新高考背景下提升高三數(shù)學(xué)一輪復(fù)習(xí)效果的幾點(diǎn)探索

楊元韡 (江蘇省常州高級(jí)中學(xué) 213003)

隨著《普通高中數(shù)學(xué)課程標(biāo)準(zhǔn)(2017年版2020年修訂)》(下稱《課程標(biāo)準(zhǔn)》)的頒布，全國(guó)大部分省市已陸續(xù)進(jìn)入新高考階段．從2021年起，江蘇等七省的數(shù)學(xué)高考采用全國(guó)新高考I卷，近兩年的全國(guó)新高考I卷相對(duì)于江蘇省自主命制的高考卷，在試卷結(jié)構(gòu)、試題題型、試題難度、考查內(nèi)容上都發(fā)生了較明顯的變化，最為顯著的變化是全國(guó)新高考I卷沒(méi)有考試說(shuō)明，給命題帶來(lái)了更大的靈活性．

面對(duì)上述變化，高三數(shù)學(xué)一輪復(fù)習(xí)起著至關(guān)重要的作用．一輪復(fù)習(xí)不僅要全面梳理知識(shí)，更要注重知識(shí)之間的聯(lián)系，縱橫比較，揭示規(guī)律，提煉方法，構(gòu)建網(wǎng)絡(luò)，而且還要為二輪大單元微專題復(fù)習(xí)提供知識(shí)、方法、思想的基礎(chǔ)，提升學(xué)生在陌生情境中解決問(wèn)題的能力．如何在新高考背景下提升高三數(shù)學(xué)一輪復(fù)習(xí)效果就成為一個(gè)值得探討的話題．筆者根據(jù)自身高三數(shù)學(xué)一輪復(fù)習(xí)的教學(xué)實(shí)踐，結(jié)合蘇州大學(xué)出版社出版的《高中數(shù)學(xué)教學(xué)與測(cè)試(總復(fù)習(xí))》(下稱《總復(fù)習(xí)》)等教學(xué)資源，談幾點(diǎn)做法．

1 引導(dǎo)學(xué)生形成整體觀與聯(lián)系觀，構(gòu)建知識(shí)網(wǎng)絡(luò)體系

通過(guò)教師的積極引導(dǎo)，讓學(xué)生形成整體觀與聯(lián)系觀，以構(gòu)建知識(shí)網(wǎng)絡(luò)體系，是一輪復(fù)習(xí)的重要任務(wù)．這里的整體觀主要是單元內(nèi)的整體觀，即立足于單元整體視角，明確單元的邏輯主線，凸顯單元的核心內(nèi)容，厘清單元內(nèi)各部分之間的關(guān)聯(lián)．這里的聯(lián)系觀是指在融會(huì)貫通單元各節(jié)、單元之間內(nèi)容的基礎(chǔ)上，形成綜合運(yùn)用單元內(nèi)或單元間多個(gè)知識(shí)點(diǎn)與方法解決問(wèn)題的意識(shí)，充分體現(xiàn)了思維的廣闊性與靈活性．為增強(qiáng)學(xué)生的整體觀與聯(lián)系觀，可先從單元入手，合理劃分每一節(jié)內(nèi)容，再?gòu)墓?jié)這個(gè)更小的單位，引導(dǎo)學(xué)生理清它所包含的知識(shí)關(guān)聯(lián)，繼而將各節(jié)知識(shí)進(jìn)行“整合”，構(gòu)建本單元的知識(shí)網(wǎng)絡(luò)體系，其常見(jiàn)的“整合”形式為制作思維導(dǎo)圖或框圖．

據(jù)筆者廣泛了解，大部分高中學(xué)校采用一輪復(fù)習(xí)參考書與校本資料相結(jié)合的形式作為一輪復(fù)習(xí)的資源．市面上多數(shù)高三數(shù)學(xué)一輪復(fù)習(xí)參考書的知識(shí)梳理部分是以填空題的形式羅列本節(jié)的知識(shí)點(diǎn)，以識(shí)記為主，容易造成知識(shí)的碎片化．以“三角函數(shù)”作為大單元為例，《總復(fù)習(xí)》將其劃分為7節(jié)，“三角函數(shù)的和、差、倍角公式”是其中一節(jié)，該節(jié)的“本課導(dǎo)航”欄目中既清晰明了地給出了《課程標(biāo)準(zhǔn)》對(duì)本節(jié)課的學(xué)習(xí)要求，還給出了公式關(guān)系圖(因篇幅所限，僅列部分)：

