經(jīng)歷過程 積累經(jīng)驗(yàn)
——從《認(rèn)識角》的教學(xué)談起

福建省長汀縣城關(guān)登俊小學(xué) 劉曉明

“基本活動經(jīng)驗(yàn)”是一個(gè)特別難以界定的概念，難就難在經(jīng)驗(yàn)是一個(gè)很個(gè)性化的、極具主觀色彩的概念，從不同的視角就會有不同的理解，難就難在經(jīng)驗(yàn)是如此抽象、無法捕捉，以至于很難用一些直接的評價(jià)方式去衡量，如何積累更是一個(gè)難以回答的問題。作為教師，我們要敢于把那些看不見、摸不著的數(shù)學(xué)思想方法變成具體、可操作的實(shí)踐活動，讓學(xué)生不僅經(jīng)歷感知，還要經(jīng)歷思考和表達(dá)的過程。從而達(dá)到數(shù)學(xué)基本活動經(jīng)驗(yàn)的積累。

接下來，就從《認(rèn)識角》的教學(xué)中來談?wù)勅绾瓮ㄟ^學(xué)習(xí)活動，實(shí)現(xiàn)學(xué)生經(jīng)驗(yàn)的暴露到生成，再到提升與應(yīng)用的過程。

一、教材背景

《認(rèn)識角》一課是人民教育出版社出版的小學(xué)數(shù)學(xué)教材（以下簡稱“人教版教材”）二年級上冊第三單元的內(nèi)容，屬于第一學(xué)段中“圖形與幾何”領(lǐng)域的知識。一年級并無關(guān)于角的學(xué)習(xí)內(nèi)容；在本冊初次學(xué)習(xí)角，主要內(nèi)容包括:角的初步認(rèn)識、畫角，直角的認(rèn)識、判斷直角、畫直角；而在第二學(xué)段的四年級上冊，學(xué)習(xí)了直線、線段、射線后，還會進(jìn)一步認(rèn)識角，明確角的兩條邊是射線。

“角”是客觀存在的，但它又和我們生活中所說的角又不一樣，從數(shù)學(xué)上說，角是一個(gè)抽象的概念，是人們?yōu)榱藬?shù)學(xué)的研究，從現(xiàn)實(shí)世界中剝離和抽象出來，學(xué)生接受起來比較困難。因此，2011版課標(biāo)中指出要“結(jié)合生活情境認(rèn)識角，了解直角、銳角和鈍角”。為了幫助學(xué)生更好地認(rèn)識角的特征，教材選用生活中一些常見的物體引發(fā)學(xué)生思考，例如，一把剪刀張開形成的一個(gè)角，鐘面上時(shí)針和分鐘的夾角，還有課本封面的長和寬組成的一個(gè)角。從實(shí)物中抽象出角的一般模型（銳角、鈍角、直角），體現(xiàn)了知識逐步抽象的過程。

不管是人教版教材還是北師大版教材，都是結(jié)合實(shí)物，先觀察圖形，然后描述角的概念，接著認(rèn)識角的頂點(diǎn)和邊，至于角的嚴(yán)格定義，教材并沒有給出。教材還通過折扇打開后，兩條邊組成一個(gè)活動角，幫助學(xué)生認(rèn)識角的大??；并且利用兩個(gè)不同的三角尺，比一比角的大小，幫助學(xué)生認(rèn)識角的大小與邊的長短無關(guān)，為第二學(xué)段進(jìn)一步認(rèn)識角的兩條邊是射線，以及學(xué)習(xí)旋轉(zhuǎn)與角、角的度量打下基礎(chǔ)。

二、活動前測

為了了解學(xué)生已有的知識基礎(chǔ)、經(jīng)驗(yàn)基礎(chǔ)，發(fā)現(xiàn)學(xué)生學(xué)習(xí)起點(diǎn)，確定學(xué)習(xí)目標(biāo)，設(shè)計(jì)有效的教學(xué)活動，幫助學(xué)生從行為到思維真正參與到學(xué)習(xí)活動中來，讓學(xué)生在課堂上有真正的收獲，筆者在實(shí)施學(xué)習(xí)活動之前用2個(gè)問題對學(xué)生進(jìn)行了學(xué)習(xí)前測。

