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    深度融合:數(shù)學(xué)文化進(jìn)課堂的應(yīng)然要求*

    2022-11-24 17:35:06柏素霞揚(yáng)州大學(xué)附屬中學(xué)東部分校225003
    中學(xué)數(shù)學(xué)雜志 2022年10期
    關(guān)鍵詞:位線三角形數(shù)學(xué)

    柏素霞 (揚(yáng)州大學(xué)附屬中學(xué)東部分校 225003)

    數(shù)學(xué)承載著人類(lèi)文明中的思想和文化,數(shù)學(xué)教育作為基礎(chǔ)教育的重要組成部分,必然承擔(dān)著提升“文化自信”、落實(shí)“立德樹(shù)人”的重任.新頒布的《義務(wù)教育數(shù)學(xué)課程標(biāo)準(zhǔn)(2022年版)》(下稱(chēng)《課標(biāo)2022》)在“課程理念”中提出,課程內(nèi)容選擇要“關(guān)注數(shù)學(xué)學(xué)科發(fā)展前沿和數(shù)學(xué)文化,繼承和弘揚(yáng)中華優(yōu)秀傳統(tǒng)文化”[1]2;在“課程目標(biāo)”中提出,學(xué)生能“對(duì)數(shù)學(xué)具有好奇心和求知欲,了解數(shù)學(xué)的價(jià)值,欣賞數(shù)學(xué)的美,提高學(xué)習(xí)數(shù)學(xué)的興趣,建立學(xué)好數(shù)學(xué)的信心,養(yǎng)成良好的學(xué)習(xí)習(xí)慣,形成質(zhì)疑問(wèn)難、自我反思和勇于探索的科學(xué)精神”[1]11.因此,在新課改及“雙減”背景之下,如何利用數(shù)學(xué)文化素材構(gòu)建有血有肉、充滿(mǎn)人文氣息的數(shù)學(xué)課堂,充分體現(xiàn)數(shù)學(xué)文化的教育價(jià)值,培育學(xué)生的必備品格和關(guān)鍵能力,從而實(shí)現(xiàn)學(xué)科育人目標(biāo)是值得深入研究的課題.

    1 當(dāng)前數(shù)學(xué)文化進(jìn)課堂的現(xiàn)狀及分析

    隨著課程改革的不斷深入,數(shù)學(xué)教育越來(lái)越重視“數(shù)學(xué)文化進(jìn)課堂”的研究和實(shí)踐.然而當(dāng)前的初中數(shù)學(xué)教學(xué)實(shí)踐中,將數(shù)學(xué)文化融入數(shù)學(xué)教學(xué)的理想案例并不多見(jiàn),常見(jiàn)以下兩種誤區(qū):一是形式上“標(biāo)簽”化,課堂中大多以閱讀材料、觀看視頻、講述故事等單一形式呈現(xiàn)數(shù)學(xué)文化內(nèi)容,數(shù)學(xué)文化元素只是課堂的簡(jiǎn)單附加,可有可無(wú),僅限于給課堂貼上文化“標(biāo)簽”;二是內(nèi)容上缺乏“重構(gòu)”,深度融合不夠,以數(shù)學(xué)史的介紹為主,缺少對(duì)前人偉大智慧、深邃思想的深度學(xué)習(xí)和領(lǐng)悟.總而言之,就是數(shù)學(xué)文化和教學(xué)內(nèi)容“兩張皮”,數(shù)學(xué)文化入耳了,但入腦、特別是入心不夠.

    汪曉勤等人根據(jù)西方學(xué)者的一些觀點(diǎn),將課堂上的數(shù)學(xué)文化內(nèi)涵分為知識(shí)源流、學(xué)科聯(lián)系、社會(huì)角色、審美娛樂(lè)和多元文化五個(gè)維度[2].課堂實(shí)踐中,對(duì)數(shù)學(xué)文化不同維度利用得不均衡,就導(dǎo)致數(shù)學(xué)教學(xué)不能全面體現(xiàn)數(shù)學(xué)的科學(xué)價(jià)值、應(yīng)用價(jià)值、文化價(jià)值和審美價(jià)值.?dāng)?shù)學(xué)文化進(jìn)課堂應(yīng)力求多維度呈現(xiàn),促進(jìn)數(shù)學(xué)文化與課堂教學(xué)的深度融合.

