• <tr id="yyy80"></tr>
  • <sup id="yyy80"></sup>
  • <tfoot id="yyy80"><noscript id="yyy80"></noscript></tfoot>
  • 99热精品在线国产_美女午夜性视频免费_国产精品国产高清国产av_av欧美777_自拍偷自拍亚洲精品老妇_亚洲熟女精品中文字幕_www日本黄色视频网_国产精品野战在线观看 ?

    基于數(shù)學歷史名題的解題教學
    ——以“不可及物的測量問題”為例

    2022-11-24 17:35:06張維忠浙江師范大學教師教育學院321004
    中學數(shù)學雜志 2022年10期
    關鍵詞:解題歷史探究

    侯 甜 張維忠 (浙江師范大學教師教育學院 321004)

    解題教學是數(shù)學教學的重要部分,學生在學會解題的過程中發(fā)展了思維能力,提高了數(shù)學核心素養(yǎng)[1].目前的解題教學存在一些問題:學生的學習興趣被大量解題沖淡;注重解題技巧,忽視思維發(fā)展;題目遠離教材,出現(xiàn)難題怪題;課堂缺乏文化氣息……數(shù)學歷史名題作為數(shù)學史的重要內容,對數(shù)學發(fā)展、數(shù)學教學和數(shù)學應用有著推動作用,題中真實的問題情境、實質性的數(shù)學思想方法、豐富的人文背景等對于教學都有重要意義.[2]鑒于此,本文以“不可及物的測量問題”為例,選取《海島算經(jīng)》中的數(shù)學歷史名題進行教學設計,探索數(shù)學歷史名題如何助推解題教學.

    1 數(shù)學解題教學存在的問題

    美國數(shù)學家哈爾莫斯說:“數(shù)學的真正組成部分應該是問題和解,解題才是數(shù)學的心臟.”解題教學是培養(yǎng)學生發(fā)現(xiàn)和提出問題、分析和解決問題能力,拓展學生數(shù)學思維,發(fā)展數(shù)學核心素養(yǎng)的重要手段.但目前的解題教學還存在一些問題.為了更好地改進教學,教師應當正確認識問題,并提出解決策略.

    第一,學生的學習興趣被大量解題沖淡.大多數(shù)解題教學都是通過枯燥的題目訓練來達到讓學生學會解題的教學目的,這種缺乏創(chuàng)新的教學方法不能滿足學生的心理需求,大量的題目將數(shù)學學科的枯燥性放大,學生的學習興趣、探索熱情被不斷沖淡[3].

    第二,注重解題技巧,忽視思維發(fā)展.解題教學中通常都充斥著各種類型的題目,教師注重題型分類和變式練習,在對例題進行分類講解后,歸納每種題型的解題方法,要求學生利用技巧求解問題,并做大量練習.這種教學方法雖然可以讓學生快速掌握一些問題的求解方法,收獲短期效益,但長遠來看并不利于學生的思維發(fā)展,學生在學習過程中沒有進行主動的思考探索,將解題視為根據(jù)題型套技巧的活動[4].

    第三,題目遠離教材,出現(xiàn)難題怪題.重視題型歸類和技巧訓練的解題教學,往往從各式各類的題目出發(fā)展開教學,欠缺對學生知識建構的考慮,出現(xiàn)遠離教材的現(xiàn)象,一些難題、怪題還會作為創(chuàng)新點出現(xiàn).

    第四,課堂缺乏文化氣息.盡管當前課程改革多次強調數(shù)學課堂文化,但解題教學中的文化氣息仍較為缺乏.教學在大量刷題中追求標準答案,重視從問題背景中提煉關鍵信息,忽視問題的文化韻味,多為達到功利性、應試性目的[5].

    2 數(shù)學歷史名題助推解題教學

    在數(shù)學歷史發(fā)展的長河中,產(chǎn)生了很多對數(shù)學史有較大影響,對數(shù)學發(fā)展、數(shù)學應用和數(shù)學教學有重要推動作用的數(shù)學歷史名題.歷史名題通常從現(xiàn)實問題中提出,問題背景真實自然,能很好地體現(xiàn)所涉及數(shù)學內容的實踐價值,同時對于學生來說,真實的情境不僅利于激發(fā)學習興趣還利于知識理解.問題中蘊含的數(shù)學思想方法,對于學生的思維發(fā)展有重要促進作用,學生收獲的不僅是解某一類數(shù)學問題的方法,更是數(shù)學地看待問題的思維.教師還可通過數(shù)學歷史名題中豐富的人文背景對學生進行文化熏陶、情感教育,落實“立德樹人”的教育目標.如此,數(shù)學歷史名題可以從激發(fā)興趣、拓展思維、強化應用、文化育人四方面助推解題教學,解決現(xiàn)存問題,改善現(xiàn)有教學.

