基于數(shù)學(xué)歷史名題的解題教學(xué)
——以“不可及物的測(cè)量問(wèn)題”為例

侯 甜 張維忠 (浙江師范大學(xué)教師教育學(xué)院 321004)

解題教學(xué)是數(shù)學(xué)教學(xué)的重要部分，學(xué)生在學(xué)會(huì)解題的過(guò)程中發(fā)展了思維能力,提高了數(shù)學(xué)核心素養(yǎng)[1]．目前的解題教學(xué)存在一些問(wèn)題：學(xué)生的學(xué)習(xí)興趣被大量解題沖淡；注重解題技巧，忽視思維發(fā)展；題目遠(yuǎn)離教材，出現(xiàn)難題怪題；課堂缺乏文化氣息……數(shù)學(xué)歷史名題作為數(shù)學(xué)史的重要內(nèi)容，對(duì)數(shù)學(xué)發(fā)展、數(shù)學(xué)教學(xué)和數(shù)學(xué)應(yīng)用有著推動(dòng)作用，題中真實(shí)的問(wèn)題情境、實(shí)質(zhì)性的數(shù)學(xué)思想方法、豐富的人文背景等對(duì)于教學(xué)都有重要意義．[2]鑒于此，本文以“不可及物的測(cè)量問(wèn)題”為例，選取《海島算經(jīng)》中的數(shù)學(xué)歷史名題進(jìn)行教學(xué)設(shè)計(jì)，探索數(shù)學(xué)歷史名題如何助推解題教學(xué)．

1 數(shù)學(xué)解題教學(xué)存在的問(wèn)題

美國(guó)數(shù)學(xué)家哈爾莫斯說(shuō)：“數(shù)學(xué)的真正組成部分應(yīng)該是問(wèn)題和解，解題才是數(shù)學(xué)的心臟．”解題教學(xué)是培養(yǎng)學(xué)生發(fā)現(xiàn)和提出問(wèn)題、分析和解決問(wèn)題能力，拓展學(xué)生數(shù)學(xué)思維，發(fā)展數(shù)學(xué)核心素養(yǎng)的重要手段．但目前的解題教學(xué)還存在一些問(wèn)題．為了更好地改進(jìn)教學(xué)，教師應(yīng)當(dāng)正確認(rèn)識(shí)問(wèn)題，并提出解決策略．

第一，學(xué)生的學(xué)習(xí)興趣被大量解題沖淡．大多數(shù)解題教學(xué)都是通過(guò)枯燥的題目訓(xùn)練來(lái)達(dá)到讓學(xué)生學(xué)會(huì)解題的教學(xué)目的，這種缺乏創(chuàng)新的教學(xué)方法不能滿足學(xué)生的心理需求，大量的題目將數(shù)學(xué)學(xué)科的枯燥性放大，學(xué)生的學(xué)習(xí)興趣、探索熱情被不斷沖淡[3]．

第二，注重解題技巧，忽視思維發(fā)展．解題教學(xué)中通常都充斥著各種類型的題目，教師注重題型分類和變式練習(xí)，在對(duì)例題進(jìn)行分類講解后，歸納每種題型的解題方法，要求學(xué)生利用技巧求解問(wèn)題，并做大量練習(xí)．這種教學(xué)方法雖然可以讓學(xué)生快速掌握一些問(wèn)題的求解方法，收獲短期效益，但長(zhǎng)遠(yuǎn)來(lái)看并不利于學(xué)生的思維發(fā)展，學(xué)生在學(xué)習(xí)過(guò)程中沒(méi)有進(jìn)行主動(dòng)的思考探索，將解題視為根據(jù)題型套技巧的活動(dòng)[4]．

第三，題目遠(yuǎn)離教材，出現(xiàn)難題怪題．重視題型歸類和技巧訓(xùn)練的解題教學(xué)，往往從各式各類的題目出發(fā)展開(kāi)教學(xué)，欠缺對(duì)學(xué)生知識(shí)建構(gòu)的考慮，出現(xiàn)遠(yuǎn)離教材的現(xiàn)象，一些難題、怪題還會(huì)作為創(chuàng)新點(diǎn)出現(xiàn)．

