模糊數(shù)學(xué)課程的教學(xué)改革探析

李永明，金雪蓮

(遼寧工業(yè)大學(xué) 理學(xué)院，遼寧 錦州 121001)

模糊數(shù)學(xué)是一門嶄新的學(xué)科。1965 年美國自動(dòng)控制專家L.A.Zadeh 教授發(fā)表了開創(chuàng)性論文“模糊集合”，模糊數(shù)學(xué)由此誕生。最初，數(shù)學(xué)給人的印象一直以精密為人所知，從平常的學(xué)習(xí)中并不能看出數(shù)學(xué)與“模糊”有什么必然的聯(lián)系，但實(shí)際上模糊數(shù)學(xué)卻充斥著我們的日常生活，如“三十來斤”“大半天”“長得漂亮”等等。模糊數(shù)學(xué)是數(shù)學(xué)的一個(gè)分支，以“模糊集合論”為基礎(chǔ)，使上述模糊概念有了相對(duì)應(yīng)的專業(yè)描述方式，是一種類似描述人腦思維和自然語言的方法。該學(xué)科在理論上有著很強(qiáng)的“不確定性”，也滲透著辯證思維，在應(yīng)用上有突出的前瞻性和發(fā)展性。近年來，模糊數(shù)學(xué)的研究和發(fā)展受到社會(huì)各界人士的廣泛關(guān)注，并將此基礎(chǔ)理論應(yīng)用于信息科學(xué)和計(jì)算機(jī)科學(xué)與技術(shù)等多個(gè)領(lǐng)域，取得了顯著的研究成果和經(jīng)濟(jì)效益[1]。隨著國家經(jīng)濟(jì)多元化發(fā)展，人才培養(yǎng)方面急需復(fù)合型交叉學(xué)科人才。因此，課程要突出實(shí)用性及前瞻性。眾多高校把它設(shè)立為研究生學(xué)位課程，它在復(fù)合型人才培養(yǎng)中具有不可替代的作用。在新時(shí)代下，這門課程的建設(shè)與改革、創(chuàng)新及實(shí)踐已經(jīng)成為必然，用以培養(yǎng)研究生的獨(dú)立性、自主探索創(chuàng)新能力與實(shí)踐技術(shù)能力。

一、課程特點(diǎn)分析

（一）不確定性

為了能夠合理解決現(xiàn)實(shí)中存在的模糊概念和模糊現(xiàn)象，模糊數(shù)學(xué)模型憑借精確的數(shù)學(xué)手段對(duì)其進(jìn)行描述。由一個(gè)確定性的數(shù)學(xué)模型拓寬到一個(gè)模糊化的數(shù)學(xué)模型，我們關(guān)于事物的研究已經(jīng)由簡入繁，從靜態(tài)可逆分析發(fā)展到動(dòng)態(tài)不可逆分析。觀察事物的角度發(fā)生了變化，處理問題的方式也會(huì)隨之改變，固化的思維模式被打破，動(dòng)態(tài)、變化的觀念得以建立。例如經(jīng)典的判定老年人的例子：如果根據(jù)政策規(guī)定來判定是否有老年人優(yōu)惠，單純定義多少周歲以上為老年人，多少周歲以下不是老年人的方法是可行的；但如果做年齡分布,整體年齡趨向這種沒有廣義定義的設(shè)定，又不能利用非此即彼的概念，那么我們嘗試使用模糊集合來描述就最為恰當(dāng)。所以在教學(xué)過程中，需要幫助學(xué)生從非此即彼的固定思維中走出來，完全轉(zhuǎn)化為亦此亦彼的邏輯概念，從而完成由機(jī)械思維到辯證思維的轉(zhuǎn)變。這種思維方式也是未來社會(huì)發(fā)展的方向，幫助當(dāng)代研究生思考問題時(shí)采用多種方式。思維方式不再是單一且固化的，能夠綜合分析、靈活思考。

