核心素養(yǎng)視域下高中數(shù)學(xué)統(tǒng)計(jì)單元的教與學(xué)

林晴嵐 鄭達(dá)藝 陳柳娟

（福建教育學(xué)院數(shù)學(xué)教育研究所，福建 福州 350025）

數(shù)據(jù)分析是大數(shù)據(jù)時(shí)代的特色，其核心是通過對數(shù)據(jù)的分析探索事物發(fā)展，深入了解事物的發(fā)展特性和規(guī)律，促進(jìn)人們提升科學(xué)合理處理問題和解決問題能力.《普通高中數(shù)學(xué)課程標(biāo)準(zhǔn)（2017 年版2020 年修訂）》課程內(nèi)容與時(shí)俱進(jìn)，將傳統(tǒng)數(shù)學(xué)基礎(chǔ)知識和時(shí)代特色的數(shù)學(xué)應(yīng)用相結(jié)合，優(yōu)化了原有高中數(shù)學(xué)課程內(nèi)容，結(jié)合時(shí)代發(fā)展新趨勢提出了把“數(shù)據(jù)分析”作為高中數(shù)學(xué)核心素養(yǎng).同時(shí)，科學(xué)設(shè)置課程相關(guān)內(nèi)容，把培養(yǎng)學(xué)生數(shù)據(jù)分析素養(yǎng)的目標(biāo)要求融入課程目標(biāo)要求中，以“主線—主題—單元—核心內(nèi)容”四層次設(shè)置課程內(nèi)容的相關(guān)系列，并根據(jù)學(xué)生選擇高中畢業(yè)和參加高考兩種不同目標(biāo)設(shè)置培養(yǎng)要求，分別設(shè)計(jì)課程內(nèi)容.

一、對統(tǒng)計(jì)單元的學(xué)習(xí)內(nèi)容的認(rèn)識

《普通高中數(shù)學(xué)課程標(biāo)準(zhǔn)（2017 年版2020 年修訂）》中概率與統(tǒng)計(jì)主線的課程優(yōu)化后重組統(tǒng)計(jì)單元核心內(nèi)容有：基本概念（總體、樣本）；“數(shù)據(jù)分析”全過程（即學(xué)習(xí)收集數(shù)據(jù)、能描述與刻畫數(shù)據(jù)、會科學(xué)地提取信息、利用信息說明問題，領(lǐng)會統(tǒng)計(jì)思想與方法）；掌握成對數(shù)據(jù)相關(guān)性、回歸分析、獨(dú)立性檢測這幾個(gè)解決統(tǒng)計(jì)基本問題的手段.［1］課程內(nèi)容以主線—主題—單元—核心內(nèi)容設(shè)置為必修學(xué)習(xí)內(nèi)容和選擇性必修學(xué)習(xí)內(nèi)容，分別對應(yīng)學(xué)生高中畢業(yè)和參加數(shù)學(xué)高考兩種不同學(xué)業(yè)質(zhì)量水平培養(yǎng)要求.

（一）統(tǒng)計(jì)單元的必修課程學(xué)習(xí)內(nèi)容認(rèn)識

必修課程學(xué)習(xí)要求是應(yīng)達(dá)到高中數(shù)學(xué)學(xué)業(yè)質(zhì)量水平一的標(biāo)準(zhǔn)，學(xué)習(xí)內(nèi)容是：在具體的實(shí)例中，了解事件的總體、樣本、樣本量的概念，知道獲得數(shù)據(jù)的基本途徑有哪些，認(rèn)識收集數(shù)據(jù)所具有的隨機(jī)性，領(lǐng)會抽樣的樣本必須要與總體同性質(zhì)分布，知道根據(jù)實(shí)際問題特點(diǎn)合理選擇抽樣方法如簡單隨機(jī)抽樣、分層隨機(jī)抽樣等，明確抽樣的意義在于用樣本的平均數(shù)、中位數(shù)、眾數(shù)來估計(jì)總體的集中趨勢，以及用樣本的標(biāo)準(zhǔn)差、方差、極差估計(jì)總體的離散程度、取值規(guī)律，體會統(tǒng)計(jì)思維與數(shù)學(xué)確定性思維的差異；［2］了解百分位數(shù)的統(tǒng)計(jì)含義，學(xué)習(xí)用統(tǒng)計(jì)圖表對收集的數(shù)據(jù)進(jìn)行可視化描述，感受統(tǒng)計(jì)圖表的合理使用的重要意義.這部分內(nèi)容是數(shù)學(xué)學(xué)業(yè)水平合格性考試命題的重要依據(jù).