    融入歷史名題,激發(fā)學習興趣.巧妙運用數(shù)學歷史名題真實自然的問題背景,為原本枯燥的解題過程增添活力.一方面,可以將歷史名題作為教學引入,用耐人尋味的問題開啟課堂,將學生的注意力吸引到如何利用所學解決問題上.另一方面,由于學生的興趣容易被大量枯燥的題目沖淡,因此在對例題進行分類講解時,可以將歷史名題作為例題或者將歷史名題中的情境改編到例題中,激發(fā)學生學習興趣.

    探究名題解法,拓展數(shù)學思維.在講解名題時注重多種解法的探究,打破固有思維.數(shù)學發(fā)展的不同階段對于名題的求解方法不同,這些方法往往可以體現(xiàn)當時數(shù)學發(fā)展的特點,蘊含著重要的數(shù)學思想方法,因此教師可以從已有的解題角度出發(fā),引導學生探究.在引導探究的過程中,更重要的是讓學生感受解決數(shù)學問題的多種視角,培養(yǎng)發(fā)散思維[6].

    聯(lián)系教材實際,強化知識應用.新一輪課程改革中強調數(shù)學文化融入教學,多版初中教科書都分布有數(shù)學歷史名題,中考試題中數(shù)學歷史名題的出現(xiàn)頻次也呈上升趨勢.解題教學應與教材實際和學生已有的知識體系緊密相連[7].為此,教師既可以充分挖掘教材中已有的或隱含的數(shù)學歷史名題來開啟教學,也可以選取中高考中包含歷史名題的試題進行應用鏈接,改善解題教學中題目遠離教材、偏難偏怪的現(xiàn)象.

    滲透文化背景,進行情感熏陶.數(shù)學歷史名題作為數(shù)學發(fā)展長河中留存下來的經(jīng)典問題,是數(shù)學世界的璀璨明珠,其深厚的人文背景是對學生進行情感教育的良好素材.教師在應用歷史名題前,應充分了解其時代背景、相關數(shù)學家、發(fā)展歷史等,讓學生在認識名題的過程中獲得良好的情感體驗,如感受我國古代數(shù)學的博大精深,增長民族自信,體會數(shù)學家嚴謹?shù)闹螌W態(tài)度和鍥而不舍的探索精神,改變錯誤的學習觀念等.

    3 相關教學設計

    解雙直角三角形是初中數(shù)學的重點內容,《義務教育數(shù)學課程標準(2022年版)》中強調:“知道直角三角形的邊角關系,理解銳角三角函數(shù),能用銳角三角函數(shù)解決簡單的實際問題.”[8]不可及物的測量問題是解雙直角三角形的經(jīng)典題型,在中考中多次出現(xiàn).《海島算經(jīng)》是我國數(shù)學家劉徽所著的中國最早運用幾何理論解決各種測量難題的數(shù)學專著,主要解釋“重差術”問題,即不可及物高度和距離的測量問題,書中的數(shù)學問題包含多種真實情境,蘊含著重要的數(shù)學思想方法,是“不可及物測量問題”教學的優(yōu)秀素材.

    3.1 名題引入,激起興趣

    魏晉時期偉大的數(shù)學家劉徽在其著作《海島算經(jīng)》中留下了九道經(jīng)典的測量名題,其中第1題為“望海島”問題——在地面立前后兩根表來測量遠方的一處海島,兩表高均為3丈(5步),相距1 000步,先從前表出發(fā)后退123步觀察海島頂端,再從后表后退127步觀察海島頂端.問:海島高為多少?海島與前表之間的距離為多少?(注:古代1丈=10尺,1步=6尺)

    設計意圖此題源于現(xiàn)實生活,是有關不可及物測量問題的數(shù)學歷史名題,出自我國古代數(shù)學家劉徽的著作《海島算經(jīng)》,選取此種與教學內容緊密相連的歷史名題引出教學,激發(fā)學生的學習興趣.

    3.2 一題多探,發(fā)展思維

    探究1 預設學生最先想到的解題思路是利用相似三角形的判定及性質進行證明,引導學生應用平面幾何的知識證明島高和島去表的測量公式.

    探究2 “望海島”問題本質上是解雙直角三角形.在進行本課之前,學生已經(jīng)學習了利用銳角三角函數(shù)解直角三角形,故此引導學生利用銳角三角函數(shù)的知識證明島高和島去表的測量公式.

    探究3 《海島算經(jīng)》是劉徽在魏晉時期所著,根據(jù)當時的數(shù)學水平,三角學還未出現(xiàn),現(xiàn)代數(shù)學家吳文俊認為可以采用“出入相補”原理進行證明,趙爽在《周髀算經(jīng)》中遺留的“日高圖”中也蘊含此思想.引導學生思考如何利用面積思想和“出入相補”原理證明“望海島”問題.