（二）實(shí)用性

模糊數(shù)學(xué)在應(yīng)用理論、模型來解決實(shí)際工程中發(fā)生的問題時(shí)，體現(xiàn)了其較強(qiáng)的實(shí)用性。模糊數(shù)學(xué)的實(shí)際研究涉及控制界、醫(yī)學(xué)界等眾多領(lǐng)域，應(yīng)用性很強(qiáng)，“將離散化的變量連續(xù)化”的思路使得很多問題處理起來會(huì)顯得更簡單。近年來，隨著信息技術(shù)的快速發(fā)展，模糊控制在各個(gè)領(lǐng)域中發(fā)揮著自己的優(yōu)勢，例如在家用電器設(shè)備中就存在著大量的模糊控制的應(yīng)用；在發(fā)酵過程等工業(yè)控制領(lǐng)域中同樣存在著模糊控制；另外，還有在生活中隨處可見的地鐵、智能汽車和機(jī)器人等，都應(yīng)用了模糊控制。在教學(xué)中，需要考慮如何合理選擇教學(xué)內(nèi)容，培養(yǎng)學(xué)生對(duì)復(fù)雜系統(tǒng)做出合乎實(shí)際的描述和處理的能力，堅(jiān)持理論探索和實(shí)踐教學(xué)雙管齊下[2]，使學(xué)生在理解理論知識(shí)的基礎(chǔ)上，靈活應(yīng)用于實(shí)際。

（三）發(fā)展性

從模糊集合論誕生至今，模糊數(shù)學(xué)理論的日臻完善，模糊集的理論與方法現(xiàn)已被廣泛地應(yīng)用于工業(yè)自動(dòng)化控制、圖像識(shí)別、醫(yī)學(xué)診斷等各種不確定的決策領(lǐng)域[3]。在日常生活中，刷臉支付、刷臉進(jìn)站乘車、購票、人工智能產(chǎn)品等都應(yīng)用的模糊數(shù)學(xué)理論，不僅在便利我們生活各方面有實(shí)際效果，而且取得了很多令人驚喜的科研成果，就連無人機(jī)、無人駕駛都離不開模糊數(shù)學(xué)的應(yīng)用。模糊數(shù)學(xué)與計(jì)算機(jī)也有著密切聯(lián)系，如模糊模式識(shí)別、模糊邏輯等[4]。借助相關(guān)數(shù)學(xué)模型的建立并由計(jì)算機(jī)輔助求解也是教學(xué)的主要組成部分。

二、教學(xué)內(nèi)容與體系的完善

遼寧工業(yè)大學(xué)（以下簡稱我校）的模糊數(shù)學(xué)課程于2012 年被評(píng)為遼寧省首批研究生精品課。經(jīng)過課程團(tuán)隊(duì)人員多年來堅(jiān)持不懈的努力和不斷地深入探索，對(duì)該課程進(jìn)行了深入的研究與挖掘。根據(jù)當(dāng)前研究生培養(yǎng)目標(biāo)及培養(yǎng)模式的特點(diǎn)和要求，教學(xué)內(nèi)容和課程體系的改革要以加強(qiáng)基礎(chǔ)、增強(qiáng)素質(zhì)、提高能力為目的，對(duì)講授的知識(shí)進(jìn)行整合更新，形成了視頻及數(shù)字資源。在制作的“模糊數(shù)學(xué)及其應(yīng)用研究生省級(jí)精品課”網(wǎng)頁中，學(xué)生可在其找到相應(yīng)課程章節(jié)的教學(xué)視頻及作業(yè)，方便學(xué)生自主學(xué)習(xí)。不斷加強(qiáng)課程建設(shè)，不僅保留并提煉經(jīng)典內(nèi)容，也要傳授本學(xué)科的新思想、新理念；不但要兼顧當(dāng)下的發(fā)展模式，也要考慮未來的教學(xué)延伸發(fā)展，培養(yǎng)學(xué)生獨(dú)立的學(xué)習(xí)思維以及自主創(chuàng)新實(shí)踐的能力，以此提高學(xué)生的綜合素質(zhì)。在課程的講授方面，要密切關(guān)注當(dāng)下研究生教育的新形勢，增強(qiáng)其創(chuàng)新思維和解決實(shí)際科研問題的能力，以培養(yǎng)引導(dǎo)研究生進(jìn)行獨(dú)立分析、解決現(xiàn)實(shí)問題的綜合能力為教育目標(biāo)，堅(jiān)持能力與素質(zhì)綜合協(xié)調(diào)發(fā)展，樹立新時(shí)代研究生的新思維。此外，也需要關(guān)注研究生個(gè)人的自我完善，提高研究生自我反思和深刻剖析自己優(yōu)缺點(diǎn)的能力；不但培養(yǎng)研究生的創(chuàng)造性和在科研方面的獨(dú)立思考、自主發(fā)現(xiàn)問題、解決問題的能力，還要培養(yǎng)研究生的責(zé)任感和審辨力等。