第四，課堂缺乏文化氣息．盡管當(dāng)前課程改革多次強(qiáng)調(diào)數(shù)學(xué)課堂文化，但解題教學(xué)中的文化氣息仍較為缺乏.教學(xué)在大量刷題中追求標(biāo)準(zhǔn)答案，重視從問(wèn)題背景中提煉關(guān)鍵信息，忽視問(wèn)題的文化韻味，多為達(dá)到功利性、應(yīng)試性目的[5]．

2 數(shù)學(xué)歷史名題助推解題教學(xué)

在數(shù)學(xué)歷史發(fā)展的長(zhǎng)河中，產(chǎn)生了很多對(duì)數(shù)學(xué)史有較大影響，對(duì)數(shù)學(xué)發(fā)展、數(shù)學(xué)應(yīng)用和數(shù)學(xué)教學(xué)有重要推動(dòng)作用的數(shù)學(xué)歷史名題．歷史名題通常從現(xiàn)實(shí)問(wèn)題中提出，問(wèn)題背景真實(shí)自然，能很好地體現(xiàn)所涉及數(shù)學(xué)內(nèi)容的實(shí)踐價(jià)值，同時(shí)對(duì)于學(xué)生來(lái)說(shuō)，真實(shí)的情境不僅利于激發(fā)學(xué)習(xí)興趣還利于知識(shí)理解.問(wèn)題中蘊(yùn)含的數(shù)學(xué)思想方法，對(duì)于學(xué)生的思維發(fā)展有重要促進(jìn)作用，學(xué)生收獲的不僅是解某一類數(shù)學(xué)問(wèn)題的方法，更是數(shù)學(xué)地看待問(wèn)題的思維.教師還可通過(guò)數(shù)學(xué)歷史名題中豐富的人文背景對(duì)學(xué)生進(jìn)行文化熏陶、情感教育，落實(shí)“立德樹(shù)人”的教育目標(biāo)．如此，數(shù)學(xué)歷史名題可以從激發(fā)興趣、拓展思維、強(qiáng)化應(yīng)用、文化育人四方面助推解題教學(xué)，解決現(xiàn)存問(wèn)題，改善現(xiàn)有教學(xué)．

融入歷史名題，激發(fā)學(xué)習(xí)興趣．巧妙運(yùn)用數(shù)學(xué)歷史名題真實(shí)自然的問(wèn)題背景，為原本枯燥的解題過(guò)程增添活力．一方面，可以將歷史名題作為教學(xué)引入，用耐人尋味的問(wèn)題開(kāi)啟課堂，將學(xué)生的注意力吸引到如何利用所學(xué)解決問(wèn)題上．另一方面，由于學(xué)生的興趣容易被大量枯燥的題目沖淡，因此在對(duì)例題進(jìn)行分類講解時(shí)，可以將歷史名題作為例題或者將歷史名題中的情境改編到例題中，激發(fā)學(xué)生學(xué)習(xí)興趣．

探究名題解法，拓展數(shù)學(xué)思維．在講解名題時(shí)注重多種解法的探究，打破固有思維．?dāng)?shù)學(xué)發(fā)展的不同階段對(duì)于名題的求解方法不同，這些方法往往可以體現(xiàn)當(dāng)時(shí)數(shù)學(xué)發(fā)展的特點(diǎn)，蘊(yùn)含著重要的數(shù)學(xué)思想方法，因此教師可以從已有的解題角度出發(fā)，引導(dǎo)學(xué)生探究．在引導(dǎo)探究的過(guò)程中，更重要的是讓學(xué)生感受解決數(shù)學(xué)問(wèn)題的多種視角，培養(yǎng)發(fā)散思維[6]．