    設計意圖引導學生探究名題的多種解法,從教解題到教思維,在解題教學中進行思維教學,幫助學生在問題思考過程中認識問題和解法的本質,提升思維能力,發(fā)展核心素養(yǎng)[3].探究1中的“比例法”涉及初中平面幾何知識,利用相似三角形對應邊成比例的性質定理進行求解,是初中生最容易理解和掌握的方法.探究2的“三角法”體現(xiàn)了銳角三角函數(shù)在解直角三角形中的重要作用,“望海島”問題本質上是不可及物高度和距離的測量問題,此類問題正是解直角三角形的經(jīng)典題型,三角法是最為普遍的解題方法.探究3中的“面積法”所用到的“出入相補”原理是我國古代數(shù)學的智慧結晶,此原理可以應用于勾股定理、多邊形面積公式、等差數(shù)列求和等多個教學之中,引導學生利用此原理思考“望海島”問題,既是對學生數(shù)學思維的培養(yǎng),也能通過體會古代數(shù)學的博大精深激發(fā)愛國熱情.三次解題探究,讓學生掌握了多種求解不可及物測量問題的方法,體會從幾何、函數(shù)、代數(shù)等方面進行問題探究的發(fā)散思維.

    3.3 變式檢測,合作探究

    變式1 改編自《海島算經(jīng)》中的“登山望津”問題:如圖1,今有登山望津(AB),津在山南.偃矩山上,令勾(CD)高一丈二尺,從勾端(C)斜望津南岸(A),入下股(DE)二丈三尺一寸;又望津北岸(B),入前望股里一丈八寸(EF),津南岸去山腳(G)五丈二尺(AG).問津廣(AB)幾何?

    圖1 圖2

    變式2 摘自《海島算經(jīng)》中的“望波口”問題:如圖2,今有東南望波口(AB),立兩表(C,D)南北相去九丈(CD),以索薄地連之.當北表之西卻行去表六丈(CE),薄地(E)遙望波口南岸(B),入索北端(H)四丈二寸(CH);以望北岸(A),入前所望表里(G)一丈二尺(GH).又卻后行去表十三丈五尺(CF),薄地(F)遙望波口南岸(B),與南表參合.問波口(AB)廣幾何?

    教學活動:以小組為單位進行討論,探究“望海島”問題的三種解題方法能否求解上述兩個變式,討論“登山望津”問題、“望波口”問題與“望海島”問題有哪些不同.

    設計意圖《海島算經(jīng)》中包括不可及物測量問題的多種情境,選取其中兩道符合初中生認知發(fā)展水平的名題作為變式探究,并以小組為單位用3.2節(jié)中的三種解題方法求解變式問題.教學引入的“望海島”問題是在與不可及物底端同一平面上的兩個點,對物體的頂端進行兩次觀測;變式1中改編的“登山望津”問題是在與觀測物不處于同一平面的一個點,對不可及物的兩個端點分別進行觀測;變式2中的“望波口”問題是在兩個點對不可及物進行多次觀測.通過變式問題進一步鞏固解法,在探究解法是否適用的過程中進一步體會數(shù)形結合、等量代換等數(shù)學思想,同時將改編后的歷史名題作為變式,真實生動的情境能為解題增添活力,調動學生探究的積極性.

    3.4 實戰(zhàn)演練,深化理解

    題1(浙教版)廣場上空有一個氣球A,地面上點B,C,D在一條直線上,BC=20 m.在點B,C分別測得氣球A的仰角∠ABD為45°,∠ACD為56°.求氣球A離地面的高度AD(精確到0.1 m).

    題2(2018·寧波中考)如圖3,某高速公路建設中需要測量某條江的寬度AB,飛機上的測量人員在C處測得A,B兩點的俯角分別為45°和30°.若飛機離地高度CH為1 200 m,且點H,A,B在同一水平直線上,則這條江的寬度AB為多少m?(結果保留根號)

    圖3 圖4

    設計意圖不可及物測量問題在課后習題中常有出現(xiàn),在中考中出現(xiàn)的頻率也很高,2020年河南省、2019年天津市、2018年衢州市、2014年紹興市等地的中考卷中都有類似考題.選用教材中的課后習題和中考真題作為應用鏈接,加強解題與教材之間的聯(lián)系,一方面能幫助學生鞏固所學,在解題時回顧教材,梳理知識,進一步完善知識網(wǎng)絡,同時在練習中考真題時能更好地把握考點,大多數(shù)中考真題的條件簡單,難度較低,利用銳角三角函數(shù)求解最為快捷有效;另一方面,學生在解題過程中可以體會知識的實際應用,感受豐富的文化韻味,保持學習的積極性.