與本科生相比，研究生教育更注重的是培養(yǎng)學(xué)生獨(dú)立研究問題和解決問題的能力，特別是培養(yǎng)個(gè)人的科研能力。本科教育旨在培養(yǎng)社會(huì)通用型人才，而碩士研究生階段則屬于“術(shù)業(yè)有專攻”，培養(yǎng)具有創(chuàng)新性的過渡型人才，進(jìn)一步為社會(huì)輸送更高層次的專業(yè)型人才或繼續(xù)深造，這也是我們?cè)诮逃母锫飞弦恢眻?jiān)持的目標(biāo)。模糊數(shù)學(xué)課程將圍繞各種科目，例如模型思想、推理能力、應(yīng)用意識(shí)、數(shù)據(jù)分析觀念等核心概念培養(yǎng)當(dāng)下所需要的具有數(shù)學(xué)必備品格和數(shù)學(xué)關(guān)鍵能力的核心人才。

三、教學(xué)內(nèi)容與方法的改革

模糊數(shù)學(xué)課程是我校理工科研究生一門重要的公共基礎(chǔ)課，為我校研究生第一學(xué)期課程，共68學(xué)時(shí)。規(guī)范教學(xué)內(nèi)容和確定完整的教學(xué)體系是我校研究生模糊數(shù)學(xué)精品課程建設(shè)的重點(diǎn)內(nèi)容之一。

（一）關(guān)于教學(xué)內(nèi)容的幾方面工作

1.合理分析并選擇課程的主要基礎(chǔ)知識(shí)進(jìn)行教學(xué)。通過多年教學(xué)實(shí)踐經(jīng)驗(yàn)，確定基礎(chǔ)內(nèi)容為：模糊集合基本理論，模糊截集與分解定理，模糊推理等內(nèi)容。學(xué)生通過初步學(xué)習(xí)來了解課程背景及研究意義，通過掌握模糊數(shù)學(xué)基礎(chǔ)理論和方法，加深學(xué)生對(duì)模糊數(shù)學(xué)的理解，為后續(xù)學(xué)習(xí)模糊數(shù)學(xué)在不同學(xué)科領(lǐng)域中的應(yīng)用打好堅(jiān)實(shí)的理論基礎(chǔ)。

2.精選模糊數(shù)學(xué)應(yīng)用最為廣泛的幾個(gè)領(lǐng)域，即模糊模式識(shí)別、模糊聚類分析和模糊綜合評(píng)判為主要教學(xué)內(nèi)容，這不但包含了模糊數(shù)學(xué)應(yīng)用的一般理論，還有實(shí)例分析。這三部分的內(nèi)容相對(duì)獨(dú)立，學(xué)習(xí)重點(diǎn)為實(shí)際應(yīng)用中這些理論依據(jù)的實(shí)現(xiàn)以及思維方法的體現(xiàn)。授課時(shí),根據(jù)該領(lǐng)域中最新的研究成果加以探究，提高學(xué)生積極性，同時(shí)增強(qiáng)學(xué)生的自主分析和解決問題的能力。

