• <tr id="yyy80"></tr>
  • <sup id="yyy80"></sup>
  • <tfoot id="yyy80"><noscript id="yyy80"></noscript></tfoot>
  • 99热精品在线国产_美女午夜性视频免费_国产精品国产高清国产av_av欧美777_自拍偷自拍亚洲精品老妇_亚洲熟女精品中文字幕_www日本黄色视频网_国产精品野战在线观看 ?

    基于數(shù)學(xué)歷史名題的解題教學(xué)
    ——以“不可及物的測量問題”為例

    2022-11-24 17:35:06張維忠浙江師范大學(xué)教師教育學(xué)院321004
    中學(xué)數(shù)學(xué)雜志 2022年10期
    關(guān)鍵詞:解題歷史探究

    侯 甜 張維忠 (浙江師范大學(xué)教師教育學(xué)院 321004)

    解題教學(xué)是數(shù)學(xué)教學(xué)的重要部分,學(xué)生在學(xué)會解題的過程中發(fā)展了思維能力,提高了數(shù)學(xué)核心素養(yǎng)[1].目前的解題教學(xué)存在一些問題:學(xué)生的學(xué)習(xí)興趣被大量解題沖淡;注重解題技巧,忽視思維發(fā)展;題目遠離教材,出現(xiàn)難題怪題;課堂缺乏文化氣息……數(shù)學(xué)歷史名題作為數(shù)學(xué)史的重要內(nèi)容,對數(shù)學(xué)發(fā)展、數(shù)學(xué)教學(xué)和數(shù)學(xué)應(yīng)用有著推動作用,題中真實的問題情境、實質(zhì)性的數(shù)學(xué)思想方法、豐富的人文背景等對于教學(xué)都有重要意義.[2]鑒于此,本文以“不可及物的測量問題”為例,選取《海島算經(jīng)》中的數(shù)學(xué)歷史名題進行教學(xué)設(shè)計,探索數(shù)學(xué)歷史名題如何助推解題教學(xué).

    1 數(shù)學(xué)解題教學(xué)存在的問題

    美國數(shù)學(xué)家哈爾莫斯說:“數(shù)學(xué)的真正組成部分應(yīng)該是問題和解,解題才是數(shù)學(xué)的心臟.”解題教學(xué)是培養(yǎng)學(xué)生發(fā)現(xiàn)和提出問題、分析和解決問題能力,拓展學(xué)生數(shù)學(xué)思維,發(fā)展數(shù)學(xué)核心素養(yǎng)的重要手段.但目前的解題教學(xué)還存在一些問題.為了更好地改進教學(xué),教師應(yīng)當(dāng)正確認識問題,并提出解決策略.

    第一,學(xué)生的學(xué)習(xí)興趣被大量解題沖淡.大多數(shù)解題教學(xué)都是通過枯燥的題目訓(xùn)練來達到讓學(xué)生學(xué)會解題的教學(xué)目的,這種缺乏創(chuàng)新的教學(xué)方法不能滿足學(xué)生的心理需求,大量的題目將數(shù)學(xué)學(xué)科的枯燥性放大,學(xué)生的學(xué)習(xí)興趣、探索熱情被不斷沖淡[3].

    第二,注重解題技巧,忽視思維發(fā)展.解題教學(xué)中通常都充斥著各種類型的題目,教師注重題型分類和變式練習(xí),在對例題進行分類講解后,歸納每種題型的解題方法,要求學(xué)生利用技巧求解問題,并做大量練習(xí).這種教學(xué)方法雖然可以讓學(xué)生快速掌握一些問題的求解方法,收獲短期效益,但長遠來看并不利于學(xué)生的思維發(fā)展,學(xué)生在學(xué)習(xí)過程中沒有進行主動的思考探索,將解題視為根據(jù)題型套技巧的活動[4].

    第三,題目遠離教材,出現(xiàn)難題怪題.重視題型歸類和技巧訓(xùn)練的解題教學(xué),往往從各式各類的題目出發(fā)展開教學(xué),欠缺對學(xué)生知識建構(gòu)的考慮,出現(xiàn)遠離教材的現(xiàn)象,一些難題、怪題還會作為創(chuàng)新點出現(xiàn).

    第四,課堂缺乏文化氣息.盡管當(dāng)前課程改革多次強調(diào)數(shù)學(xué)課堂文化,但解題教學(xué)中的文化氣息仍較為缺乏.教學(xué)在大量刷題中追求標(biāo)準答案,重視從問題背景中提煉關(guān)鍵信息,忽視問題的文化韻味,多為達到功利性、應(yīng)試性目的[5].

