深度融合：數(shù)學文化進課堂的應然要求*

柏素霞 (揚州大學附屬中學東部分校 225003)

數(shù)學承載著人類文明中的思想和文化，數(shù)學教育作為基礎教育的重要組成部分，必然承擔著提升“文化自信”、落實“立德樹人”的重任．新頒布的《義務教育數(shù)學課程標準(2022年版)》(下稱《課標2022》)在“課程理念”中提出，課程內容選擇要“關注數(shù)學學科發(fā)展前沿和數(shù)學文化，繼承和弘揚中華優(yōu)秀傳統(tǒng)文化”[1]2；在“課程目標”中提出，學生能“對數(shù)學具有好奇心和求知欲，了解數(shù)學的價值，欣賞數(shù)學的美，提高學習數(shù)學的興趣，建立學好數(shù)學的信心，養(yǎng)成良好的學習習慣，形成質疑問難、自我反思和勇于探索的科學精神”[1]11．因此，在新課改及“雙減”背景之下，如何利用數(shù)學文化素材構建有血有肉、充滿人文氣息的數(shù)學課堂，充分體現(xiàn)數(shù)學文化的教育價值，培育學生的必備品格和關鍵能力，從而實現(xiàn)學科育人目標是值得深入研究的課題．

1 當前數(shù)學文化進課堂的現(xiàn)狀及分析

隨著課程改革的不斷深入，數(shù)學教育越來越重視“數(shù)學文化進課堂”的研究和實踐．然而當前的初中數(shù)學教學實踐中，將數(shù)學文化融入數(shù)學教學的理想案例并不多見，常見以下兩種誤區(qū)：一是形式上“標簽”化，課堂中大多以閱讀材料、觀看視頻、講述故事等單一形式呈現(xiàn)數(shù)學文化內容，數(shù)學文化元素只是課堂的簡單附加，可有可無，僅限于給課堂貼上文化“標簽”；二是內容上缺乏“重構”，深度融合不夠，以數(shù)學史的介紹為主，缺少對前人偉大智慧、深邃思想的深度學習和領悟．總而言之，就是數(shù)學文化和教學內容“兩張皮”，數(shù)學文化入耳了，但入腦、特別是入心不夠．

汪曉勤等人根據(jù)西方學者的一些觀點，將課堂上的數(shù)學文化內涵分為知識源流、學科聯(lián)系、社會角色、審美娛樂和多元文化五個維度[2].課堂實踐中，對數(shù)學文化不同維度利用得不均衡，就導致數(shù)學教學不能全面體現(xiàn)數(shù)學的科學價值、應用價值、文化價值和審美價值．數(shù)學文化進課堂應力求多維度呈現(xiàn)，促進數(shù)學文化與課堂教學的深度融合．

2 數(shù)學文化與課堂教學深度融合的一個案例

在一次“數(shù)學文化進課堂”區(qū)域教學研討活動中，筆者有幸聆聽了華東師范大學廣陵實驗初級中學賀天慧老師的“三角形的中位線”一課，令人眼前一亮，感悟頗多.現(xiàn)呈現(xiàn)此教學案例，與同行交流．

2.1 板塊一：夢回《九章》

問題1如圖1，中國漢代數(shù)學典籍《九章算術》中記載了求三角形土地面積的問題：“今有圭田廣十二步，正從二十一步，問為田幾何？”

圖1

從古代數(shù)學典籍《九章算術》中求三角形土地面積問題引入，引導學生思考三角形面積公式的推導方法，激趣生“疑”，從而引出我國魏晉時期著名數(shù)學家劉徽推導三角形面積公式的“出入相補”法．

問題2(播放介紹劉徽“出入相補”法的微視頻)視頻中，你學到了哪些數(shù)學思想和方法？

問題3視頻中的三種方法都有什么共同點？(追問)每一種方法都先在三角形上取了兩個點，這是兩個什么點(圖2)？

圖2

引導學生感悟“出入相補”法及其蘊含的將三角形轉化為平行四邊形(包括矩形)去解決問題的“轉化”思想，體會古人的智慧，學習數(shù)學歷史長河中前人寶貴的思維經驗，通過追問引導學生關注到三角形兩邊中點．