    4 進一步的思考

    將《海島算經(jīng)》中的歷史名題融入“不可及物測量問題”的解題教學,真實有趣的情境為課堂增添了活力,學生在探究名題解法的過程中掌握了求解此類問題的通法,體會到數(shù)形結合、等量代換等數(shù)學思想的博大精深,最后練習相關課后習題和中考真題進行知識鞏固,同時教學還利用歷史名題的時代背景、相關人物、發(fā)展歷史等對學生進行文化教育.

    4.1 歷史名題合理融入教學

    融入教學的歷史名題應與教學存在緊密聯(lián)系,并符合學生的認知水平.“望海島”問題是“不可及物測量問題”的經(jīng)典題型,教學中探究的“比例法”“三角法”“面積法”都能被學生理解掌握.通常來說,數(shù)學歷史名題的語言表達較為晦澀難懂,會給學生帶來一定的認知負擔,教師在教學過程中可以對題目進行合理改編或增加注釋、圖示,同時注重引導學生從問題中抽象出數(shù)學模型.如本教學案例中的變式2是對《海島算經(jīng)》中“登山望津”問題進行的簡化改編,并配以圖示呈現(xiàn)給學生,減少學生的認知負擔.數(shù)學歷史名題在經(jīng)過科學合理的組織之后,能更好地融入并促進教學.

    4.2 多種解法拓展數(shù)學思維

    解題教學不能只關注教解題,還應著眼于學生的思維發(fā)展,讓學生學解題.為使學生在面對問題時積極運用已有知識經(jīng)驗多角度思考,教師可以通過引導學生一題多解來進行思維培養(yǎng).如在本教學案例中,共引導學生進行了三次解法探究:第一種應用平面幾何知識的“比例法”是史料中的解法,該方法最易于理解;第二種運用銳角三角函數(shù)的“三角法”是初中階段解直角三角形的常用辦法,適用范圍最廣;第三種基于“出入相補”原理的“面積法”是我國古代數(shù)學中轉化思想的重要體現(xiàn),雖然此方法在不可及物測量問題中適用范圍較窄,但可以讓學生體會我國古代數(shù)學智慧,增長民族自信,獲得良好的情感體驗.

    4.3 回歸教材強化知識應用

    解題教學最終要落實到學生的實際應用中,所教內容回歸教材、鏈接考試,有助于學生進一步作解題反思,鞏固所學.本案例中將浙教版教材中的課后習題和各地中考真題作為練習題目,一方面檢測教學效果,補充教學不足;另一方面引導學生在練習的過程中梳理知識點、把握考點,深化知識理解,強化知識應用.