    2 數(shù)學(xué)歷史名題助推解題教學(xué)

    在數(shù)學(xué)歷史發(fā)展的長河中,產(chǎn)生了很多對數(shù)學(xué)史有較大影響,對數(shù)學(xué)發(fā)展、數(shù)學(xué)應(yīng)用和數(shù)學(xué)教學(xué)有重要推動作用的數(shù)學(xué)歷史名題.歷史名題通常從現(xiàn)實問題中提出,問題背景真實自然,能很好地體現(xiàn)所涉及數(shù)學(xué)內(nèi)容的實踐價值,同時對于學(xué)生來說,真實的情境不僅利于激發(fā)學(xué)習(xí)興趣還利于知識理解.問題中蘊含的數(shù)學(xué)思想方法,對于學(xué)生的思維發(fā)展有重要促進作用,學(xué)生收獲的不僅是解某一類數(shù)學(xué)問題的方法,更是數(shù)學(xué)地看待問題的思維.教師還可通過數(shù)學(xué)歷史名題中豐富的人文背景對學(xué)生進行文化熏陶、情感教育,落實“立德樹人”的教育目標(biāo).如此,數(shù)學(xué)歷史名題可以從激發(fā)興趣、拓展思維、強化應(yīng)用、文化育人四方面助推解題教學(xué),解決現(xiàn)存問題,改善現(xiàn)有教學(xué).

    融入歷史名題,激發(fā)學(xué)習(xí)興趣.巧妙運用數(shù)學(xué)歷史名題真實自然的問題背景,為原本枯燥的解題過程增添活力.一方面,可以將歷史名題作為教學(xué)引入,用耐人尋味的問題開啟課堂,將學(xué)生的注意力吸引到如何利用所學(xué)解決問題上.另一方面,由于學(xué)生的興趣容易被大量枯燥的題目沖淡,因此在對例題進行分類講解時,可以將歷史名題作為例題或者將歷史名題中的情境改編到例題中,激發(fā)學(xué)生學(xué)習(xí)興趣.

    探究名題解法,拓展數(shù)學(xué)思維.在講解名題時注重多種解法的探究,打破固有思維.?dāng)?shù)學(xué)發(fā)展的不同階段對于名題的求解方法不同,這些方法往往可以體現(xiàn)當(dāng)時數(shù)學(xué)發(fā)展的特點,蘊含著重要的數(shù)學(xué)思想方法,因此教師可以從已有的解題角度出發(fā),引導(dǎo)學(xué)生探究.在引導(dǎo)探究的過程中,更重要的是讓學(xué)生感受解決數(shù)學(xué)問題的多種視角,培養(yǎng)發(fā)散思維[6].

    聯(lián)系教材實際,強化知識應(yīng)用.新一輪課程改革中強調(diào)數(shù)學(xué)文化融入教學(xué),多版初中教科書都分布有數(shù)學(xué)歷史名題,中考試題中數(shù)學(xué)歷史名題的出現(xiàn)頻次也呈上升趨勢.解題教學(xué)應(yīng)與教材實際和學(xué)生已有的知識體系緊密相連[7].為此,教師既可以充分挖掘教材中已有的或隱含的數(shù)學(xué)歷史名題來開啟教學(xué),也可以選取中高考中包含歷史名題的試題進行應(yīng)用鏈接,改善解題教學(xué)中題目遠離教材、偏難偏怪的現(xiàn)象.

    滲透文化背景,進行情感熏陶.?dāng)?shù)學(xué)歷史名題作為數(shù)學(xué)發(fā)展長河中留存下來的經(jīng)典問題,是數(shù)學(xué)世界的璀璨明珠,其深厚的人文背景是對學(xué)生進行情感教育的良好素材.教師在應(yīng)用歷史名題前,應(yīng)充分了解其時代背景、相關(guān)數(shù)學(xué)家、發(fā)展歷史等,讓學(xué)生在認識名題的過程中獲得良好的情感體驗,如感受我國古代數(shù)學(xué)的博大精深,增長民族自信,體會數(shù)學(xué)家嚴謹?shù)闹螌W(xué)態(tài)度和鍥而不舍的探索精神,改變錯誤的學(xué)習(xí)觀念等.

    3 相關(guān)教學(xué)設(shè)計

    解雙直角三角形是初中數(shù)學(xué)的重點內(nèi)容,《義務(wù)教育數(shù)學(xué)課程標(biāo)準(2022年版)》中強調(diào):“知道直角三角形的邊角關(guān)系,理解銳角三角函數(shù),能用銳角三角函數(shù)解決簡單的實際問題.”[8]不可及物的測量問題是解雙直角三角形的經(jīng)典題型,在中考中多次出現(xiàn).《海島算經(jīng)》是我國數(shù)學(xué)家劉徽所著的中國最早運用幾何理論解決各種測量難題的數(shù)學(xué)專著,主要解釋“重差術(shù)”問題,即不可及物高度和距離的測量問題,書中的數(shù)學(xué)問題包含多種真實情境,蘊含著重要的數(shù)學(xué)思想方法,是“不可及物測量問題”教學(xué)的優(yōu)秀素材.

    3.1 名題引入,激起興趣

    魏晉時期偉大的數(shù)學(xué)家劉徽在其著作《海島算經(jīng)》中留下了九道經(jīng)典的測量名題,其中第1題為“望海島”問題——在地面立前后兩根表來測量遠方的一處海島,兩表高均為3丈(5步),相距1 000步,先從前表出發(fā)后退123步觀察海島頂端,再從后表后退127步觀察海島頂端.問:海島高為多少?海島與前表之間的距離為多少?(注:古代1丈=10尺,1步=6尺)

    設(shè)計意圖此題源于現(xiàn)實生活,是有關(guān)不可及物測量問題的數(shù)學(xué)歷史名題,出自我國古代數(shù)學(xué)家劉徽的著作《海島算經(jīng)》,選取此種與教學(xué)內(nèi)容緊密相連的歷史名題引出教學(xué),激發(fā)學(xué)生的學(xué)習(xí)興趣.