（二）統(tǒng)計(jì)單元的選擇性必修課程學(xué)習(xí)內(nèi)容認(rèn)識

選擇性必修學(xué)習(xí)要求是要達(dá)到數(shù)學(xué)學(xué)業(yè)質(zhì)量水平二的標(biāo)準(zhǔn)，學(xué)習(xí)內(nèi)容是：相關(guān)的統(tǒng)計(jì)軟件；以具體實(shí)例借助有效樣本分析，了解樣本相關(guān)系數(shù)的統(tǒng)計(jì)含義，領(lǐng)悟樣本相關(guān)系數(shù)與標(biāo)準(zhǔn)化數(shù)據(jù)向量夾角的關(guān)系，學(xué)會利用成對數(shù)據(jù)統(tǒng)計(jì)相關(guān)性解決簡單實(shí)際問題；在了解一元線性回歸模型的含義和最小二乘法原理的基礎(chǔ)上，領(lǐng)會模型參數(shù)的統(tǒng)計(jì)意義，學(xué)習(xí)用一元線性回歸模型參數(shù)的最小二乘估計(jì)方法研究變量之間的隨機(jī)關(guān)系，能結(jié)合實(shí)際問題對總體進(jìn)行預(yù)測；在理解2×2 列聯(lián)表的統(tǒng)計(jì)意義與其獨(dú)立性檢驗(yàn)特征的基礎(chǔ)上，學(xué)習(xí)應(yīng)用2×2 列聯(lián)表來解決獨(dú)立性檢驗(yàn)的簡單實(shí)際問題的方法，體會歸納推理與演繹推理的差異.這部分內(nèi)容是數(shù)學(xué)高考命題的重要依據(jù).

（三）概率與統(tǒng)計(jì)課程主線統(tǒng)計(jì)單元內(nèi)容新變化

一是增加了百分位數(shù)，百分位數(shù)作為數(shù)據(jù)分析中的常見量，在對數(shù)據(jù)采集、整理、統(tǒng)計(jì)、分析等過程中百分位數(shù)應(yīng)用突顯現(xiàn)出它的重要性.大數(shù)據(jù)時(shí)代發(fā)展的需要學(xué)生掌握并能正確用好這一個(gè)常見量.二是減少了原有課程內(nèi)容的系統(tǒng)抽樣、統(tǒng)計(jì)案例.意在明確“數(shù)據(jù)分析”主要是借助計(jì)算機(jī)與數(shù)據(jù)這兩個(gè)重要技術(shù)和資源載體對隨機(jī)數(shù)據(jù)進(jìn)行分析處理，提高學(xué)生對技術(shù)和資源的掌握與使用要求.

基礎(chǔ)教育數(shù)學(xué)課程中概率與統(tǒng)計(jì)主線學(xué)習(xí)內(nèi)容整體設(shè)置是以提升學(xué)生的分辨能力為主要目的.正確認(rèn)識統(tǒng)計(jì)問題是可采用不同的方法收集數(shù)據(jù)，不同的數(shù)據(jù)蘊(yùn)含的信息是有所區(qū)別的，理解根據(jù)現(xiàn)實(shí)問題用數(shù)學(xué)模型對不同方法收集的數(shù)據(jù)進(jìn)行分析，會得到不同的推斷結(jié)果，推斷結(jié)果的準(zhǔn)則是“好與壞”.領(lǐng)悟統(tǒng)計(jì)思維既有嚴(yán)謹(jǐn)性和準(zhǔn)確性，又有數(shù)學(xué)特有的藝術(shù)特色.