(1)兩角差的余弦公式cos(α-β)=cosαcosβ+sinαsinβ(記作Cα-β)，可以采用幾何證法(麥克肖恩證法)或者向量證法(向量數(shù)量積的“算 兩次”)．

這樣的公式關(guān)系圖不僅給出了具體的公式，還粗略地給出了它們的關(guān)聯(lián)，并沒(méi)有像教材中那樣詳細(xì)地給出過(guò)程，有較大的“留白”空間．事實(shí)上，在有意義的條件下，三角函數(shù)的和、差、倍角公式都是恒等式，可以通過(guò)代換的方法從一個(gè)公式得到另一個(gè)公式，從而形成一串公式．教師可以讓學(xué)生補(bǔ)全這些“箭頭”推理的“留白”空間，在厘清各公式聯(lián)系的同時(shí)，強(qiáng)化變換這一基本思想，更好地幫助學(xué)生作出本節(jié)內(nèi)容或整個(gè)單元的思維導(dǎo)圖或框圖，構(gòu)建知識(shí)網(wǎng)絡(luò)體系．教學(xué)實(shí)踐表明，一般來(lái)說(shuō)，學(xué)生越是善于做單元的思維導(dǎo)圖或框圖，其數(shù)學(xué)學(xué)業(yè)水平往往也越好．

2 例題精選兼顧單一性與綜合性，以螺旋式鞏固舊知

在高三數(shù)學(xué)一輪復(fù)習(xí)中，例題的選擇要依據(jù)復(fù)習(xí)的內(nèi)容而定．例如概念復(fù)習(xí)課的例題要聚焦概念本身，通過(guò)對(duì)概念的辨析與運(yùn)用，讓學(xué)生厘清概念的內(nèi)涵與外延；再如公式復(fù)習(xí)課的例題要關(guān)注公式及其各類變形的運(yùn)用，增強(qiáng)運(yùn)用公式的靈活性等．

精選例題要兼顧單一性和綜合性．例題的單一性是指例題本身考查的知識(shí)點(diǎn)或方法單一，其目的更加凸顯所要復(fù)習(xí)的核心概念、定理、公式等，去除一些冗繁的干擾條件，直奔主題；例題的綜合性是指例題本身考查的知識(shí)點(diǎn)或方法有多個(gè)，往往需要綜合運(yùn)用已經(jīng)復(fù)習(xí)的知識(shí)點(diǎn)、方法及本節(jié)知識(shí)點(diǎn)、方法才能順利解決．綜合性例題的好處在于對(duì)已學(xué)習(xí)內(nèi)容進(jìn)行鞏固，同時(shí)又將問(wèn)題的重心放在對(duì)本節(jié)課內(nèi)容的考查上，不喧賓奪主．如果高三一輪復(fù)習(xí)都采用單一性例題線性地推進(jìn)復(fù)習(xí)過(guò)程，前面學(xué)習(xí)的內(nèi)容很容易遺忘；如果都采用綜合性例題復(fù)習(xí)，則時(shí)間上消耗過(guò)多，且主題不夠凸顯，容易出現(xiàn)費(fèi)時(shí)費(fèi)力又效果不佳的窘境．因此，兩者要兼顧，它們的比例可以根據(jù)學(xué)情調(diào)整，這樣可以以螺旋式鞏固舊知，減少遺忘．從近幾年的全國(guó)I卷來(lái)看，綜合性的試題占有相當(dāng)大的比例，單一性的試題越來(lái)越少，這是新高考變化的整體趨勢(shì)．下面給出兩例及說(shuō)明．

·單一性的例題舉例(《總復(fù)習(xí)》第5.1節(jié)例2及變式形成的題組)：

變式1 已知角α的終邊經(jīng)過(guò)點(diǎn)P(5m, -12m)(m≠0)，求sinα,cosα,tanα的值．

說(shuō)明此題組聚焦三角函數(shù)的定義，三個(gè)問(wèn)題的難度拾階而上.例題與變式1都是利用終邊上點(diǎn)的坐標(biāo)來(lái)求相應(yīng)的三角函數(shù)，其中包含方程思想、分類討論思想，屬于定義的正向應(yīng)用；變式2可以通過(guò)挖掘情境中的信息，利用三角函數(shù)的定義得出點(diǎn)坐標(biāo)，屬于定義的反向應(yīng)用．通過(guò)對(duì)題組的思考，學(xué)生對(duì)三角函數(shù)的定義會(huì)有較為深刻的認(rèn)識(shí)．