    猜你喜歡
    解題歷史探究
    用“同樣多”解題
    設而不求巧解題
    一道探究題的解法及應用
    用“同樣多”解題
    一道IMO預選題的探究
    探究式學習在國外
    快樂語文(2018年13期)2018-06-11 01:18:16
    一道IMO預選題的探究及思考
    新歷史
    全體育(2016年4期)2016-11-02 18:57:28
    解題勿忘我
    歷史上的6月
    欧美乱色亚洲激情| av国产免费在线观看| 丰满的人妻完整版| 母亲3免费完整高清在线观看| 夜夜夜夜夜久久久久| 精品国内亚洲2022精品成人| 三级国产精品欧美在线观看| 国产精品久久久久久精品电影| 51午夜福利影视在线观看| 亚洲成人久久爱视频| 男女那种视频在线观看| 中文亚洲av片在线观看爽| 国产一区在线观看成人免费| 亚洲黑人精品在线| 精品午夜福利视频在线观看一区| 色老头精品视频在线观看| 村上凉子中文字幕在线| 国产黄色小视频在线观看| 99热6这里只有精品| 免费人成在线观看视频色| 中文亚洲av片在线观看爽| 国产一区二区在线观看日韩 | 99热只有精品国产| 国产乱人视频| 精品人妻1区二区| 亚洲片人在线观看| 露出奶头的视频| 最近最新免费中文字幕在线| 真人一进一出gif抽搐免费| 久久久色成人| 久久性视频一级片| aaaaa片日本免费| 亚洲第一欧美日韩一区二区三区| 国产单亲对白刺激| 亚洲精品乱码久久久v下载方式 | 老司机在亚洲福利影院| 99热这里只有是精品50| 一本精品99久久精品77| aaaaa片日本免费| 亚洲欧美日韩高清专用| 午夜亚洲福利在线播放| 欧美性猛交╳xxx乱大交人| 床上黄色一级片| 国产国拍精品亚洲av在线观看 | 一边摸一边抽搐一进一小说| 亚洲五月天丁香| 免费搜索国产男女视频| 欧美成人性av电影在线观看| 非洲黑人性xxxx精品又粗又长| 亚洲在线自拍视频| 99久久久亚洲精品蜜臀av| 久久精品夜夜夜夜夜久久蜜豆| 观看美女的网站| 亚洲人成电影免费在线| 成人亚洲精品av一区二区| 国产一区二区在线av高清观看| 美女免费视频网站| 琪琪午夜伦伦电影理论片6080| 国产午夜福利久久久久久| 国产精品久久久久久久电影 | 亚洲熟妇中文字幕五十中出| 亚洲精品美女久久久久99蜜臀| 99riav亚洲国产免费| 首页视频小说图片口味搜索| 欧美一级a爱片免费观看看| 国产欧美日韩精品一区二区| 天堂网av新在线| 啦啦啦观看免费观看视频高清| 一级毛片高清免费大全| 少妇的逼水好多| 搞女人的毛片| 婷婷亚洲欧美| 变态另类成人亚洲欧美熟女| 亚洲中文字幕一区二区三区有码在线看| 我的老师免费观看完整版| 国产精品影院久久| av国产免费在线观看| 亚洲国产欧美人成| 俺也久久电影网| 国产97色在线日韩免费| 久久人妻av系列| 少妇裸体淫交视频免费看高清| 制服丝袜大香蕉在线| 午夜福利在线观看吧| 青草久久国产| 蜜桃久久精品国产亚洲av| 久久精品国产综合久久久| 午夜免费成人在线视频| 91久久精品国产一区二区成人 | 亚洲人成网站高清观看| 十八禁网站免费在线| 热99在线观看视频| 久久久成人免费电影| 亚洲av电影在线进入| av在线天堂中文字幕| 长腿黑丝高跟| 国产一区二区亚洲精品在线观看| 99久久九九国产精品国产免费| 不卡一级毛片| 极品教师在线免费播放| 亚洲精品456在线播放app | 欧美一区二区亚洲| 麻豆成人午夜福利视频| 国产精品99久久久久久久久| 国产精品久久久人人做人人爽| 美女cb高潮喷水在线观看| 夜夜躁狠狠躁天天躁| 国内少妇人妻偷人精品xxx网站| 露出奶头的视频| 国产单亲对白刺激| 国产精品亚洲一级av第二区| 亚洲av日韩精品久久久久久密| xxxwww97欧美| 国产精品98久久久久久宅男小说| 99精品欧美一区二区三区四区| bbb黄色大片| 欧美日本视频| 久久99热这里只有精品18| 桃红色精品国产亚洲av| 国产欧美日韩精品一区二区| 午夜福利欧美成人| 国产精品嫩草影院av在线观看 | 亚洲欧美日韩高清专用| 欧洲精品卡2卡3卡4卡5卡区| 人人妻人人看人人澡| 人妻丰满熟妇av一区二区三区| 免费一级毛片在线播放高清视频| 午夜免费男女啪啪视频观看 | av中文乱码字幕在线| 久久久久久久久久黄片| 成人鲁丝片一二三区免费| 白带黄色成豆腐渣| 国产一区二区激情短视频| 非洲黑人性xxxx精品又粗又长| 搞女人的毛片| 亚洲熟妇中文字幕五十中出| 欧美丝袜亚洲另类 | 免费av观看视频| 