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    2021年日本東京大學(xué)入學(xué)考試?yán)砜茢?shù)學(xué)試題解析

    2022-11-24 13:58:37陳映彤廣西師范大學(xué)數(shù)學(xué)與統(tǒng)計(jì)學(xué)院541004
    中學(xué)數(shù)學(xué)雜志 2022年4期
    關(guān)鍵詞:拋物線解題數(shù)學(xué)

    彭 剛 陳映彤 (廣西師范大學(xué)數(shù)學(xué)與統(tǒng)計(jì)學(xué)院 541004)

    東京大學(xué)是日本最頂尖的綜合性大學(xué),匯聚了日本一流的人力資本和學(xué)術(shù)資源[1].在日本 近代數(shù)學(xué)的發(fā)展中,東京大學(xué)扮演了舉足輕重的角色——1877年日本東京數(shù)學(xué)會(huì)和東京大學(xué) 理學(xué)部成立,日本現(xiàn)代數(shù)學(xué)研究正式拉開帷幕.曾獲菲爾茲獎(jiǎng)和沃爾夫獎(jiǎng)的著名數(shù)學(xué)家小平邦彥(Kunihiko Kodaira,1915—1997)就曾在東京大學(xué)工作過.時(shí)至今日,東京大學(xué)仍是日本最重要的數(shù)學(xué)研究機(jī)構(gòu).

    與日本其他著名高校一樣,東京大學(xué)每年通過大學(xué)入學(xué)考試為其選拔大批優(yōu)秀后備人才,不斷增強(qiáng)本校數(shù)學(xué)研究的力量.日本著名大學(xué)入學(xué)考試作為選拔高水平人才的得力方式,其試題的設(shè)置方式與內(nèi)容均值得我們借鑒.本文對(duì)東京大學(xué)2021年數(shù)學(xué)入學(xué)考試試題進(jìn)行解析,希望對(duì)當(dāng)前中國實(shí)施的“強(qiáng)基計(jì)劃”提供參考.

    1 試題概述

    日本國公立大學(xué)的選拔一般由兩場(chǎng)考試構(gòu)成——學(xué)生首先需通過全國統(tǒng)一的大學(xué)入學(xué)考試,成績(jī)合格后才有資格參加國家公立大學(xué)自主組織的入學(xué)考試.東京大學(xué)自主組織的入學(xué)考試數(shù)學(xué)試題分為理科卷和文科卷,本文介紹的即為2021年東京大學(xué)入學(xué)考試中的理科數(shù)學(xué)試題.

    依據(jù)日本最大的教育輔導(dǎo)社河合塾提供的數(shù)據(jù),2021年東京大學(xué)理科數(shù)學(xué)試題的總體難度與2020年持平,較2019年有所上升.試題中的題目均為解答題,共6大題(每個(gè)大題都包含若干個(gè)小題),總分為120分,考試總時(shí)長(zhǎng)為150分鐘.從內(nèi)容方面來看,這些題目涉及的知識(shí)領(lǐng)域包括初等數(shù)論、初等代數(shù)、解析幾何以及微積分.下面我們對(duì)這6道問題進(jìn)行解析.

    2 試題解析

    第1題已知a,b為實(shí)數(shù),平面直角坐標(biāo)系中有拋物線C:y=x2+ax+b,它與拋物線y= -x2有兩個(gè)交點(diǎn),且兩個(gè)交點(diǎn)的橫坐標(biāo)分別滿足x1∈(-1,0),x2∈(0,1).

    (1)在平面直角坐標(biāo)系中表示出點(diǎn)(a,b)的范圍;

    (2)在平面直角坐標(biāo)系中表示出拋物線C的范圍.

    圖1

    (2)設(shè)(1)中點(diǎn)(a,b)的范圍為D,拋物線通過的范圍設(shè)為E,(x,y)為E中任意一點(diǎn),則(x,y)滿足的條件為:在xOy平面上,滿足y=x2+ax+b且(a,b)在D中;這等價(jià)于:在aOb平面上,直線b=-xa+y-x2與D有公共點(diǎn).

    令g(a)=-xa+y-x2,可分為以下四種情況討論:

    綜上可知,E的邊界為y=x2-2x,y=x2+2x,y=x2-2,進(jìn)一步可得到直角坐標(biāo)系中E的圖形,如圖2.

    圖2

    點(diǎn)評(píng)本題主要考查平面內(nèi)兩條拋物線的位置關(guān)系,內(nèi)容屬于“解析幾何”,難度層次為“標(biāo)準(zhǔn)”①(1)①河合塾將試題難度分為“易”“較易”“標(biāo)準(zhǔn)”“較難”和“難”五個(gè)等級(jí),日本高校理科類數(shù)學(xué)試題大多集中在“較易”“標(biāo)準(zhǔn)”和“較難”這三個(gè)等級(jí)..本題分為兩小問,第(1)問較為常規(guī),本質(zhì)上是關(guān)于一元二次方程根的分布問題,解決策略是將其轉(zhuǎn)換為一元二次函數(shù)的圖象與x軸的交點(diǎn)情況來處理.第(2)問要求動(dòng)拋物線的移動(dòng)范圍,此類問題在我國高考和競(jìng)賽中都較為少見,其解決策略是“反客為主”,把(a,b)視為動(dòng)點(diǎn),從而將動(dòng)拋物線與定拋物線的相交問題轉(zhuǎn)化為動(dòng)直線與定區(qū)域的相交問題,具有一定的挑戰(zhàn)性.