    2 數(shù)學(xué)文化與課堂教學(xué)深度融合的一個(gè)案例

    在一次“數(shù)學(xué)文化進(jìn)課堂”區(qū)域教學(xué)研討活動(dòng)中,筆者有幸聆聽(tīng)了華東師范大學(xué)廣陵實(shí)驗(yàn)初級(jí)中學(xué)賀天慧老師的“三角形的中位線”一課,令人眼前一亮,感悟頗多.現(xiàn)呈現(xiàn)此教學(xué)案例,與同行交流.

    2.1 板塊一:夢(mèng)回《九章》

    問(wèn)題1如圖1,中國(guó)漢代數(shù)學(xué)典籍《九章算術(shù)》中記載了求三角形土地面積的問(wèn)題:“今有圭田廣十二步,正從二十一步,問(wèn)為田幾何?”

    圖1

    從古代數(shù)學(xué)典籍《九章算術(shù)》中求三角形土地面積問(wèn)題引入,引導(dǎo)學(xué)生思考三角形面積公式的推導(dǎo)方法,激趣生“疑”,從而引出我國(guó)魏晉時(shí)期著名數(shù)學(xué)家劉徽推導(dǎo)三角形面積公式的“出入相補(bǔ)”法.

    問(wèn)題2(播放介紹劉徽“出入相補(bǔ)”法的微視頻)視頻中,你學(xué)到了哪些數(shù)學(xué)思想和方法?

    問(wèn)題3視頻中的三種方法都有什么共同點(diǎn)?(追問(wèn))每一種方法都先在三角形上取了兩個(gè)點(diǎn),這是兩個(gè)什么點(diǎn)(圖2)?

    圖2

    引導(dǎo)學(xué)生感悟“出入相補(bǔ)”法及其蘊(yùn)含的將三角形轉(zhuǎn)化為平行四邊形(包括矩形)去解決問(wèn)題的“轉(zhuǎn)化”思想,體會(huì)古人的智慧,學(xué)習(xí)數(shù)學(xué)歷史長(zhǎng)河中前人寶貴的思維經(jīng)驗(yàn),通過(guò)追問(wèn)引導(dǎo)學(xué)生關(guān)注到三角形兩邊中點(diǎn).

    2.2 板塊二:發(fā)現(xiàn)問(wèn)題

    問(wèn)題4連結(jié)三角形兩邊中點(diǎn)的線段是一條特殊的線段,我們能給它起一個(gè)名稱(chēng)嗎?

    由數(shù)學(xué)史料中對(duì)于三角形面積公式的推導(dǎo)方法,發(fā)現(xiàn)新的研究對(duì)象——中位線,揭示課題,并給中位線下定義.

    問(wèn)題5三角形的中位線與中線有何區(qū)別?三角形有幾條中位線?嘗試畫(huà)一畫(huà).

    通過(guò)問(wèn)題和操作及時(shí)鞏固三角形中位線的概念(圖3).

    圖3

    問(wèn)題6我們研究一個(gè)新的數(shù)學(xué)對(duì)象,一般都是先研究什么,再研究什么?我們可以按照一個(gè)什么路徑去研究三角形中位線?

    教師調(diào)動(dòng)學(xué)生過(guò)去的學(xué)習(xí)經(jīng)驗(yàn),形成研究一個(gè)新的數(shù)學(xué)對(duì)象的一般思路:定義→性質(zhì)→應(yīng)用,并幫助學(xué)生規(guī)劃三角形中位線的學(xué)習(xí)路徑.

    2.3 板塊三:定理探究

    問(wèn)題7三角形的中位線具有怎樣的性質(zhì)?它與第三條邊之間有怎樣的關(guān)系?你是怎么猜想到的?

    問(wèn)題8通過(guò)目測(cè)和度量得到的結(jié)論有說(shuō)服力嗎?

    讓學(xué)生自己動(dòng)手畫(huà)出三角形的中位線,由中位線平分三角形的兩條邊,自然地啟發(fā)學(xué)生探究中位線和第三條邊之間的關(guān)系.教師引導(dǎo)學(xué)生結(jié)合劉徽利用“出入相補(bǔ)”法推導(dǎo)三角形面積公式的過(guò)程,從位置關(guān)系和數(shù)量關(guān)系兩方面去作大膽猜想,讓學(xué)生充分表達(dá),闡述觀點(diǎn),再?gòu)?qiáng)調(diào)猜想仍需進(jìn)行證明,讓學(xué)生經(jīng)歷從合情推理到演繹推理的思維進(jìn)階.

