指向高階思維的圓錐曲線解題教學(xué)

滕詩(shī)媛 (浙江省溫州市第八高級(jí)中學(xué) 325000)

圓錐曲線是高中數(shù)學(xué)知識(shí)中的重要內(nèi)容之一，也是高考的一個(gè)高頻考點(diǎn)，往往出現(xiàn)在選擇或填空題的靠后位置和大題的倒數(shù)第二題，其難度和重要程度不言而喻．圓錐曲線主要考查學(xué)生的直觀想象、數(shù)學(xué)運(yùn)算和邏輯推理等核心素養(yǎng)，難點(diǎn)在于計(jì)算量大和幾何條件代數(shù)化．

圖1

(2)若存在不過(guò)原點(diǎn)的直線l，使得M是線段AB的中點(diǎn)，求p的最大值．

本題的第(1)題比較簡(jiǎn)單，本文重點(diǎn)對(duì)第(2)題進(jìn)行研究．學(xué)生拿到題目按照以往的慣性思維進(jìn)行解題：設(shè)點(diǎn)A(線)、聯(lián)立(拋物線和橢圓方程)、建立目標(biāo)函數(shù)求最值[1]．解題思路自然，但解法繁瑣，學(xué)生沒(méi)有足夠的時(shí)間將題目解完整，甚至沒(méi)辦法將目標(biāo)函數(shù)與已知條件聯(lián)系起來(lái).究其原因是學(xué)生未能思考問(wèn)題本質(zhì)進(jìn)而形成自己的解題策略，而教師也往往停留在常規(guī)解題方法進(jìn)行教學(xué)，沒(méi)有分出時(shí)間與精力處理學(xué)生這一個(gè)性化問(wèn)題．

布魯姆教育目標(biāo)分類原理將認(rèn)知過(guò)程分為記憶、理解、應(yīng)用、分析、評(píng)價(jià)、創(chuàng)造六個(gè)維度[2]．以 本題而言，考查的是學(xué)生邏輯思維能力(即能正確領(lǐng)會(huì)題意，明確解題目標(biāo)，能尋找到實(shí)現(xiàn)解題目標(biāo)的方向和合適的解題方法，對(duì)應(yīng)應(yīng)用與分析目標(biāo))，運(yùn)算求解能力(即能根據(jù)法則、公式進(jìn)行正確運(yùn)算變形，根據(jù)問(wèn)題的條件和目標(biāo)，尋找多種途徑，設(shè)計(jì)較為適合的方法進(jìn)行運(yùn)算、變形，對(duì)應(yīng)應(yīng)用與評(píng)價(jià)目標(biāo))和綜合應(yīng)用能力(即能對(duì)具體問(wèn)題陳述的材料用數(shù)學(xué)語(yǔ)言正確地表述，用所學(xué)的數(shù)學(xué)知識(shí)、思想和方法解決問(wèn)題，對(duì)應(yīng)分析、評(píng)價(jià)以及創(chuàng)造目標(biāo))．對(duì)照布魯姆六大認(rèn)知能力，這道題乃至這類題目的解題思維顯然屬于后三種的高階思維．在此類題目的解析過(guò)程中，幾何條件與代數(shù)表達(dá)進(jìn)行互化無(wú)疑是引導(dǎo)學(xué)生形成高階思維的能力載體，因此如何引導(dǎo)學(xué)生利用已有幾何性質(zhì)來(lái)分析與比較解題方法并將計(jì)算簡(jiǎn)化、將幾何條件與代數(shù)表達(dá)進(jìn)行互化成了教師必須研究的問(wèn)題．

1 溯本清源，理清學(xué)生思維癥結(jié)

筆者根據(jù)布魯姆六大認(rèn)知目標(biāo)，對(duì)本題進(jìn)行能力知識(shí)二維目標(biāo)的編碼分析，形成了問(wèn)卷，試圖通過(guò)學(xué)生答題結(jié)果與問(wèn)卷調(diào)查的對(duì)應(yīng)分析，找出學(xué)生“卡脖子”的具體原因，進(jìn)而提出對(duì)應(yīng)的解決方案．

問(wèn)卷的問(wèn)題大致設(shè)置如下：

1．本次考試你的得分為分．

2．第21題你的得分為分．

3．第(1)題若未得滿分，你失分的原因是( )．

A．拋物線定義忘記了B．計(jì)算出錯(cuò)