聯(lián)系教材實(shí)際，強(qiáng)化知識(shí)應(yīng)用．新一輪課程改革中強(qiáng)調(diào)數(shù)學(xué)文化融入教學(xué)，多版初中教科書(shū)都分布有數(shù)學(xué)歷史名題，中考試題中數(shù)學(xué)歷史名題的出現(xiàn)頻次也呈上升趨勢(shì)．解題教學(xué)應(yīng)與教材實(shí)際和學(xué)生已有的知識(shí)體系緊密相連[7]．為此，教師既可以充分挖掘教材中已有的或隱含的數(shù)學(xué)歷史名題來(lái)開(kāi)啟教學(xué)，也可以選取中高考中包含歷史名題的試題進(jìn)行應(yīng)用鏈接，改善解題教學(xué)中題目遠(yuǎn)離教材、偏難偏怪的現(xiàn)象．

滲透文化背景，進(jìn)行情感熏陶．?dāng)?shù)學(xué)歷史名題作為數(shù)學(xué)發(fā)展長(zhǎng)河中留存下來(lái)的經(jīng)典問(wèn)題，是數(shù)學(xué)世界的璀璨明珠，其深厚的人文背景是對(duì)學(xué)生進(jìn)行情感教育的良好素材．教師在應(yīng)用歷史名題前，應(yīng)充分了解其時(shí)代背景、相關(guān)數(shù)學(xué)家、發(fā)展歷史等，讓學(xué)生在認(rèn)識(shí)名題的過(guò)程中獲得良好的情感體驗(yàn)，如感受我國(guó)古代數(shù)學(xué)的博大精深，增長(zhǎng)民族自信，體會(huì)數(shù)學(xué)家嚴(yán)謹(jǐn)?shù)闹螌W(xué)態(tài)度和鍥而不舍的探索精神，改變錯(cuò)誤的學(xué)習(xí)觀念等．

3 相關(guān)教學(xué)設(shè)計(jì)

解雙直角三角形是初中數(shù)學(xué)的重點(diǎn)內(nèi)容，《義務(wù)教育數(shù)學(xué)課程標(biāo)準(zhǔn)(2022年版)》中強(qiáng)調(diào)：“知道直角三角形的邊角關(guān)系，理解銳角三角函數(shù)，能用銳角三角函數(shù)解決簡(jiǎn)單的實(shí)際問(wèn)題.”[8]不可及物的測(cè)量問(wèn)題是解雙直角三角形的經(jīng)典題型，在中考中多次出現(xiàn)．《海島算經(jīng)》是我國(guó)數(shù)學(xué)家劉徽所著的中國(guó)最早運(yùn)用幾何理論解決各種測(cè)量難題的數(shù)學(xué)專著，主要解釋“重差術(shù)”問(wèn)題，即不可及物高度和距離的測(cè)量問(wèn)題，書(shū)中的數(shù)學(xué)問(wèn)題包含多種真實(shí)情境，蘊(yùn)含著重要的數(shù)學(xué)思想方法，是“不可及物測(cè)量問(wèn)題”教學(xué)的優(yōu)秀素材．

3.1 名題引入，激起興趣

魏晉時(shí)期偉大的數(shù)學(xué)家劉徽在其著作《海島算經(jīng)》中留下了九道經(jīng)典的測(cè)量名題，其中第1題為“望海島”問(wèn)題——在地面立前后兩根表來(lái)測(cè)量遠(yuǎn)方的一處海島，兩表高均為3丈(5步)，相距1 000步，先從前表出發(fā)后退123步觀察海島頂端，再?gòu)暮蟊砗笸?27步觀察海島頂端．問(wèn)：海島高為多少？海島與前表之間的距離為多少？(注：古代1丈=10尺，1步=6尺)

設(shè)計(jì)意圖此題源于現(xiàn)實(shí)生活，是有關(guān)不可及物測(cè)量問(wèn)題的數(shù)學(xué)歷史名題，出自我國(guó)古代數(shù)學(xué)家劉徽的著作《海島算經(jīng)》，選取此種與教學(xué)內(nèi)容緊密相連的歷史名題引出教學(xué)，激發(fā)學(xué)生的學(xué)習(xí)興趣．

3.2 一題多探，發(fā)展思維

探究1 預(yù)設(shè)學(xué)生最先想到的解題思路是利用相似三角形的判定及性質(zhì)進(jìn)行證明，引導(dǎo)學(xué)生應(yīng)用平面幾何的知識(shí)證明島高和島去表的測(cè)量公式.

