明晰算理，掌握算法，發(fā)展數(shù)學(xué)運(yùn)算核心素養(yǎng)

王禎玥 (江蘇省蘇州高新區(qū)第一中學(xué) 215011)

1 問(wèn)題背景

《普通高中數(shù)學(xué)課程標(biāo)準(zhǔn)(2017年版)》提出：數(shù)學(xué)運(yùn)算是指在明晰運(yùn)算對(duì)象的基礎(chǔ)上，依據(jù)運(yùn)算法則解決數(shù)學(xué)問(wèn)題的素養(yǎng).數(shù)學(xué)運(yùn)算主要包括：理解運(yùn)算對(duì)象，掌握運(yùn)算法則，探究運(yùn)算思路，選擇運(yùn)算方法，設(shè)計(jì)運(yùn)算程序，求得運(yùn)算結(jié)果.數(shù)學(xué)運(yùn)算貫穿解析幾何學(xué)習(xí)的全過(guò)程，是處理解析幾何問(wèn)題時(shí)避不開(kāi)的核心問(wèn)題.

當(dāng)前解析幾何問(wèn)題的主要特點(diǎn)體現(xiàn)在變量多、綜合性強(qiáng)、討論繁雜等，導(dǎo)致運(yùn)算量加大，影響了解題速度.然而在解析幾何的教學(xué)過(guò)程中，教師往往強(qiáng)調(diào)解題思路的分析，不重視運(yùn)算過(guò)程的展示，輕視多種運(yùn)算過(guò)程的對(duì)比與總結(jié)，忽視運(yùn)算推理在解題中的作用，這就造成學(xué)生在處理解幾問(wèn)題時(shí)不關(guān)注研究對(duì)象的分析，省略算理剖析，往往僅憑感覺(jué)或慣性思維解題，導(dǎo)致在解題中選擇了運(yùn)算量較大而不易處理的算法，最后因運(yùn)算錯(cuò)誤或時(shí)間不足不得不放棄.所以，解讀問(wèn)題的本質(zhì)，剖析算理的意義，總結(jié)多種算法的優(yōu)劣，形成穩(wěn)定的解題經(jīng)驗(yàn)，達(dá)成數(shù)學(xué)運(yùn)算素養(yǎng)的培養(yǎng)，是落實(shí)解幾問(wèn)題處理的重要任務(wù).本文以一道高三期末試題為例，談?wù)剬?duì)上述思考的理解.

2 問(wèn)題呈現(xiàn)

解讀 本題的目的是要建立一個(gè)等量關(guān)系，求得方程的根.在解幾問(wèn)題中，點(diǎn)和直線(xiàn)是重要的研究對(duì)象，因而對(duì)研究對(duì)象的位置關(guān)系及幾何特征解讀到位，是建立等量關(guān)系的關(guān)鍵所在.在研究過(guò)程中，問(wèn)題的突破點(diǎn)往往是選擇設(shè)點(diǎn)坐標(biāo)還是設(shè)直線(xiàn)方程.此時(shí)就要斟酌設(shè)點(diǎn)的前后順序，明晰直線(xiàn)方程的設(shè)置方式，將幾何關(guān)系代數(shù)化，思考如何展開(kāi)運(yùn)算.

思路1孤點(diǎn)深入，易思難算

構(gòu)建目標(biāo)導(dǎo)向，直接設(shè)點(diǎn)A坐標(biāo)，建立點(diǎn)A與點(diǎn)M,N的坐標(biāo)關(guān)系，再根據(jù)點(diǎn)M,N關(guān)于y軸對(duì)稱(chēng)(兩點(diǎn)橫坐標(biāo)值相反)構(gòu)建等式，從而得到點(diǎn)A橫坐標(biāo)的方程，求解方程可得結(jié)論.