C．其他

4．為了建立目標(biāo)函數(shù)，第(2)題你選取的自變量是( )．

A．k(直線l的斜率)B．點(diǎn)A坐標(biāo)

C．m(直線x=my+t) D．其他

5．第(2)題若未得滿分，你失分的原因是( )．

A．設(shè)出直線方程，與橢圓聯(lián)立后不知道該怎么做

B．用韋達(dá)定理得到點(diǎn)M,B坐標(biāo)后，算不下去了

C．運(yùn)算過(guò)程出錯(cuò)，導(dǎo)致后面做不下去

D．想利用拋物線方程把點(diǎn)M和A坐標(biāo)表示出來(lái)，有思路，不會(huì)算

E．想利用M是中點(diǎn)，用點(diǎn)差法轉(zhuǎn)化為斜率問(wèn)題，沒(méi)算出答案

F．無(wú)從入手

G．其他

6．在解決這道題的過(guò)程中，你認(rèn)為自己還存在哪些問(wèn)題( )．

A．橢圓拋物線的幾何性質(zhì)不熟練

B．運(yùn)算能力不強(qiáng)

C．自變量選取和目標(biāo)函數(shù)的判斷

D．動(dòng)拋物線問(wèn)題識(shí)別不出來(lái)

E．解題時(shí)，不會(huì)比較方法優(yōu)劣

F．其他

問(wèn)卷的第1題和第2題統(tǒng)計(jì)學(xué)生整卷和第21題的得分情況，區(qū)分學(xué)生水平層次，結(jié)合問(wèn)卷的問(wèn)題設(shè)置，將不同水平學(xué)生的失分原因進(jìn)行區(qū)分．學(xué)生水平與得分情況成正相關(guān)，整卷得分在80分以下的學(xué)生第21題的第(2)題得分很低，這部分學(xué)生基本屬于事實(shí)性知識(shí)和概念性知識(shí)沒(méi)有掌握，比如忘記拋物線性質(zhì)，中點(diǎn)條件用不起來(lái)，是記憶、理解問(wèn)題．

參照布魯姆六大認(rèn)知目標(biāo)，分解學(xué)生答題過(guò)程，問(wèn)題3～6羅列了學(xué)生可能出現(xiàn)的錯(cuò)誤、可能會(huì)用的解題方法以及存在的問(wèn)題，試圖對(duì)照錯(cuò)因與解題方法找出學(xué)生在程序性知識(shí)和元認(rèn)知知識(shí)上存在的問(wèn)題．統(tǒng)計(jì)學(xué)生第(2)題失分原因，如 表1所示．

表1 布魯姆認(rèn)知目標(biāo)下學(xué)生解題失分原因分析表

由表1可知，大部分學(xué)生在事實(shí)性知識(shí)和概念性知識(shí)的應(yīng)用上已經(jīng)熟練掌握，也都清楚解析幾何解答題的變量最值問(wèn)題的常用方法，但對(duì)于方法的選取以及數(shù)學(xué)運(yùn)算等程序性知識(shí)和元認(rèn)知知識(shí)的問(wèn)題又顯得無(wú)從下手．多數(shù)學(xué)生失分點(diǎn)集中在選取合適的變量與方法進(jìn)行求解，將方程、函數(shù)、不等式進(jìn)行轉(zhuǎn)換，對(duì)應(yīng)認(rèn)知目標(biāo)屬于分析、評(píng)價(jià)過(guò)程出現(xiàn)問(wèn)題．因此課堂教學(xué)的目標(biāo)應(yīng)聚焦于審清題目要求，以及為了解決問(wèn)題如何引導(dǎo)學(xué)生整理思路，找到數(shù)學(xué)方法簡(jiǎn)化數(shù)學(xué)運(yùn)算進(jìn)而完成解答上．

通過(guò)以上問(wèn)卷調(diào)查的數(shù)據(jù)分析，從低階到高階，學(xué)生的失分率越來(lái)越高，說(shuō)明本題“卡脖子”的原因在于學(xué)生的高階思維存在不足．