1.角就在我們身邊。請你舉出三個(gè)生活中的例子并寫下來。

2.你認(rèn)為角是什么樣子的？按照你的想法，試著畫一個(gè)角。

通過前測第1題發(fā)現(xiàn)，學(xué)生有填寫“尖角”“角落”“墻角”“牛角”等例子，這足可以證明學(xué)生對生活中的角認(rèn)識清晰，但是對數(shù)學(xué)中的角認(rèn)識模糊。通過前測第2題發(fā)現(xiàn)，在學(xué)生原有的生活經(jīng)驗(yàn)中，有的學(xué)生認(rèn)為角是立體的，有一些學(xué)生認(rèn)為角是尖尖的，還有的認(rèn)為平面圖形上的角才是角。這些認(rèn)識盡管或多或少都與數(shù)學(xué)上的角存在關(guān)聯(lián)，但其離數(shù)學(xué)角的本質(zhì)還有相當(dāng)遠(yuǎn)的距離。

三、設(shè)計(jì)思考

從以往的教學(xué)情況并結(jié)合前測來看，可以發(fā)現(xiàn)學(xué)生對角的經(jīng)驗(yàn)基礎(chǔ)更多的是來自于生活中的角，這些角的表象對于學(xué)生理解數(shù)學(xué)中的角來說有一定的促進(jìn)作用，但更多的是負(fù)遷移，影響他們對于角概念的理解。

另外由于角這個(gè)平面圖形的特殊性決定了在學(xué)習(xí)和理解其內(nèi)涵時(shí)，其他平面圖形的知識儲備和經(jīng)驗(yàn)積累對于角的學(xué)習(xí)幫助不大。

還有，角的大小比較是學(xué)生學(xué)習(xí)的難點(diǎn)。之所以成為難點(diǎn)，追根溯源還是對角概念的理解上存在問題，從而導(dǎo)致學(xué)生在比較角大小時(shí)容易產(chǎn)生錯誤。正因?yàn)槿绱?，在教學(xué)設(shè)計(jì)時(shí)要有針對性地強(qiáng)化角概念的理解，抓住知識的本質(zhì)。

四、活動設(shè)計(jì)

1.經(jīng)驗(yàn)的暴露——畫角。

這個(gè)環(huán)節(jié)主要通過畫角，了解學(xué)生對角的認(rèn)識，區(qū)分生活中的角與數(shù)學(xué)中的角，暴露學(xué)生已有經(jīng)驗(yàn)。

首先，布置學(xué)習(xí)任務(wù)：你認(rèn)為什么是角？請把你心目中的角畫在紙上。接著進(jìn)行反饋匯報(bào)，學(xué)生畫角的情況會存在以下四種類型:錯誤的（牛角）、平面圖形中的角、立體圖形中的角、單純標(biāo)準(zhǔn)的數(shù)學(xué)中的角。

通過活動，充分暴露學(xué)生已有的對于角的認(rèn)識的經(jīng)驗(yàn)，讓學(xué)生在紙上自由地畫出自己所認(rèn)為的角，這樣可以使學(xué)生在心中對角進(jìn)行初步感知，在給“角”描述特性時(shí)便有了基礎(chǔ)，從而能順利地引導(dǎo)學(xué)生把“角”從它的附著體上分離出來，也就是將實(shí)物表面存在的角抽象出來。

2.經(jīng)驗(yàn)的提升——摸角。

這個(gè)環(huán)節(jié)，主要是讓學(xué)生感受角的特征，建立數(shù)學(xué)中的角的模型，生成新的經(jīng)驗(yàn)。

這時(shí)，布置學(xué)生獨(dú)立活動，全班交流:到底什么才是數(shù)學(xué)中的角呢？然后在屏幕上出示一些生活中的圖片，從實(shí)物中抽象出數(shù)學(xué)中的角。教師對學(xué)生進(jìn)行一定的引導(dǎo)，讓學(xué)生對數(shù)學(xué)中的角進(jìn)行初步感知。接著讓學(xué)生在學(xué)具袋中出帶有角的物體。（注:學(xué)具袋里面有吸管、毛線、兩個(gè)三角板、圖釘、兩個(gè)圓紙片），學(xué)生可能發(fā)現(xiàn)三角板上有角，也可能發(fā)現(xiàn)角是尖尖的或者角是平平直直的。這時(shí)師追問：圖釘也是尖尖的，它是角嗎？吸管也是平平直直的，它是角嗎？為什么？