二、對統(tǒng)計(jì)單元教學(xué)的思考

首先，明確統(tǒng)計(jì)的研究對象是數(shù)據(jù)，數(shù)據(jù)作為信息的載體，數(shù)據(jù)包含數(shù)字型數(shù)據(jù)和非數(shù)字型數(shù)據(jù)，統(tǒng)計(jì)的研究核心是數(shù)據(jù)分析，數(shù)據(jù)的有效、科學(xué)和較為精確的獲取是數(shù)據(jù)分析的前提，統(tǒng)計(jì)最基本的思想是用樣本推斷總體.為此，要掌握數(shù)據(jù)收集的科學(xué)方式和技術(shù)手段，以確保數(shù)據(jù)的精確和可信，學(xué)習(xí)統(tǒng)計(jì)估計(jì)的推斷方法，培養(yǎng)學(xué)生會用統(tǒng)計(jì)的眼光觀察世界.其次，明確統(tǒng)計(jì)單元教學(xué)的重點(diǎn)是圍繞三個(gè)基本問題開展：第一是認(rèn)識研究對象的總體與樣本，明確總體就是統(tǒng)計(jì)要研究的對象，了解總體的分布狀況，以及樣本與總體的關(guān)系，會用簡單隨機(jī)抽樣、分層隨機(jī)抽樣等方式抽取樣本，正確認(rèn)識樣本的隨機(jī)性特性，明確樣本作為揭示總體規(guī)律的手段，把握樣本抽取的原則是樣本分布必須符合總體的分布規(guī)律；第二是以具體實(shí)例開展數(shù)據(jù)分析全過程活動，即通過收集有效數(shù)據(jù)→對數(shù)據(jù)描述、刻畫→提取信息→利用信息分析→解決實(shí)際問題→歸納總結(jié)統(tǒng)計(jì)思想和方法，從活動過程中感受“數(shù)據(jù)”是數(shù)據(jù)分析的基礎(chǔ)，而整理收集的數(shù)據(jù)是有效進(jìn)行數(shù)據(jù)分析的基礎(chǔ)，基于現(xiàn)實(shí)生活的情景出發(fā)，利用統(tǒng)計(jì)知識和方法，構(gòu)建統(tǒng)計(jì)模型，獲得結(jié)論形成知識，達(dá)到解決問題的目的，體會數(shù)據(jù)分析就是一個(gè)透過數(shù)據(jù)探索客觀事物本質(zhì)和規(guī)律的過程；第三是掌握用成對數(shù)據(jù)相關(guān)性、回歸分析、獨(dú)立性檢測這些統(tǒng)計(jì)的基本方法，精確研究的隨機(jī)現(xiàn)象的特性和內(nèi)在規(guī)律，從中獲得更精準(zhǔn)地服務(wù)于科學(xué)發(fā)現(xiàn)、技術(shù)創(chuàng)新和管理決策.

