《幾何原本》在高中數(shù)學(xué)教學(xué)中的應(yīng)用

王智洋 韓 粟 (華東師范大學(xué)教師教育學(xué)院 200062)

1 引言

歐幾里得的《幾何原本》(下稱(chēng)《原本》)是世界上最著名、最有價(jià)值的數(shù)學(xué)巨著之一，它作為使用過(guò)兩千多年的教科書(shū)，為我們提供了大量數(shù)學(xué)概念、方法和思想，如今教材中的許多內(nèi)容均可以在其中找到來(lái)源．徐光啟曾在《幾何原本雜憶》中提到“而習(xí)者蓋寡，竊意百年之后，必人人習(xí)之”，表達(dá)了他對(duì)于《原本》的贊賞和推崇．在數(shù)學(xué)文化的價(jià)值受到廣泛關(guān)注的今天，“純數(shù)學(xué)”的學(xué)習(xí)已經(jīng)不能滿(mǎn)足學(xué)生的發(fā)展需求．教師在當(dāng)下重溫經(jīng)典，不僅能夠獲得豐富的教學(xué)素材，還能發(fā)現(xiàn)其寶貴的育人價(jià)值．

隨著HPM(History and Pedagogy of Mathematics，數(shù)學(xué)史與數(shù)學(xué)教育)得到數(shù)學(xué)教育界的認(rèn)可，許多中學(xué)數(shù)學(xué)教師已經(jīng)認(rèn)識(shí)到數(shù)學(xué)史的教育價(jià)值，但在實(shí)際教學(xué)中運(yùn)用數(shù)學(xué)史仍然存在諸多困難．例如，手頭無(wú)史料(不知道用什么)，胸中無(wú)方法(不知道怎么用)[1]．本文希望結(jié)合已有的HPM課例，探究將《原本》[2]中的材料應(yīng)用于教學(xué)的方法，為一線(xiàn)的高中數(shù)學(xué)教師提供幫助．

2 思想溯源：數(shù)學(xué)公式的教學(xué)

· 等比數(shù)列求和公式

《普通高中數(shù)學(xué)課程標(biāo)準(zhǔn)(2017年版)》(下稱(chēng)《課標(biāo)》)要求“探索并掌握等比數(shù)列的前n項(xiàng)和公式”，國(guó)內(nèi)教材中給出的公式推導(dǎo)方法多為錯(cuò)位相減法，呈現(xiàn)方式也十分相似．錯(cuò)位相減法固然是一種非常重要的思想方法，用途廣泛，體現(xiàn)了高等數(shù)學(xué)中“算法”的思想．但學(xué)生在學(xué)習(xí)中容易產(chǎn)生困惑：為何想到錯(cuò)位相減法？是否存在其他推導(dǎo)方法？[3]

《原本》第9卷命題35中給出了等比數(shù)列求和公式的另一種推導(dǎo)方法：

文獻(xiàn)[4]第219～226頁(yè)的課例中教師在引出等比數(shù)列求和問(wèn)題后，通過(guò)微視頻大致介紹了公式推導(dǎo)的幾種思路，引導(dǎo)學(xué)生分組進(jìn)行探究．然后組織學(xué)生分享推導(dǎo)思路，展示《原本》中的推導(dǎo)過(guò)程以及其他精彩的推導(dǎo)方法．最后讓學(xué)生運(yùn)用公式解決古今問(wèn)題，體會(huì)公式的必要性和實(shí)用性．

將《原本》應(yīng)用于教學(xué)，為公式的推導(dǎo)提供了一種簡(jiǎn)單方法——比例法，這種方法與等比數(shù)列的定義結(jié)合緊密，增添了推導(dǎo)方法的豐富性．學(xué)生經(jīng)歷公式推導(dǎo)后了解了比例法思想的歷史來(lái)源，增加了課堂的人文性．

3 古今對(duì)話(huà)：幾何概念的教學(xué)