反思1：明晰運(yùn)算對(duì)象是構(gòu)建運(yùn)算程序的首要環(huán)節(jié).解法1以研究對(duì)象為主導(dǎo)，用兩個(gè)有關(guān)的未知量來(lái)表示解題步驟中的所有處理對(duì)象，思路清晰，建構(gòu)簡(jiǎn)潔，充分體現(xiàn)“設(shè)點(diǎn)—示點(diǎn)—求解”的運(yùn)算程序.但復(fù)雜的表達(dá)式以及較大的運(yùn)算量會(huì)導(dǎo)致學(xué)生望而卻步，在有限時(shí)間內(nèi)往往半途而廢，正確率偏低.由于解法1只使用了兩個(gè)參數(shù)，導(dǎo)致其他對(duì)象的表示較為繁雜，特別是直線(xiàn)方程與曲線(xiàn)方程的聯(lián)立運(yùn)算，無(wú)疑是求解過(guò)程中的難點(diǎn).如果能簡(jiǎn)化直線(xiàn)方程的表示，則會(huì)精簡(jiǎn)方程組求解的過(guò)程.

思路2斜參引入，側(cè)重聯(lián)系

根據(jù)點(diǎn)M,N的對(duì)稱(chēng)性，可判斷直線(xiàn)AF,AB必存在斜率，且不為0,所以?xún)芍本€(xiàn)方程以x=my+t方式引入.這表明點(diǎn)A是兩直線(xiàn)的交點(diǎn)，在處理過(guò)程中強(qiáng)調(diào)一次方程組求解，優(yōu)化算法.

反思2：引入含斜參的直線(xiàn)方程能精簡(jiǎn)直線(xiàn)表達(dá)，改進(jìn)算法，但也引進(jìn)了更多的未知量.在解法2中核心未知量共有4個(gè)，即x0,y0,m,t，因而需要形成4個(gè)方程.此時(shí)如何進(jìn)行消元運(yùn)算，就成為問(wèn)題解決的關(guān)鍵.方程①②的兩側(cè)是關(guān)于字母m,t的非齊次式，而x0則是關(guān)于m,t的齊次式，所以在結(jié)合方程①②的過(guò)程中，考慮將常數(shù)消掉，留下字母間的齊次式，能避開(kāi)消元過(guò)程中的難點(diǎn).雖然解法2已減少了運(yùn)算量，但運(yùn)算技巧過(guò)強(qiáng)，學(xué)生難以聯(lián)想操作.如何在不增加未知量的基礎(chǔ)上化拙為巧、改進(jìn)運(yùn)算方法，值得我們進(jìn)一步思考.

思路3工具引領(lǐng)，強(qiáng)化關(guān)聯(lián)

平面向量集幾何與代數(shù)于一體，是連接幾何與代數(shù)的紐帶.向量工具的使用能表明圖形中點(diǎn)之間的聯(lián)系，特別是直線(xiàn)上的不同點(diǎn)可在向量的幫助下建立運(yùn)算關(guān)系，避免因直線(xiàn)方程的引入而導(dǎo)致的討論，既加強(qiáng)了關(guān)聯(lián)又減少了運(yùn)算.

反思3：向量的融入增強(qiáng)了處理解幾問(wèn)題的靈活性，意味著知識(shí)間的融合能促進(jìn)相關(guān)信息的結(jié)合，可以構(gòu)建對(duì)象間的關(guān)系通道，體現(xiàn)了研究對(duì)象的綜合化處理在問(wèn)題解決中的重要作用.解法3在引入向量的同時(shí)也引入了參數(shù)，這表明需要構(gòu)建三個(gè)關(guān)于未知量的方程.那么是否可以既不增加未知量個(gè)數(shù)，又能將共線(xiàn)想法引入到解題過(guò)程中呢？

思路4再識(shí)交點(diǎn)，避曲就直

從本質(zhì)上講，向量的使用是強(qiáng)調(diào)了點(diǎn)在直線(xiàn)上的身份，回避了直線(xiàn)與曲線(xiàn)相交的關(guān)系，講究在運(yùn)算中側(cè)重一次方程的聯(lián)立從而弱化對(duì)二次方程的處理.重新審視運(yùn)算對(duì)象，把點(diǎn)A理解為直線(xiàn)AF和直線(xiàn)AB的交點(diǎn)，強(qiáng)調(diào)點(diǎn)M和點(diǎn)N間的對(duì)稱(chēng)性，把握從點(diǎn)M(或點(diǎn)N)到點(diǎn)A的推理方向，可打造新的運(yùn)算思路.