2.2 板塊二：發(fā)現(xiàn)問題

問題4連結三角形兩邊中點的線段是一條特殊的線段，我們能給它起一個名稱嗎？

由數(shù)學史料中對于三角形面積公式的推導方法，發(fā)現(xiàn)新的研究對象——中位線，揭示課題，并給中位線下定義．

問題5三角形的中位線與中線有何區(qū)別？三角形有幾條中位線？嘗試畫一畫．

通過問題和操作及時鞏固三角形中位線的概念(圖3)．

圖3

問題6我們研究一個新的數(shù)學對象，一般都是先研究什么，再研究什么？我們可以按照一個什么路徑去研究三角形中位線？

教師調動學生過去的學習經驗，形成研究一個新的數(shù)學對象的一般思路：定義→性質→應用，并幫助學生規(guī)劃三角形中位線的學習路徑．

2.3 板塊三：定理探究

問題7三角形的中位線具有怎樣的性質？它與第三條邊之間有怎樣的關系？你是怎么猜想到的？

問題8通過目測和度量得到的結論有說服力嗎？

讓學生自己動手畫出三角形的中位線，由中位線平分三角形的兩條邊，自然地啟發(fā)學生探究中位線和第三條邊之間的關系．教師引導學生結合劉徽利用“出入相補”法推導三角形面積公式的過程，從位置關系和數(shù)量關系兩方面去作大膽猜想，讓學生充分表達，闡述觀點，再強調猜想仍需進行證明，讓學生經歷從合情推理到演繹推理的思維進階．

問題9如何證明你的猜想？嘗試寫出已知、求證，并尋求證明思路．

問題10你是如何想到證明思路的？可以用劉徽的“出入相補”法證明三角形中位線定理嗎？

先讓學生獨立思考，再進行小組討論，交流證明方法，最后請各組展示不同的證明思路并交流思路的來源，讓學生充分感悟劉徽“出入相補”法對證明思路的啟迪作用．最后師生共同完善證明過程，形成三角形中位線定理的文字及符號語言表達．

問題11為什么要在學習完平行四邊形后再學習三角形的中位線？

啟發(fā)學生進一步領悟利用旋轉變換將三角形問題“轉化”為平行四邊形來解決，滲透整體建構的、發(fā)展的數(shù)學觀．

2.4 板塊四：新知應用

問題12三角形中位線應用的例題或習題(略)．

問題13在古代兩河流域，有四位兄弟幸福和睦地生活著．父親的去世打破了四兄弟平靜的生活，他們?yōu)榉指罡赣H留下的一塊三角形土地而爭論不休，誰都不肯吃虧……請你想一個分割土地的方法，讓四兄弟都能滿意．

給出古巴比倫泥板書上記錄的一個小故事，先讓學生自己嘗試不同的分割方法，再展示并比較哪一種方法最好．通過比較發(fā)現(xiàn)，用三條中位線分割的方法(圖4)既能保證土地面積相等，又能使分得的土地形狀相同，借此向學生滲透中國古代儒家思想中的中庸之道，體現(xiàn)數(shù)學知識的人文精神．

圖4

2.5 板塊五：反思小結

問題14今天我們學習了哪些知識？它有哪些應用？

問題15今天在我們研究三角形中位線的過程中，你的最大感受是什么？

通過反思交流，讓學生再次感受我國古代數(shù)學家的智慧創(chuàng)造，領悟前人思想對數(shù)學學習的啟迪和幫助，增強民族自豪感．

3 深度融合：數(shù)學文化進課堂的應然要求

3.1 案例分析

M·克萊因指出，數(shù)學教學的主要問題是動機問題．“三角形的中位線”課例從古代數(shù)學題入手，引出劉徽的“出入相補”法，讓學生自然關注到“連結三角形兩邊中點”的特殊線段，引發(fā)了學習動機，提出了新的研究課題．課中，引導學生從“出入相補”中直觀猜想三角形中位線的性質，并古法今用，運用“出入相補”法對三角形中位線定理進行證明，感悟數(shù)學知識淵源，觸摸古人的光輝足跡，同時推陳出新，享受創(chuàng)造的快樂．課末，運用三角形中位線的性質解決巴比倫泥板書上的問題，體現(xiàn)了數(shù)學的“社會角色”和“多元文化”功能．最后，挖掘問題中的德育因子，促進學習品質、情感態(tài)度目標的達成．

