異構(gòu)型樣本次序統(tǒng)計(jì)量的排序性質(zhì)
——2013年至今的研究進(jìn)展及展望

張 靖，方 睿

（1.香港大學(xué)統(tǒng)計(jì)與精算學(xué)系，香港 999077；2.汕頭大學(xué)數(shù)學(xué)系，廣東 汕頭 515063）

0 引言

次序統(tǒng)計(jì)量在諸如統(tǒng)計(jì)推斷、擬合優(yōu)度、可靠性理論、經(jīng)濟(jì)金融、運(yùn)籌學(xué)、保險(xiǎn)精算、拍賣理論等研究領(lǐng)域中具有十分重要的研究價(jià)值.記Xi:n表示來自隨機(jī)樣本X1，…，Xn的第i小次序統(tǒng)計(jì)量，隨機(jī)樣本服從某些具體的分布模型，樣本彼此之間相互獨(dú)立或者具有某些相依性結(jié)構(gòu).在過去的三四十年間，國內(nèi)外多位學(xué)者圍繞次序統(tǒng)計(jì)量的隨機(jī)比較問題進(jìn)行了深入的研究，其中有大量的工作建立在樣本獨(dú)立同分布的假設(shè)之上.由于相依或異構(gòu)型樣本的分布理論較為復(fù)雜，文獻(xiàn)中只有為數(shù)不多的研究結(jié)果.獨(dú)立異構(gòu)型樣本的次序統(tǒng)計(jì)量隨機(jī)比較研究可參閱文獻(xiàn)[1-4].相依樣本的次序統(tǒng)計(jì)量隨機(jī)比較研究可參閱文獻(xiàn)[5-7].

近年來已有若干文獻(xiàn)針對不同時(shí)期次序統(tǒng)計(jì)量隨機(jī)比較的研究進(jìn)行了階段式的回顧綜述，如 Kochar[8]，Boland 等[9]，Boland 等[10]，Khaledi和 Kochar[11]，Kochar和 Xu[12]以及Balakrishnan和Zhao[13]分別對1998之前、2002之前、2007之前以及2013年之前的研究工作進(jìn)行綜述.從2013年之后，得益于分布模型、相依性理論、優(yōu)化序理論的發(fā)展，次序統(tǒng)計(jì)量的隨機(jī)比較研究進(jìn)入新的階段，涌現(xiàn)出很多新的成果，也帶來新的挑戰(zhàn).本文對2013年至今十年間該領(lǐng)域的重要研究結(jié)果進(jìn)行梳理和綜述，并力爭對下一個(gè)十年的研究方向做部分展望.

本文的結(jié)構(gòu)編排如下：第一節(jié)中對若干重要概念定義進(jìn)行介紹，第二節(jié)主要關(guān)注失效率參數(shù)的有關(guān)研究結(jié)果，第三節(jié)圍繞反失效率參數(shù)的情形進(jìn)行綜述，第四節(jié)回顧了尺度參數(shù)的相關(guān)研究結(jié)果，第五節(jié)針對形狀參數(shù)進(jìn)行文獻(xiàn)梳理，最后在第六節(jié)中討論了幾個(gè)仍未解決的重要問題，展望了未來的研究方向.

1 預(yù)備知識

本節(jié)對一些本文將用到的重要概念進(jìn)行回顧，包括隨機(jī)序、優(yōu)化序、聯(lián)結(jié)函數(shù)等.約定后文中出現(xiàn)的“遞增”表示單調(diào)非減，“遞減”表示單調(diào)非增.

1.1 隨機(jī)序

定義1.1假設(shè)X和Y是兩個(gè)非負(fù)的隨機(jī)變量，其分布函數(shù)分別為F，G，分布函數(shù)的

右連續(xù)逆函數(shù)分別為F－1，G－1，生存函數(shù)分別為，，密度函數(shù)分別為f，g.