反思4：關(guān)注直線(xiàn)與直線(xiàn)的結(jié)合是解決“多線(xiàn)匯點(diǎn)”圖形類(lèi)問(wèn)題的重要突破口.轉(zhuǎn)變觀念，打破以往“直線(xiàn)與曲線(xiàn)相交，韋達(dá)定理占天下”的慣性思維，探究新的運(yùn)算思路.在觀念上講究以形為本，突出圖形中的關(guān)鍵對(duì)象；在方法上落實(shí)輕巧奪冠，強(qiáng)調(diào)操作簡(jiǎn)單的運(yùn)算過(guò)程；在表達(dá)上推崇關(guān)系簡(jiǎn)潔，降低解幾運(yùn)算中的繁雜程度；在思維上把握簡(jiǎn)明扼要，凸顯數(shù)學(xué)運(yùn)算素養(yǎng)的精華.

思路5凸顯“特”點(diǎn)，化曲為直

一般情形常規(guī)處理，特殊直線(xiàn)特別認(rèn)識(shí).由于直線(xiàn)AM過(guò)左焦點(diǎn)F，故線(xiàn)段AF和MF均為橢圓的左焦半徑.根據(jù)圓錐曲線(xiàn)的統(tǒng)一定義，可將線(xiàn)段AF和MF的長(zhǎng)度轉(zhuǎn)換為點(diǎn)A和點(diǎn)M到左準(zhǔn)線(xiàn)距離的相關(guān)值，進(jìn)而在焦半徑的表達(dá)中體現(xiàn)橢圓二次方程的功能，將直線(xiàn)與曲線(xiàn)的問(wèn)題完全轉(zhuǎn)變?yōu)橹本€(xiàn)間的問(wèn)題.

圖1

反思5：進(jìn)一步深入分析運(yùn)算對(duì)象，指明直線(xiàn)AF不僅是與橢圓交于兩點(diǎn)的直線(xiàn)，更是過(guò)焦點(diǎn)的直線(xiàn)，抓住特殊直線(xiàn)特殊處理的解題經(jīng)驗(yàn)，將直線(xiàn)與橢圓的相交弦長(zhǎng)問(wèn)題轉(zhuǎn)變?yōu)辄c(diǎn)到特殊直線(xiàn)的距離問(wèn)題，把點(diǎn)的位置關(guān)系轉(zhuǎn)變?yōu)榫€(xiàn)段長(zhǎng)度間的數(shù)量關(guān)系，認(rèn)識(shí)新的運(yùn)算思路.

3 總結(jié)反思

(1)準(zhǔn)確剖析對(duì)象特征，一題多解領(lǐng)會(huì)算法

運(yùn)算對(duì)象是數(shù)學(xué)運(yùn)算的基礎(chǔ)，既是運(yùn)算目標(biāo)也是運(yùn)算途徑.要引導(dǎo)學(xué)生從多方面審視對(duì)象特征，如：已知條件是什么？所給條件與目標(biāo)對(duì)象有怎樣的關(guān)系？從幾何角度看，這些對(duì)象是由哪些基本圖形元素構(gòu)成的，對(duì)象之間是否存在位置關(guān)系和數(shù)量聯(lián)系？從代數(shù)角度看，對(duì)象所要表示的代數(shù)式、方程、不等式等是怎樣的？運(yùn)算對(duì)象的準(zhǔn)確分析在一定程度上影響了運(yùn)算路徑，最終影響了運(yùn)算的長(zhǎng)度及繁簡(jiǎn)程度.