    3.2 一題多探,發(fā)展思維

    探究1 預(yù)設(shè)學(xué)生最先想到的解題思路是利用相似三角形的判定及性質(zhì)進行證明,引導(dǎo)學(xué)生應(yīng)用平面幾何的知識證明島高和島去表的測量公式.

    探究2 “望海島”問題本質(zhì)上是解雙直角三角形.在進行本課之前,學(xué)生已經(jīng)學(xué)習(xí)了利用銳角三角函數(shù)解直角三角形,故此引導(dǎo)學(xué)生利用銳角三角函數(shù)的知識證明島高和島去表的測量公式.

    探究3 《海島算經(jīng)》是劉徽在魏晉時期所著,根據(jù)當(dāng)時的數(shù)學(xué)水平,三角學(xué)還未出現(xiàn),現(xiàn)代數(shù)學(xué)家吳文俊認為可以采用“出入相補”原理進行證明,趙爽在《周髀算經(jīng)》中遺留的“日高圖”中也蘊含此思想.引導(dǎo)學(xué)生思考如何利用面積思想和“出入相補”原理證明“望海島”問題.

    設(shè)計意圖引導(dǎo)學(xué)生探究名題的多種解法,從教解題到教思維,在解題教學(xué)中進行思維教學(xué),幫助學(xué)生在問題思考過程中認識問題和解法的本質(zhì),提升思維能力,發(fā)展核心素養(yǎng)[3].探究1中的“比例法”涉及初中平面幾何知識,利用相似三角形對應(yīng)邊成比例的性質(zhì)定理進行求解,是初中生最容易理解和掌握的方法.探究2的“三角法”體現(xiàn)了銳角三角函數(shù)在解直角三角形中的重要作用,“望海島”問題本質(zhì)上是不可及物高度和距離的測量問題,此類問題正是解直角三角形的經(jīng)典題型,三角法是最為普遍的解題方法.探究3中的“面積法”所用到的“出入相補”原理是我國古代數(shù)學(xué)的智慧結(jié)晶,此原理可以應(yīng)用于勾股定理、多邊形面積公式、等差數(shù)列求和等多個教學(xué)之中,引導(dǎo)學(xué)生利用此原理思考“望海島”問題,既是對學(xué)生數(shù)學(xué)思維的培養(yǎng),也能通過體會古代數(shù)學(xué)的博大精深激發(fā)愛國熱情.三次解題探究,讓學(xué)生掌握了多種求解不可及物測量問題的方法,體會從幾何、函數(shù)、代數(shù)等方面進行問題探究的發(fā)散思維.

    3.3 變式檢測,合作探究

    變式1 改編自《海島算經(jīng)》中的“登山望津”問題:如圖1,今有登山望津(AB),津在山南.偃矩山上,令勾(CD)高一丈二尺,從勾端(C)斜望津南岸(A),入下股(DE)二丈三尺一寸;又望津北岸(B),入前望股里一丈八寸(EF),津南岸去山腳(G)五丈二尺(AG).問津廣(AB)幾何?

    圖1 圖2

    變式2 摘自《海島算經(jīng)》中的“望波口”問題:如圖2,今有東南望波口(AB),立兩表(C,D)南北相去九丈(CD),以索薄地連之.當(dāng)北表之西卻行去表六丈(CE),薄地(E)遙望波口南岸(B),入索北端(H)四丈二寸(CH);以望北岸(A),入前所望表里(G)一丈二尺(GH).又卻后行去表十三丈五尺(CF),薄地(F)遙望波口南岸(B),與南表參合.問波口(AB)廣幾何?

    教學(xué)活動:以小組為單位進行討論,探究“望海島”問題的三種解題方法能否求解上述兩個變式,討論“登山望津”問題、“望波口”問題與“望海島”問題有哪些不同.

    設(shè)計意圖《海島算經(jīng)》中包括不可及物測量問題的多種情境,選取其中兩道符合初中生認知發(fā)展水平的名題作為變式探究,并以小組為單位用3.2節(jié)中的三種解題方法求解變式問題.教學(xué)引入的“望海島”問題是在與不可及物底端同一平面上的兩個點,對物體的頂端進行兩次觀測;變式1中改編的“登山望津”問題是在與觀測物不處于同一平面的一個點,對不可及物的兩個端點分別進行觀測;變式2中的“望波口”問題是在兩個點對不可及物進行多次觀測.通過變式問題進一步鞏固解法,在探究解法是否適用的過程中進一步體會數(shù)形結(jié)合、等量代換等數(shù)學(xué)思想,同時將改編后的歷史名題作為變式,真實生動的情境能為解題增添活力,調(diào)動學(xué)生探究的積極性.

    3.4 實戰(zhàn)演練,深化理解

    題1(浙教版)廣場上空有一個氣球A,地面上點B,C,D在一條直線上,BC=20 m.在點B,C分別測得氣球A的仰角∠ABD為45°,∠ACD為56°.求氣球A離地面的高度AD(精確到0.1 m).