·綜合性的例題舉例(《總復(fù)習(xí)》第5.5節(jié) 習(xí)題)：

說(shuō)明本題小巧精致，雖為習(xí)題，但仍可作例題使用．一方面考查了三角函數(shù)的定義，另一方面考查了三角函數(shù)和差角公式，但是考查的重心仍在后者，起到了復(fù)習(xí)舊知又鞏固新知的效果．本題可以利用正余弦的和差角公式求解，也可以用正切的和差角公式求解，具有較寬的入口，不禁錮學(xué)生思維，教師可以讓學(xué)生比較多種解法哪個(gè)更簡(jiǎn)潔．

3 習(xí)題選擇注重層次性與創(chuàng)新性，增強(qiáng)學(xué)生思辨能力

在高三數(shù)學(xué)一輪復(fù)習(xí)中，習(xí)題選擇是非常重要的，它是提高學(xué)生學(xué)習(xí)質(zhì)量的重要途徑．習(xí)題選擇建議以備課組為單位，進(jìn)行合理分工，保質(zhì)保量完成整體的習(xí)題設(shè)計(jì)，減少每位教師工作量的同時(shí)提高效益．

習(xí)題選擇要注重層次性，要有基礎(chǔ)題、中檔題、較難題及難題，它們的比例可依據(jù)學(xué)情而定．基礎(chǔ)題應(yīng)聚焦概念、定理及公式本身；中檔題與較難題有一定的思維量，不偏不倚，需要綜合運(yùn)用多個(gè)知識(shí)和方法解決；難題往往具有較高的思維量，有一定的探究性和啟發(fā)性．這樣可以讓學(xué)生從多個(gè)難度層次上得到練習(xí)．《總復(fù)習(xí)》將習(xí)題按難度要求分為三類：練習(xí)鞏固、思考運(yùn)用、拓展探索，相對(duì)而言題量適中，有較大的選擇余地．若刪除了其中部分習(xí)題，不足的部分可以用校本資料作為補(bǔ)充，形成適合本校學(xué)生學(xué)情的資源庫(kù)．

習(xí)題選擇要注重創(chuàng)新性．新高考背景下試題的創(chuàng)新力度非常大，如出現(xiàn)以社會(huì)生活、數(shù)學(xué)文化為背景的情境題，解答題中出現(xiàn)的結(jié)構(gòu)不良試題體現(xiàn)了條件設(shè)置的變化，填空題中出現(xiàn)的舉例題則體現(xiàn)了設(shè)問(wèn)形式的變化．面對(duì)新高考不斷創(chuàng)新的特點(diǎn)，習(xí)題中也要選擇適當(dāng)?shù)木哂袆?chuàng)新特色的題目，來(lái)增強(qiáng)學(xué)生的思辨能力，減少畏懼心理，以便學(xué)生從容應(yīng)對(duì)陌生情境．《總復(fù)習(xí)》緊扣新高考特點(diǎn)，設(shè)置了一系列創(chuàng)新性問(wèn)題，這些問(wèn)題大部分集中在拓展探索欄目里，非常值得基礎(chǔ)中等及以上的學(xué)生選用．下面以2022屆高三四校聯(lián)考的一道試題為例，說(shuō)明其創(chuàng)新之處．

題目已知△ABC中，角A,B,C所對(duì)的邊分別為a,b,c，sinBcosA>sinC．

(1)求證：B為鈍角；

解析(1)證略(提示：可以化“邊”證明，也可以化“角”證明).

說(shuō)明本題不屬于結(jié)構(gòu)不良題，盡管結(jié)果是封閉的，但仍具有探究性．本題的主要亮點(diǎn)是設(shè)問(wèn)方式比較新穎獨(dú)特，具有創(chuàng)新性的特點(diǎn)．要求證明只有某確定的3個(gè)條件組成的條件組存在相應(yīng)的三角形與之對(duì)應(yīng)，言外之意是含3個(gè)條件的其他條件組都不存在相應(yīng)的三角形與之對(duì)應(yīng)．解答時(shí)，如果學(xué)生結(jié)合(1)，很快就得到①②相互矛盾，通過(guò)推理發(fā)現(xiàn)只有兩種可能，這樣就減少了討論的類別，最后判斷這兩種情形即可．本題考查了學(xué)生的邏輯推理能力和思辨能力，是一道非常好的試題，作為習(xí)題或考題使用都比較合適．