3.強(qiáng)調(diào)發(fā)揮學(xué)生的主觀能動(dòng)性。授課期間挑選各領(lǐng)域中先進(jìn)的研究成果，讓學(xué)生研讀并在課堂上相互交流。經(jīng)討論，每名學(xué)生寫一份針對(duì)某篇科研成果的讀后感，將模糊數(shù)學(xué)理論應(yīng)用的部分進(jìn)行總結(jié)，或者闡述自己對(duì)文章的看法或其他觀點(diǎn)等。給學(xué)生獨(dú)立思考的空間，激發(fā)學(xué)生的主觀思考能力，多學(xué)、多聽、多思考，自主搜集相關(guān)資料。主講教師和同學(xué)們互相討論并進(jìn)行思維“碰撞”。在此過程中，可以培養(yǎng)學(xué)生知行合一的理念，調(diào)動(dòng)學(xué)生在課堂中的積極性，加強(qiáng)學(xué)生對(duì)所學(xué)知識(shí)的理解和掌握。這也符合對(duì)研究生教學(xué)培養(yǎng)目標(biāo)的設(shè)定，為培養(yǎng)數(shù)學(xué)必備品格和數(shù)學(xué)關(guān)鍵能力的核心人才奠定基礎(chǔ)。

4.加強(qiáng)計(jì)算機(jī)輔助教學(xué)。涉及實(shí)際問題處理時(shí)，由于出現(xiàn)的待處理數(shù)據(jù)相當(dāng)大，如果僅依靠人工的計(jì)算很難完成，而且也容易出錯(cuò)。另外，檢測也是一項(xiàng)非常困難的工作。計(jì)算機(jī)技術(shù)伴隨著科技的發(fā)展而飛速提升，應(yīng)用于數(shù)學(xué)的軟件最有效的就是MATLAB[5]。根據(jù)模糊數(shù)學(xué)的理論特點(diǎn)、計(jì)算方法，結(jié)合MATLAB 軟件的優(yōu)點(diǎn)，不僅可以提高教學(xué)質(zhì)量，還能減少計(jì)算錯(cuò)誤，提高課程教學(xué)效率，而且能更直觀地將問題表述出來，直觀地給出解決問題的方法。深入淺出地闡述模糊控制系統(tǒng)的組成及設(shè)計(jì)方法，介紹MATLAB 中模糊工具箱的應(yīng)用，探討模糊控制器的結(jié)構(gòu)，學(xué)習(xí)模糊控制的本質(zhì)，并介紹幾種先進(jìn)的模糊控制方法，讓學(xué)生真正了解模糊數(shù)學(xué)在MATLAB 當(dāng)中的模塊應(yīng)用。讓學(xué)生自主動(dòng)手，將實(shí)際問題用計(jì)算機(jī)語言進(jìn)行建模處理，并借助計(jì)算機(jī)的功能得到學(xué)生想要的答案，同時(shí)也培養(yǎng)學(xué)生認(rèn)真求實(shí)的精神，激勵(lì)學(xué)生不斷前進(jìn)。這也是我們?cè)诮虒W(xué)過程中需要關(guān)注的重點(diǎn)內(nèi)容。

（二）關(guān)于教學(xué)方法的幾方面改善

1.師生間的“合作式學(xué)習(xí)”。授課時(shí)，教師不但要介紹主題相關(guān)概念，還要設(shè)計(jì)相關(guān)學(xué)習(xí)內(nèi)容以此吸引學(xué)生的興趣。將“模糊聚類分析”“模糊綜合評(píng)判”“模糊模式識(shí)別”等作為教學(xué)案例講授。積極鼓勵(lì)學(xué)生展示自己解題思路和想法，在學(xué)生掌握基礎(chǔ)理論之后，再仔細(xì)研讀各領(lǐng)域中最新研究成果，并針對(duì)文章的理解發(fā)表自己的見解[6]。這樣才能使“亦此亦彼”的辯證思維模式深入人心。通過這種新型的學(xué)習(xí)方式，教師和學(xué)生的角色發(fā)生巨大的轉(zhuǎn)變：教師從主導(dǎo)性課堂的講解者轉(zhuǎn)變?yōu)檎n堂設(shè)計(jì)的協(xié)調(diào)者。教師和學(xué)生能夠進(jìn)行平等交流，教師不再是課堂上的“獨(dú)角”。學(xué)生也不再被動(dòng)地接受知識(shí)，而是在學(xué)習(xí)知識(shí)過程中成為課堂的主導(dǎo)者[7]。