在概念課教學(xué)中，最重要的環(huán)節(jié)莫過(guò)于形成概念并引出定義，學(xué)生往往在這一環(huán)節(jié)缺少同化的過(guò)程，只能被動(dòng)接受．這樣得到的概念對(duì)于學(xué)生而言如空中樓閣一般虛無(wú)縹緲，學(xué)生不理解定義從何而來(lái)，造成概念模糊和混淆．本節(jié)以旋轉(zhuǎn)體和棱柱的概念為例，探究《原本》在概念課教學(xué)中怎樣幫助教師更好地“引”出定義．

3.1 旋轉(zhuǎn)體的概念

《原本》第11卷中分別給出了圓柱、圓錐和球的定義：

·固定一個(gè)半圓的直徑，旋轉(zhuǎn)半圓到開(kāi)始位置，所形成的圖形稱(chēng)為一個(gè)球；

·固定直角三角形的一條直角邊，旋轉(zhuǎn)直角三角形到開(kāi)始位置，所形成的圖形稱(chēng)為圓錐；

·固定矩形的一邊，繞此邊旋轉(zhuǎn)矩形到開(kāi)始位置，所成的圖形稱(chēng)為圓柱．

上述定義都是動(dòng)態(tài)的，與如今教材中給出的具體旋轉(zhuǎn)體的定義基本相同，只是教材中還補(bǔ)充了圓臺(tái)和一般旋轉(zhuǎn)體的定義．在學(xué)習(xí)旋轉(zhuǎn)體時(shí)，學(xué)生容易產(chǎn)生困惑，不理解學(xué)習(xí)旋轉(zhuǎn)體的必要性，難以想到立體圖形的動(dòng)態(tài)形成過(guò)程[5].

文獻(xiàn)[4]第182～187頁(yè)的課例中，教師首先通過(guò)問(wèn)題情境展示了生活中的圓柱，并讓學(xué)生分析圓柱的靜態(tài)性質(zhì)，體會(huì)學(xué)習(xí)圓柱的必要性．然后通過(guò)回憶圓的靜態(tài)、動(dòng)態(tài)定義，感受到圖形動(dòng)態(tài)定義的生動(dòng)與活力．接著組織學(xué)生利用提供的材料，用圖形的運(yùn)動(dòng)形成圓柱，從動(dòng)態(tài)角度得到包括“歐氏”定義在內(nèi)的多種圓柱定義，并引導(dǎo)學(xué)生對(duì)每個(gè)定義進(jìn)行辨析，強(qiáng)調(diào)嚴(yán)謹(jǐn)性．隨后通過(guò)對(duì)多個(gè)定義的比較，評(píng)選出最優(yōu)的定義，分享“歐氏”定義的優(yōu)點(diǎn)和美妙之處．最后將平面圖形一般化，得到一般旋轉(zhuǎn)體的定義．

將《原本》應(yīng)用于教學(xué)，從學(xué)生熟悉的具體幾何體出發(fā)，幫助學(xué)生抽象出旋轉(zhuǎn)體的概念，感受旋轉(zhuǎn)體的特殊性，對(duì)于立體幾何的認(rèn)識(shí)從平面過(guò)渡到曲面、從靜態(tài)上升到了動(dòng)態(tài)．學(xué)生在動(dòng)手操作的過(guò)程中仿佛穿越時(shí)空與古人對(duì)話(huà)，通過(guò)觀(guān)察不同材料的運(yùn)動(dòng)現(xiàn)象產(chǎn)生多種動(dòng)態(tài)定義．

3.2 棱柱的概念

《原本》第11卷中給出棱柱的定義：“一個(gè)棱柱是一個(gè)立體圖形，它是由一些平面構(gòu)成的，其中有兩個(gè)面是相對(duì)的、相等的，相似且平行的，其他各面都是平行四邊形．”“歐氏”定義在歷史上很長(zhǎng)一段時(shí)間里都被認(rèn)為是棱柱的標(biāo)準(zhǔn)定義，但事實(shí)上，通過(guò)“正十二面體”的反例，可以說(shuō)明這個(gè)定義是不完備的．