探究2 “望海島”問(wèn)題本質(zhì)上是解雙直角三角形.在進(jìn)行本課之前，學(xué)生已經(jīng)學(xué)習(xí)了利用銳角三角函數(shù)解直角三角形，故此引導(dǎo)學(xué)生利用銳角三角函數(shù)的知識(shí)證明島高和島去表的測(cè)量公式．

探究3 《海島算經(jīng)》是劉徽在魏晉時(shí)期所著，根據(jù)當(dāng)時(shí)的數(shù)學(xué)水平，三角學(xué)還未出現(xiàn)，現(xiàn)代數(shù)學(xué)家吳文俊認(rèn)為可以采用“出入相補(bǔ)”原理進(jìn)行證明，趙爽在《周髀算經(jīng)》中遺留的“日高圖”中也蘊(yùn)含此思想．引導(dǎo)學(xué)生思考如何利用面積思想和“出入相補(bǔ)”原理證明“望海島”問(wèn)題．

設(shè)計(jì)意圖引導(dǎo)學(xué)生探究名題的多種解法，從教解題到教思維，在解題教學(xué)中進(jìn)行思維教學(xué)，幫助學(xué)生在問(wèn)題思考過(guò)程中認(rèn)識(shí)問(wèn)題和解法的本質(zhì)，提升思維能力，發(fā)展核心素養(yǎng)[3]．探究1中的“比例法”涉及初中平面幾何知識(shí)，利用相似三角形對(duì)應(yīng)邊成比例的性質(zhì)定理進(jìn)行求解，是初中生最容易理解和掌握的方法．探究2的“三角法”體現(xiàn)了銳角三角函數(shù)在解直角三角形中的重要作用，“望海島”問(wèn)題本質(zhì)上是不可及物高度和距離的測(cè)量問(wèn)題，此類問(wèn)題正是解直角三角形的經(jīng)典題型，三角法是最為普遍的解題方法．探究3中的“面積法”所用到的“出入相補(bǔ)”原理是我國(guó)古代數(shù)學(xué)的智慧結(jié)晶，此原理可以應(yīng)用于勾股定理、多邊形面積公式、等差數(shù)列求和等多個(gè)教學(xué)之中，引導(dǎo)學(xué)生利用此原理思考“望海島”問(wèn)題，既是對(duì)學(xué)生數(shù)學(xué)思維的培養(yǎng)，也能通過(guò)體會(huì)古代數(shù)學(xué)的博大精深激發(fā)愛(ài)國(guó)熱情．三次解題探究，讓學(xué)生掌握了多種求解不可及物測(cè)量問(wèn)題的方法，體會(huì)從幾何、函數(shù)、代數(shù)等方面進(jìn)行問(wèn)題探究的發(fā)散思維．

3.3 變式檢測(cè)，合作探究

變式1 改編自《海島算經(jīng)》中的“登山望津”問(wèn)題：如圖1，今有登山望津(AB)，津在山南．偃矩山上，令勾(CD)高一丈二尺，從勾端(C)斜望津南岸(A)，入下股(DE)二丈三尺一寸；又望津北岸(B)，入前望股里一丈八寸(EF)，津南岸去山腳(G)五丈二尺(AG)．問(wèn)津廣(AB)幾何？