汪曉勤認為，數(shù)學文化內容在課堂中的應用，除了附加式，還有復制式、順應式和重構式等高層次的運用方式[3].僅僅附加式地運用數(shù)學文化，為了文化而文化，無形中增加課堂負擔，不能在數(shù)學文化素材和數(shù)學知識之間建立起內在的聯(lián)系，不能幫助學生領悟數(shù)學知識的本質，難以促進學生對知識的理解．本案例中，對數(shù)學文化素材的使用做到了幾種方式的有效疊加，如引用巴比倫泥板書上的問題是復制式；由《九章算術》上的問題引出三角形面積公式的推導，繼而揭示三角形中位線的概念是順應式；運用劉徽的“出入相補”法證明三角形中位線定理是重構式．教師對將學術形態(tài)的數(shù)學史料轉化為有價值的教學材料進行了積極的嘗試，并取得了較好的效果．

深度融合是數(shù)學文化進課堂的應然要求，為了數(shù)學的教和學服務，數(shù)學文化才能入耳，更能入腦、入心．數(shù)學文化素材不僅是課堂的調味品，更重要的是引發(fā)學生的學習動機，創(chuàng)設學習情境，提出研究課題，啟迪研究思路，具有情境載體、思想引領、方法示范、文化熏陶等多重教育功能．數(shù)學史料中的問題和方法也可以成為探究新課、知識應用的理想素材．

3.2 案例啟示

(1)在數(shù)學文化中提出新的研究對象，涵育理性思維品質

任何一個數(shù)學研究對象都不是橫空出世，都有它的源頭，都有其學習的必要性．研究數(shù)學史料，挖掘數(shù)學文化內涵，是提出新的研究對象的重要途徑．《課標2022》中指出，數(shù)學課程培養(yǎng)學生的核心素養(yǎng)，主要體現(xiàn)為“三會”，即會用數(shù)學的眼光觀察現(xiàn)實世界、會用數(shù)學的思維思考現(xiàn)實世界、會用數(shù)學的語言表達現(xiàn)實世界．其中數(shù)學眼光主要表現(xiàn)包括：“能夠在實際情境中發(fā)現(xiàn)和提出有意義的數(shù)學問題，進行數(shù)學探究；逐步養(yǎng)成從數(shù)學角度觀察現(xiàn)實世界的意識和習慣，發(fā)展好奇心、想象力和創(chuàng)新意識．”[1]5因此，借鑒或重構數(shù)學文化內容，讓數(shù)學文化轉化為充滿教育意蘊的生動素材，將新知置于具體的文化情境中，為所教的數(shù)學知識提供動機和目的，引導學生提出新問題，研究新對象，通過數(shù)學文化“理解數(shù)學”，涵育思維，這是發(fā)展學生核心素養(yǎng)的理想選擇．

如上述課例的引入課題環(huán)節(jié)，即是通過“出入相補”法的介紹將歷史意蘊悄無聲息地融入教學中，實現(xiàn)了概念的引入以及問題的探究，讓新知自然發(fā)生．

再如，南京的杭秉全老師在執(zhí)教一節(jié)“乘法公式”公開課時，課的結尾處有這樣的片段：

師：“今天我們研究了完全平方公式，你能提出一個值得繼續(xù)研究的問題嗎？”

生：“我在想，有沒有完全立方公式？”

師：“你的問題提得很好！中國南宋的楊輝，他的研究方向和你一樣，他已經出成果了，你可以去了解一下……”

教師沒有直接說明“楊輝三角”，而用輕松詼諧的語言創(chuàng)設理性思維情境，引導學生以先賢為榜樣，繼完全平方公式后對整式乘法進行深入研究，激發(fā)學生探索數(shù)學的熱情，培養(yǎng)永不滿足的學習品質和追求新知的科學態(tài)度．

