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    一道新高考導(dǎo)數(shù)壓軸題的分析與延伸

    2022-11-24 17:35:06江蘇省南京市第一中學(xué)210001
    中學(xué)數(shù)學(xué)雜志 2022年10期
    關(guān)鍵詞:探究

    雷 蕾 (江蘇省南京市第一中學(xué) 210001)

    2022年新高考I卷第22題是一道函數(shù)與導(dǎo)數(shù)綜合的壓軸題,考查了利用導(dǎo)數(shù)研究函數(shù)的極值與最值、零點(diǎn)等知識,體現(xiàn)了分類討論、數(shù)形結(jié)合、函數(shù)與方程、轉(zhuǎn)化與化歸等數(shù)學(xué)思想,對學(xué)生的邏輯推理、直觀想象、數(shù)學(xué)運(yùn)算等核心素養(yǎng)要求較高.下面筆者從分析高考真題、推廣一般結(jié)論、探究其他性質(zhì)這三個方面展開,對這道壓軸題進(jìn)行深度解析,供大家參考.

    1 分析高考真題,厘清解題思路

    試題(2022年新高考I卷第22題)已知函數(shù)f(x)=ex-ax和g(x)=ax-lnx有相同的最小值.

    (1)求a;(2)證明:存在直線y=b,其與兩條曲線y=f(x)和y=g(x)有三個不同的交點(diǎn),并且從左到右的三個交點(diǎn)的橫坐標(biāo)成等差數(shù)列.

    思路 (1)分2步:①分別求出f(x)與g(x)的最小值(用a表示),由f(x)與g(x)的最小值相等建立關(guān)于a的方程;②利用導(dǎo)數(shù)求解關(guān)于a的方程.

    (2)分3步:①證明f(x)與g(x)的圖象只有一個交點(diǎn)(x0,y0);②證明直線y=y0與f(x),g(x)的圖象各有另一個交點(diǎn);③證明從左到右的三個交點(diǎn)的橫坐標(biāo)成等差數(shù)列.

    圖1

    因?yàn)閒(lnx0)=x0-lnx0=ex0-x0=f(x0),由f(x)的單調(diào)性可知,直線y=b與f(x)的圖象交于兩點(diǎn)(lnx0,b),(x0,b).因?yàn)間(ex0)=ex0-x0=x0-lnx0=g(x0),由g(x)的單調(diào)性可知,直線y=b與g(x)的圖象交于兩點(diǎn)(x0,b),(ex0,b),所以存在直線y=b與f(x),g(x)的圖象有三個交點(diǎn),其橫坐標(biāo)從左到右依次為lnx0,x0,ex0.由ex0-x0=x0-lnx0知,其橫坐標(biāo)成等差數(shù)列.

    2 探究其他情況,得出一般結(jié)論

    從上述分析可以發(fā)現(xiàn),本題的第(2)題就是從直線y=b經(jīng)過f(x)與g(x)圖象的交點(diǎn)出發(fā)進(jìn)行命制,考查了一種特殊情形.那么,對于一般情況,也就是直線y=b不經(jīng)過f(x)與g(x)圖象的交點(diǎn)時,是否有類似的結(jié)論?

    變式1 已知直線y=b與f(x)=ex-x和g(x)=x-lnx的圖象共有四個不同的交點(diǎn).

    (1)求實(shí)數(shù)b的取值范圍;

    (2)設(shè)這四個交點(diǎn)的橫坐標(biāo)從左到右依次為x1,x2,x3,x4,求證:x1+x4=x2+x3.