圖1 圖2

變式2 摘自《海島算經(jīng)》中的“望波口”問(wèn)題：如圖2，今有東南望波口(AB)，立兩表(C,D)南北相去九丈(CD)，以索薄地連之．當(dāng)北表之西卻行去表六丈(CE)，薄地(E)遙望波口南岸(B)，入索北端(H)四丈二寸(CH)；以望北岸(A)，入前所望表里(G)一丈二尺(GH)．又卻后行去表十三丈五尺(CF)，薄地(F)遙望波口南岸(B)，與南表參合．問(wèn)波口(AB)廣幾何？

教學(xué)活動(dòng)：以小組為單位進(jìn)行討論，探究“望海島”問(wèn)題的三種解題方法能否求解上述兩個(gè)變式，討論“登山望津”問(wèn)題、“望波口”問(wèn)題與“望海島”問(wèn)題有哪些不同．

設(shè)計(jì)意圖《海島算經(jīng)》中包括不可及物測(cè)量問(wèn)題的多種情境，選取其中兩道符合初中生認(rèn)知發(fā)展水平的名題作為變式探究，并以小組為單位用3．2節(jié)中的三種解題方法求解變式問(wèn)題．教學(xué)引入的“望海島”問(wèn)題是在與不可及物底端同一平面上的兩個(gè)點(diǎn)，對(duì)物體的頂端進(jìn)行兩次觀測(cè)；變式1中改編的“登山望津”問(wèn)題是在與觀測(cè)物不處于同一平面的一個(gè)點(diǎn)，對(duì)不可及物的兩個(gè)端點(diǎn)分別進(jìn)行觀測(cè)；變式2中的“望波口”問(wèn)題是在兩個(gè)點(diǎn)對(duì)不可及物進(jìn)行多次觀測(cè)．通過(guò)變式問(wèn)題進(jìn)一步鞏固解法，在探究解法是否適用的過(guò)程中進(jìn)一步體會(huì)數(shù)形結(jié)合、等量代換等數(shù)學(xué)思想，同時(shí)將改編后的歷史名題作為變式，真實(shí)生動(dòng)的情境能為解題增添活力，調(diào)動(dòng)學(xué)生探究的積極性．

3.4 實(shí)戰(zhàn)演練，深化理解

題1(浙教版)廣場(chǎng)上空有一個(gè)氣球A，地面上點(diǎn)B,C,D在一條直線上，BC=20 m．在點(diǎn)B,C分別測(cè)得氣球A的仰角∠ABD為45°，∠ACD為56°．求氣球A離地面的高度AD(精確到0.1 m)．

題2(2018·寧波中考)如圖3，某高速公路建設(shè)中需要測(cè)量某條江的寬度AB，飛機(jī)上的測(cè)量人員在C處測(cè)得A,B兩點(diǎn)的俯角分別為45°和30°．若飛機(jī)離地高度CH為1 200 m，且點(diǎn)H,A,B在同一水平直線上，則這條江的寬度AB為多少m？(結(jié)果保留根號(hào))

圖3 圖4

設(shè)計(jì)意圖不可及物測(cè)量問(wèn)題在課后習(xí)題中常有出現(xiàn)，在中考中出現(xiàn)的頻率也很高，2020年河南省、2019年天津市、2018年衢州市、2014年紹興市等地的中考卷中都有類似考題．選用教材中的課后習(xí)題和中考真題作為應(yīng)用鏈接，加強(qiáng)解題與教材之間的聯(lián)系，一方面能幫助學(xué)生鞏固所學(xué)，在解題時(shí)回顧教材，梳理知識(shí)，進(jìn)一步完善知識(shí)網(wǎng)絡(luò)，同時(shí)在練習(xí)中考真題時(shí)能更好地把握考點(diǎn)，大多數(shù)中考真題的條件簡(jiǎn)單，難度較低，利用銳角三角函數(shù)求解最為快捷有效；另一方面，學(xué)生在解題過(guò)程中可以體會(huì)知識(shí)的實(shí)際應(yīng)用，感受豐富的文化韻味，保持學(xué)習(xí)的積極性．

