扎根知識(shí)的“來”“用”“走”：從深度學(xué)習(xí)到深度教學(xué)

顧曉峰 (江蘇省錫山高級(jí)中學(xué) 214174)

《普通高中數(shù)學(xué)課程標(biāo)準(zhǔn)(2017版)》的實(shí)施將數(shù)學(xué)核心素養(yǎng)的發(fā)展推向了新的高度，其六大關(guān)鍵能力的獲得依賴于對(duì)數(shù)學(xué)知識(shí)與技能的深層次學(xué)習(xí)，因而以深度學(xué)習(xí)為目標(biāo)的深度教學(xué)成為了當(dāng)下課堂教學(xué)改革的必然選擇.

何為深度學(xué)習(xí)？鄭毓信將其與“淺度學(xué)習(xí)”做對(duì)比時(shí)指出，淺度學(xué)習(xí)主要依靠死記硬背與機(jī)械模仿，滿足于內(nèi)容的簡(jiǎn)單積累，最終造成了“知識(shí)碎片化”的現(xiàn)象[1].深度學(xué)習(xí)則有效地避免了學(xué)習(xí)的膚淺化，重視對(duì)知識(shí)三個(gè)維度的認(rèn)識(shí)：第一，關(guān)注怎么來，即知識(shí)的來龍去脈、發(fā)生過程；第二，關(guān)注怎么用，即知識(shí)如何納入到已有認(rèn)知結(jié)構(gòu)，形成基本的數(shù)學(xué)能力以解決新情境下的新問題；第三，關(guān)注怎么走，即知識(shí)之間如何交融與綜合，發(fā)展到新一層次的認(rèn)知水平.基于深度學(xué)習(xí)的特點(diǎn)，深度教學(xué)重在引導(dǎo)學(xué)生深度參與學(xué)習(xí)過程并深刻把握學(xué)習(xí)內(nèi)容，通過交互式的學(xué)習(xí)方式，激活原有認(rèn)知結(jié)構(gòu)，激發(fā)內(nèi)部學(xué)習(xí)動(dòng)機(jī)，激起思維與情感的體驗(yàn)，有效落實(shí)數(shù)學(xué)核心素養(yǎng).

1 追根溯源——理解知識(shí)的內(nèi)涵

在傳統(tǒng)教學(xué)中，教師為爭(zhēng)取更多訓(xùn)練時(shí)間，對(duì)知識(shí)概念通常進(jìn)行粗放地介紹甚至直白告知，致使學(xué)生的學(xué)與教師的教難以產(chǎn)生共鳴.而深度學(xué)習(xí)扎根于知識(shí)間的聯(lián)系，注重揭示知識(shí)的內(nèi)涵，讓學(xué)生感悟知識(shí)生成的背景和意義.

圖1

圖2

2 情境建構(gòu)——促發(fā)知識(shí)的應(yīng)用

基于高中生的認(rèn)知程度，要使他們?cè)跀?shù)學(xué)學(xué)習(xí)的過程中獲得深度體驗(yàn)，情境的有效建構(gòu)是必不可少的.正如心理學(xué)家克勞德·巴斯蒂安所說，認(rèn)識(shí)的進(jìn)化并非朝向建立愈來愈抽象的認(rèn)識(shí)，而是朝向把他們放置到背景中[3].因此，在教學(xué)中應(yīng)充分利用學(xué)科知識(shí)、環(huán)境資源與學(xué)生的心理特點(diǎn)，建構(gòu)適宜的情境來深入學(xué)習(xí)數(shù)學(xué).

圖3

再比如筆者了解到班級(jí)很多男生喜歡看臺(tái)球比賽，于是設(shè)計(jì)了如下問題：臺(tái)球是起源于歐洲的一項(xiàng)高雅室內(nèi)運(yùn)動(dòng)，通過擊中目標(biāo)球或者對(duì)方失誤而得分.現(xiàn)在臺(tái)面上有一只白色母球，擊打它后要使它碰到藍(lán)色目標(biāo)球，該怎樣控制球桿的方向呢？由于是以真實(shí)的體育項(xiàng)目作為問題背景，頓時(shí)吸引了學(xué)生的“玩勁”，分析擊打臺(tái)球后球是沿著直線運(yùn)動(dòng)，于是畫出俯視圖，將臺(tái)球分別抽象為圓A、圓B，問題歸結(jié)為：找到一個(gè)方向，使得圓A的圓心在此方向上運(yùn)動(dòng)時(shí)，兩圓有交點(diǎn).筆者追問：(1)在A運(yùn)動(dòng)的過程中兩圓一直要有交點(diǎn)嗎？(2)什么叫找到一個(gè)方向？怎么確定？問題(1)讓學(xué)生意識(shí)到圓A在運(yùn)動(dòng)中只要能與圓B有公共點(diǎn)即可，這是存在性問題.問題(2)引導(dǎo)學(xué)生想到可以用斜率或傾斜角來刻畫方向，故需通過建系對(duì)問題進(jìn)行轉(zhuǎn)化：平面直角坐標(biāo)系xOy中，圓B:x2+y2=r2，A(a,b)，直線l過點(diǎn)A且斜率為k，若l上存在一點(diǎn)P，使得以P為圓心，r為半徑的圓和圓B有公共點(diǎn)，求k的取值范圍.這是一個(gè)解析幾何問題，如果對(duì)圓B和點(diǎn)A的位置稍加變化，就成為了2012年江蘇高考題第12題(PPT展示)，學(xué)生“恍然大悟”，原來體育問題還能改編成高考題，而高考題的背后竟然還隱藏著“秘密”！欣喜之余，再次把課堂氛圍推向高潮.