    問(wèn)題9如何證明你的猜想?嘗試寫(xiě)出已知、求證,并尋求證明思路.

    問(wèn)題10你是如何想到證明思路的?可以用劉徽的“出入相補(bǔ)”法證明三角形中位線定理嗎?

    先讓學(xué)生獨(dú)立思考,再進(jìn)行小組討論,交流證明方法,最后請(qǐng)各組展示不同的證明思路并交流思路的來(lái)源,讓學(xué)生充分感悟劉徽“出入相補(bǔ)”法對(duì)證明思路的啟迪作用.最后師生共同完善證明過(guò)程,形成三角形中位線定理的文字及符號(hào)語(yǔ)言表達(dá).

    問(wèn)題11為什么要在學(xué)習(xí)完平行四邊形后再學(xué)習(xí)三角形的中位線?

    啟發(fā)學(xué)生進(jìn)一步領(lǐng)悟利用旋轉(zhuǎn)變換將三角形問(wèn)題“轉(zhuǎn)化”為平行四邊形來(lái)解決,滲透整體建構(gòu)的、發(fā)展的數(shù)學(xué)觀.

    2.4 板塊四:新知應(yīng)用

    問(wèn)題12三角形中位線應(yīng)用的例題或習(xí)題(略).

    問(wèn)題13在古代兩河流域,有四位兄弟幸福和睦地生活著.父親的去世打破了四兄弟平靜的生活,他們?yōu)榉指罡赣H留下的一塊三角形土地而爭(zhēng)論不休,誰(shuí)都不肯吃虧……請(qǐng)你想一個(gè)分割土地的方法,讓四兄弟都能滿(mǎn)意.

    給出古巴比倫泥板書(shū)上記錄的一個(gè)小故事,先讓學(xué)生自己嘗試不同的分割方法,再展示并比較哪一種方法最好.通過(guò)比較發(fā)現(xiàn),用三條中位線分割的方法(圖4)既能保證土地面積相等,又能使分得的土地形狀相同,借此向?qū)W生滲透中國(guó)古代儒家思想中的中庸之道,體現(xiàn)數(shù)學(xué)知識(shí)的人文精神.

    圖4

    2.5 板塊五:反思小結(jié)

    問(wèn)題14今天我們學(xué)習(xí)了哪些知識(shí)?它有哪些應(yīng)用?

    問(wèn)題15今天在我們研究三角形中位線的過(guò)程中,你的最大感受是什么?

    通過(guò)反思交流,讓學(xué)生再次感受我國(guó)古代數(shù)學(xué)家的智慧創(chuàng)造,領(lǐng)悟前人思想對(duì)數(shù)學(xué)學(xué)習(xí)的啟迪和幫助,增強(qiáng)民族自豪感.

    3 深度融合:數(shù)學(xué)文化進(jìn)課堂的應(yīng)然要求

    3.1 案例分析

    M·克萊因指出,數(shù)學(xué)教學(xué)的主要問(wèn)題是動(dòng)機(jī)問(wèn)題.“三角形的中位線”課例從古代數(shù)學(xué)題入手,引出劉徽的“出入相補(bǔ)”法,讓學(xué)生自然關(guān)注到“連結(jié)三角形兩邊中點(diǎn)”的特殊線段,引發(fā)了學(xué)習(xí)動(dòng)機(jī),提出了新的研究課題.課中,引導(dǎo)學(xué)生從“出入相補(bǔ)”中直觀猜想三角形中位線的性質(zhì),并古法今用,運(yùn)用“出入相補(bǔ)”法對(duì)三角形中位線定理進(jìn)行證明,感悟數(shù)學(xué)知識(shí)淵源,觸摸古人的光輝足跡,同時(shí)推陳出新,享受創(chuàng)造的快樂(lè).課末,運(yùn)用三角形中位線的性質(zhì)解決巴比倫泥板書(shū)上的問(wèn)題,體現(xiàn)了數(shù)學(xué)的“社會(huì)角色”和“多元文化”功能.最后,挖掘問(wèn)題中的德育因子,促進(jìn)學(xué)習(xí)品質(zhì)、情感態(tài)度目標(biāo)的達(dá)成.