(2)在數(shù)學文化中生發(fā)性質規(guī)律猜想，發(fā)展邏輯推理能力

數(shù)學離不開推理．合情推理用于發(fā)現(xiàn)結論,演繹推理用于證明結論，兩者相輔相成，缺一不可[4]6-7很長一段時間內，我們的教學更重視演繹推理而忽視合情推理，這不利于學生創(chuàng)新能力的發(fā)展．《課標2022》提出：初中階段的核心素養(yǎng)主要表現(xiàn)包括“推理能力”和“創(chuàng)新意識”，創(chuàng)新意識的內涵具體指向“通過具體的實例，運用歸納和類比發(fā)現(xiàn)數(shù)學關系與規(guī)律，提出數(shù)學命題與猜想，并加以驗證”[1]11．因此，發(fā)展合情推理能力，引導學生大膽猜想，有利于樹立學生的創(chuàng)新意識，培養(yǎng)科學態(tài)度．而數(shù)學文化內容可以為形成猜想提供適切、有趣的學習情境．

如上述課例中，“出入相補”法啟發(fā)了學生對三角形中位線性質的發(fā)現(xiàn)；再如，后續(xù)“三角形的中位線”應用課上，可以引導學生通過改變原四邊形的形狀對瓦里尼翁四邊形(中點四邊形)的性質進行猜想，并推導證明，同時對“瓦里尼翁四邊形”名稱的由來進行背景介紹；又如，學習了“圓”的新知后，設計學生通過畫圓繪制“萊洛三角形”的拓展活動[5]，并研究它的性質，學生沿著先人的足跡體會發(fā)現(xiàn)的價值，體驗數(shù)學之美，同時，合情推理和演繹推理能力協(xié)同發(fā)展，既培養(yǎng)了創(chuàng)新精神，又形成嚴謹?shù)倪壿嬎季S方式．

(3)在數(shù)學文化中形成問題解決策略，滲透數(shù)學思想方法

數(shù)學的發(fā)展承載著學科底蘊和文化背景，尤其是數(shù)學家在創(chuàng)造過程中突發(fā)的靈感、深遂的思想以及因某一問題而頓悟的心境等都是隱性的學習資源．個體理解數(shù)學的過程與數(shù)學歷史發(fā)展的過程具有相似性，前人的思想和智慧，前人在解決某個問題時曾經出現(xiàn)的錯誤或障礙可以使學生獲得戰(zhàn)勝困難的勇氣，更重要的是獲得思想方法的啟發(fā)．

如上述課例中，引導學生從“出入相補”法得到性質證明的思路；再如，在教學“相似三角形”的應用時，學習公元前600年左右，古希臘數(shù)學家泰勒斯(Thales)憑借一根細繩測出了金字塔高度的方法，啟發(fā)學生探究如何測量旗桿的高度，從而實現(xiàn)智慧傳承、精神超越．

(4)在數(shù)學文化中感悟數(shù)學知識應用，增強學以致用意識

數(shù)學發(fā)展史中流傳已久的歷史名題有著經典性、歷史性、趣味性等特點，是數(shù)學知識應用的重要源泉.這些數(shù)學問題經過歲月的洗禮依舊歷久彌新，對其進行再探索，除了能鞏固知識、激發(fā)興趣，還能提高學生對數(shù)學發(fā)展的洞察力，增強對數(shù)學“社會角色”和“多元文化”內涵的理解，改進學生的數(shù)學觀，培養(yǎng)應用意識．

如上述課例中，古代數(shù)學文獻中記載的四兄弟等分三角形田地的問題是三角形中位線的典型應用；再如，我國古代數(shù)學名著《九章算術》中的“盈不足”問題，可以作為“二元一次方程組的應用”的 學習載體，融入課堂設計；又如，教學“對頂角”時，先介紹《墨經》中記載的“小孔成像”[6]，并組織學生分組進行實驗，感知“對頂角”，進而對“對頂角”進行研究，這種課堂組織不僅加強了數(shù)學、物理學科的聯(lián)系，而且讓學生體會墨家躬身實踐的學習理念，體悟到數(shù)學與生活實際的關系，增強學以致用的意識．

當然，數(shù)學文化與課堂教學的深度融合需要數(shù)學教師有深厚的數(shù)學文化底蘊，對數(shù)學研究對象的起源、聯(lián)系、推廣、應用等方面的歷史、文化素材有全面的了解，在教學設計時能既關注趣味性，又關注有效性、科學性和可學性，使學生在充滿文化味的課堂中體驗數(shù)學知識的探究過程，完成知識內化、吸收的同時獲得思維的發(fā)展、品格的提升等．在教學時，如何設計更加有利于學生的學是根本，這還需要我們在將理念落實于實踐的道路上不斷探索．