羅增儒教授指出：一個(gè)數(shù)學(xué)問(wèn)題，只有在得出多個(gè)解法之后，才會(huì)對(duì)問(wèn)題的實(shí)質(zhì)有真正的了解，才能體會(huì)不同的思維所引起的不同運(yùn)算方式，學(xué)生的運(yùn)算能力在不同的思維中得以比較,得以提升[1].好的問(wèn)題蘊(yùn)含多種審視視角，能幫助學(xué)生鞏固基礎(chǔ)知識(shí)，訓(xùn)練基本技能，明了在問(wèn)題處理過(guò)程中會(huì)遇到的困惑、障礙及易錯(cuò)處，熟知各類(lèi)方法的長(zhǎng)處及短板，進(jìn)而領(lǐng)會(huì)各種算法的針對(duì)性和思想性，有助于提升數(shù)學(xué)運(yùn)算能力.

(2)雙層素養(yǎng)互相影響，強(qiáng)化關(guān)系明晰算理

算理即運(yùn)算的原理，是運(yùn)算的基礎(chǔ)，是算法背后蘊(yùn)含的數(shù)學(xué)知識(shí)[2].本題的算理為如何構(gòu)建并求解關(guān)于點(diǎn)A橫坐標(biāo)的方程,而方程的構(gòu)建方式具有多樣性，既能直接表示(解法1、解法3),也能間接表達(dá)(解法2、解法4)，還能共同引入、相互作用，由此形成靈活多樣的解題策略.

算理不僅與數(shù)學(xué)運(yùn)算有關(guān)，也與其他素養(yǎng)要求有著密切的聯(lián)系.事實(shí)表明，邏輯推理與數(shù)學(xué)運(yùn)算有著很強(qiáng)的相關(guān)性，且數(shù)學(xué)運(yùn)算對(duì)邏輯推理的影響比邏輯推理對(duì)數(shù)學(xué)運(yùn)算的影響更大[3].數(shù)學(xué)解題本質(zhì)上是邏輯推理，是數(shù)學(xué)命題推演的基本過(guò)程.在分析解幾問(wèn)題時(shí)，要善于用推理的方式解讀幾何語(yǔ)言，把握?qǐng)D形與數(shù)量的有效結(jié)合，將圖形的信息(即幾何對(duì)象的位置關(guān)系和特征)命題化，加強(qiáng)命題間的轉(zhuǎn)換聯(lián)系，形成核心命題集，準(zhǔn)確表達(dá)到位，明確運(yùn)算方法，打造運(yùn)算求解路徑，展現(xiàn)合理算法.

(3)積累數(shù)學(xué)運(yùn)算經(jīng)驗(yàn)，優(yōu)化算法建構(gòu)理解

不同的數(shù)學(xué)知識(shí)之間具有廣泛的聯(lián)系性與相通性，問(wèn)題解決過(guò)程中的第一個(gè)解法往往是后續(xù)解法的重要基礎(chǔ).因而倡導(dǎo)在教學(xué)中揭示問(wèn)題中數(shù)學(xué)運(yùn)算的實(shí)質(zhì)內(nèi)容，加強(qiáng)對(duì)運(yùn)算材料的多角度算法設(shè)計(jì)，充分利用已有的數(shù)學(xué)運(yùn)算經(jīng)驗(yàn)，逐步更新、理解、同化新的運(yùn)算過(guò)程，挖掘算法的多樣性，培養(yǎng)數(shù)學(xué)思維的靈活性與發(fā)散性.

數(shù)學(xué)運(yùn)算經(jīng)驗(yàn)是數(shù)學(xué)思維的沃土.教師要主動(dòng)引導(dǎo)學(xué)生對(duì)不同算法進(jìn)行分析比較，指明其區(qū)別與聯(lián)系，并適當(dāng)進(jìn)行優(yōu)化.強(qiáng)調(diào)深度理解而非簡(jiǎn)單接受，重點(diǎn)引導(dǎo)學(xué)生通過(guò)觀察體驗(yàn)、前后對(duì)比、歸納總結(jié)、合理表達(dá)等環(huán)節(jié)達(dá)成對(duì)問(wèn)題本質(zhì)特征、方法及思想的領(lǐng)悟，打造“會(huì)做、做好、學(xué)透”的教學(xué)效果，把提升學(xué)生的思維品質(zhì)和運(yùn)算素養(yǎng)落到實(shí)處.