文獻(xiàn)[4]第165～171頁(yè)的課例中，教師先讓學(xué)生通過(guò)觀(guān)察、搭建模型等方式，從多個(gè)角度抽象出棱柱的定義，從而引出《原本》中的定義，并引導(dǎo)學(xué)生思考、討論定義的正確性．然后簡(jiǎn)單介紹數(shù)學(xué)歷史上對(duì)“歐氏”定義正確性的討論，提醒學(xué)生從棱柱的基本量的數(shù)量關(guān)系和位置關(guān)系出發(fā)進(jìn)行思考、動(dòng)手操作，逐步構(gòu)造出反例．證明“歐氏”定義的不足后，引導(dǎo)學(xué)生通過(guò)增加條件來(lái)完善定義，最后得到教材上的定義．

教學(xué)實(shí)踐表明，學(xué)生對(duì)棱柱概念的理解具有歷史相似性，他們?cè)趯W(xué)習(xí)過(guò)程中往往會(huì)把棱柱的某些特征放在一起定義棱柱，認(rèn)為《原本》中的定義是正確的[6]．因此，將《原本》應(yīng)用于教學(xué)中，通過(guò)對(duì)不完備定義的修正，解決學(xué)生對(duì)于棱柱的認(rèn)識(shí)從模糊的幾何圖形過(guò)渡到具體的數(shù)學(xué)定義的困難．在過(guò)程中回顧整個(gè)棱柱定義的發(fā)展歷史，讓學(xué)生感受到數(shù)學(xué)發(fā)展的曲折和探索精神的可貴．

4 方法運(yùn)用：數(shù)學(xué)命題的教學(xué)

在命題課的教學(xué)過(guò)程中，教師要讓學(xué)生經(jīng)歷從命題的背景中發(fā)現(xiàn)和提出猜想、推理論證，獲得命題的過(guò)程[7].《原本》不僅提供了背景素材，幫助教師引出命題，還提供了多種證明方法和思路，幫助學(xué)生得到命題．本節(jié)以線(xiàn)面垂直判定定理、余弦定理和基本不等式的概念為例，探究《原本》在命題課教學(xué)中的應(yīng)用．

4.1 線(xiàn)面垂直判定定理

《原本》第11卷中給出了線(xiàn)面垂直的定義：“一直線(xiàn)和一平面內(nèi)所有與它相交的直線(xiàn)都成直角時(shí)，則稱(chēng)此直線(xiàn)與平面成直角．”

在同卷命題4中給出了線(xiàn)面垂直的判定定理：“如果一直線(xiàn)在另兩條直線(xiàn)交點(diǎn)處都和它們成直角，則此直線(xiàn)與兩直線(xiàn)所在平面成直角．”并通過(guò)添加輔助線(xiàn)構(gòu)造全等三角形進(jìn)行了證明．

教材中給出的線(xiàn)面垂直判定定理與《原本》基本相同，只是在線(xiàn)面垂直的定義中將“與直線(xiàn)相交”去掉，改為“若一條直線(xiàn)與一個(gè)平面上的兩條相交直線(xiàn)都垂直，則該直線(xiàn)與該平面垂直”．根據(jù)前面直線(xiàn)與直線(xiàn)位置關(guān)系的內(nèi)容，教材將《原本》中線(xiàn)面垂直的定義和判定定理進(jìn)行了簡(jiǎn)化．因?yàn)椤墩n標(biāo)》中的要求是“歸納出判定定理”，所以教材只是歸納出了定理，沒(méi)有進(jìn)行證明，但在實(shí)際教學(xué)中，僅僅依靠歸納難免會(huì)讓學(xué)生將信將疑．《原本》提供了一種學(xué)生可以理解的證明思路，雖然證明過(guò)程較為繁瑣，但其思路能夠啟發(fā)學(xué)生探索其他證明方法．