欧美在线黄色| 精品欧美国产一区二区三| 天堂av国产一区二区熟女人妻| 免费看a级黄色片| 岛国在线免费视频观看| 一级毛片女人18水好多| 欧美bdsm另类| 欧美日韩福利视频一区二区| 99久久九九国产精品国产免费| 久久久久久久久久黄片| 狂野欧美激情性xxxx| 国产乱人伦免费视频| 亚洲av美国av| 在线观看免费午夜福利视频| 免费看光身美女| 久久精品国产清高在天天线| 国内精品久久久久久久电影| 国产亚洲精品久久久久久毛片| 天堂av国产一区二区熟女人妻| 日本与韩国留学比较| 欧美激情在线99| 最近最新中文字幕大全电影3| 悠悠久久av| 欧美性猛交╳xxx乱大交人| 99热这里只有精品一区| 欧美日韩黄片免| 久久久精品欧美日韩精品| 亚洲男人的天堂狠狠| 成人特级黄色片久久久久久久| 女生性感内裤真人,穿戴方法视频| 久久久国产成人精品二区| 在线观看66精品国产| 亚洲熟妇中文字幕五十中出| 性欧美人与动物交配| 小说图片视频综合网站| 淫秽高清视频在线观看| 两个人看的免费小视频| 男人舔女人下体高潮全视频| 可以在线观看的亚洲视频| 内射极品少妇av片p| 色综合亚洲欧美另类图片| 久99久视频精品免费| 日本熟妇午夜| 亚洲熟妇中文字幕五十中出| 法律面前人人平等表现在哪些方面| 九九在线视频观看精品| 舔av片在线| 国产精品久久电影中文字幕| 男人舔奶头视频| 99国产精品一区二区蜜桃av| 一级毛片高清免费大全| 国产私拍福利视频在线观看| 一级黄片播放器| 精品福利观看| av在线天堂中文字幕| av黄色大香蕉| 日韩欧美精品v在线| 高清毛片免费观看视频网站| 韩国av一区二区三区四区| 久久99热这里只有精品18| 国产精品美女特级片免费视频播放器| 99视频精品全部免费 在线| 中文字幕熟女人妻在线| 久久久精品大字幕| 99久久精品热视频| 狂野欧美激情性xxxx| 精品国产亚洲在线| 老鸭窝网址在线观看| 窝窝影院91人妻| 18禁黄网站禁片免费观看直播| tocl精华| 伊人久久精品亚洲午夜| 露出奶头的视频| 国产高清videossex| 亚洲精品亚洲一区二区| 99久久无色码亚洲精品果冻| 搡老熟女国产l中国老女人| 国产精品,欧美在线| 色视频www国产| 日本黄色视频三级网站网址| 夜夜爽天天搞| 国产精品99久久久久久久久| 亚洲av日韩精品久久久久久密| 日本三级黄在线观看| 大型黄色视频在线免费观看| 男女视频在线观看网站免费| 老司机深夜福利视频在线观看| 国产精品一区二区三区四区久久| 日韩欧美在线二视频| 午夜福利在线在线| av女优亚洲男人天堂| 亚洲国产精品合色在线| 国产一区二区三区在线臀色熟女| 亚洲第一电影网av| 亚洲精品一区av在线观看| 在线观看午夜福利视频| 亚洲最大成人中文| 亚洲内射少妇av| 亚洲avbb在线观看| 午夜福利在线在线| 欧美日韩一级在线毛片| 国产精品99久久99久久久不卡| 露出奶头的视频| 国产又黄又爽又无遮挡在线| 日韩欧美精品v在线| 好男人在线观看高清免费视频| 国产精品乱码一区二三区的特点| 国产一区二区三区在线臀色熟女| 成人一区二区视频在线观看| 宅男免费午夜| 国产av一区在线观看免费| 午夜免费成人在线视频| 国产美女午夜福利| 亚洲中文字幕一区二区三区有码在线看| 亚洲欧美一区二区三区黑人| 国产成人欧美在线观看| 成人av一区二区三区在线看| a在线观看视频网站| 国产伦在线观看视频一区| 国产主播在线观看一区二区| 毛片女人毛片| 熟女少妇亚洲综合色aaa.| 一本一本综合久久| 两个人看的免费小视频| 全区人妻精品视频| 高清日韩中文字幕在线| 在线观看午夜福利视频| 内地一区二区视频在线| 又黄又爽又免费观看的视频| 午夜福利18| 欧美日韩中文字幕国产精品一区二区三区| 成人无遮挡网站| av黄色大香蕉| 熟女电影av网| 五月伊人婷婷丁香| 国产高清有码在线观看视频| xxxwww97欧美| 亚洲va日本ⅴa欧美va伊人久久| 91av网一区二区| 天美传媒精品一区二区| 国产麻豆成人av免费视频| 国产在线精品亚洲第一网站| 欧美日韩精品网址| 丰满人妻一区二区三区视频av | 亚洲无线观看免费| 99在线人妻在线中文字幕| 亚洲精品乱码久久久v下载方式 | 怎么达到女性高潮| 88av欧美| 日本一本二区三区精品| 久久中文看片网| 亚洲久久久久久中文字幕| 久久久久亚洲av毛片大全| 国产精品嫩草影院av在线观看 | 国产高清三级在线| 在线观看一区二区三区| 欧美极品一区二区三区四区| www日本黄色视频网| 日本撒尿小便嘘嘘汇集6| 