（iii）若對 x＞0，G（x）/F（x）關(guān)于x是遞增的，則稱X依反失效率序小于Y，記做X≤rhY；

（iv）若對0＜a≤b＜1，F(xiàn)－1（b）－F－1（a）≤G－1（b）－G－1（a），則稱X依色散序小于Y，記做X≤dispY；

（v）若對 x＞0，G－1F（x）/x關(guān)于x是遞增的，則稱X依星序小于Y，記做X≤*Y；

（vi）若對x∈∪{supp（X），supp（Y）}，f（x）/g（x）關(guān)于 x 是遞減的，其中 supp（X）＝{x:f（x）＞0}表示隨機(jī)變量X的支撐集，則稱X依似然比序小于Y，記做X≤lrY.

更多關(guān)于隨機(jī)序的內(nèi)容可參考專著[14-15].

1.2 優(yōu)化序

定義 1.2 設(shè) x＝（x1，…，xn）∈Rn，y＝（y1，…，yn）∈Rn，令 x1:n，…，xn:n是 x 的遞增排序.

其中l(wèi)ogx是x取對數(shù)后得到的向量.更多關(guān)于優(yōu)化序的內(nèi)容可參見專著的研究結(jié)果[16].

1.3 聯(lián)結(jié)函數(shù)

Sklar首次提出聯(lián)結(jié)函數(shù)用于刻畫隨機(jī)變量之間相依性結(jié)構(gòu)[17]，其定義如下：

定義1.3假設(shè)隨機(jī)向量X＝（X1，…，Xn）的單變量邊際分布函數(shù)為F1，…，F(xiàn)n，邊際生存函數(shù)為，則存在函數(shù) C:[0，1]n[0，1]和，使得對 xi，1≤i≤n，X的聯(lián)合分布函數(shù)可表示為

X的聯(lián)合生存函數(shù)表示為

C（u1，…，un）和分別稱為 X 的聯(lián)結(jié)函數(shù)和生存聯(lián)結(jié)函數(shù).

1.3.1 Archimedean聯(lián)結(jié)函數(shù)

聯(lián)結(jié)函數(shù)的族類很多，其中一類具備良好解析性質(zhì)并且涵蓋眾多常用聯(lián)結(jié)函數(shù)的族為Archimedean聯(lián)結(jié)函數(shù)族[18].

定義 1.4 對 ui∈（0，1），1≤i≤n，若存在 ψ:［0，＋∞）（0，1］，滿足 ψ（0）＝1，ψ（＋∞）＝0，且（－1）jψ(（j)x）≥0，j＝0，1，…，n－2，同時(shí)（－1）n－2ψ(n－2（)x）為遞減凸函數(shù)，則

為Archimedean聯(lián)結(jié)函數(shù)，ψ稱為該聯(lián)結(jié)函數(shù)的生成元.

Archimedean聯(lián)結(jié)函數(shù)族包含許多著名的聯(lián)結(jié)函數(shù)，包括獨(dú)立（乘積）聯(lián)結(jié)函數(shù)，Clayton聯(lián)結(jié)函數(shù)，F(xiàn)rank聯(lián)結(jié)函數(shù)等.特別地，生成元ψ（t）＝e－t對應(yīng)獨(dú)立的情況，相應(yīng)的Archimedean聯(lián)結(jié)函數(shù)表示為

1.3.2 FGM聯(lián)結(jié)函數(shù)

另一類被廣泛關(guān)注和應(yīng)用的聯(lián)結(jié)函數(shù)族為Farlie-Gumbel-Morgenstern（FGM）聯(lián)結(jié)函數(shù)族[19].

定義1.5含有n個(gè)變量的FGM聯(lián)結(jié)函數(shù)的表達(dá)式為

其中對 j1，…，jk，－1≤θj1，…，jk≤1.本文中定理結(jié)果引用以下簡化版本：

1.4 Schur凸性與Schur凹性

Marshall等[16]詳細(xì)回顧探討了優(yōu)化序在函數(shù)不等式等方面的應(yīng)用，其中重點(diǎn)包含一類與優(yōu)化序密切相關(guān)的函數(shù)性質(zhì)：Schur凸性和Schur凹性.