    第2題已知f(z)=az2+bz+c(a,b,c為復(fù)數(shù)),i為虛數(shù)單位.

    (1)設(shè)α,β,γ為復(fù)數(shù),且f(0)=α,f(1)=β,f(i)=γ時(shí),請(qǐng)用含α,β,γ的式子表示a,b,c;

    (2)當(dāng)f(0),f(1),f(i)均為區(qū)間[1,2]中的實(shí)數(shù)時(shí),請(qǐng)?jiān)趶?fù)平面內(nèi)表示f(2)的范圍.

    (2)設(shè)f(2)=4a+2b+c=ω,將(1)的結(jié)果代入f(2)中,有

    =α(-1-2i)+β(3+i)+γ(-1+i),

    其中,α,β,γ是滿足1≤α≤2,1≤β≤2, 1≤γ≤2的實(shí)數(shù).

    設(shè)-1-2i=z1,3+i=z2,-1+i=z3,則當(dāng)1≤α≤2且1≤β≤2時(shí),由復(fù)數(shù)加法的幾何意義可知,αz1+βz2的范圍為一個(gè)平行四邊形(圖3).

    圖3 圖4

    假設(shè)這個(gè)平行四邊形的邊界及內(nèi)部為D,D中的各點(diǎn)再加上γz3(1≤γ≤2),便可得到ω即f(2)的范圍(圖4).

    點(diǎn)評(píng)本題主要考查復(fù)數(shù)的運(yùn)算及其幾何表示,內(nèi)容屬于“初等代數(shù)”,難度層次為“較難”.本題有兩問,第(1)問求a,b,c的表達(dá)式,為常規(guī)計(jì)算.第(2)問求f(2)的范圍,涉及三個(gè)變量,難度較大;此問的解題策略是“逐步推進(jìn)”——先研究?jī)蓚€(gè)變量的情況,然后在此基礎(chǔ)上研究三個(gè)變量.就表達(dá)方式而言,求解第(2)問時(shí)既可以利用復(fù)數(shù)加法的幾何意義,也可以轉(zhuǎn)換成向量的加法,二者本質(zhì)上是相通的.

    (1)若C與l只存在一個(gè)與點(diǎn)A不同的交點(diǎn),求該點(diǎn)的橫坐標(biāo);

    下面使用換元法來計(jì)算I2和I3.

    點(diǎn)評(píng)本題主要考查切線方程求解及定積分的計(jì)算,屬于“微積分”的內(nèi)容,難度層次為“標(biāo)準(zhǔn)”.本題中的求導(dǎo)運(yùn)算和積分運(yùn)算均比較常規(guī),但對(duì)計(jì)算的準(zhǔn)確性提出了較高的要求.

    第4題回答以下問題:

    (1)若正奇數(shù)K,L和正整數(shù)A,B滿足KA=LB,且K與L除以4的余數(shù)相同,證明:A與B除以4的余數(shù)也相同;

    解(1)由于4|(K-L),令K-L=4n(n為整數(shù)),則K=L+4n.又KA=LB,故(L+4n)A=LB,即L(A-B)=-4nA,而L為奇數(shù),所以A-B是4的倍數(shù),從而得到A與B被4除的余數(shù)相同.

    (2)依題可知,

    令r0=4a(4a-4)·…·(4a-4b+4),

    r1=(4a+1)(4a-3)·…·(4a-4b+1),

    r2=(4a-2)(4a-6)·…·(4a-4b+2),

    r3=(4a-1)(4a-5)·…·(4a-4b+3),

    以及t0=4b(4b-4)·…·8·4,

    t1=(4b+1)(4b-3)·…·5·1,

    t2=(4b-2)(4b-6)·…·6·2,

    t3=(4b-1)(4b-5)·…·7·3,

    (3)易知r1≡t1(mod 4),r3≡t3(mod 4),又2|(a-b),故4|(2a-2b),即2a≡ 2b(mod 4),從而有(2a-1)(2a-3)·…·(2a-2b+1)≡(2b-1)(2b-3)·…·(2b-2b+1)=(2b-1)(2b-3)·…·3·1(mod 4).

    點(diǎn)評(píng)本題主要考查整除和同余理論,內(nèi)容屬于“初等數(shù)論”,難度層次為“較難”.本題共有4個(gè)小問,并且它們環(huán)環(huán)相扣,問題的設(shè)計(jì)很精妙.本題引入了組合數(shù),因而增加了題目的難度,解題者需要根據(jù)(1)中的結(jié)論,將組合數(shù)展開中的諸多整數(shù)按照模4的余數(shù)進(jìn)行分類,并通過換元來簡(jiǎn)化運(yùn)算,具有很強(qiáng)的技巧性.