国产高潮美女av| 男人的好看免费观看在线视频| www日本在线高清视频| 黄色视频,在线免费观看| av专区在线播放| 日本 av在线| 性欧美人与动物交配| 嫩草影视91久久| 午夜精品在线福利| 亚洲精品在线美女| 国产亚洲精品久久久com| 免费av不卡在线播放| 99精品欧美一区二区三区四区| www国产在线视频色| 成人国产一区最新在线观看| 亚洲人与动物交配视频| 久久久久久九九精品二区国产| 嫁个100分男人电影在线观看| 色老头精品视频在线观看| 在线观看美女被高潮喷水网站 | 国产精品国产高清国产av| 国产精品女同一区二区软件 | 国产成人a区在线观看| 国产高清激情床上av| 女人被狂操c到高潮| 日韩精品青青久久久久久| 国产真实乱freesex| 亚洲电影在线观看av| 在线观看午夜福利视频| 成年版毛片免费区| 中亚洲国语对白在线视频| 岛国在线观看网站| av视频在线观看入口| 搡老熟女国产l中国老女人| 90打野战视频偷拍视频| 小蜜桃在线观看免费完整版高清| 午夜福利免费观看在线| 韩国av一区二区三区四区| 久久久国产精品麻豆| 免费在线观看日本一区| 国产一区二区在线av高清观看| 午夜精品一区二区三区免费看| 高清日韩中文字幕在线| 国产在线精品亚洲第一网站| 亚洲av成人av| 国产探花在线观看一区二区| 有码 亚洲区| 啦啦啦韩国在线观看视频| 亚洲av美国av| 国产探花在线观看一区二区| 国产一区二区激情短视频| 脱女人内裤的视频| 久久香蕉国产精品| 在线国产一区二区在线| 综合色av麻豆| 91在线观看av| 国产伦人伦偷精品视频| 日本熟妇午夜| 欧美黑人巨大hd| 欧美激情久久久久久爽电影| 久久亚洲真实| 在线a可以看的网站| 夜夜爽天天搞| 九九在线视频观看精品| 亚洲最大成人手机在线| 色哟哟哟哟哟哟| 久久久色成人| 好男人电影高清在线观看| 在线观看日韩欧美| 神马国产精品三级电影在线观看| 在线免费观看不下载黄p国产 | 三级国产精品欧美在线观看| 欧美日韩福利视频一区二区| 亚洲精品在线观看二区| 欧美中文日本在线观看视频| 国产一区二区在线观看日韩 | 2021天堂中文幕一二区在线观| 热99re8久久精品国产| 男人舔奶头视频| 免费在线观看亚洲国产| 91av网一区二区| 特大巨黑吊av在线直播| 精品国产三级普通话版| 最新美女视频免费是黄的| 岛国视频午夜一区免费看| 最近最新中文字幕大全电影3| 18禁国产床啪视频网站| 亚洲av成人精品一区久久| 久久久久久久久久黄片| 国产激情欧美一区二区| 亚洲无线在线观看| 国产伦一二天堂av在线观看| 51午夜福利影视在线观看| 岛国在线观看网站| 亚洲精品久久国产高清桃花| 国产一级毛片七仙女欲春2| 午夜精品在线福利| 嫩草影视91久久| 久久久久性生活片| 少妇人妻一区二区三区视频| 日韩欧美在线二视频| 免费av毛片视频| 中文字幕人妻熟人妻熟丝袜美 | 好看av亚洲va欧美ⅴa在| 一个人免费在线观看电影| 亚洲国产精品合色在线| 日韩欧美精品免费久久 | 一二三四社区在线视频社区8| 亚洲在线自拍视频| 久久久久久久午夜电影| 国产精品99久久久久久久久| 夜夜爽天天搞| 午夜福利在线观看免费完整高清在 | 精品久久久久久久毛片微露脸| 人人妻人人看人人澡| 亚洲狠狠婷婷综合久久图片| www日本在线高清视频| 欧美黑人巨大hd| 亚洲人成网站在线播放欧美日韩| 久久午夜亚洲精品久久| 欧美又色又爽又黄视频| 中出人妻视频一区二区| 免费av毛片视频| 久久久精品大字幕| 一个人免费在线观看的高清视频| 又黄又粗又硬又大视频| 母亲3免费完整高清在线观看| 国产精品亚洲一级av第二区| 亚洲人成电影免费在线| 日韩欧美精品v在线| 亚洲avbb在线观看| 亚洲av免费在线观看| av专区在线播放| av在线天堂中文字幕| 757午夜福利合集在线观看| 亚洲黑人精品在线| 欧美日韩黄片免| 51国产日韩欧美| 精品久久久久久,| 法律面前人人平等表现在哪些方面| 国产精品一及| 日日摸夜夜添夜夜添小说| 欧美性感艳星| 三级男女做爰猛烈吃奶摸视频| 嫁个100分男人电影在线观看| 国产免费一级a男人的天堂| 亚洲人与动物交配视频| 亚洲精品成人久久久久久| 色在线成人网| 成年免费大片在线观看| 草草在线视频免费看| 亚洲在线自拍视频| 乱人视频在线观看| 国产精品一区二区三区四区免费观看 | 搡老熟女国产l中国老女人| 两个人视频免费观看高清| 女同久久另类99精品国产91| 一进一出抽搐动态| 亚洲精品日韩av片在线观看 | 