定義 1.6 設(shè) I是 R 上的開區(qū)間，x＝（x1，…，xn）∈Rn，y＝（y1，…，yn）∈Rn，若存在一個(gè)函數(shù)?:InR，使得

則稱?是In上的Schur凸（Schur凹）函數(shù).

1.5 超可加性

在涉及次序統(tǒng)計(jì)量排序性質(zhì)的研究中，還有一類具有特殊性質(zhì)的函數(shù)經(jīng)常被使用.定義1.7 設(shè)I是R上的開區(qū)間，f為定義在I上的函數(shù).若對 x，y∈I，有f（x＋y）≥f（x）＋f（y），則稱 f是 I上的超可加函數(shù).

2 失效率參數(shù)

本節(jié)主要回顧關(guān)于失效率參數(shù)對次序統(tǒng)計(jì)量排序結(jié)果影響的研究.文獻(xiàn)中圍繞失效率參數(shù)的研究主要從比例失效率模型入手，具體的：如果隨機(jī)變量X1，…，Xn服從比例失效率模型，則對于i＝1，…，n，Xi的生存函數(shù)可以表示為

2013年之前的研究主要基于獨(dú)立的情況討論指數(shù)分布、Weibull分布以及一般比例失效率模型相關(guān)結(jié)果[13].近十年來陸續(xù)有文獻(xiàn)圍繞相依的情況展開研究，如Li和Fang[5]假設(shè)隨機(jī)變量X1，…，Xn服從比例失效率模型，采用Archimedean聯(lián)結(jié)函數(shù)刻畫樣本間的相依性結(jié)構(gòu)，研究了最大次序統(tǒng)計(jì)量的隨機(jī)比較問題.記隨機(jī)樣本為X＝（X1，…，Xn），考慮，則 X 的聯(lián)合生存函數(shù)為其中 ψ為Archimedean聯(lián)結(jié)函數(shù)的生成元.針對最大次序統(tǒng)計(jì)量，Li和Fang得到如下通常隨機(jī)序的比較結(jié)果[5]：

除了上述結(jié)果，Li和Fang還給出了使得定理2.1結(jié)論成立的其他充分條件，同時(shí)也討論了色散序的結(jié)果[5].類似地，F(xiàn)ang等討論了最小次序統(tǒng)計(jì)量間存在通常隨機(jī)序的充分條件[6]：

此外，F(xiàn)ang等還給出了若干最小次序統(tǒng)計(jì)量間存在色散序、星序的充分條件，同時(shí)也得到了第二小次序統(tǒng)計(jì)量隨機(jī)比較的結(jié)果[6].對于具有FGM聯(lián)結(jié)函數(shù)的比例失效率樣本，Wang和Fang討論了第二小、第二大和最大次序統(tǒng)計(jì)量的結(jié)果[20]：

定理2.3：假設(shè)X1，…，Xn的聯(lián)結(jié)函數(shù)為（1）中所給的參數(shù)為θ的FGM聯(lián)結(jié)函數(shù)且Xi～PH（，αi），Y1，…，Yn具有相同的聯(lián)結(jié)函數(shù)且Yi～PH（，βi），其中－1≤θ≤1.若（α1，…，αn）m（β1，…，βn），則有 Xn:n≤rhYn:n.

一些文獻(xiàn)也關(guān)注相依情況下特殊分布的隨機(jī)比較結(jié)果，Barmalzan等針對具有相同相依結(jié)構(gòu)的布爾XII型樣本，討論了失效率參數(shù)異構(gòu)性對最小、最大次序統(tǒng)計(jì)量隨機(jī)大小比較的影響[21].在獨(dú)立的假設(shè)下，近十年來一些文獻(xiàn)開始關(guān)注失效率參數(shù)異構(gòu)性對Pareto分布和其他分布的隨機(jī)比較的相關(guān)研究[22-25]，同時(shí)也有部分文獻(xiàn)進(jìn)一步補(bǔ)充了指數(shù)分布、Weibull分布關(guān)于似然比序等隨機(jī)序的結(jié)果[26-30].