    第5題已知α為正實(shí)數(shù),關(guān)于θ的函數(shù)f(θ)為平面上A,P兩點(diǎn)距離的平方,這兩點(diǎn)的坐標(biāo)分別為A(-α,-3),P(θ+sinθ,cosθ)(0≤θ≤π).

    (1)證明:當(dāng)0<θ<π時(shí),存在唯一的θ使得f′(θ)=0;

    解(1)依題可知f(θ)=AP2=(θ+sinθ+α)2+(cosθ+3)2,則

    f′(θ)=-4sinθ+2(θ+α)cosθ+2(θ+α),

    f″(θ)=-2(θ+α)sinθ-2cosθ+2,

    f?(θ)=-2(θ+α)cosθ.

    由f?(θ)的正負(fù)可得到f″(θ)的單調(diào)性,如下表所示:

    θ00,π2 π2π2,π πf?(θ)-0+f″(θ)0↘2-π-2α↗4

    由f″(θ)的正負(fù)繼續(xù)可以得到f′(θ)的單調(diào)性,如下表所示:

    θ0(0,β)β(β,π)πf″(θ)-0+f'(θ)4α↘f'(β)↗0

    因?yàn)閒′(θ)在(β,π)內(nèi)單調(diào)遞增,所以f′(β)0,所以在(0,β)中存在唯一一個(gè)γ使得f′(γ)=0.

    (2)由f′(θ)的正負(fù)可以得到f(θ)的單調(diào)性,如下表所示:

    θ0(0,γ)γ(γ,π)πf'(θ)+0-0f(θ)f(0)↗f(γ)↘f(π)

    點(diǎn)評(píng)本題主要考查零點(diǎn)定理、函數(shù)的導(dǎo)數(shù)與函數(shù)的單調(diào)性之間的關(guān)系,屬于“微積分”的內(nèi)容,難度層次為“標(biāo)準(zhǔn)”.本題有兩小題,其中第(1)題十分有特色,解答過程中涉及多個(gè)存在性問題.與第3題主要考查計(jì)算不同,本題帶有濃厚的“分析”味道,解題者既需要清晰的邏輯思維,又需要有較強(qiáng)的直覺能力.

    第6題已知b,c,p,q,r為常數(shù),下式為關(guān)于x的一個(gè)恒等式:

    x4+bx+c=(x2+px+q)(x2-px+r).

    (1)當(dāng)p≠0時(shí),用p,b表示q,r;

    故滿足條件的一組整式f(t)與g(t)為f(t)=t2+1,g(t)=(t2+1)(t+2)2.

    ②當(dāng)p≠0時(shí),由(2)知p滿足

    [p2-(a2+1)][p4+(a2+1)p2+(a2+1)(a+2)2]=0,

    點(diǎn)評(píng)本題主要考查代數(shù)式的運(yùn)算,內(nèi)容屬于“初等代數(shù)”,難度層次為“較難”.本題具有較強(qiáng)的綜合性,解題步驟也較多,對(duì)解題者的計(jì)算準(zhǔn)確性要求很高.此外,本題涉及較多的字母(除了主元x外,還有6個(gè)表示常量的字母a,b,c,p,q,r),因而解題者需要具備較強(qiáng)的信息處理能力.

    3 結(jié)語

    2020年1月,中國教育部頒布文件《關(guān)于在部分高校開展基礎(chǔ)學(xué)科招生改革試點(diǎn)工作的意見》[2].該文件聚焦國家重大戰(zhàn)略需求,決定從2020年起取消高校自主招生考試,在試點(diǎn)的36所高校實(shí)施“強(qiáng)基計(jì)劃”,以提升基礎(chǔ)學(xué)科人才選拔和人才培養(yǎng)質(zhì)量.

    通過對(duì)中國2020年“強(qiáng)基計(jì)劃”中部分大學(xué)的試題與東京大學(xué)的入學(xué)試題的對(duì)比,不難發(fā)現(xiàn)兩國的試題各具特點(diǎn).中國實(shí)施“強(qiáng)基計(jì)劃”的部分著名高校試題題目數(shù)量較多,比如北京大學(xué)和清華大學(xué)的試題都是20道,復(fù)旦大學(xué)的試題有33道,并且題型均為選擇題[3]-[5],因而考查的知識(shí)面比較廣;而東京大學(xué)的自主招生考試題目較少,但均為解答題,因而能更深入地考查學(xué)生的數(shù)學(xué)思維和數(shù)學(xué)表達(dá)能力.此外,東京大學(xué)入學(xué)試題對(duì)微積分這一內(nèi)容的要求很高;事實(shí)上,微積分這一內(nèi)容是日本各大高校入學(xué)考試中的重要考查對(duì)象,相對(duì)而言我國的高校在這方面則要求不高.東京大學(xué)等日本頂級(jí)大學(xué)的入學(xué)數(shù)學(xué)試題為當(dāng)前中國數(shù)學(xué)資優(yōu)生的培養(yǎng)與選拔提供了重要參考.

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