    題2(2018·寧波中考)如圖3,某高速公路建設(shè)中需要測量某條江的寬度AB,飛機上的測量人員在C處測得A,B兩點的俯角分別為45°和30°.若飛機離地高度CH為1 200 m,且點H,A,B在同一水平直線上,則這條江的寬度AB為多少m?(結(jié)果保留根號)

    圖3 圖4

    設(shè)計意圖不可及物測量問題在課后習(xí)題中常有出現(xiàn),在中考中出現(xiàn)的頻率也很高,2020年河南省、2019年天津市、2018年衢州市、2014年紹興市等地的中考卷中都有類似考題.選用教材中的課后習(xí)題和中考真題作為應(yīng)用鏈接,加強解題與教材之間的聯(lián)系,一方面能幫助學(xué)生鞏固所學(xué),在解題時回顧教材,梳理知識,進一步完善知識網(wǎng)絡(luò),同時在練習(xí)中考真題時能更好地把握考點,大多數(shù)中考真題的條件簡單,難度較低,利用銳角三角函數(shù)求解最為快捷有效;另一方面,學(xué)生在解題過程中可以體會知識的實際應(yīng)用,感受豐富的文化韻味,保持學(xué)習(xí)的積極性.

    4 進一步的思考

    將《海島算經(jīng)》中的歷史名題融入“不可及物測量問題”的解題教學(xué),真實有趣的情境為課堂增添了活力,學(xué)生在探究名題解法的過程中掌握了求解此類問題的通法,體會到數(shù)形結(jié)合、等量代換等數(shù)學(xué)思想的博大精深,最后練習(xí)相關(guān)課后習(xí)題和中考真題進行知識鞏固,同時教學(xué)還利用歷史名題的時代背景、相關(guān)人物、發(fā)展歷史等對學(xué)生進行文化教育.

    4.1 歷史名題合理融入教學(xué)

    融入教學(xué)的歷史名題應(yīng)與教學(xué)存在緊密聯(lián)系,并符合學(xué)生的認知水平.“望海島”問題是“不可及物測量問題”的經(jīng)典題型,教學(xué)中探究的“比例法”“三角法”“面積法”都能被學(xué)生理解掌握.通常來說,數(shù)學(xué)歷史名題的語言表達較為晦澀難懂,會給學(xué)生帶來一定的認知負擔(dān),教師在教學(xué)過程中可以對題目進行合理改編或增加注釋、圖示,同時注重引導(dǎo)學(xué)生從問題中抽象出數(shù)學(xué)模型.如本教學(xué)案例中的變式2是對《海島算經(jīng)》中“登山望津”問題進行的簡化改編,并配以圖示呈現(xiàn)給學(xué)生,減少學(xué)生的認知負擔(dān).?dāng)?shù)學(xué)歷史名題在經(jīng)過科學(xué)合理的組織之后,能更好地融入并促進教學(xué).

    4.2 多種解法拓展數(shù)學(xué)思維

    解題教學(xué)不能只關(guān)注教解題,還應(yīng)著眼于學(xué)生的思維發(fā)展,讓學(xué)生學(xué)解題.為使學(xué)生在面對問題時積極運用已有知識經(jīng)驗多角度思考,教師可以通過引導(dǎo)學(xué)生一題多解來進行思維培養(yǎng).如在本教學(xué)案例中,共引導(dǎo)學(xué)生進行了三次解法探究:第一種應(yīng)用平面幾何知識的“比例法”是史料中的解法,該方法最易于理解;第二種運用銳角三角函數(shù)的“三角法”是初中階段解直角三角形的常用辦法,適用范圍最廣;第三種基于“出入相補”原理的“面積法”是我國古代數(shù)學(xué)中轉(zhuǎn)化思想的重要體現(xiàn),雖然此方法在不可及物測量問題中適用范圍較窄,但可以讓學(xué)生體會我國古代數(shù)學(xué)智慧,增長民族自信,獲得良好的情感體驗.

    4.3 回歸教材強化知識應(yīng)用

    解題教學(xué)最終要落實到學(xué)生的實際應(yīng)用中,所教內(nèi)容回歸教材、鏈接考試,有助于學(xué)生進一步作解題反思,鞏固所學(xué).本案例中將浙教版教材中的課后習(xí)題和各地中考真題作為練習(xí)題目,一方面檢測教學(xué)效果,補充教學(xué)不足;另一方面引導(dǎo)學(xué)生在練習(xí)的過程中梳理知識點、把握考點,深化知識理解,強化知識應(yīng)用.