    汪曉勤認(rèn)為,數(shù)學(xué)文化內(nèi)容在課堂中的應(yīng)用,除了附加式,還有復(fù)制式、順應(yīng)式和重構(gòu)式等高層次的運(yùn)用方式[3].僅僅附加式地運(yùn)用數(shù)學(xué)文化,為了文化而文化,無(wú)形中增加課堂負(fù)擔(dān),不能在數(shù)學(xué)文化素材和數(shù)學(xué)知識(shí)之間建立起內(nèi)在的聯(lián)系,不能幫助學(xué)生領(lǐng)悟數(shù)學(xué)知識(shí)的本質(zhì),難以促進(jìn)學(xué)生對(duì)知識(shí)的理解.本案例中,對(duì)數(shù)學(xué)文化素材的使用做到了幾種方式的有效疊加,如引用巴比倫泥板書(shū)上的問(wèn)題是復(fù)制式;由《九章算術(shù)》上的問(wèn)題引出三角形面積公式的推導(dǎo),繼而揭示三角形中位線的概念是順應(yīng)式;運(yùn)用劉徽的“出入相補(bǔ)”法證明三角形中位線定理是重構(gòu)式.教師對(duì)將學(xué)術(shù)形態(tài)的數(shù)學(xué)史料轉(zhuǎn)化為有價(jià)值的教學(xué)材料進(jìn)行了積極的嘗試,并取得了較好的效果.

    深度融合是數(shù)學(xué)文化進(jìn)課堂的應(yīng)然要求,為了數(shù)學(xué)的教和學(xué)服務(wù),數(shù)學(xué)文化才能入耳,更能入腦、入心.?dāng)?shù)學(xué)文化素材不僅是課堂的調(diào)味品,更重要的是引發(fā)學(xué)生的學(xué)習(xí)動(dòng)機(jī),創(chuàng)設(shè)學(xué)習(xí)情境,提出研究課題,啟迪研究思路,具有情境載體、思想引領(lǐng)、方法示范、文化熏陶等多重教育功能.?dāng)?shù)學(xué)史料中的問(wèn)題和方法也可以成為探究新課、知識(shí)應(yīng)用的理想素材.

    3.2 案例啟示

    (1)在數(shù)學(xué)文化中提出新的研究對(duì)象,涵育理性思維品質(zhì)

    任何一個(gè)數(shù)學(xué)研究對(duì)象都不是橫空出世,都有它的源頭,都有其學(xué)習(xí)的必要性.研究數(shù)學(xué)史料,挖掘數(shù)學(xué)文化內(nèi)涵,是提出新的研究對(duì)象的重要途徑.《課標(biāo)2022》中指出,數(shù)學(xué)課程培養(yǎng)學(xué)生的核心素養(yǎng),主要體現(xiàn)為“三會(huì)”,即會(huì)用數(shù)學(xué)的眼光觀察現(xiàn)實(shí)世界、會(huì)用數(shù)學(xué)的思維思考現(xiàn)實(shí)世界、會(huì)用數(shù)學(xué)的語(yǔ)言表達(dá)現(xiàn)實(shí)世界.其中數(shù)學(xué)眼光主要表現(xiàn)包括:“能夠在實(shí)際情境中發(fā)現(xiàn)和提出有意義的數(shù)學(xué)問(wèn)題,進(jìn)行數(shù)學(xué)探究;逐步養(yǎng)成從數(shù)學(xué)角度觀察現(xiàn)實(shí)世界的意識(shí)和習(xí)慣,發(fā)展好奇心、想象力和創(chuàng)新意識(shí).”[1]5因此,借鑒或重構(gòu)數(shù)學(xué)文化內(nèi)容,讓數(shù)學(xué)文化轉(zhuǎn)化為充滿(mǎn)教育意蘊(yùn)的生動(dòng)素材,將新知置于具體的文化情境中,為所教的數(shù)學(xué)知識(shí)提供動(dòng)機(jī)和目的,引導(dǎo)學(xué)生提出新問(wèn)題,研究新對(duì)象,通過(guò)數(shù)學(xué)文化“理解數(shù)學(xué)”,涵育思維,這是發(fā)展學(xué)生核心素養(yǎng)的理想選擇.