通過第二層次的活動，在學(xué)生已有對于角的認(rèn)知經(jīng)驗(yàn)上，通過老師適當(dāng)?shù)母深A(yù)，學(xué)生可以對知識進(jìn)行反思、沉淀。在這一過程中，教師首先從生活中的實(shí)際物品中，抽象出了角的圖形，這樣從客觀世界出發(fā)的認(rèn)識過程，符合從一般到特殊，從具體到抽象的認(rèn)知規(guī)律，讓學(xué)生逐步形成角的表象。接著讓學(xué)生摸角，其中學(xué)具既有帶有角的三角板，也有“尖尖”的圖釘和“平平直直”的吸管。后兩者是反例，可以幫助學(xué)生建立完整的數(shù)學(xué)角的模型。讓學(xué)生自己嘗試著從學(xué)具袋中摸出一個(gè)帶有角的物體（三角板），這樣，學(xué)生初步認(rèn)識了正確的角，提升了已有的經(jīng)驗(yàn)。

3.經(jīng)驗(yàn)的應(yīng)用——創(chuàng)造角。

這個(gè)環(huán)節(jié)主要是創(chuàng)造角，并比較兩次不同角。讓學(xué)生依據(jù)角的特征創(chuàng)造數(shù)學(xué)中的角，進(jìn)行經(jīng)驗(yàn)的提升，發(fā)展學(xué)生的重合比較經(jīng)驗(yàn)和創(chuàng)造性經(jīng)驗(yàn)。

首先讓學(xué)生獨(dú)立思考，判斷他們自己在環(huán)節(jié)一所畫的角，是否為數(shù)學(xué)中的角。然后反饋匯報(bào)。分別呈現(xiàn)上一活動中學(xué)生畫出的角，通過引導(dǎo)一步步修正，鞏固數(shù)學(xué)中的角概念。接著同伴合作、交流，并利用手中的學(xué)具創(chuàng)造角，結(jié)合對數(shù)學(xué)中角的認(rèn)識來創(chuàng)造角。最后全班交流，利用這些沒有角的材料創(chuàng)造出角，并和你的同伴說說你創(chuàng)造的角的頂點(diǎn)在哪里，兩條邊在哪里，老師再用兩根天線創(chuàng)造角，與學(xué)生創(chuàng)造的角進(jìn)行比較，對角的大小這一概念進(jìn)行總結(jié)。

學(xué)生對于角的認(rèn)識，已經(jīng)有了一定的經(jīng)驗(yàn)，這個(gè)環(huán)節(jié)就是將已有經(jīng)驗(yàn)進(jìn)行應(yīng)用。根據(jù)自己已有的對于角的經(jīng)驗(yàn)來判斷給出的圖形是否為數(shù)學(xué)中的角，使知識在學(xué)生心中得到了進(jìn)一步的鞏固和強(qiáng)化，并對已有經(jīng)驗(yàn)進(jìn)行反思，鞏固和強(qiáng)化新的經(jīng)驗(yàn)。經(jīng)過前面幾個(gè)環(huán)節(jié)的思考沉淀，對已有的經(jīng)驗(yàn)進(jìn)行應(yīng)用。用學(xué)具創(chuàng)造出角來，并且還要能對用兩根短短的小棒創(chuàng)造出的角與老師用電視天線創(chuàng)造出的角進(jìn)行大小比較。同時(shí)，這也暴露出學(xué)生對于角大小比較的已有經(jīng)驗(yàn)。這一系列創(chuàng)造角的過程，讓學(xué)生體會到“角的大小與邊的長短無關(guān)”；同時(shí)對學(xué)生認(rèn)識角的經(jīng)驗(yàn)進(jìn)行再次鞏固，幫助積累比較大小的度量經(jīng)驗(yàn)，發(fā)展空間觀念。

4.經(jīng)驗(yàn)的關(guān)聯(lián)——生活中的角。

學(xué)生綜合運(yùn)用新生成的經(jīng)驗(yàn)，用數(shù)學(xué)原理解釋生活中的現(xiàn)象從而達(dá)到經(jīng)驗(yàn)的關(guān)聯(lián)與應(yīng)用。

這個(gè)環(huán)節(jié)，教師給出兩張照片，一張是寒冷多雪的北方地區(qū)屋頂?shù)恼掌硪粡埵茄谉岫嘤甑哪戏降貐^(qū)屋頂?shù)恼掌?，讓學(xué)生觀察不同地域屋頂?shù)慕嵌?，說出設(shè)計(jì)的原因。最后組織學(xué)生反饋匯報(bào)。

