十次對稱二維準晶矩形板面內(nèi)非線性分布載荷下的彈性力學問題

張 靜，李聯(lián)和，2

（1.內(nèi)蒙古師范大學 數(shù)學科學學院，內(nèi)蒙古 呼和浩特 010022；2.內(nèi)蒙古自治區(qū)應用數(shù)學中心，內(nèi)蒙古 呼和浩特 010022）

0 引言

1984 年，Shechtman 等［1］發(fā)現(xiàn)了一種既具有晶體也具有非晶體特征的新型固體結構——準晶。2009 年，準晶的研究取得了突破性的進展——首次在自然界中發(fā)現(xiàn)了天然的準晶［2］。準晶由于其特殊的準周期對稱性，使其彈性常數(shù)比經(jīng)典彈性材料高，因而使得準晶力學問題的研究存在很多困難［3-6］。因此，科研工作者們采用了多種方法研究準晶材料的力學問題，促進了準晶材料的發(fā)展和應用。范天佑，李顯方等［7-8］利用Fourier 變換法研究了準晶的裂紋問題和位錯問題。高陽等［9］利用Stroh 公式研究了準晶含有橢圓孔口和夾雜的力學問題。李翔宇［10］利用位移勢函數(shù)方法研究了準晶的平面裂紋問題。劉官廳［11］采用半逆解法研究了含橢圓孔口的準晶的反平面問題。李聯(lián)和［12］利用復變函數(shù)方法研究了三維二十面準晶的平面彈性力學問題。郭俊宏等［13］利用Stroh 方法研究了一維準晶中由橢圓孔產(chǎn)生的四條裂紋的精確解問題。

準晶自發(fā)現(xiàn)以來，在很多方面都體現(xiàn)出優(yōu)異的物理性能，如導熱率低、抗氧性高和摩擦系數(shù)低等。準晶材料在實際工程中應用廣泛。梁和板做為一種典型結構，一直都是固體力學研究的重點。關于準晶梁和準晶板的研究具有重要意義。在準晶梁和準晶板的研究方面，武亞楠［14］研究了二維十次準晶懸臂梁的彎曲問題。Huang 等［15］解決了功能梯度一維壓電準晶層合板的相關電彈性問題。

本文利用微分求積法探究了點群10 mm 十次對稱二維準晶板在邊界受余弦分布載荷下的彈性力學問題，得到了準晶板的位移與應力分布情況，并討論了材料參數(shù)對準晶板的彈性力學問題的影響。

1 控制方程及邊界條件

1.1 控制方程

假設準周期平面為xy平面，十次對稱準晶周期方向為z軸，根據(jù)準晶彈性理論［16］，有變形幾何關系平衡方程（忽略體力的情況下）

廣義Hooke 定律［17］

其中，L=C12，M=(C11-C12)/2。ux，uy，σxx，σyy，σxy，σyx，εxx，εyy，εxy，εyx，分別為聲子場位移、應力和應變；wx，wy，Hxx，Hyy，Hxy，Hyx，wxx，wyy，wxy，wyx，分別為相位子場位移、應力和應變；C11，C12為與聲子場有關的倆個非零獨立的彈性常數(shù)；κ1，κ2為與相位子場相聯(lián)系的倆個非零獨立彈性常數(shù)；R為聲子場和相位子場耦合的非零獨立彈性常數(shù)。

由式（1）（2）（3）得到點群10 mm 十次對稱二維準晶平面彈性問題的控制方程

1.2 邊界條件

考慮一個長度為a，寬度為b，厚度為h的受余弦分布載荷的點群10 mm 十次對稱二維準晶的矩形板，如圖1 所示。板邊界承受非均勻分布的邊緣載荷σx0=-σ0cos(πy/b)。

根據(jù)圖1 所示，具有如下的邊界條件

圖1 邊界受余弦分布載作用下的矩形板示意圖Fig.1 Schematic diagram of rectangular plate with boundary under cosine distribution loading

2 點群10 mm 十次對稱二維準晶的一般解

在微分求積法分析中，網(wǎng)格的劃分極其重要。利用Gauss-Chebyshev-Lobatto 的分布定律，得到關于x和y的網(wǎng)格點分布式［18］，即