    猜你喜歡
    解題歷史探究
    用“同樣多”解題
    設(shè)而不求巧解題
    一道探究題的解法及應(yīng)用
    用“同樣多”解題
    一道IMO預(yù)選題的探究
    探究式學(xué)習(xí)在國外
    快樂語文(2018年13期)2018-06-11 01:18:16
    一道IMO預(yù)選題的探究及思考
    新歷史
    全體育(2016年4期)2016-11-02 18:57:28
    解題勿忘我
    歷史上的6月
    制服人妻中文乱码| 亚洲欧美色中文字幕在线| 久久人人爽人人片av| 丝袜脚勾引网站| 午夜精品国产一区二区电影| 国产精品二区激情视频| 国产黄频视频在线观看| 各种免费的搞黄视频| 一区二区三区四区激情视频| 999久久久国产精品视频| 亚洲男人天堂网一区| 国产黄色免费在线视频| 精品一区在线观看国产| 天堂俺去俺来也www色官网| 亚洲av电影在线观看一区二区三区| 午夜福利视频精品| 日本五十路高清| videosex国产| 黄色片一级片一级黄色片| 黄色怎么调成土黄色| 97人妻天天添夜夜摸| 免费少妇av软件| 国产精品av久久久久免费| 国产极品粉嫩免费观看在线| 又粗又硬又长又爽又黄的视频| 最近手机中文字幕大全| tube8黄色片| 天天添夜夜摸| 91麻豆av在线| 五月天丁香电影| tube8黄色片| 一级毛片黄色毛片免费观看视频| 极品人妻少妇av视频| 又黄又粗又硬又大视频| 婷婷色综合www| 日日爽夜夜爽网站| 久久人人爽av亚洲精品天堂| 精品少妇内射三级| 人妻人人澡人人爽人人| 黄网站色视频无遮挡免费观看| 韩国精品一区二区三区| www日本在线高清视频| 又紧又爽又黄一区二区| 国产爽快片一区二区三区| 乱人伦中国视频| 在线观看一区二区三区激情| 天天躁狠狠躁夜夜躁狠狠躁| 日本91视频免费播放| 精品国产一区二区三区四区第35| 蜜桃在线观看..| 美女大奶头黄色视频| 91麻豆av在线| 国产亚洲av高清不卡| 国产又色又爽无遮挡免| 色网站视频免费| 欧美激情高清一区二区三区| 美女高潮到喷水免费观看| 肉色欧美久久久久久久蜜桃| 两性夫妻黄色片| 亚洲人成电影免费在线| 国产精品人妻久久久影院| 黑人猛操日本美女一级片| 亚洲av电影在线观看一区二区三区| 两个人看的免费小视频| 午夜91福利影院| 亚洲精品久久午夜乱码| 色视频在线一区二区三区| 一级毛片女人18水好多 | 丝袜脚勾引网站| 亚洲国产成人一精品久久久| av在线app专区| 极品少妇高潮喷水抽搐| 又粗又硬又长又爽又黄的视频| 色视频在线一区二区三区| 日韩免费高清中文字幕av| 女人被躁到高潮嗷嗷叫费观| 午夜福利一区二区在线看| 大陆偷拍与自拍| 亚洲第一av免费看| 欧美黑人欧美精品刺激| 国产av精品麻豆| 欧美精品人与动牲交sv欧美| 七月丁香在线播放| 亚洲 欧美一区二区三区| 男人爽女人下面视频在线观看| 免费少妇av软件| 女人久久www免费人成看片| 欧美日韩亚洲综合一区二区三区_| 亚洲精品自拍成人| e午夜精品久久久久久久| 亚洲欧洲国产日韩| 脱女人内裤的视频| 777久久人妻少妇嫩草av网站| 亚洲图色成人| 欧美老熟妇乱子伦牲交| 亚洲av电影在线进入| 精品国产一区二区三区久久久樱花| 欧美精品一区二区免费开放| 十分钟在线观看高清视频www| 国产免费一区二区三区四区乱码| 一级黄片播放器| 国产日韩欧美亚洲二区| 看免费成人av毛片| 国产伦人伦偷精品视频| 成人手机av| 麻豆国产av国片精品| 看免费av毛片| 欧美精品亚洲一区二区| 国产日韩欧美视频二区| 日本91视频免费播放| 99国产精品免费福利视频| 国产高清不卡午夜福利| 久久人妻熟女aⅴ| 中文欧美无线码| 亚洲免费av在线视频| 国产片内射在线| 欧美性长视频在线观看| 久久久久久人人人人人| 国产淫语在线视频| 久久鲁丝午夜福利片| 国产精品久久久久久人妻精品电影 | 国语对白做爰xxxⅹ性视频网站| 一级毛片 在线播放| 99久久99久久久精品蜜桃| 最近手机中文字幕大全| 国产精品国产三级国产专区5o| 亚洲av在线观看美女高潮| av有码第一页| 美女脱内裤让男人舔精品视频| 两人在一起打扑克的视频| 校园人妻丝袜中文字幕| 亚洲天堂av无毛| 18禁国产床啪视频网站| 日韩熟女老妇一区二区性免费视频| 日韩人妻精品一区2区三区| 免费不卡黄色视频| 国产精品一区二区免费欧美 | 女人爽到高潮嗷嗷叫在线视频| 天天躁夜夜躁狠狠躁躁| 