（一）統(tǒng)計(jì)單元必修部分內(nèi)容教學(xué)思考

必修部分內(nèi)容教學(xué)是圍繞著總體與樣本核心概念展開的，總體是統(tǒng)計(jì)研究的對象，樣本是貫揭示總體規(guī)律的手段.這部分教學(xué)要幫助學(xué)生達(dá)到數(shù)學(xué)學(xué)業(yè)質(zhì)量水平一的要求，教學(xué)思路：一是引導(dǎo)學(xué)生學(xué)會對生活中的具體問題開展研究.知道獲取有效數(shù)據(jù)的基本途徑，掌握有效收集數(shù)據(jù)的方法，會合理使用樣本數(shù)據(jù)蘊(yùn)含的信息，了解數(shù)據(jù)的隨機(jī)性.二是掌握繪制統(tǒng)計(jì)圖表的方法，能結(jié)合獲取的數(shù)據(jù)和實(shí)際情況合理使用統(tǒng)計(jì)圖表，體會用圖表可視化表達(dá)數(shù)據(jù)具有的獨(dú)特性.三是掌握用樣本數(shù)據(jù)提取需要的數(shù)字特征方法，理解用樣本估計(jì)總體的統(tǒng)計(jì)規(guī)律.整體思路是通過對真實(shí)問題的研究，讓學(xué)生經(jīng)歷數(shù)據(jù)處理全過程，學(xué)會有效進(jìn)行數(shù)據(jù)收集和整理，掌握用刻畫數(shù)據(jù)統(tǒng)計(jì)特征的方法，體會“數(shù)據(jù)”既有隨機(jī)的一面，又有對決策性確定的一面，更好地認(rèn)識數(shù)據(jù)影響人們在實(shí)際生活中對事物進(jìn)行科學(xué)決策的必要性和可能性.

教學(xué)案例：某市政府為了實(shí)現(xiàn)綠色發(fā)展，提出對居民用電采用階梯電價(jià)收費(fèi)的建議，應(yīng)該如何合理確定階梯電價(jià)中的電量臨界值？

提出問題1：如何科學(xué)掌握該市全部居民住戶全年每月用電總體情況？

建議：可以選擇全市所有住戶全年每月的每戶用電量進(jìn)行研究，也可以通過選取該市有代表性區(qū)域住戶全年每月用電量進(jìn)行研究.明確統(tǒng)計(jì)的總體是要研究全市所有住戶全年每月的每戶用電量，抽取樣本應(yīng)具有與總體相同規(guī)律，利用從樣本獲得的規(guī)律來估計(jì)總體的規(guī)律，達(dá)到解決相應(yīng)的實(shí)際問題目的.

提出問題2：如何獲取有效居民住戶用電量的樣本數(shù)據(jù)？該樣本數(shù)據(jù)應(yīng)具有怎樣的特點(diǎn)？

建議：可以選擇該市一個(gè)有代表性的居民生活區(qū)為樣本，以該小區(qū)居民住戶某月用電量為樣本.還可以借助技術(shù)軟件，科學(xué)有效收集該市有代表性小區(qū)的居民住戶某月用電量數(shù)據(jù)，如以6 月用電中高峰期的每戶居民用電量數(shù)據(jù)為樣本.通過對收集樣本數(shù)據(jù)分析，尋找樣本數(shù)據(jù)中蘊(yùn)含的信息.需要注意的是，由于樣本存在的隨機(jī)性，這樣的估計(jì)可能會存在一定的誤差，但這樣的誤差一般不會影響我們對總體分布情況的大致了解.

提出問題3：如何合理確定階梯電價(jià)中的電量臨界值？

建議：科學(xué)合理的取樣設(shè)計(jì)才能使樣本數(shù)據(jù)達(dá)到相對精確度和可信度.可以選擇電價(jià)第一階梯電價(jià)的受眾面占75%，第二階梯電價(jià)的受眾面占20%，第三階梯電價(jià)的受眾面占5%.以此，估計(jì)該市全部居民住戶全年每月用電量總體分布情況，為政府確定合理階梯電價(jià)決策選擇提供有力支持.