2 策略引導(dǎo)，變換技巧尋求突破

上題考查橢圓、拋物線的簡(jiǎn)單幾何性質(zhì)，直線與橢圓、拋物線的位置關(guān)系，線段的中點(diǎn)，這些知識(shí)點(diǎn)對(duì)高三學(xué)生來(lái)說(shuō)都很熟悉，但大部分學(xué)生卻做不出來(lái)，其原因在于缺乏對(duì)解決問(wèn)題的路徑進(jìn)行規(guī)劃，在變量的選取、方法的選擇等問(wèn)題上仍有欠缺，關(guān)鍵問(wèn)題在于數(shù)學(xué)運(yùn)算素養(yǎng)亟待提高．

數(shù)學(xué)運(yùn)算是指在明晰運(yùn)算對(duì)象的基礎(chǔ)上，依據(jù)運(yùn)算法則解決數(shù)學(xué)問(wèn)題的素養(yǎng)．主要包括：理解運(yùn)算對(duì)象，掌握運(yùn)算法則，探究運(yùn)算思路，選擇運(yùn)算方法，設(shè)計(jì)運(yùn)算程序，求得運(yùn)算結(jié)果．在解析幾何問(wèn)題中，運(yùn)算素養(yǎng)主要體現(xiàn)在變量的選擇、條件的代數(shù)解讀、問(wèn)題的代數(shù)解析．

常規(guī)做法很多時(shí)候不是最好的方法，在高考時(shí)間緊、難度大的背景下，若能對(duì)這一類題形成解題策略，學(xué)生便能提高得分率，更重要的是能引導(dǎo)學(xué)生從解題技巧的提高走向解題策略的提煉，成為以高階目標(biāo)驅(qū)動(dòng)技巧方法、提升思維能力的教學(xué)．為了引出仿射變換，尋求橢圓與圓之間的聯(lián)系，給出一道聯(lián)考試題進(jìn)行變式：

對(duì)以上變式，常規(guī)解題路徑包括運(yùn)用中點(diǎn)弦、聯(lián)立方程用韋達(dá)定理、刻畫三角形面積等，思路清晰計(jì)算量卻巨大．引導(dǎo)學(xué)生思考：是否還有其他方法？

橢圓可以看成是圓保持橫坐標(biāo)不變、縱坐標(biāo)壓縮后得到的圖形.圓有很多很好的性質(zhì)，若能夠得到橢圓與圓之間的變換關(guān)系(即壓縮比)，解題就會(huì)簡(jiǎn)化很多．解法如下：

3 目標(biāo)高階，驅(qū)動(dòng)性問(wèn)題促進(jìn)教學(xué)

一題多解在高中數(shù)學(xué)解題技巧中很常見(jiàn)，簡(jiǎn)化運(yùn)算的本質(zhì)是提高解題過(guò)程的思維含量，因此教師在教學(xué)過(guò)程中借助問(wèn)題進(jìn)階將思維路徑可視化顯得尤為重要．

分析 課本上借助坐標(biāo)關(guān)系求解軌跡方程的推理過(guò)程，旨在尋求點(diǎn)M與點(diǎn)P坐標(biāo)之間的關(guān)系，以點(diǎn)P為中間量，得出點(diǎn)M橫縱坐標(biāo)之間的數(shù)量關(guān)系，這一過(guò)程揭示橢圓與圓的幾何與代數(shù)關(guān)系，將學(xué)生不太熟悉的橢圓問(wèn)題轉(zhuǎn)化為圓的問(wèn)題簡(jiǎn)化運(yùn)算，將邏輯關(guān)系聚焦幾何問(wèn)題坐標(biāo)化上，引導(dǎo)學(xué)生理解問(wèn)題本質(zhì)．

引導(dǎo)學(xué)生猜想：圓具有良好的幾何性質(zhì)，如垂徑定理等，能否將橢圓變成圓，利用圓的有關(guān)性質(zhì)來(lái)輔助解決橢圓的相關(guān)問(wèn)題？

為了更好地剖析問(wèn)題，引發(fā)學(xué)生深度思考，對(duì)照布魯姆教學(xué)目標(biāo)，設(shè)置以下幾個(gè)思考問(wèn)題，如表2所示．

表2 認(rèn)知目標(biāo)與驅(qū)動(dòng)性問(wèn)題設(shè)置的對(duì)應(yīng)關(guān)系