欧美日本中文国产一区发布| 亚洲精品自拍成人| 一边亲一边摸免费视频| 国产免费一区二区三区四区乱码| 水蜜桃什么品种好| 伊人久久大香线蕉亚洲五| 欧美黑人精品巨大| 国产熟女欧美一区二区| 国产一区二区三区av在线| 欧美国产精品一级二级三级| 欧美日韩国产mv在线观看视频| 天堂俺去俺来也www色官网| 赤兔流量卡办理| 欧美精品人与动牲交sv欧美| 日韩熟女老妇一区二区性免费视频| 日韩电影二区| 亚洲av日韩精品久久久久久密 | 久久性视频一级片| 18禁黄网站禁片午夜丰满| 精品一区在线观看国产| 超碰成人久久| 少妇粗大呻吟视频| 久久亚洲国产成人精品v| 中文字幕人妻丝袜制服| 两个人看的免费小视频| 天天躁狠狠躁夜夜躁狠狠躁| 69精品国产乱码久久久| 婷婷色综合www| 国产欧美日韩一区二区三 | 欧美黄色淫秽网站| 国产无遮挡羞羞视频在线观看| 午夜福利在线免费观看网站| 中文字幕最新亚洲高清| 国产日韩欧美亚洲二区| 麻豆av在线久日| 两个人看的免费小视频| 国产亚洲一区二区精品| 久久久精品免费免费高清| 黑丝袜美女国产一区| 在线观看免费日韩欧美大片| 成人影院久久| 久久久久久免费高清国产稀缺| 一区二区日韩欧美中文字幕| 九草在线视频观看| 日韩一本色道免费dvd| 啦啦啦在线观看免费高清www| 免费一级毛片在线播放高清视频 | 国产97色在线日韩免费| 亚洲中文字幕日韩| 大型av网站在线播放| 91老司机精品| 男女无遮挡免费网站观看| 亚洲精品日韩在线中文字幕| 国产精品一区二区在线不卡| 少妇猛男粗大的猛烈进出视频| 亚洲精品久久午夜乱码| 欧美日韩视频高清一区二区三区二| 一边摸一边抽搐一进一出视频| 亚洲av在线观看美女高潮| 国产欧美亚洲国产| 久久精品亚洲av国产电影网| 成人影院久久| 久久久久久免费高清国产稀缺| 99精国产麻豆久久婷婷| xxxhd国产人妻xxx| videos熟女内射| 在线天堂中文资源库| 又大又爽又粗| 久久久国产一区二区| 老司机在亚洲福利影院| www.av在线官网国产| 色婷婷av一区二区三区视频| 国产无遮挡羞羞视频在线观看| 免费观看人在逋| 天堂8中文在线网| 国产在线观看jvid| 日本色播在线视频| 亚洲欧美精品综合一区二区三区| 免费观看av网站的网址| 国产1区2区3区精品| 国产xxxxx性猛交| 亚洲色图 男人天堂 中文字幕| 中文字幕精品免费在线观看视频| 免费在线观看完整版高清| 亚洲成国产人片在线观看| 国产亚洲av高清不卡| 色94色欧美一区二区| 亚洲精品国产色婷婷电影| 一二三四在线观看免费中文在| 久热这里只有精品99| 欧美成狂野欧美在线观看| 成人18禁高潮啪啪吃奶动态图| 男人舔女人的私密视频| 男女下面插进去视频免费观看| 亚洲国产欧美在线一区| √禁漫天堂资源中文www| 亚洲欧美日韩高清在线视频 | 精品久久久久久久毛片微露脸 | 亚洲av电影在线进入| 久9热在线精品视频| 啦啦啦中文免费视频观看日本| 丝袜在线中文字幕| 国产精品一区二区在线观看99| 亚洲国产欧美在线一区| 老熟女久久久| 中文字幕人妻熟女乱码| 啦啦啦啦在线视频资源| 又大又爽又粗| 国产精品一区二区精品视频观看| 男女免费视频国产| 啦啦啦中文免费视频观看日本| 亚洲精品国产av蜜桃| 国产在线免费精品| 一级片免费观看大全| 日韩大片免费观看网站| 精品欧美一区二区三区在线| 啦啦啦在线免费观看视频4| 黄色 视频免费看| 亚洲,欧美精品.| 亚洲国产欧美一区二区综合| 亚洲精品国产一区二区精华液| 亚洲欧美日韩另类电影网站| 成年人免费黄色播放视频| 一级毛片 在线播放| 亚洲国产欧美日韩在线播放| 亚洲精品久久久久久婷婷小说| 日韩免费高清中文字幕av| 亚洲国产日韩一区二区| 50天的宝宝边吃奶边哭怎么回事| 热99久久久久精品小说推荐| 国产一区二区在线观看av| 一级黄片播放器| 日本a在线网址| 亚洲中文日韩欧美视频| 国产一区二区激情短视频 | 亚洲专区国产一区二区| 久久99一区二区三区| 午夜福利视频精品| 国产三级黄色录像| av国产精品久久久久影院| 午夜福利一区二区在线看| 七月丁香在线播放| 18禁观看日本| 男女下面插进去视频免费观看| 一级毛片电影观看| 国产在视频线精品| 国产日韩欧美亚洲二区| 天天操日日干夜夜撸| 女人精品久久久久毛片| 日本欧美国产在线视频| 久久国产精品男人的天堂亚洲| 大型av网站在线播放| 中文字幕最新亚洲高清| 久久久久久免费高清国产稀缺| 久久鲁丝午夜福利片| 又大又黄又爽视频免费| 亚洲三区欧美一区| 