文獻(xiàn)[4]第280-285頁(yè)的課例中教師首先通過(guò)一些生活中線(xiàn)面垂直的例子，如翻開(kāi)書(shū)本直立在桌面上、旗桿與地面等，讓學(xué)生產(chǎn)生線(xiàn)面垂直的概念，并將生活實(shí)例抽象成數(shù)學(xué)情境，引出“歐氏”定義．然后通過(guò)之前學(xué)習(xí)的直線(xiàn)與直線(xiàn)位置關(guān)系相關(guān)內(nèi)容，將“歐氏”定義簡(jiǎn)化，得到課本上的定義．接著通過(guò)分析定義，化無(wú)限為有限，得到判定定理．最后展示《原本》中判定定理的證明思路，提示學(xué)生添加輔助線(xiàn)，引導(dǎo)學(xué)生嘗試證明定理．

將《原本》應(yīng)用于“線(xiàn)面垂直判定定理”教學(xué)，在得到線(xiàn)面垂直定義的過(guò)程中鋪設(shè)臺(tái)階，先通過(guò)幾何直觀(guān)和數(shù)學(xué)抽象得到“歐氏”定義，再通過(guò)簡(jiǎn)化“歐氏”定義，得到課本上的定義．這給學(xué)生提供了證明定理的思路，學(xué)生經(jīng)歷了合情推理和邏輯推理的過(guò)程，感受到數(shù)學(xué)來(lái)源于生活以及數(shù)學(xué)的嚴(yán)謹(jǐn)性．

4.2 基本不等式

圖1 矩形模型

圖2 半圓模型

《原本》中的半圓模型從“形”的角度展示了基本不等式的幾何意義．在推導(dǎo)基本不等式的眾多方法中，作差法是學(xué)生容易想到的，也是證明不等式的首選[8]．《原本》中的矩形模型不僅給出了作差法的詳細(xì)步驟，還提供了幾何解釋?zhuān)?/p>

文獻(xiàn)[4]第338～341頁(yè)的課例中教師首先通過(guò)等周問(wèn)題引出算術(shù)平均數(shù)和幾何平均數(shù)的概念．然后引導(dǎo)學(xué)生通過(guò)作差法證明，并通過(guò)作圖比較兩個(gè)平均數(shù)的大小，即《原本》中的半圓模型．接著組織學(xué)生嘗試通過(guò)分析法和綜合法嚴(yán)格證明基本不等式．

將《原本》中的兩種模型應(yīng)用于“基本不等式”的教學(xué)，幫助學(xué)生從“數(shù)”與“形”兩個(gè)角度進(jìn)一步認(rèn)識(shí)基本不等式，將抽象的代數(shù)式變得具體，培養(yǎng)學(xué)生數(shù)形結(jié)合的思想，感受幾何圖形中蘊(yùn)含著代數(shù)關(guān)系的和諧美．

4.3 余弦定理

《原本》第1卷命題47中用面積法證明了勾股定理，這給我們提供了一種思路：將直角三角形推廣為一般三角形，用同樣的“面積法”證明余弦定理．以銳角三角形為例，證明過(guò)程如下：

如圖3，在邊長(zhǎng)為a,b,c的銳角△ABC的三邊BC,CA,AB上分別作正方形BCED,ACFG和ABIH．過(guò)頂點(diǎn)A,B,C分別作BC,CA和AB的垂線(xiàn)，垂足分別為J,L和N，延長(zhǎng)垂線(xiàn)，與DE,FG,IH分別交于K,M和P．

圖3 面積法

與勾股定理的情形類(lèi)似，由于△ACE≌△FCB，則SACE=S△FCB．又SCEKJ=2S△ACE且SCFML=2S△FCB，從而SCEKJ=SCFML．同理可證SBDKJ=SBIPN．那么SBCED=SCEKJ+SBDKJ=SCFML+SBIPN=SABIH-SAHPN+SACFG-SALMG，即a2=b2+c2-SAHPN-SALMG．又因?yàn)镾AHPN=2S△AHC=AH·AN=c·bcosA=bccosA，且SALMG=AG·AL=b·ccosA=bccosA，所以a2=b2+c2-2bccosA．

