一類(lèi)具有隔離措施的COVID-19傳染病模型的動(dòng)力學(xué)分析

王曉靜,梁 宇,郭松柏,閆慧林,陳靖宜,李 穎

(1.北京建筑大學(xué) 理學(xué)院,北京 102616;2.北京建筑大學(xué) 環(huán)境與能源工程學(xué)院,北京 102616)

新型冠狀病毒肺炎(簡(jiǎn)稱(chēng)COVID-19)自2019年12月在全世界范圍內(nèi)開(kāi)始蔓延，對(duì)全球公共衛(wèi)生造成巨大影響.根據(jù)世界衛(wèi)生組織官網(wǎng)統(tǒng)計(jì)的數(shù)據(jù)，截至2021年10月12日，全球累計(jì)COVID-19確診病例237 383 711例，累計(jì)死亡病例484 271 6例.其中，印度累計(jì)新冠肺炎確診病例339 716 07例，累計(jì)死亡病例450 782例，是全球COVID-19累計(jì)確診病例第二多的國(guó)家[1].COVID-19是由新型冠狀病毒(SARS-CoV-2)引起的急性呼吸道傳染病,主要癥狀為發(fā)熱、干咳、乏力等，少數(shù)患者伴有鼻塞、流涕、腹瀉等上呼吸道和消化道癥狀[2].為控制疫情的傳播，眾多學(xué)者根據(jù)COVID-19的傳播機(jī)理構(gòu)建了一系列的數(shù)學(xué)模型對(duì)疫情進(jìn)行預(yù)測(cè)和風(fēng)險(xiǎn)評(píng)估.Yuan等[3]考慮了無(wú)癥狀感染者和隔離有癥狀感染者對(duì)COVID-19傳播的影響，研究表明，當(dāng)隔離率在[0.351 9，0.541 1]范圍內(nèi)時(shí)，無(wú)癥狀感染者會(huì)影響疾病的傳播.此外，隔離有癥狀的感染者能夠有效控制疾病.崔景安等[4]提出與確診病例實(shí)時(shí)數(shù)據(jù)相關(guān)的接觸數(shù)，對(duì)新發(fā)傳染病傳播動(dòng)力學(xué)模型進(jìn)行了優(yōu)化，并預(yù)估廣州、武漢的疫情傳播趨勢(shì).Aronna等[5]通過(guò)數(shù)值模擬得到隔離易感人群會(huì)顯著降低傳染的可能性，因此建議易感人群在傳染病流行期間保持較低的接觸率.Sarkar等[6]構(gòu)建一類(lèi)傳染病模型，估計(jì)模型的關(guān)鍵參數(shù)，并預(yù)測(cè)印度17個(gè)省的疫情發(fā)展情況.Ali等[7]考慮無(wú)癥狀感染者以及檢疫和隔離不同人群對(duì)疫情防控的影響，提出在疫情暴發(fā)初期，需要實(shí)施嚴(yán)格的隔離檢疫措施來(lái)控制疾病的傳播.Nadim等[8]構(gòu)建一類(lèi)COVID-19數(shù)學(xué)模型，預(yù)測(cè)出英國(guó)COVID-19短期下降趨勢(shì)，得到在醫(yī)療資源有限的情況下，有效隔離可能的感染者比隔離已經(jīng)染病的個(gè)體對(duì)疫情的防控會(huì)更加有效.Senapati等[9]利用校準(zhǔn)的傳染病模型預(yù)測(cè)了 2020 年 11 月 13 日至 2021 年 2 月 25 日期間印度的每日新增病例，提出防控措施的實(shí)施強(qiáng)度應(yīng)隨著時(shí)間的增加而加強(qiáng)，才會(huì)使疾病快速得到控制.

論文基于已有的研究成果[10-13]，進(jìn)一步探討隔離易感者和潛伏期感染者對(duì)COVID-19傳播的影響并將此模型應(yīng)用到印度的COVID-19疫情的預(yù)測(cè)中，以期達(dá)到更有效的防控.

1 模型的建立

將總?cè)丝贜分為8個(gè)不同的倉(cāng)室：易感者(S)、潛伏期感染者(E)、顯性感染者(I)、隱性感染者(A)、隔離的易感者(Sq)、隔離的潛伏期感染者(Eq)、入院治療者(H)、康復(fù)者(R).COVID-19的傳播流程如圖1所示.

圖1 COVID-19的傳播流程圖

根據(jù)COVID-19的傳播流程圖建立了如下倉(cāng)室模型

(1)

其中

模型(1)中的變量參數(shù)及生物學(xué)意義見(jiàn)表1.

表1 模型(1)的參數(shù)意義及取值

記總?cè)丝贜=S+Sq+E+Eq+A+I+H+R，由系統(tǒng)(1)得

由常微分方程的基本定理[14]，可得到模型(1)的可行域?yàn)?/p>

2 模型的穩(wěn)定性分析

令模型(1)的右端全等于零，即

(2)

控制再生數(shù)Rc是反映疾病傳播能力的指標(biāo)之一，體現(xiàn)為在一定的防控措施下一個(gè)感染者在其感染期內(nèi)產(chǎn)生的繼發(fā)染病者的平均數(shù)量.當(dāng)Rc>1時(shí)，疫情一般不會(huì)消失;當(dāng)Rc<1時(shí)，可以認(rèn)為疫情得到有效控制[15].由下一代矩陣計(jì)算方法得

進(jìn)而可得

FV-1=

計(jì)算得控制再生數(shù)為

Rc=ρ(FV-1)=

證明當(dāng)I≠0時(shí)，結(jié)合(2)的第5，6個(gè)方程得

通過(guò)(2)中第6個(gè)方程可得

再將A*,E*代入(2)的第3個(gè)方程得

進(jìn)而再由(2)的第2個(gè)方程得

由(2)的第3，4個(gè)方程可得

由(2)的第7個(gè)方程得

由(2)的第8個(gè)方程得

其中

m=α+μ+γ2+ω2,

因此，當(dāng)Rc>1時(shí)，I*>0，模型(1)存在唯一正平衡點(diǎn)P*；當(dāng)Rc≤1時(shí), 模型無(wú)正平衡點(diǎn).