视频在线观看一区二区三区| 老司机在亚洲福利影院| 欧美在线一区亚洲| 亚洲国产精品成人久久小说| 国产成人精品久久二区二区91| 久久精品国产综合久久久| 啦啦啦 在线观看视频| 两个人看的免费小视频| 久久av网站| √禁漫天堂资源中文www| 国产精品久久久av美女十八| 两人在一起打扑克的视频| 久久久久久久国产电影| 精品国产乱码久久久久久小说| 亚洲三区欧美一区| 大香蕉久久成人网| 久久国产精品影院| 国产黄色免费在线视频| 99热全是精品| 18在线观看网站| 2021少妇久久久久久久久久久| 久久人人97超碰香蕉20202| 成在线人永久免费视频| 日韩制服骚丝袜av| 欧美精品亚洲一区二区| 日韩,欧美,国产一区二区三区| 免费不卡黄色视频| 亚洲精品成人av观看孕妇| 亚洲成av片中文字幕在线观看| 麻豆av在线久日| av在线播放精品| 男女午夜视频在线观看| 国产成人精品无人区| 久久综合国产亚洲精品| 日韩 欧美 亚洲 中文字幕| 首页视频小说图片口味搜索 | 可以免费在线观看a视频的电影网站| 日本五十路高清| 亚洲欧美成人综合另类久久久| 久久久精品区二区三区| 欧美日韩视频精品一区| 欧美 日韩 精品 国产| 国产淫语在线视频| 美女扒开内裤让男人捅视频| 久久国产精品男人的天堂亚洲| 首页视频小说图片口味搜索 | 男女国产视频网站| 国产91精品成人一区二区三区 | 久久久精品国产亚洲av高清涩受| 国产亚洲av高清不卡| 午夜福利免费观看在线| 久久久久国产一级毛片高清牌| 另类精品久久| 美女脱内裤让男人舔精品视频| 亚洲av电影在线观看一区二区三区| av天堂在线播放| 久久精品亚洲av国产电影网| 亚洲欧美日韩另类电影网站| 免费人妻精品一区二区三区视频| 另类精品久久| 操出白浆在线播放| 乱人伦中国视频| 午夜老司机福利片| 国产在线一区二区三区精| 亚洲欧洲国产日韩| 男女午夜视频在线观看| 成年女人毛片免费观看观看9 | 99热国产这里只有精品6| 少妇粗大呻吟视频| 亚洲国产av新网站| 天天躁狠狠躁夜夜躁狠狠躁| av网站在线播放免费| 在线观看一区二区三区激情| 色综合欧美亚洲国产小说| 久久久久久久大尺度免费视频| 亚洲精品自拍成人| 日本欧美国产在线视频| 女人久久www免费人成看片| 9色porny在线观看| 搡老岳熟女国产| 欧美日韩福利视频一区二区| 亚洲精品第二区| 性色av乱码一区二区三区2| 亚洲 欧美一区二区三区| 免费在线观看完整版高清| 午夜久久久在线观看| 涩涩av久久男人的天堂| 亚洲欧洲国产日韩| 欧美日韩黄片免| 久久人妻熟女aⅴ| 亚洲国产欧美网| 深夜精品福利| 国产片内射在线| 日本欧美视频一区| 69精品国产乱码久久久| 国产精品99久久99久久久不卡| 狠狠婷婷综合久久久久久88av| 欧美日韩视频高清一区二区三区二| 一区二区日韩欧美中文字幕| 性少妇av在线| 欧美成人精品欧美一级黄| 一级片免费观看大全| 夜夜骑夜夜射夜夜干| 欧美日本中文国产一区发布| 欧美大码av| 日韩视频在线欧美| av福利片在线| 亚洲欧美一区二区三区国产| 成人亚洲欧美一区二区av| 黄片播放在线免费| 在线观看免费视频网站a站| e午夜精品久久久久久久| 老汉色∧v一级毛片| 免费看十八禁软件| 美女国产高潮福利片在线看| 成人亚洲欧美一区二区av| 午夜福利影视在线免费观看| 99国产精品一区二区蜜桃av | 大香蕉久久成人网| 久久久久久久国产电影| 成人国产av品久久久| 女性被躁到高潮视频| 永久免费av网站大全| 亚洲精品一卡2卡三卡4卡5卡 | 亚洲欧洲国产日韩| 天天躁狠狠躁夜夜躁狠狠躁| 欧美国产精品一级二级三级| 亚洲久久久国产精品| 久久 成人 亚洲| 99精国产麻豆久久婷婷| 丝袜脚勾引网站| 国产精品国产三级专区第一集| 999精品在线视频| 18禁黄网站禁片午夜丰满| 新久久久久国产一级毛片| 精品久久蜜臀av无| 1024香蕉在线观看| 啦啦啦视频在线资源免费观看| 视频区欧美日本亚洲| 人妻人人澡人人爽人人| 电影成人av| 激情视频va一区二区三区| 欧美日韩一级在线毛片| 无遮挡黄片免费观看| 久久久国产一区二区| 国产欧美日韩一区二区三 | 2021少妇久久久久久久久久久| 美女午夜性视频免费| 亚洲专区中文字幕在线| 国产精品一区二区在线观看99| 亚洲情色 制服丝袜| avwww免费| 性少妇av在线| 久久久久久人人人人人| 视频在线观看一区二区三区| 亚洲精品日本国产第一区| 久久鲁丝午夜福利片| 久久影院123| 精品一区二区三卡| 