3 反失效率參數(shù)

本節(jié)主要回顧關(guān)于反失效率參數(shù)對次序統(tǒng)計(jì)量排序結(jié)果影響的研究.文獻(xiàn)中圍繞失效率參數(shù)的研究主要從比例反失效率模型入手，具體的：如果隨機(jī)變量X1，…，Xn服從比例反失效率模型，則對于i＝1，…，n，Xi的分布函數(shù)可以表示為

其中F（x）是某個(gè)隨機(jī)變量X的分布函數(shù)，記Xi～PRH（F，μi）.對于具有形如（3）式的分布函數(shù)的隨機(jī)變量，我們稱μi為該隨機(jī)變量分布的反失效率參數(shù).常見具有反失效率參數(shù)的分布有廣義指數(shù)分布，其分布函數(shù)為（1－exp（－λx））α，其中α為反失效率參數(shù)；復(fù)合指數(shù)型分布族，如指數(shù)型伽馬分布，其分布函數(shù)為（1－（λx＋1）exp（－λx））θ，其中θ為反失效率參數(shù).

2013年以來的研究主要圍繞具有反失效率參數(shù)的特殊分布，針對一般反比例失效率模型的研究較為零星分散，Torrado假設(shè)獨(dú)立隨機(jī)變量X1，…，Xn服從比例反失效率模型，針對最小次序統(tǒng)計(jì)量，得到如下失效率序的比較結(jié)果[31]：

定理3.1：假設(shè) X1，…，Xn相互獨(dú)立且 Xi～PRH（F，ai），Y1，…，Yn相互獨(dú)立且Yi～PRH（F，bi）.若（a1，…，an）W（b1，…，bn），則有X1:n≥hrY1:n.

類似地，Zhao等給出了最大次序統(tǒng)計(jì)量間存在反失效率序的充分條件[32]：

定理3.2：假設(shè) X1，…，Xn相互獨(dú)立且 Xi～PRH（F，ai），Y1，…，Yn相互獨(dú)立且Yi～PRH（F，bi）.若（a1，…，an）W（b1，…，bn），則有Xn:n≥rhYn:n.

同樣考慮獨(dú)立樣本的情況，Bashkar等將定理3.2中關(guān)于反失效率參數(shù)的條件弱化后，得到樣本最大次序統(tǒng)計(jì)量基于似然比序的結(jié)論相似的比較結(jié)果[33].

Fang等[6]采用Archimedean聯(lián)結(jié)函數(shù)刻畫樣本間的相依性，研究了比例反失效率模型中反失效率參數(shù)的異構(gòu)性對最大次序統(tǒng)計(jì)量的作用.具體的，考慮隨機(jī)樣本為X＝（X1，…，Xn），X～PRH（F，μ，ψ），則 X 的聯(lián)合分布函數(shù)為其中ψ為Archimedean聯(lián)結(jié)函數(shù)的生成元.針對最大次序統(tǒng)計(jì)量，可以得到如下通常隨機(jī)序的比較結(jié)果：

定理3.3：假設(shè) X～PRH（F，a，ψ1）和 Y～PRH（F，b，ψ2），（i）若 ψ1或 ψ2為對數(shù)凸函數(shù)且 ψ1－1ψ2是超可加函數(shù)，則由 aWb可得 Xn:n≤stYn:n；（ii）若ψ1或 ψ2為對數(shù)凹函數(shù)且ψ2－1ψ1是超可加函數(shù)，則由aWb可得Xn:n≥stYn:n.

除了上述結(jié)果，F(xiàn)ang等還給出了若干最大次序統(tǒng)計(jì)量間存在色散序、星序的充分條件，同時(shí)也得到了第二大次序統(tǒng)計(jì)量隨機(jī)比較的結(jié)果[6].對于具有FGM聯(lián)結(jié)函數(shù)的比例反失效率樣本，Wang和Fang得到了如下結(jié)果[20]：

定理3.4：假設(shè)X1，…，Xn的聯(lián)結(jié)函數(shù)為（1）中所給的參數(shù)為θ的FGM（生存）聯(lián)結(jié)函數(shù)且Xi～PRH（F，λi），Y1，…，Yn具有相同的（生存）聯(lián)結(jié)函數(shù)且Yi～PRH（F，ηi），其中－1≤θ≤0.若（λ1，…，λn）W（η1，…，ηn），則有Xn:n≥stYn:n（X1:n≥stY1:n）.

