fig.9 Mixed solution of one-kink，one-breather and the first-order lump of equation（2）

3 結(jié)論

本文主要研究了（2+1）維CDGKS 方程的混合波解。首先基于Hirota 雙線性方程和長波極限方法，得到了方程的N-kink、L-呼吸子和K-lump 解。接著利用不同的輔助函數(shù)，討論了四類混合波解，分別是N-kink和L-呼吸子混合波解、N-kink 和K-lump 混合波解、L-呼吸子和K-lump 混合波解、1-kink、1-呼吸子和1-lump的混合波解。通過對參數(shù)取特殊值，并借助數(shù)學(xué)軟件繪圖，從圖中可以看出混合解的動態(tài)行為。已知求解精確解的常用方法有Hirota 雙線性法和長波極限法，本文將這兩種方法很好地結(jié)合起來。結(jié)果證明，發(fā)現(xiàn)相互作用波之間的碰撞是彈性碰撞，得到的解可以理解流體力學(xué)中非線性波的傳播過程，豐富非線性現(xiàn)象的動力學(xué)行為。研究非線性發(fā)展方程的相互作用解具有重要的數(shù)學(xué)和物理意義，本文采用的方法具有一定的普適性，為未來對高維非線性發(fā)展方程的高階混合波解的研究提供借鑒。