4 進(jìn)一步的思考

將《海島算經(jīng)》中的歷史名題融入“不可及物測(cè)量問(wèn)題”的解題教學(xué)，真實(shí)有趣的情境為課堂增添了活力，學(xué)生在探究名題解法的過(guò)程中掌握了求解此類問(wèn)題的通法，體會(huì)到數(shù)形結(jié)合、等量代換等數(shù)學(xué)思想的博大精深，最后練習(xí)相關(guān)課后習(xí)題和中考真題進(jìn)行知識(shí)鞏固，同時(shí)教學(xué)還利用歷史名題的時(shí)代背景、相關(guān)人物、發(fā)展歷史等對(duì)學(xué)生進(jìn)行文化教育．

4.1 歷史名題合理融入教學(xué)

融入教學(xué)的歷史名題應(yīng)與教學(xué)存在緊密聯(lián)系，并符合學(xué)生的認(rèn)知水平.“望海島”問(wèn)題是“不可及物測(cè)量問(wèn)題”的經(jīng)典題型，教學(xué)中探究的“比例法”“三角法”“面積法”都能被學(xué)生理解掌握．通常來(lái)說(shuō)，數(shù)學(xué)歷史名題的語(yǔ)言表達(dá)較為晦澀難懂，會(huì)給學(xué)生帶來(lái)一定的認(rèn)知負(fù)擔(dān)，教師在教學(xué)過(guò)程中可以對(duì)題目進(jìn)行合理改編或增加注釋、圖示，同時(shí)注重引導(dǎo)學(xué)生從問(wèn)題中抽象出數(shù)學(xué)模型.如本教學(xué)案例中的變式2是對(duì)《海島算經(jīng)》中“登山望津”問(wèn)題進(jìn)行的簡(jiǎn)化改編，并配以圖示呈現(xiàn)給學(xué)生，減少學(xué)生的認(rèn)知負(fù)擔(dān)．?dāng)?shù)學(xué)歷史名題在經(jīng)過(guò)科學(xué)合理的組織之后，能更好地融入并促進(jìn)教學(xué)．

4.2 多種解法拓展數(shù)學(xué)思維

解題教學(xué)不能只關(guān)注教解題，還應(yīng)著眼于學(xué)生的思維發(fā)展，讓學(xué)生學(xué)解題．為使學(xué)生在面對(duì)問(wèn)題時(shí)積極運(yùn)用已有知識(shí)經(jīng)驗(yàn)多角度思考，教師可以通過(guò)引導(dǎo)學(xué)生一題多解來(lái)進(jìn)行思維培養(yǎng)．如在本教學(xué)案例中，共引導(dǎo)學(xué)生進(jìn)行了三次解法探究：第一種應(yīng)用平面幾何知識(shí)的“比例法”是史料中的解法，該方法最易于理解；第二種運(yùn)用銳角三角函數(shù)的“三角法”是初中階段解直角三角形的常用辦法，適用范圍最廣；第三種基于“出入相補(bǔ)”原理的“面積法”是我國(guó)古代數(shù)學(xué)中轉(zhuǎn)化思想的重要體現(xiàn)，雖然此方法在不可及物測(cè)量問(wèn)題中適用范圍較窄，但可以讓學(xué)生體會(huì)我國(guó)古代數(shù)學(xué)智慧，增長(zhǎng)民族自信，獲得良好的情感體驗(yàn)．

4.3 回歸教材強(qiáng)化知識(shí)應(yīng)用

解題教學(xué)最終要落實(shí)到學(xué)生的實(shí)際應(yīng)用中，所教內(nèi)容回歸教材、鏈接考試，有助于學(xué)生進(jìn)一步作解題反思，鞏固所學(xué)．本案例中將浙教版教材中的課后習(xí)題和各地中考真題作為練習(xí)題目，一方面檢測(cè)教學(xué)效果，補(bǔ)充教學(xué)不足；另一方面引導(dǎo)學(xué)生在練習(xí)的過(guò)程中梳理知識(shí)點(diǎn)、把握考點(diǎn)，深化知識(shí)理解，強(qiáng)化知識(shí)應(yīng)用．