日韩欧美精品v在线| 亚洲精品乱码久久久v下载方式 | 日本熟妇午夜| 午夜免费激情av| 日韩欧美 国产精品| 桃色一区二区三区在线观看| 九九久久精品国产亚洲av麻豆| 亚洲av成人精品一区久久| 久久久国产精品麻豆| 少妇熟女aⅴ在线视频| 国产精品久久视频播放| 国产精品综合久久久久久久免费| 少妇的丰满在线观看| 亚洲美女视频黄频| 人妻丰满熟妇av一区二区三区| 嫩草影院精品99| 又黄又爽又免费观看的视频| 男人和女人高潮做爰伦理| 久久精品人妻少妇| 色av中文字幕| 天堂动漫精品| 欧美乱码精品一区二区三区| 色精品久久人妻99蜜桃| 中文字幕av成人在线电影| 99久久综合精品五月天人人| 欧美黑人欧美精品刺激| 亚洲国产日韩欧美精品在线观看 | 每晚都被弄得嗷嗷叫到高潮| 国产精品亚洲av一区麻豆| 久久婷婷人人爽人人干人人爱| 高潮久久久久久久久久久不卡| 俄罗斯特黄特色一大片| 免费在线观看影片大全网站| 国产单亲对白刺激| 欧美黄色片欧美黄色片| 国产午夜精品论理片| 成人无遮挡网站| 欧美+亚洲+日韩+国产| 欧美日韩亚洲国产一区二区在线观看| 亚洲熟妇中文字幕五十中出| 内射极品少妇av片p| 桃红色精品国产亚洲av| 午夜免费成人在线视频| 国产高清videossex| 久久久国产精品麻豆| 免费无遮挡裸体视频| 国产真实乱freesex| 一级a爱片免费观看的视频| 国产aⅴ精品一区二区三区波| 淫秽高清视频在线观看| 免费av不卡在线播放| 女警被强在线播放| 国产高清激情床上av| 日日摸夜夜添夜夜添小说| 欧美成人性av电影在线观看| 三级国产精品欧美在线观看| 中出人妻视频一区二区| 99精品欧美一区二区三区四区| 国产亚洲精品一区二区www| 午夜老司机福利剧场| 欧美又色又爽又黄视频| 国产高清videossex| 一个人免费在线观看的高清视频| 变态另类成人亚洲欧美熟女| 一级黄片播放器| 久久久成人免费电影| 亚洲中文日韩欧美视频| 免费大片18禁| 国产伦在线观看视频一区| 性色av乱码一区二区三区2| 欧美乱妇无乱码| 网址你懂的国产日韩在线| 久久亚洲真实| 亚洲专区国产一区二区| 色精品久久人妻99蜜桃| 国产老妇女一区| 精品一区二区三区视频在线 | 日本黄色片子视频| 色吧在线观看| 搞女人的毛片| 精品欧美国产一区二区三| 丁香欧美五月| 国内精品久久久久精免费| 亚洲av第一区精品v没综合| 日本黄大片高清| 蜜桃亚洲精品一区二区三区| 国产欧美日韩精品亚洲av| 成人高潮视频无遮挡免费网站| 99在线视频只有这里精品首页| 国产真人三级小视频在线观看| 99热精品在线国产| 欧美在线一区亚洲| 亚洲aⅴ乱码一区二区在线播放| 动漫黄色视频在线观看| 国产v大片淫在线免费观看| 丰满人妻一区二区三区视频av | 亚洲国产欧美人成| av福利片在线观看| 两人在一起打扑克的视频| 免费电影在线观看免费观看| 中文字幕av在线有码专区| 欧美成人一区二区免费高清观看| 午夜福利在线在线| 男女那种视频在线观看| 91在线精品国自产拍蜜月 | 成熟少妇高潮喷水视频| 久久久久久久午夜电影| 99视频精品全部免费 在线| 美女高潮的动态| 亚洲熟妇中文字幕五十中出| 99久久九九国产精品国产免费| 国产麻豆成人av免费视频| 欧美午夜高清在线| 国产免费男女视频| 精品熟女少妇八av免费久了| 婷婷六月久久综合丁香| 久久久久免费精品人妻一区二区| 午夜精品在线福利| 一区福利在线观看| 国产亚洲精品综合一区在线观看| 日本一二三区视频观看| eeuss影院久久| 一区二区三区国产精品乱码| 一本久久中文字幕| 欧美在线黄色| 看黄色毛片网站| 黄片大片在线免费观看| 欧美在线黄色| 午夜日韩欧美国产| 亚洲人成电影免费在线| 久久欧美精品欧美久久欧美| 观看免费一级毛片| 搡老妇女老女人老熟妇| 精品人妻偷拍中文字幕| 制服人妻中文乱码| 天天添夜夜摸| 麻豆久久精品国产亚洲av| 中文字幕精品亚洲无线码一区| 精品久久久久久,| 夜夜夜夜夜久久久久| 亚洲av中文字字幕乱码综合| 一进一出好大好爽视频| 小蜜桃在线观看免费完整版高清| 天美传媒精品一区二区| 亚洲精品一卡2卡三卡4卡5卡| 嫁个100分男人电影在线观看| 99久久久亚洲精品蜜臀av| 18禁黄网站禁片午夜丰满| 午夜福利欧美成人| 欧美最黄视频在线播放免费| 一夜夜www| 国产极品精品免费视频能看的| 成人鲁丝片一二三区免费| 免费电影在线观看免费观看| 成人精品一区二区免费| 日韩欧美免费精品| 午夜两性在线视频| 久久久久性生活片| 高清日韩中文字幕在线|