    如上述課例的引入課題環(huán)節(jié),即是通過(guò)“出入相補(bǔ)”法的介紹將歷史意蘊(yùn)悄無(wú)聲息地融入教學(xué)中,實(shí)現(xiàn)了概念的引入以及問(wèn)題的探究,讓新知自然發(fā)生.

    再如,南京的杭秉全老師在執(zhí)教一節(jié)“乘法公式”公開(kāi)課時(shí),課的結(jié)尾處有這樣的片段:

    師:“今天我們研究了完全平方公式,你能提出一個(gè)值得繼續(xù)研究的問(wèn)題嗎?”

    生:“我在想,有沒(méi)有完全立方公式?”

    師:“你的問(wèn)題提得很好!中國(guó)南宋的楊輝,他的研究方向和你一樣,他已經(jīng)出成果了,你可以去了解一下……”

    教師沒(méi)有直接說(shuō)明“楊輝三角”,而用輕松詼諧的語(yǔ)言創(chuàng)設(shè)理性思維情境,引導(dǎo)學(xué)生以先賢為榜樣,繼完全平方公式后對(duì)整式乘法進(jìn)行深入研究,激發(fā)學(xué)生探索數(shù)學(xué)的熱情,培養(yǎng)永不滿(mǎn)足的學(xué)習(xí)品質(zhì)和追求新知的科學(xué)態(tài)度.

    (2)在數(shù)學(xué)文化中生發(fā)性質(zhì)規(guī)律猜想,發(fā)展邏輯推理能力

    數(shù)學(xué)離不開(kāi)推理.合情推理用于發(fā)現(xiàn)結(jié)論,演繹推理用于證明結(jié)論,兩者相輔相成,缺一不可[4]6-7很長(zhǎng)一段時(shí)間內(nèi),我們的教學(xué)更重視演繹推理而忽視合情推理,這不利于學(xué)生創(chuàng)新能力的發(fā)展.《課標(biāo)2022》提出:初中階段的核心素養(yǎng)主要表現(xiàn)包括“推理能力”和“創(chuàng)新意識(shí)”,創(chuàng)新意識(shí)的內(nèi)涵具體指向“通過(guò)具體的實(shí)例,運(yùn)用歸納和類(lèi)比發(fā)現(xiàn)數(shù)學(xué)關(guān)系與規(guī)律,提出數(shù)學(xué)命題與猜想,并加以驗(yàn)證”[1]11.因此,發(fā)展合情推理能力,引導(dǎo)學(xué)生大膽猜想,有利于樹(shù)立學(xué)生的創(chuàng)新意識(shí),培養(yǎng)科學(xué)態(tài)度.而數(shù)學(xué)文化內(nèi)容可以為形成猜想提供適切、有趣的學(xué)習(xí)情境.

    如上述課例中,“出入相補(bǔ)”法啟發(fā)了學(xué)生對(duì)三角形中位線性質(zhì)的發(fā)現(xiàn);再如,后續(xù)“三角形的中位線”應(yīng)用課上,可以引導(dǎo)學(xué)生通過(guò)改變?cè)倪呅蔚男螤顚?duì)瓦里尼翁四邊形(中點(diǎn)四邊形)的性質(zhì)進(jìn)行猜想,并推導(dǎo)證明,同時(shí)對(duì)“瓦里尼翁四邊形”名稱(chēng)的由來(lái)進(jìn)行背景介紹;又如,學(xué)習(xí)了“圓”的新知后,設(shè)計(jì)學(xué)生通過(guò)畫(huà)圓繪制“萊洛三角形”的拓展活動(dòng)[5],并研究它的性質(zhì),學(xué)生沿著先人的足跡體會(huì)發(fā)現(xiàn)的價(jià)值,體驗(yàn)數(shù)學(xué)之美,同時(shí),合情推理和演繹推理能力協(xié)同發(fā)展,既培養(yǎng)了創(chuàng)新精神,又形成嚴(yán)謹(jǐn)?shù)倪壿嬎季S方式.

