MathCAD在“微波工程”教學中的應(yīng)用

白 明，方 霄，苗俊剛

(北京航空航天大學電子信息工程學院，北京100191)

高?！拔⒉üこ獭闭n程作為掌握微波基本原理和應(yīng)用基礎(chǔ)的專業(yè)課程。我們在本課程教學中發(fā)現(xiàn)，MathCAD作為一款簡單易用的數(shù)學軟件，不僅可以很方便的進行數(shù)學運算、繪制圖形和動畫，它的編程語言具有公式化、流程圖化的優(yōu)點［1]。在課程教學中我們利用MathCAD的函數(shù)計算功能和繪圖功能，詳細講解“微波工程”中幾個重要的知識點，繪制出圖形。教學實踐證明，MathCAD在提高“微波工程”教學質(zhì)量方面可以發(fā)揮重要作用［2，3]。

1 在無耗傳輸線中的應(yīng)用

微波工程中，無耗傳輸線是最基礎(chǔ)最重要的一部分，但是傳輸線方程的電壓電流表達式復雜，物理意義不明顯，單純的通過公式講解學生不易領(lǐng)悟其本質(zhì)。我們利用MathCAD方便、簡單的繪圖功能，可以動態(tài)地顯示傳輸線中電壓和電流變化情況，使學生加深對傳輸線方程的理解和掌握。

1)計算駐波電壓和電流(省去變量賦值部分):

程序中的U(z)為傳輸線上任一點處的電壓，I(z)為傳輸線上任一點處的電流，A1為振幅常數(shù)，β為波數(shù)，z為距負載端長度，Z0為傳輸線特征阻抗。繪制圖形結(jié)果如圖1所示。

2)計算行波電壓和電流(省去變量賦值部分):

圖1 駐波電壓和電流分布

程序中:ΓL為負載端反射系數(shù)、RL為負載阻抗實部，XL為負載阻抗虛部，L為負載端的相移。

繪制圖形結(jié)果如圖2所示。

圖2 行駐波電壓和電流分布

很顯然，MathCAD的編程語言跟我們平常書寫的數(shù)學表達式非常相似。在MathCAD中只要有變量改變，與該變量相關(guān)的所有計算結(jié)果都將改變，這樣一邊書寫表達式一邊畫圖，可以使學生學習起來很直觀，對性質(zhì)和概念的理解也更深。MathCAD非常簡單易學，學生在課下可以自己編寫程序并畫出圖形。

2 在史密斯圓圖中的應(yīng)用

Smith圓圖是傳輸線理論中一種重要的輔助圖解工具，利用它可以快速方便地進行阻抗匹配計算、阻抗或?qū)Ъ{與反射系數(shù)的轉(zhuǎn)換，能夠迅速直觀地顯示阻抗或?qū)Ъ{隨頻率變化的軌跡。在“微波工程”課程的教學中，可以通過MathCAD畫出Smith圓圖能講解加深學生對圓圖的理解。

設(shè)傳輸線的反射系數(shù)Γ=Γr+jΓi，歸一化負載阻抗ZL=r+jx，則由ZL=(1+ΓL)/(1－ΓL)，ΓL=(ZL－1)/(ZL+1)變形計算可得

式中，ΓL為歸一化反射系數(shù)，Γr—反射系數(shù)實部，Γi—反射系數(shù)虛部，r—阻抗實部，x—阻抗虛部。

我們通過一個具體算例來演示。設(shè)某傳輸線特性阻抗Z0=50Ω，負載阻抗ZL=100+j100Ω，則沿z方向各點的輸入阻抗和反射系數(shù)，可以通過Math-CAD在Smith圓圖上畫出。我們?nèi)ˇ葹?到360度，每0.01度取一個點，給出如下MathCAD程序(篇幅有限，只寫出算例的程序):

繪制圖形結(jié)果如圖3所示。

圖3 Smith圓圖實際應(yīng)用

上圖中實線描繪的是史密斯原圖，虛線描繪的是反射系數(shù)。

我們只需改變負載阻抗大小，就可畫出任意負載阻抗情況下，傳輸線沿Z方向各點的輸入阻抗和反射系數(shù)。利用MathCAD輔助教學，非常適合學生課下練習，從而促進學生感性認識和學習的主動性。

3 在波導模式圖象中的應(yīng)用

規(guī)則金屬波導中波的模式圖像也是“微波工程”教學中的重點和難點。波導模式分布完整解的表達式由Maxwell方程組直接推導而來，其圖形的繪制可以方便教師為學生講解其中的物理意義。MathCAD具備繪制向量場圖的功能，能夠?qū)崿F(xiàn)對波導的模式圖形的多形式繪制。圖4是矩形波導在各截面位置示意圖。

圖4 矩形波導在xyz三個方向截面位置(1，2，3)示意圖

繪制矩形波導模式圖的MathCAD程序如下(這里只給出主要公式部分，省去常量賦值和圖形繪制部分):

程序中:Ex和Hx分別為波在x軸上的電場和磁場分量，βx為x軸波數(shù)，βy為y軸波數(shù)，βz為z軸波數(shù)，kc為截止波數(shù)。

1)矩形波導主模TE10模的波導模式圖

以xz方向為例的TE10模的分布圖示圖5。2)矩形波導高次模TE11模的波導模式圖

圖5 TE10模xz方向波導模式圖

MathCAD中任意變量的值改變，與其相關(guān)的運算結(jié)果都會改變。改變m和n的值，場量分布圖就會隨之改變，TE模的任意高次模都能夠畫出來。同時改變頻率f，可以畫出不同頻率下的波導模式圖。例如令m=1，n=1，就可以畫出TE11模的波導模式圖(以xy方向為例，其余方向只需在MathCAD中改變坐標系的下標即可畫出)，如圖6所示。

圖6 TE11模xy方向波導模式圖

此外，MathCAD還具有錄制動畫的功能，只需將波完整解的表達式中的時間常量變成與FRAME有關(guān)的時間變量，就可以動態(tài)演示矩形波導內(nèi)場分布隨時間變化的圖形。學生籍此能夠直觀地了解波導內(nèi)各模式場的分布和變化，對教學質(zhì)量的提高大有幫助。

4 結(jié)語

本文通過“微波工程”課程教學中的三個重要教學內(nèi)容，展示了MathCAD在實現(xiàn)分析方法和結(jié)果可視化方面的能力。運用MathCAD可以將復雜的數(shù)學表達式轉(zhuǎn)換成圖形和動畫，使抽象的概念直觀化，非常有利于初學者掌握。同時MathCAD簡單易學，學生可以自主編程完成上課所講內(nèi)容，這樣學生的參與性得到體現(xiàn)。上述教學方法已應(yīng)用于實際的教學實踐，達到了較好的教學效果，具有很好的推廣價值。

［1] David M.Pozar.微波工程(第三版)［M] .張肇儀，周樂柱、吳德明，北京:電子工業(yè)出版社，2011.

［2] 嚴曉蘭.MathCAD在信號與系統(tǒng)輔助教學中的應(yīng)用［J] .南京:電氣電子教學學報，2003，25(2):102-105

［3] 郝黎仁，李寶麟等.Mathcad2001及概率統(tǒng)計應(yīng)用［M] .北京:中國水利水電出版社，2002.