這一環(huán)節(jié)讓學(xué)生感受到，數(shù)學(xué)就在身邊，生活中處處有數(shù)學(xué)，可以將數(shù)學(xué)的知識應(yīng)用到實(shí)際當(dāng)中。也可以說將經(jīng)驗(yàn)應(yīng)用到了生活實(shí)際中，用已有的經(jīng)驗(yàn)來解決實(shí)際問題，是一種實(shí)踐應(yīng)用，學(xué)生對已有經(jīng)驗(yàn)在生活實(shí)際中應(yīng)用可以產(chǎn)生新的感知。

五、活動分析

在小學(xué)數(shù)學(xué)“圖形與幾何”領(lǐng)域有關(guān)角這部分知識的學(xué)習(xí)中，我們都遇到過這樣的問題:角大小的比較無論是在課堂學(xué)習(xí)中還是在課后的練習(xí)中，都是難點(diǎn)和易錯點(diǎn)，看起來很簡單的知識點(diǎn)，對于學(xué)生來說為什么這么不容易理解？學(xué)生在體會角的大小與什么有關(guān)系時(shí)為什么經(jīng)常會出現(xiàn)錯誤呢？

從創(chuàng)造角這個(gè)環(huán)節(jié)的學(xué)生活動片段來看，學(xué)生能通過直觀比較的方法，可以創(chuàng)造出兩個(gè)一樣大的角。但在交流的過程中當(dāng)被問及角兩邊的長短并不一樣時(shí)，學(xué)生還是表現(xiàn)出了一定的疑惑，但從直觀的比較結(jié)果來看，這兩個(gè)角確實(shí)是一樣大的，可見學(xué)生在心中對此還是有一些模糊的。

由此看來，在設(shè)計(jì)學(xué)習(xí)活動時(shí)抓住概念的本質(zhì)與核心，在活動設(shè)計(jì)上下功夫，突破學(xué)習(xí)的難點(diǎn)，對于角的學(xué)習(xí)尤為重要。但在課堂實(shí)施過程中，教師要一方面讓學(xué)生充分進(jìn)行活動體驗(yàn)、深刻體會，另一方面又適時(shí)地進(jìn)行必要的點(diǎn)撥。

1.及時(shí)診學(xué)，豐富直接經(jīng)驗(yàn)。

談到角的大小是否與角的邊的長短有關(guān)，首先需要讓學(xué)生明白什么才是角的大小。對于二年級的學(xué)生來講，對“射線”還沒有認(rèn)知，也不會用量角器度量角的大小，原有的知識經(jīng)驗(yàn)顯然不足。那么對于“角”這樣一個(gè)半封閉半開放的圖形，理解它的屬性顯然難度很大。那么，學(xué)生眼中“角的大小”指的是什么呢？通過讓學(xué)生用短短的小棒創(chuàng)造一個(gè)和老師的天線角一樣大的角，再讓學(xué)生用短短的小棒創(chuàng)造一個(gè)比老師這個(gè)天線角大的角的活動，可以發(fā)現(xiàn)學(xué)生眼中，實(shí)質(zhì)就是把“角”看作一個(gè)封閉圖形，“角的大小”指的是這個(gè)圖形的大小，所以比的是面積的大小，他們認(rèn)為兩條邊越長，角就越大。為此，老師在活動中設(shè)計(jì)了做角，即:①先嘗試用手中的材料自己隨意創(chuàng)作出一個(gè)角，再用手中兩根短短的小棒創(chuàng)造出和老師的天線角一樣大的角；②用手中兩根短短的小棒創(chuàng)造出比老師手中的天線角還大的角。這樣學(xué)生有效認(rèn)識了角的大小和影響角的大小的因素，然后教師再把兩個(gè)角進(jìn)行重合，讓學(xué)生在直觀上確認(rèn)了“角的大小與邊的張口大小有關(guān)”，并運(yùn)用“疊合”的操作方法積累了豐富的直接經(jīng)驗(yàn)。