其他關(guān)于反失效率參數(shù)異構(gòu)性對特殊分布隨機(jī)比較的研究可以參見[20，31，33-37].

4 尺度參數(shù)

本節(jié)主要回顧關(guān)于尺度參數(shù)對次序統(tǒng)計(jì)量排序結(jié)果影響的研究.文獻(xiàn)中圍繞尺度參數(shù)的研究主要從尺度模型入手，具體的：如果隨機(jī)變量X1，…，Xn服從尺度參數(shù)模型，則對于i＝1，…，n，Xi的分布函數(shù)可以表示為

其中F（x）是某個(gè)隨機(jī)變量的分布函數(shù).對于具有形如（4）式的分布函數(shù)的隨機(jī)變量，我們稱μi為該隨機(jī)變量分布的尺度參數(shù).很多分布的一些參數(shù)格式下，某些參數(shù)可以同時(shí)看做失效率參數(shù)或尺度參數(shù)，如分布函數(shù)為1－exp（－μx）的指數(shù)分布；或者反失效率參數(shù)或尺度參數(shù)，如分布函數(shù)為exp（－（μx）－1）的Frechet分布等.這種情況的參數(shù)本文中分別歸為失效率參數(shù)或反失效率參數(shù).

2013年以來圍繞具有尺度參數(shù)的特殊分布的研究不多.Li等[38]假設(shè)隨機(jī)變量X1，…，Xn服從尺度參數(shù)模型，采用Archimedean聯(lián)結(jié)函數(shù)刻畫樣本間的相依性結(jié)構(gòu)，記隨機(jī)樣本為 X＝（X1，…，Xn），考慮 X～S（F，μ，ψ）和兩種情形，分別對應(yīng) X1，…，Xn的聯(lián)合分布函數(shù)為以及X的聯(lián)合生存函數(shù)為的情況，其中ψ為Archimedean聯(lián)結(jié)函數(shù)的生成元.分別針對最小、最大次序統(tǒng)計(jì)量，獲得了如下通常隨機(jī)序的比較結(jié)果：

定理4.3：假設(shè) X～S（F，λ，ψ1），Y～S（F，μ，ψ2），ψ1或 ψ2為對數(shù)凸函數(shù)，ψ1－1ψ2是超可加函數(shù)，若有（i）λPμ且F具有遞減比例反失效率；或者（ii）λWμ且F具有遞減反失效率，則有Xn:n≤stYn:n.

除了上述結(jié)果，Li等[38]還給出了若干最小次序統(tǒng)計(jì)量間存在色散序、星序的充分條件.在獨(dú)立的假設(shè)下，Wang針對一般尺度模型，討論了最大次序統(tǒng)計(jì)量間存在似然比序的充分條件[39]；Fang等[40]和Zhang等[41]先后將Li等[38]中的尺度參數(shù)模型推廣到同時(shí)具有失效率參數(shù)或者反失效率參數(shù)的尺度參數(shù)模型，并討論了尺度參數(shù)、失效率參數(shù)或反失效率參數(shù)的異構(gòu)性對最小、最大次序統(tǒng)計(jì)量隨機(jī)大小的影響.

5 形狀參數(shù)

除了前述三種參數(shù)（失效率參數(shù)、反失效率參數(shù)、尺度參數(shù)）之外，有些概率分布族還會(huì)依賴其它參數(shù)，由于這些參數(shù)通常對分布族的密度函數(shù)及分布函數(shù)的形狀具有直接影響，可統(tǒng)稱為形狀參數(shù).如貝塔分布、布爾XII型分布、Dagum分布及推廣的指數(shù)分布等均具有形狀參數(shù).由于不同分布族的形狀參數(shù)數(shù)學(xué)性質(zhì)不同，圍繞形狀參數(shù)的研究多假設(shè)總體服從某一特定分布.