    (2)①由(1)知,當(dāng)b∈(1,y0)時,直線y=b與f(x)圖象交點(diǎn)的橫坐標(biāo)從左到右依次為x1,x2,直線y=b與g(x)圖象交點(diǎn)的橫坐標(biāo)從左到右依次為x3,x4,即f(x1)=f(x2)=g(x3)=g(x4)=b,其中l(wèi)nx0

    圖2 圖3

    ②由(1)知,當(dāng)b∈(y0,+∞)時,直線y=b與f(x)圖象交點(diǎn)的橫坐標(biāo)從左到右依次為x1,x3,直線y=b與g(x)圖象交點(diǎn)的橫坐標(biāo)從左到右依次為x2,x4,即f(x1)=g(x2)=f(x3)=g(x4)=b,其中x1

    綜上,x1+x4=x2+x3.

    評注(1)對于變式1第(1)題中的交點(diǎn)個數(shù)問題,也可以用零點(diǎn)存在定理進(jìn)行判斷:

    (2)若將試題與變式1中的函數(shù)一般化,即f(x)=ax-x,g(x)=x-logax,其中a>1,容易判斷f(x)與g(x)都只有一個極小值點(diǎn),且極小值相等.利用f(logax)=g(x)與g(ax)=f(x)可以證明:

    ①若直線y=b與兩條曲線y=f(x)和y=g(x)共有三個不同的交點(diǎn),則從左到右的三個交點(diǎn)的橫坐標(biāo)成等差數(shù)列;

    ②若直線y=b與兩條曲線y=f(x)和y=g(x)共有四個不同的交點(diǎn),設(shè)這四個交點(diǎn)的橫坐標(biāo)從左到右依次為x1,x2,x3,x4,則x1+x4=x2+x3.

    3 總結(jié)命題規(guī)律,探究其他性質(zhì)

    通過對試題與變式1的分析,我們發(fā)現(xiàn)函數(shù)f(x)與g(x)之所以具有上述性質(zhì),關(guān)鍵是滿足兩點(diǎn):①f(logax)=g(x),g(ax)=f(x);②f(x)與g(x)都只有一個極值點(diǎn),且極值相等.

    下面筆者適當(dāng)改變f(x)與g(x)的解析式,使其滿足上述兩個關(guān)鍵點(diǎn),探究其他函數(shù)的類似性質(zhì).

    (1)若直線y=b與兩條曲線y=f(x)和y=g(x)共有三個不同的交點(diǎn),試探究:從左到右三個交點(diǎn)的橫坐標(biāo)之間的關(guān)系;

    (2)若直線y=b與兩條曲線y=f(x)和y=g(x)共有四個不同的交點(diǎn),試探究:從左到右四個交點(diǎn)的橫坐標(biāo)之間的關(guān)系.

    圖4

    圖5

    綜上,若直線y=b與兩條曲線y=f(x)和y=g(x)共有四個不同的交點(diǎn),設(shè)從左到右四個交點(diǎn)的橫坐標(biāo)分別為x1,x2,x3,x4,則x1x4=x2x3.

    ②當(dāng)x∈(e,+∞)時,lnx>1,因?yàn)閒(x)在(1,+∞)上遞減,易證x>lnx,所以f(x)

    ①若直線y=b與兩條曲線y=f(x)和y=g(x)共有三個不同的交點(diǎn),則從左到右三個交點(diǎn)的橫坐標(biāo)成等比數(shù)列;

    ②若直線y=b與兩條曲線y=f(x)和y=g(x)共有四個不同的交點(diǎn),設(shè)這四個交點(diǎn)的橫坐標(biāo)從左到右依次為x1,x2,x3,x4,則x1x4=x2x3.

    4 結(jié)語

    總之,對于一道典型的高考真題,我們不能僅僅局限于解決這個問題,還應(yīng)從多個角度對其進(jìn)行剖析,充分挖掘其價值.通常可以思考如下問題:你能用多種方法求解這個問題嗎?這個問題的命題意圖是什么?改變條件或目標(biāo)后這些方法還適用嗎?這個問題能否推廣到一般情形?等等.只有真正弄清這個問題的來龍去脈,把握其各種變化,我們在遇到新問題時才能做到靈活處理、巧妙應(yīng)對.

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