學(xué)生直觀感知后形成的經(jīng)驗(yàn)正確與否，均會對后續(xù)學(xué)習(xí)產(chǎn)生影響。因此，在一開始切入活動時(shí)，教師應(yīng)通過可親手體驗(yàn)的，有思辨價(jià)值的操作活動，為學(xué)生的認(rèn)知提供一個(gè)正確清晰的路徑，“兒童的智慧在自己的指尖上”。學(xué)生通過親手操作，親身實(shí)踐，就能夠獲得直接經(jīng)驗(yàn)，促進(jìn)活動經(jīng)驗(yàn)與數(shù)學(xué)思維的發(fā)展。因此，在教學(xué)過程中，教師應(yīng)留給學(xué)生充裕的時(shí)間與空間，放手讓學(xué)生自己去體驗(yàn)。

2.及時(shí)助學(xué)，豐富間接經(jīng)驗(yàn)。

在數(shù)學(xué)學(xué)習(xí)活動中，培養(yǎng)思維能力是數(shù)學(xué)學(xué)習(xí)的核心，這要求教師為學(xué)生提供自由想象、自由發(fā)揮、自主探索的時(shí)間和空間，幫助學(xué)生思考，使數(shù)學(xué)學(xué)習(xí)成為再發(fā)現(xiàn)、再創(chuàng)造的過程，從而豐富學(xué)生的間接經(jīng)驗(yàn)。

在讓學(xué)生理解角的屬性，也就是角的大小和什么有關(guān)時(shí)，為幫助學(xué)生感受解決問題的過程，主動建構(gòu)解決問題的策略，可以增加一個(gè)分蛋糕的活動。讓學(xué)生將一大一小兩塊蛋糕（用兩張圓形紙片代替）分別平均分成8份，發(fā)現(xiàn)蛋糕的大小不一樣，但角度是相同的。再次認(rèn)識“角的大小相比較的是面積的大小，面積越大，角就越大”的錯誤想法；同時(shí)，讓學(xué)生體會角和圓是有關(guān)系的，為學(xué)生今后學(xué)習(xí)三角形內(nèi)角和、圓周角、平移旋轉(zhuǎn)等做好承上啟下的鋪墊。學(xué)生在操作的過程中，不僅豐富了感覺、知覺的經(jīng)驗(yàn)，而且也為相互之間的思維碰撞提供了豐富的資源。動手操作不僅僅是直觀、形象的“手指運(yùn)動”，更是豐富、生動的思維活動，在這一過程中實(shí)現(xiàn)操作經(jīng)驗(yàn)與思考經(jīng)驗(yàn)、策略性經(jīng)驗(yàn)的有機(jī)融合，幫助學(xué)生進(jìn)一步加深了對角的屬性的認(rèn)識，也就是角的大小和什么有關(guān)的理解，積累了豐富的間接經(jīng)驗(yàn)。

3.及時(shí)導(dǎo)學(xué)，培養(yǎng)應(yīng)用經(jīng)驗(yàn)。

在最后一個(gè)活動中，著重培養(yǎng)學(xué)生的應(yīng)用意識，讓學(xué)生在“用”中積累數(shù)學(xué)基本活動經(jīng)驗(yàn)。正是因?yàn)樵谇懊娴幕顒又袑W(xué)生對于“角的屬性”有了正確的認(rèn)識，所以才能將其運(yùn)用到實(shí)際的生活問題解決中，認(rèn)識到角的大小可以服務(wù)于我們的生活。實(shí)際教學(xué)中，探究活動都要求學(xué)生有多種經(jīng)驗(yàn)，有操作的、有探究的，還有思考的，更需要有用數(shù)學(xué)知識解決問題的應(yīng)用意識。因此，在教學(xué)過程中，教師如果能善于搜集生活中的實(shí)例，把生活中的題材引入數(shù)學(xué)課堂教學(xué)之中，去引導(dǎo)學(xué)生發(fā)現(xiàn)問題、提出問題、分析問題、解決問題，在這種應(yīng)用味道強(qiáng)烈的實(shí)踐活動的過程中，積累數(shù)學(xué)基本活動經(jīng)驗(yàn)。

總之，我們在課堂教學(xué)中，要遵循小學(xué)生的年齡認(rèn)知特點(diǎn)，設(shè)計(jì)、組織好每一個(gè)數(shù)學(xué)活動，幫助學(xué)生在學(xué)習(xí)過程中經(jīng)歷和體驗(yàn)，這樣就能暴露孩子的經(jīng)驗(yàn)，并且不斷提升他們的經(jīng)驗(yàn)，最終達(dá)到經(jīng)驗(yàn)的應(yīng)用，從而積累數(shù)學(xué)基本活動經(jīng)驗(yàn)。