2.將傳統(tǒng)教學(xué)與新興教學(xué)手段緊密相融，以此達(dá)到預(yù)期的教學(xué)效果。我們精心制作的多媒體課件，不僅保留了學(xué)生與教師面對(duì)面直接交流的傳統(tǒng)教學(xué)優(yōu)勢，將晦澀難懂的內(nèi)容全部采用了傳統(tǒng)的板書教學(xué)，同時(shí)引入多媒體輔助教學(xué)。通過結(jié)合MATLAB 軟件，大大提高了教學(xué)質(zhì)量和效率。將抽象難以理解的數(shù)據(jù)信息轉(zhuǎn)化成圖像，使學(xué)生能夠一目了然，形成一個(gè)全新的可視化互動(dòng)多媒體教學(xué)情景環(huán)境，增加了課堂的趣味性，而且它能夠有效地刺激學(xué)生的思維，不僅激起學(xué)生對(duì)課程的興趣，還能打破傳統(tǒng)枯燥的教學(xué)氛圍。

3.開發(fā)數(shù)學(xué)實(shí)驗(yàn)系統(tǒng)平臺(tái)。為了配合模糊數(shù)學(xué)精品課的建設(shè)與改革，我們開發(fā)了互聯(lián)網(wǎng)數(shù)學(xué)系統(tǒng)網(wǎng)站。網(wǎng)站中設(shè)置了模糊數(shù)學(xué)課程的教學(xué)大綱、教學(xué)課件和課程章節(jié)視頻講解等各種資源。學(xué)生可以通過線上自主學(xué)習(xí)，加深自己對(duì)所學(xué)知識(shí)的認(rèn)識(shí)與理解，養(yǎng)成自主性學(xué)習(xí)、鉆研性學(xué)習(xí)和發(fā)散性思維的習(xí)慣。打破學(xué)科樊籬，達(dá)到知行合一。創(chuàng)造性思維是培養(yǎng)學(xué)生創(chuàng)新能力的必要條件，因而，我們制作的網(wǎng)絡(luò)學(xué)習(xí)平臺(tái)就很好地為學(xué)生開發(fā)創(chuàng)造性思維提供了有利的客觀環(huán)境。

四、結(jié)論與展望

經(jīng)過課程團(tuán)隊(duì)多年對(duì)模糊數(shù)學(xué)課程不斷地探索、鉆研，也只是初步完成了課程基礎(chǔ)改革。本文已在教學(xué)內(nèi)容和教學(xué)模式等方面做出了改革，但關(guān)于該課程未來的發(fā)展道路仍任重道遠(yuǎn)。我們不但要嚴(yán)格遵循教育部最新關(guān)于精品課程建設(shè)的各項(xiàng)要求和政策，還必須通過探索和促進(jìn)精品課程的建設(shè)來發(fā)展并推動(dòng)優(yōu)質(zhì)教育教學(xué)資源共享，從而真正實(shí)現(xiàn)全面提高教學(xué)質(zhì)量的目標(biāo)。另外，還需要深入培養(yǎng)學(xué)生的數(shù)學(xué)思維和計(jì)算機(jī)編程等能力，充分體現(xiàn)出模糊數(shù)學(xué)來源于實(shí)際、學(xué)習(xí)于理論、應(yīng)用于實(shí)際的教學(xué)目的。進(jìn)一步探索適合模糊數(shù)學(xué)的教學(xué)新方式，將創(chuàng)新式課堂與學(xué)生實(shí)踐能力相結(jié)合，在不丟失理論的前提下更側(cè)重于實(shí)際，以期將“模糊數(shù)學(xué)”建設(shè)成為一門新時(shí)代兼具數(shù)學(xué)特色和前沿成果的研究生特色精品課程。