根據(jù)微分求積法［19-20］，控制微分方程（4）和邊界條件（5）分別轉(zhuǎn)化為

由于矩陣[K]的可逆性，式(10) 可以轉(zhuǎn)換為式(12)，

通過計算式(12)，得到位移；將位移帶入式(13)，得到準晶板的應力。

3 數(shù)值算例

3.1 本文算法可靠性檢驗

為了檢驗本文算法的正確性與可靠性，在不考慮相位子場的情況下，本文結果可以退化成文獻［21］中的結果。例如，在表1 中，以正應力σxx為例，與文獻［21］中結果進行對比，二者結果吻合。

表1 長寬比λ=1 時聲子場正應力σxx 的值Tab.1 Normal stress σxx in phonon field with aspect ratio λ=1

3.2 結果與討論

文中選取Al-Ni-Co 準晶為例討論不同長寬比λ的矩形板對位移和應力的影響，彈性材料性質(zhì)和幾何參數(shù)如下［22］：C11=234.33 Gpa，C12=57.41 Gpa，κ1=122 Gpa，κ2=24 Gpa，R=0.885 Gpa，σ0=1。

聲子場和相位子場的位移都是關于x和y的函數(shù)（圖2）。根據(jù)準晶板的受力情況，其被施加的外力是屬于聲子場范疇的力，又由于準晶板聲子場和相位子場的耦合，所以相位子場也相應存在著位移變化。同時，聲子場和相位子場沿x方向的位移總是關于y/b=0 對稱，沿y方向的位移總是關于x/a=0 對稱。

圖2 長寬比λ=1 的位移分布圖Fig.2 Displacement distribution with aspect ratio λ=1

不同材料尺寸準晶板的聲子場和相位子場的應力分布圖，如圖3-9 所示。聲子場的正應力σxx，σyy和切應力σxy以及相位子場的正應力Hxx，Hyy和切應力Hxy，Hyx都呈現(xiàn)明顯的非線性分布。其中，正應力σxx在板邊緣x/a=-0.5 和x/a=0.5 處呈現(xiàn)先增大后減小的趨勢，同時在y/b=0 處σxx達到最大值。隨著板的長寬比不斷增大，板內(nèi)部的應力分布呈現(xiàn)出越來越平坦的趨勢，但邊界的應力仍然呈現(xiàn)明顯的變化情況。

圖3 長寬比λ=1，3，5 聲子場正應力σxx 的分布Fig.3 Distribution of normal stress σxx in phonon field with aspect ratio λ=1，3，5

4 結論

本文采用微分求積法研究了點群10 mm 十次對稱二維準晶的矩形板邊緣受余弦分布載荷作用的彈性力學問題。利用微分求積法，將控制方程和應力邊界條件轉(zhuǎn)化為代數(shù)和方程組，繼而求得準晶板位移和應力。之后通過數(shù)值算例，得到了以下的結論：

（1）正方形準晶板的位移包括了聲子場和相位子場的無窮多個位移函數(shù)，并且觀察準晶板的位移分布圖，聲子場和相位子場的位移變化總是關于某一條直線對稱。

（2）準晶板聲子場和相位子場的應力都呈現(xiàn)明顯的非線性分布，并且正應力σxx在受力邊界處呈現(xiàn)明顯的先增大后減小的趨勢，并且在中點處得到最大值。

（3）當邊界受非線性分布載荷的作用時，隨著準晶板長寬比的不斷增大，板內(nèi)部的應力受外力的影響越來越小，但邊界上的應力仍受外力影響，呈現(xiàn)出明顯的非線性分布。

圖4 長寬比λ=1，3，5 聲子場正應力σyy 的分布圖Fig.4 Distribution of normal stress σyy in phonon field with aspect ratio λ=1，3，5

圖5 長寬比λ=1，3，5 聲子場切應力σxy 的分布圖Fig.5 Distribution of shear stress σxy in phonon field with aspect ratio λ=1，3，5

圖6 長寬比λ=1，3，5 相位子場正應力Hxx 的分布圖Fig.6 Distribution of normal stress Hxx in phonon field with aspect ratio λ=1，3，5

圖7 長寬比λ=1，3，5 相位子場正應力Hyy 的分布圖Fig.7 Distribution of normal stress Hyy in phonon field with aspect ratio λ=1，3，5

圖8 長寬比λ=1，3，5 相位子場切應力Hxy 的分布圖Fig.8 Distribution of shear stress Hxy in phonon field with aspect ratio λ=1，3，5

圖9 長寬比λ=1，3，5 相位子場切應力Hyx 的分布圖Fig.9 Distribution of normal stress Hyx in phonon field with aspect ratio λ=1，3，5