該例借助生活中的具體問題研究，讓學(xué)生學(xué)會面對的統(tǒng)計(jì)問題，可以通過主動收集與被動收集等不同方式獲得數(shù)據(jù)，能針對不同的問題特征有效的抽樣方法獲取所需樣本數(shù)據(jù)，會在隨機(jī)抽樣獲得觀測數(shù)據(jù)的基礎(chǔ)上，選擇或者創(chuàng)建更合理的方法對數(shù)據(jù)進(jìn)行整理，能充分利用有效的數(shù)據(jù)信息通過數(shù)據(jù)分析，找出數(shù)據(jù)中蘊(yùn)含的信息，選擇適當(dāng)?shù)谋磉_(dá)描述數(shù)據(jù)方式，并用這些數(shù)據(jù)分析結(jié)果進(jìn)行解決實(shí)際問題.學(xué)生通過此問題研究，經(jīng)歷較為系統(tǒng)的“數(shù)據(jù)分析”全過程，掌握數(shù)據(jù)分析的基本操作要領(lǐng)，體會統(tǒng)計(jì)思維與確定性的數(shù)學(xué)思維的差異、歸納推斷與演繹證明的差異，［1］提升科學(xué)有效運(yùn)用所學(xué)知識、方法解決實(shí)際問題的能力.

（二）統(tǒng)計(jì)單元選擇性必修部分內(nèi)容教學(xué)思考

選擇性必修部分教學(xué)是在學(xué)生學(xué)習(xí)了統(tǒng)計(jì)必修課程內(nèi)容后，在達(dá)到數(shù)學(xué)學(xué)業(yè)質(zhì)量水平一標(biāo)準(zhǔn)要求的基礎(chǔ)上，進(jìn)一步提高解決統(tǒng)計(jì)相關(guān)問題的深度、廣度、精確度和可信度，從而達(dá)到數(shù)學(xué)學(xué)業(yè)質(zhì)量水平二的檢測標(biāo)準(zhǔn)要求.課程內(nèi)容整體設(shè)置成圍繞統(tǒng)計(jì)的幾個(gè)基本問題（成對數(shù)據(jù)的統(tǒng)計(jì)相關(guān)性、一元線性回歸模型、獨(dú)立性檢驗(yàn)）自然地將有效收集數(shù)據(jù)、利用數(shù)據(jù)提取信息、構(gòu)建數(shù)學(xué)模型，進(jìn)行數(shù)據(jù)分析整體過程有機(jī)融合展開研究.教學(xué)思路：一是通過對子女的身高與父親身高之間的關(guān)系、糧食畝產(chǎn)量與施肥量之間的關(guān)系等一系列具體案例，讓學(xué)生感受到在現(xiàn)實(shí)中大量存在相關(guān)關(guān)系和研究變量之間相關(guān)關(guān)系的必要性，把握用成對樣本數(shù)據(jù)呈現(xiàn)的統(tǒng)計(jì)相關(guān)性研究兩個(gè)數(shù)值變量的相關(guān)性的原則，深化學(xué)生對變量之間相關(guān)關(guān)系概念的理解，體會現(xiàn)實(shí)世界里這些不確定性關(guān)系也是常見的一種關(guān)系，理解樣本相關(guān)系數(shù)的統(tǒng)計(jì)含義，掌握用條形圖、直方圖、散點(diǎn)圖對數(shù)據(jù)統(tǒng)計(jì)描述和刻畫的常規(guī)手段；［3］二是基于在觀察子女的身高與父親身高得到的成對樣本數(shù)據(jù)刻畫的散點(diǎn)圖基礎(chǔ)上，理解一元線性回歸模型的變量關(guān)系特征，掌握利用一元線性回歸模型與最小二乘法的原理相結(jié)合解釋和對事物的發(fā)展變化進(jìn)行有效預(yù)測的方法，體會統(tǒng)計(jì)模型關(guān)注的是統(tǒng)計(jì)規(guī)律，正確理解隨機(jī)誤差，以及統(tǒng)計(jì)模型與函數(shù)模型差異，［3］能使用統(tǒng)計(jì)軟件實(shí)現(xiàn)回歸分析；三是通過問題，如新藥對治療某疾病是否明顯有效、不同學(xué)校某學(xué)科教學(xué)質(zhì)量是否有明顯差別等具體問題，引導(dǎo)學(xué)生利用2×2 列聯(lián)表和應(yīng)用獨(dú)立性檢驗(yàn)解決現(xiàn)實(shí)具體問題，體會統(tǒng)計(jì)思想，掌握檢驗(yàn)兩個(gè)隨機(jī)變量的獨(dú)立性的方法，理解統(tǒng)計(jì)思維與確定性思維之間的差異，培養(yǎng)學(xué)生聯(lián)系實(shí)際的意識和數(shù)據(jù)處理能力，提高學(xué)生綜合手段解決實(shí)際問題的能力.