2013年之前的研究多圍繞貝塔分布開展，近十年來陸續(xù)有文獻(xiàn)關(guān)注其它分布形狀參數(shù)的作用.Dagum分布的分布函數(shù)具有形式F（x）＝（1＋λx－δ）－β，其中δ即為形狀參數(shù)，記為Da（λ，δ，β）.Fang等考慮總體服從Dagum分布的獨(dú)立隨機(jī)樣本，在另外兩個(gè)參數(shù)固定的情況下，得到以下結(jié)果[36].

定理5.1：假設(shè) X1，…，Xn相互獨(dú)立且 Xi～Da（λ，δi，β），Y1，…，Yn相互獨(dú)立且Yi～Da（λ，δ*i，β）.若，則有 Xn:n≥stYn:n.

定理5.2：假設(shè)X1，…，Xn的生存聯(lián)結(jié)函數(shù)為式（1）中所給的參數(shù)為θ的FGM聯(lián)結(jié)函數(shù)且 Xi～Γ（αi，β），Y1，…，Yn具有相同的生存聯(lián)結(jié)函數(shù)且 Yi～Γ（ηi，β），其中α1≥α2≥…≥αn≥1，η1≥η2≥…≥ηn≥1.若（α1，…，αn）m（η1，…，ηn），則有 X1:n≥stY1:n.

除了上述兩個(gè)重要結(jié)論之外，更多關(guān)于形狀參數(shù)異構(gòu)性對最小、最大次序統(tǒng)計(jì)量隨機(jī)大小影響的最新研究結(jié)果可以參見[36，42-43].

6 總結(jié)

本文通過文獻(xiàn)所研究的參數(shù)類型，按照失效率、反失效率、尺度以及形狀參數(shù)進(jìn)行分類，系統(tǒng)綜述了異構(gòu)型樣本次序統(tǒng)計(jì)量隨機(jī)比較的研究進(jìn)展.受限于篇幅和筆者水平，主要圍繞單一參數(shù)的影響，回顧了比較重要或者考慮半?yún)?shù)總體分布的研究結(jié)果.一些分布族往往具有多個(gè)參數(shù)，相比單一參數(shù)，多個(gè)參數(shù)的異構(gòu)性之間的交互作用對最小、最大次序統(tǒng)計(jì)量隨機(jī)大小的影響機(jī)制更為復(fù)雜，有關(guān)多參數(shù)異構(gòu)性作用的研究可以參閱文獻(xiàn)[24-25，31，37，40，44-45].此外，除了本文考慮的4種參數(shù)類型外，有為數(shù)不多的文獻(xiàn)研究了位置參數(shù)的作用[46].受限于分布函數(shù)或生存函數(shù)表達(dá)式的復(fù)雜性，除了最小、最大次序統(tǒng)計(jì)量外，有關(guān)其余次序統(tǒng)計(jì)量的結(jié)果絕大多數(shù)基于獨(dú)立樣本的假設(shè)下[47]，而相依樣本的隨機(jī)比較研究結(jié)果很少，并且為數(shù)不多的結(jié)果僅僅討論了第二小、第二大次序統(tǒng)計(jì)量，相關(guān)結(jié)論零星散布于最小、最大次序統(tǒng)計(jì)量的文獻(xiàn)中[6，20].此外，隨著聯(lián)結(jié)函數(shù)理論的發(fā)展，近年來有越來越多研究將相依性一并納入，但多采用Archimedean聯(lián)結(jié)函數(shù)或FGM聯(lián)結(jié)函數(shù)[20，30，41-42，48-49].對于具有更多相依結(jié)構(gòu)的樣本第二小、第二大及其它次序統(tǒng)計(jì)量、以及其它更多類型參數(shù)的隨機(jī)比較問題，仍有待進(jìn)一步的研究.