另外，《原本》第2卷的命題12和命題13中分別給出了鈍角三角形和銳角三角形的三邊關(guān)系：命題12相當(dāng)于在圖4左所示的鈍角△ABC中，有a2=b2+c2+2cm．命題13相當(dāng)于在圖4右所示的銳角△ABC中，有a2=b2+c2-2cm．并利用“作高法”對(duì)上述兩個(gè)命題進(jìn)行了證明，如圖4所示，由勾股定理分別得到a2=h2+(c+m)2=h2+c2+m2+2cm=b2+c2+2cm，a2=h2+(c-m)2=h2+c2+m2-2cm=b2+c2-2cm．

圖4 作高法

教材中給出的余弦定理敘述基本一致，將《原本》中的鈍角三角形和銳角三角形兩種形式合并為三角形式，即a2=b2+c2-2bccosA．但證明方法有所不同，人教版和蘇教版教材用向量法證明，滬教版用兩點(diǎn)間距離公式．雖然課標(biāo)中要求“借助向量和運(yùn)算”，但在實(shí)際教學(xué)中，學(xué)生很難想到用向量方法來(lái)解決[9]．《原本》從學(xué)生熟知的勾股定理出發(fā)，提供了兩種證明余弦定理的思路，一種是由面積法證明勾股定理推廣到證明余弦定理，另一種是通過(guò)構(gòu)造直角三角形的幾何證明方法．

文獻(xiàn)[4]第264～268頁(yè)的課例中教師首先讓學(xué)生比較不同形狀三角形三邊和的關(guān)系，得到《原本》中余弦定理的描述．然后提示面積法證明勾股定理的思路，啟發(fā)學(xué)生證明余弦定理，并將定理形式合并成課本上的三角形式．接著，教師鼓勵(lì)學(xué)生從代數(shù)的角度證明余弦定理，學(xué)生想到了作高法、解析法等．最后教師總結(jié)方法，并對(duì)公式形式進(jìn)行分析和變形．

將《原本》應(yīng)用于“余弦定理”教學(xué)，不僅為學(xué)生從“形”的角度提供了兩種證明方法，展示了方法之美，還讓學(xué)生經(jīng)歷了從勾股定理到余弦定理的類(lèi)比和推廣過(guò)程、從幾何探究到解析證明的過(guò)程，培養(yǎng)研究數(shù)學(xué)的能力．

5 結(jié)語(yǔ)

本文展示了《原本》在高中數(shù)學(xué)階段豐富的教學(xué)素材，以教材中的“一個(gè)公式，兩個(gè)概念，三個(gè)命題”為例，結(jié)合相關(guān)HPM課例給出了將《原本》應(yīng)用于高中數(shù)學(xué)教學(xué)中的方法．《原本》中內(nèi)容、方法和思維的應(yīng)用，能讓學(xué)生更自然地理解并掌握新知，構(gòu)建“知識(shí)之諧”；開(kāi)拓思維，激發(fā)創(chuàng)新意識(shí)，感受“方法之美”；主動(dòng)參與課堂，激發(fā)學(xué)習(xí)興趣，享受“探究之樂(lè)”；培養(yǎng)數(shù)學(xué)抽象、邏輯推理、直觀(guān)想象和數(shù)學(xué)運(yùn)算核心素養(yǎng)，實(shí)現(xiàn)“能力之助”[1].同時(shí)，它們也幫助教師讀懂教材、豐富教學(xué)內(nèi)容，解決實(shí)際教學(xué)中“概念引入太快”“定理形成過(guò)簡(jiǎn)”“公式推導(dǎo)單一”等問(wèn)題．

《原本》應(yīng)用于教學(xué)不僅有教學(xué)價(jià)值，還能夠在數(shù)學(xué)課堂上幫助落實(shí)立德樹(shù)人的教育根本任務(wù)．學(xué)生在了解相關(guān)知識(shí)的歷史后，能夠樹(shù)立嚴(yán)謹(jǐn)求實(shí)的理性精神，培養(yǎng)動(dòng)態(tài)的數(shù)學(xué)觀(guān)，在學(xué)習(xí)過(guò)程中仿佛穿越時(shí)空與數(shù)學(xué)家對(duì)話(huà)，體會(huì)數(shù)學(xué)“冰冷外表”背后的人文關(guān)懷，達(dá)成“德育之效”[1]．