以概率與統(tǒng)計(jì)主線的視角，把握好統(tǒng)計(jì)單元的教學(xué)，從更高的觀點(diǎn)理解統(tǒng)計(jì)單元所包含的知識、概念本質(zhì)，通過實(shí)際案例教學(xué)研究分析活動，不斷積累實(shí)踐經(jīng)驗(yàn)，把握數(shù)學(xué)知識技能與數(shù)學(xué)核心素養(yǎng)之間的關(guān)聯(lián)，養(yǎng)成在課堂教學(xué)過程中把知識技能的評價(jià)與核心素養(yǎng)達(dá)成狀況的評價(jià)有機(jī)融合自覺行動，增強(qiáng)信息技術(shù)與數(shù)學(xué)課程深度融合自覺行動，提升數(shù)學(xué)教育研究能力.

三、對統(tǒng)計(jì)單元的育人價(jià)值理解

概率與統(tǒng)計(jì)主線是培育學(xué)生基于數(shù)據(jù)的統(tǒng)計(jì)眼光、分析意識、洞察能力、活動經(jīng)驗(yàn)、交流能力、思維品質(zhì)，綜合體現(xiàn)了數(shù)學(xué)核心素養(yǎng)之一“數(shù)據(jù)分析”的育人價(jià)值.學(xué)生通過統(tǒng)計(jì)主題課程內(nèi)容的學(xué)習(xí)和參與數(shù)據(jù)分析的實(shí)踐活動，一是對“數(shù)據(jù)”產(chǎn)生了興趣.有了主動獲取數(shù)據(jù)的意識，會用有效的、科學(xué)的和較為精確的技術(shù)手段采集數(shù)據(jù)、整理數(shù)據(jù)，正確認(rèn)識到數(shù)據(jù)分析的基礎(chǔ)是“數(shù)據(jù)”，且“數(shù)據(jù)”作為信息的載體有著豐富的呈現(xiàn)形式.二是有能力讓數(shù)據(jù)說話.認(rèn)識到正確的“分析”是基于有效收集數(shù)據(jù)、整理數(shù)據(jù)，會用統(tǒng)計(jì)模型對數(shù)據(jù)進(jìn)行有效推斷，能通過數(shù)據(jù)思維去洞察事物的本質(zhì)，尋求問題的解決的途徑，會用統(tǒng)計(jì)的思維去分析客觀世界的變化和發(fā)展，形成通過數(shù)據(jù)探索客觀事物本質(zhì)和認(rèn)識事物內(nèi)在規(guī)律性的思維品質(zhì).三是積累基于數(shù)據(jù)分析的全過程活動經(jīng)驗(yàn).從活動中領(lǐng)悟到“數(shù)據(jù)分析”作為刻畫隨機(jī)現(xiàn)象統(tǒng)計(jì)規(guī)律性的語言，為許多學(xué)科探索其變化和發(fā)展的規(guī)律性提供了觀念、方法和工具，認(rèn)識數(shù)據(jù)分析是認(rèn)知客觀世界的基本思想和數(shù)學(xué)方法，以及隨著科學(xué)技術(shù)的不斷發(fā)展創(chuàng)新出了新的數(shù)據(jù)分析技術(shù)，領(lǐng)會了用數(shù)據(jù)分析的思想和方法建立發(fā)現(xiàn)事物特征和規(guī)律的歸納思維策略，提升適應(yīng)時(shí)代社會發(fā)展所必備的可持續(xù)發(fā)展的學(xué)習(xí)、觀察、思考、研究能力和眼光.