免费不卡黄色视频| 在线亚洲精品国产二区图片欧美| 十八禁人妻一区二区| 久久精品久久久久久久性| 亚洲欧美成人综合另类久久久| 天天躁狠狠躁夜夜躁狠狠躁| 搡老乐熟女国产| 捣出白浆h1v1| 我要看黄色一级片免费的| 男女边摸边吃奶| 妹子高潮喷水视频| 少妇人妻久久综合中文| 久久久精品免费免费高清| 黄色怎么调成土黄色| 久久国产精品大桥未久av| 男人爽女人下面视频在线观看| 嫁个100分男人电影在线观看 | 婷婷色综合大香蕉| 在线观看一区二区三区激情| 亚洲av电影在线观看一区二区三区| 国产一区二区激情短视频 | 日韩 欧美 亚洲 中文字幕| 欧美大码av| 视频区欧美日本亚洲| 五月天丁香电影| 久久精品亚洲av国产电影网| 97在线人人人人妻| av一本久久久久| 岛国毛片在线播放| 女性被躁到高潮视频| 青草久久国产| 97在线人人人人妻| av一本久久久久| 亚洲中文av在线| 欧美 亚洲 国产 日韩一| 国产成人影院久久av| 欧美+亚洲+日韩+国产| 啦啦啦在线观看免费高清www| 尾随美女入室| 一区二区三区乱码不卡18| 久久天躁狠狠躁夜夜2o2o | 大片电影免费在线观看免费| 欧美黑人欧美精品刺激| 人妻人人澡人人爽人人| 欧美日韩成人在线一区二区| 精品人妻1区二区| 男女无遮挡免费网站观看| 亚洲情色 制服丝袜| 大陆偷拍与自拍| 久久国产精品影院| 久久这里只有精品19| 国产主播在线观看一区二区 | 久久99一区二区三区| 免费看av在线观看网站| 少妇的丰满在线观看| 亚洲国产精品999| netflix在线观看网站| 电影成人av| 天天躁夜夜躁狠狠躁躁| www.精华液| 国产一区二区激情短视频 | 两个人免费观看高清视频| 日日夜夜操网爽| 国产福利在线免费观看视频| 午夜两性在线视频| 十分钟在线观看高清视频www| 蜜桃在线观看..| av国产久精品久网站免费入址| 麻豆av在线久日| 亚洲av成人不卡在线观看播放网 | 九色亚洲精品在线播放| 国产极品粉嫩免费观看在线| 午夜免费观看性视频| 天堂8中文在线网| 免费观看av网站的网址| 婷婷色av中文字幕| 精品久久蜜臀av无| 国产在线视频一区二区| 曰老女人黄片| 午夜老司机福利片| 热99久久久久精品小说推荐| 91九色精品人成在线观看| 免费高清在线观看视频在线观看| videos熟女内射| 黑人欧美特级aaaaaa片| 51午夜福利影视在线观看| 婷婷成人精品国产| 精品欧美一区二区三区在线| 国产在线视频一区二区| 亚洲欧美中文字幕日韩二区| 国产成人av教育| 国产主播在线观看一区二区 | 人成视频在线观看免费观看| 天天躁夜夜躁狠狠躁躁| 男女高潮啪啪啪动态图| 欧美日韩综合久久久久久| 亚洲成人免费电影在线观看 | 亚洲成人国产一区在线观看 | 亚洲五月婷婷丁香| 亚洲欧美色中文字幕在线| xxxhd国产人妻xxx| 欧美精品一区二区大全| 亚洲av成人不卡在线观看播放网 | 韩国高清视频一区二区三区| 狂野欧美激情性xxxx| 精品人妻熟女毛片av久久网站| 日本欧美国产在线视频| 日韩伦理黄色片| 精品人妻在线不人妻| 午夜91福利影院| 91国产中文字幕| 国产精品麻豆人妻色哟哟久久| 久久青草综合色| 人成视频在线观看免费观看| 亚洲av成人不卡在线观看播放网 | 性色av一级| 自拍欧美九色日韩亚洲蝌蚪91| 国产三级黄色录像| 亚洲欧美日韩另类电影网站| 成人国语在线视频| 在线天堂中文资源库| 日韩 亚洲 欧美在线| 亚洲av男天堂| 人人妻人人爽人人添夜夜欢视频| 老司机亚洲免费影院| 18禁黄网站禁片午夜丰满| 国产不卡av网站在线观看| 天天躁日日躁夜夜躁夜夜| 后天国语完整版免费观看| 精品一区二区三卡| 丝袜美足系列| 中文欧美无线码| av欧美777| 午夜91福利影院| 制服诱惑二区| 久久精品aⅴ一区二区三区四区| 亚洲成人手机| 成年人黄色毛片网站| 久久精品熟女亚洲av麻豆精品| 色播在线永久视频| 日本av免费视频播放| 午夜福利乱码中文字幕| 天天躁日日躁夜夜躁夜夜| 久9热在线精品视频| 国产精品久久久人人做人人爽| 最近手机中文字幕大全| 欧美日韩福利视频一区二区| 亚洲视频免费观看视频| 久久精品亚洲熟妇少妇任你| 又大又黄又爽视频免费| 尾随美女入室| 下体分泌物呈黄色| 久久久久久亚洲精品国产蜜桃av| 日韩,欧美,国产一区二区三区| 97精品久久久久久久久久精品| 最新在线观看一区二区三区 | 中文字幕最新亚洲高清| 大话2 男鬼变身卡| 人人妻,人人澡人人爽秒播 | 十八禁高潮呻吟视频|