波利亞認(rèn)為，良好的組織使得所提供的知識(shí)容易用上，這甚至比知識(shí)的廣泛更為重要.深度學(xué)習(xí)不刻意加深知識(shí)內(nèi)容本身的難度，而注重對(duì)知識(shí)內(nèi)容的綜合應(yīng)用.因此，深度教學(xué)首先要求教師自身進(jìn)行深度學(xué)習(xí)，善于發(fā)現(xiàn)并建構(gòu)情境，促發(fā)學(xué)生將已有的知識(shí)(包括技能與思想)應(yīng)用到那些不再有明確數(shù)學(xué)腳手架的陌生情境中，讓他們經(jīng)歷從感性猜測(cè)到理性驗(yàn)證，從設(shè)計(jì)方案到實(shí)際測(cè)量，從數(shù)學(xué)運(yùn)算到結(jié)果解釋的過程.久而久之，不僅能使學(xué)生體驗(yàn)到數(shù)學(xué)的實(shí)用價(jià)值，更對(duì)實(shí)現(xiàn)“三會(huì)”的核心目標(biāo)大有裨益.

3 遷移學(xué)習(xí)——深化知識(shí)的發(fā)展

有學(xué)者在對(duì)國(guó)內(nèi)數(shù)學(xué)深度學(xué)習(xí)的研究進(jìn)行綜述后將其特征歸納為四點(diǎn)：深度理解、深度探究、深度體驗(yàn)、深度思維[4].其中深度思維指向?qū)W生的高階思維，包括對(duì)知識(shí)的自主學(xué)習(xí)與創(chuàng)新，這要求學(xué)生在面對(duì)問題(尤其是具有挑戰(zhàn)性的問題)時(shí)具有敏銳的洞察力，批判性的眼光和發(fā)散性的思考，而這方面能力的培養(yǎng)，筆者比較推崇實(shí)施遷移學(xué)習(xí)策略.

例如，在評(píng)講蘇錫常鎮(zhèn)一模試卷的解析幾何題時(shí)，筆者與學(xué)生展開了以下探究.

類比原問題的解法，學(xué)生很快驗(yàn)證了猜想(成為結(jié)論1)，獲得了一定的滿足感.筆者繼續(xù)追問：橢圓是一類特殊的圓錐曲線，大家還有沒有更大膽的想法？課堂氣氛被點(diǎn)燃，有學(xué)生舉手提出雙曲線和橢圓“差不多”，肯定也有類似結(jié)論！但拋物線和它們“長(zhǎng)得”不太一樣，認(rèn)為應(yīng)該沒有相關(guān)結(jié)論.筆者提問，拋物線有焦點(diǎn)、準(zhǔn)線、離心率嗎？拋物線有切線嗎？既然都有，那問題的本質(zhì)屬性有變化嗎？此時(shí)學(xué)生若有所思，覺得拋物線也可以研究.于是筆者將他們分成兩大組，一組研究雙曲線，一組研究拋物線，任務(wù)是提出相關(guān)猜想并進(jìn)行證明，然后上臺(tái)展示和說明.最終得出兩個(gè)新命題：

將以上三個(gè)結(jié)論進(jìn)一步概括、提煉得到結(jié)論4.

圖4

結(jié)論5設(shè)F為橢圓C的一個(gè)焦點(diǎn)，n為相應(yīng)準(zhǔn)線，過橢圓C上一點(diǎn)P作橢圓的切線交n于點(diǎn)N，則FP⊥FN.

在課后，通過學(xué)習(xí)小組的討論研究，發(fā)現(xiàn)結(jié)論5實(shí)際上提供了一種作橢圓一點(diǎn)處切線的方案(過焦點(diǎn)F作F與橢圓上點(diǎn)P連線的垂線并交相應(yīng)準(zhǔn)線于點(diǎn)N，PN就是橢圓的切線).結(jié)論5還可以有其他證法，而且該結(jié)論在雙曲線與拋物線中依然保留……反思教學(xué)過程，種種知識(shí)的發(fā)現(xiàn)并非是學(xué)生(甚至是教師)意料之內(nèi)的，而是在遷移學(xué)習(xí)中舉一反三，打通個(gè)體知識(shí)間的關(guān)聯(lián)，逐漸形成新的認(rèn)知結(jié)構(gòu).由此可知，在以問題解決為核心任務(wù)的教學(xué)中，深度學(xué)習(xí)需要建立在一個(gè)良好的母題之上，在教師的協(xié)助(組織、提示、補(bǔ)充)下以學(xué)生為主體進(jìn)行遷移學(xué)習(xí)，自主挖掘知識(shí)的內(nèi)部屬性，實(shí)現(xiàn)知識(shí)的結(jié)構(gòu)重組，在深化知識(shí)發(fā)展的同時(shí)升華數(shù)學(xué)思維品質(zhì).

總而言之，深度教學(xué)是促使深度學(xué)習(xí)的理念跳出紙面，走進(jìn)課堂，落到實(shí)處的深度實(shí)踐，它承擔(dān)著培養(yǎng)數(shù)學(xué)核心素養(yǎng)的重大使命.從這個(gè)意義上來說，深度教學(xué)應(yīng)具有其明確特征，它表現(xiàn)在講清知識(shí)的源起生成(回答怎么來)，構(gòu)建情境使得所學(xué)知識(shí)靈活應(yīng)用(回答怎么用)，創(chuàng)設(shè)合適條件進(jìn)行知識(shí)遷移學(xué)習(xí)(回答怎么走)，以使學(xué)生在這樣的深度學(xué)習(xí)中獲得能力和素養(yǎng)，這甚至可以延伸應(yīng)用到其他學(xué)科的學(xué)習(xí)與發(fā)展中.