4 “錯(cuò)題”改編體現(xiàn)變化性與延展性，潛移默化糾正偏差

在高三數(shù)學(xué)一輪復(fù)習(xí)中，學(xué)生做錯(cuò)題的歸因是多樣的，有一些是對(duì)數(shù)學(xué)概念、定理、公式的理解出現(xiàn)偏差造成的，也有一些是審題不清、運(yùn)算錯(cuò)誤等造成的．若將學(xué)生做錯(cuò)的題簡(jiǎn)稱為“錯(cuò)題”的話，則典型的“錯(cuò)題”往往不是在極個(gè)別的學(xué)生中出現(xiàn)，而是在一個(gè)小群體(約20%～30%的學(xué)生)中出現(xiàn)，主要是因?yàn)楦拍钣洃浤：磺?、?duì)定理與公式的適應(yīng)條件不清、基本思想方法不熟練等原因造成的．

以典型的“錯(cuò)題”為藍(lán)本，經(jīng)過(guò)改編，可以成為具有變化性和延展性的題組，適合進(jìn)行有針對(duì)性的偏差糾正．改編的方式，可以是轉(zhuǎn)換試題的情境，可以改變?cè)囶}的設(shè)問(wèn)方式，可以交換條件(或部分條件)與結(jié)論(或部分結(jié)論)，這樣改編題在形式上與“錯(cuò)題”有較大差別，學(xué)生對(duì)它們具有新鮮感．長(zhǎng)期做“錯(cuò)題”改編，能達(dá)到潛移默化、潤(rùn)物細(xì)無(wú)聲般的糾偏效果．具體的做法流程為“題目→錯(cuò)解→交流→歸因→改編→反饋→總結(jié)”，其中的交流環(huán)節(jié)即與做錯(cuò)題目的學(xué)生交流找到出現(xiàn)問(wèn)題的真正原因，它是做好合理歸因的前提，“錯(cuò)題”改編之后還有反饋環(huán)節(jié)，檢驗(yàn)學(xué)生有沒(méi)有真正地實(shí)現(xiàn)糾偏，最后總結(jié)環(huán)節(jié)應(yīng)該有一定的延展性，如得到一般性結(jié)論，給出方法總結(jié)、解題感悟等，避免出現(xiàn)就題論題的情況，最終使學(xué)生達(dá)到融會(huì)貫通的狀態(tài)．下面以一個(gè)數(shù)列問(wèn)題為例，列舉部分環(huán)節(jié)加以說(shuō)明．

題目已知數(shù)列{an}的前n項(xiàng)和為Sn，an≠0，a1=1，且2anan+1=4Sn-3(n∈N*)，求數(shù)列{an}的通項(xiàng)公式．

錯(cuò)解 因?yàn)?anan+1=4Sn-3(n∈N*) ①，所以2an-1an+2=4Sn+1-3 ②．②-①，得2an+1(an+2-an)=4an+1．因?yàn)閍n+1≠0，所以an+2-an=2．因此，數(shù)列{an}的奇數(shù)項(xiàng)與偶數(shù)項(xiàng)構(gòu)成公差為2的等差數(shù)列，故數(shù)列{an}是公差為1的等差數(shù)列．又a1=1，則an=n．

改編(1)一個(gè)項(xiàng)數(shù)為8的有窮數(shù)列{an}，其奇數(shù)項(xiàng)和偶數(shù)項(xiàng)分別構(gòu)成公差為3的等差數(shù)列，但數(shù)列{an}不是等差數(shù)列，則數(shù)列{an}可以是．(寫出滿足條件的一個(gè)數(shù)列即可)

總結(jié)(1)若一個(gè)數(shù)列的奇數(shù)項(xiàng)和偶數(shù)項(xiàng)分別成公差相同的等差數(shù)列，當(dāng)且僅當(dāng)該數(shù)列的前三項(xiàng)成等差數(shù)列時(shí)，這個(gè)數(shù)列成等差數(shù)列；(2)先求數(shù)列的通項(xiàng)公式，再借助于定義，這也是證明數(shù)列是等差數(shù)列(或等比數(shù)列)的一種方法；(3)回到定義是證明數(shù)列是等差數(shù)列或等比數(shù)列的最根本的方法，深刻理解兩個(gè)定義非常重要．

5 結(jié)語(yǔ)

新高考背景下，如何提高高三數(shù)學(xué)一輪復(fù)習(xí)的效果還有很多方面值得我們?nèi)ニ伎?，本文僅提了幾點(diǎn)做法作為探索，希望能拋磚引玉，也希望能看到更多且更有效的在減輕學(xué)生學(xué)習(xí)負(fù)擔(dān)的基礎(chǔ)上提高數(shù)學(xué)關(guān)鍵能力的具體做法！