由于模型(1)的最后一個(gè)方程和前7個(gè)方程是相互獨(dú)立的，因此考慮如下的子系統(tǒng)

(3)

引入如下引理，進(jìn)而證明子系統(tǒng)(3)的無(wú)病平衡點(diǎn)的全局穩(wěn)定性.

引理1[16]如果一個(gè)模型可以表示為如下形式

(4)

其中：X∈m表示未感染類(lèi)，V∈n表示感染類(lèi)，包括潛伏期感染者.P1=(X*,0)為系統(tǒng)(3)的無(wú)病平衡點(diǎn)，滿(mǎn)足如下兩個(gè)條件:

則當(dāng)Rc<1時(shí)，無(wú)病平衡點(diǎn)P1=(X*,0)是全局漸近穩(wěn)定的.

定理2當(dāng)Rc<1時(shí)，系統(tǒng)(3)的無(wú)病平衡點(diǎn)P1是全局漸近穩(wěn)定的.

證明對(duì)于系統(tǒng)(3)，有

其中

X=(S,Sq)∈2.

在平衡點(diǎn)P1=(X*,0)處，模型簡(jiǎn)化為

(5)

特征方程為

λ2+(ξ+2μ+ε)λ+μ(ξ+μ+ε)=0.

由λ1λ2>0,λ1+λ2<0，知方程有兩個(gè)負(fù)的特征根，因此X*是局部漸近穩(wěn)定的.

由系統(tǒng)(5)可知

S′+S′q=Λ-μ(S+Sq)，

由文獻(xiàn)[17]中的引理5.1可知，存在一個(gè)序列{tn}，使得

S(tn)→S∞,S′(tn)→0,tn→∞(n→∞),

再由系統(tǒng)(5)的第一個(gè)方程，有

S′(tn)=Λ+ξSq(tn)-(μ+ε)S(tn)=

因此，有

類(lèi)似地，存在一個(gè)序列{τn}，使得

S(τn)→S∞,S′(τn)→0,τn→∞(n→∞).

由系統(tǒng)(5)的第一個(gè)方程有

故

同理，由系統(tǒng)(5)的第二個(gè)方程可得

證得X*全局吸引，所以X*是全局漸近穩(wěn)定的.

另外，有

其中

V=(E,Eq,A,I,H)∈5，

3 數(shù)值模擬

已有文獻(xiàn)的研究結(jié)果證實(shí)了隔離顯性感染者可以很好地控制COVID-19疫情.該節(jié)主要考慮對(duì)易感者和潛伏期感染者進(jìn)行隔離的有效性，將結(jié)合COVID-19在印度傳播的實(shí)際數(shù)據(jù)進(jìn)行數(shù)值模擬.

圖2結(jié)合印度2021年4月17日到2021年9月24號(hào)COVID-19疫情的實(shí)際數(shù)據(jù)，預(yù)測(cè)了累計(jì)病例數(shù).數(shù)值模擬的結(jié)果表明從2021年6月下旬開(kāi)始，累計(jì)感染者趨于平緩，說(shuō)明疫情得到了較好的控制，新增感染者越來(lái)越少.模擬效果較好.

圖2 累計(jì)病例趨勢(shì)圖

圖3的(a)，(b)分別刻畫(huà)了易感者的隔離率ε與潛伏期感染者的隔離率k對(duì)COVID-19感染規(guī)模的影響.(a)的結(jié)果表明感染規(guī)模隨著隔離率ε的增大而不斷減小.(b)表明隨著潛伏期感染者的隔離率k的增大，感染規(guī)模將逐漸變小，并且推遲了疫情到達(dá)峰值的時(shí)刻，為疫情防控爭(zhēng)取了時(shí)間.

圖3 當(dāng)Rc<1時(shí)，易感者的隔離率ε和潛伏期感染者的隔離率k對(duì)感染規(guī)模的影響

4 結(jié)束語(yǔ)

論文考慮了對(duì)易感者和潛伏期感染者進(jìn)行隔離的防控措施的影響，構(gòu)建了一類(lèi)SSqEEqAIHR傳染病動(dòng)力學(xué)模型.論文證明了：當(dāng)控制再生數(shù)Rc<1時(shí)，模型(1)的無(wú)病平衡點(diǎn)是全局漸近穩(wěn)定的；當(dāng)控制再生數(shù)Rc>1時(shí)，模型(1)存在唯一的正平衡點(diǎn).

結(jié)合印度疫情的實(shí)際數(shù)據(jù)，模型較好地?cái)M合了印度疫情的發(fā)展情況并預(yù)測(cè)其發(fā)展趨勢(shì).數(shù)值模擬結(jié)果表明，隨著易感者的隔離率ε和潛伏期感染者的隔離率k的增大，感染者的規(guī)模會(huì)減小.此外，當(dāng)增大潛伏期感染者的隔離率時(shí)，會(huì)推遲疫情峰值到達(dá)時(shí)刻，為疫情防控爭(zhēng)取時(shí)間.因此，通過(guò)媒體播報(bào)提高人們對(duì)疫情的自我防范意識(shí)，加強(qiáng)對(duì)易感者的隔離，同時(shí)增大核酸檢測(cè)力度，提高對(duì)潛伏期感染者的隔離率有利于COVID-19的防控.