    (3)在數(shù)學(xué)文化中形成問(wèn)題解決策略,滲透數(shù)學(xué)思想方法

    數(shù)學(xué)的發(fā)展承載著學(xué)科底蘊(yùn)和文化背景,尤其是數(shù)學(xué)家在創(chuàng)造過(guò)程中突發(fā)的靈感、深遂的思想以及因某一問(wèn)題而頓悟的心境等都是隱性的學(xué)習(xí)資源.個(gè)體理解數(shù)學(xué)的過(guò)程與數(shù)學(xué)歷史發(fā)展的過(guò)程具有相似性,前人的思想和智慧,前人在解決某個(gè)問(wèn)題時(shí)曾經(jīng)出現(xiàn)的錯(cuò)誤或障礙可以使學(xué)生獲得戰(zhàn)勝困難的勇氣,更重要的是獲得思想方法的啟發(fā).

    如上述課例中,引導(dǎo)學(xué)生從“出入相補(bǔ)”法得到性質(zhì)證明的思路;再如,在教學(xué)“相似三角形”的應(yīng)用時(shí),學(xué)習(xí)公元前600年左右,古希臘數(shù)學(xué)家泰勒斯(Thales)憑借一根細(xì)繩測(cè)出了金字塔高度的方法,啟發(fā)學(xué)生探究如何測(cè)量旗桿的高度,從而實(shí)現(xiàn)智慧傳承、精神超越.

    (4)在數(shù)學(xué)文化中感悟數(shù)學(xué)知識(shí)應(yīng)用,增強(qiáng)學(xué)以致用意識(shí)

    數(shù)學(xué)發(fā)展史中流傳已久的歷史名題有著經(jīng)典性、歷史性、趣味性等特點(diǎn),是數(shù)學(xué)知識(shí)應(yīng)用的重要源泉.這些數(shù)學(xué)問(wèn)題經(jīng)過(guò)歲月的洗禮依舊歷久彌新,對(duì)其進(jìn)行再探索,除了能鞏固知識(shí)、激發(fā)興趣,還能提高學(xué)生對(duì)數(shù)學(xué)發(fā)展的洞察力,增強(qiáng)對(duì)數(shù)學(xué)“社會(huì)角色”和“多元文化”內(nèi)涵的理解,改進(jìn)學(xué)生的數(shù)學(xué)觀,培養(yǎng)應(yīng)用意識(shí).

    如上述課例中,古代數(shù)學(xué)文獻(xiàn)中記載的四兄弟等分三角形田地的問(wèn)題是三角形中位線的典型應(yīng)用;再如,我國(guó)古代數(shù)學(xué)名著《九章算術(shù)》中的“盈不足”問(wèn)題,可以作為“二元一次方程組的應(yīng)用”的 學(xué)習(xí)載體,融入課堂設(shè)計(jì);又如,教學(xué)“對(duì)頂角”時(shí),先介紹《墨經(jīng)》中記載的“小孔成像”[6],并組織學(xué)生分組進(jìn)行實(shí)驗(yàn),感知“對(duì)頂角”,進(jìn)而對(duì)“對(duì)頂角”進(jìn)行研究,這種課堂組織不僅加強(qiáng)了數(shù)學(xué)、物理學(xué)科的聯(lián)系,而且讓學(xué)生體會(huì)墨家躬身實(shí)踐的學(xué)習(xí)理念,體悟到數(shù)學(xué)與生活實(shí)際的關(guān)系,增強(qiáng)學(xué)以致用的意識(shí).

    當(dāng)然,數(shù)學(xué)文化與課堂教學(xué)的深度融合需要數(shù)學(xué)教師有深厚的數(shù)學(xué)文化底蘊(yùn),對(duì)數(shù)學(xué)研究對(duì)象的起源、聯(lián)系、推廣、應(yīng)用等方面的歷史、文化素材有全面的了解,在教學(xué)設(shè)計(jì)時(shí)能既關(guān)注趣味性,又關(guān)注有效性、科學(xué)性和可學(xué)性,使學(xué)生在充滿(mǎn)文化味的課堂中體驗(yàn)數(shù)學(xué)知識(shí)的探究過(guò)程,完成知識(shí)內(nèi)化、吸收的同時(shí)獲得思維的發(fā)展、品格的提升等.在教學(xué)時(shí),如何設(shè)計(jì)更加有利于學(xué)生的學(xué)是根本,這還需要我們?cè)趯⒗砟盥鋵?shí)于實(shí)踐的道路上不斷探索.

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