一維聲子晶體中彈性波的全反射貫穿效應(yīng)

劉啟能

(1.重慶工商大學(xué) 廢油資源化技術(shù)與裝備教育部工程研究中心，重慶 400067;2.重慶工商大學(xué) 計(jì)算機(jī)科學(xué)與信息工程學(xué)院，重慶 400067)

聲子晶體的概念是Kushwsha等人于1993年提出的。所謂聲子晶體就是其密度和彈性常數(shù)呈周期性變化的人造帶隙材料。彈性波在聲子晶體中傳播時(shí)會(huì)與聲子晶體的周期結(jié)構(gòu)發(fā)生相互作用，從而產(chǎn)生帶隙。由于利用聲子晶體的帶隙可以十分方便地控制聲波的傳播，因此聲子晶體在現(xiàn)代科學(xué)技術(shù)上有著十分廣泛的應(yīng)用前景。這使得對聲子晶體的研究成為目前聲學(xué)的前沿領(lǐng)域內(nèi)一個(gè)活躍的問題。

目前對一維聲子晶體的研究中，在研究方法、帶隙特性、缺陷模特性以及濾波理論等方面都取得了豐富成果［1－11］。最近文獻(xiàn)［12］中研究了電磁波在大于全反射角入射一維光子晶體時(shí)出現(xiàn)的漸逝波現(xiàn)象，得到了一些關(guān)于一維光子晶體中漸逝波的新特征。聲子晶體與光子晶體有著相似的結(jié)構(gòu)特征，那么彈性波在大于全反射角入射一維聲子晶體時(shí)會(huì)出現(xiàn)什么新現(xiàn)象呢?這是一個(gè)值得研究的新問題。本文將對這一問題開展研究，即研究彈性波在大于全反射角入射一維聲子晶體時(shí)出現(xiàn)的貫穿效應(yīng)。

1 模型與理論

一維聲子晶體是由有機(jī)玻璃(其密度為ρ1、厚度為d1)和水(其密度為ρ2、厚度為d2)兩種介質(zhì)周期性地交替構(gòu)成。設(shè)入射空間和出射空間的介質(zhì)也為水，即ρ2=ρ0。由于該聲子晶體兩邊都為有機(jī)玻璃，因此它的周期數(shù)為N+0.5，N為整數(shù)。

圖1 一維聲子晶體Fig.1 1－D phononic crystal

為了研究彈性波在大于全反射角入射該一維聲子晶體時(shí)出現(xiàn)的貫穿效應(yīng)，利用本文作者在文獻(xiàn)［13］中推出的固－流結(jié)構(gòu)聲子晶體的轉(zhuǎn)移矩陣，則一個(gè)周期的轉(zhuǎn)移矩陣m為:

其中:

矩陣中λ和μ為拉梅常數(shù)，θ為傳播角，角標(biāo)中L表示縱波、T表示橫波。整個(gè)聲子晶體的轉(zhuǎn)移矩陣M為:

其中mN為前N個(gè)周期的轉(zhuǎn)移矩陣為最后一層有機(jī)玻璃的轉(zhuǎn)移矩陣。彈性波通過該聲子晶體的反射系數(shù)r為:

不計(jì)材料的吸收時(shí)，彈性波通過該聲子晶體的能流透射率T為:

利用(1)—(5)式可以研究彈性波在大于全反射角入射該一維聲子晶體時(shí)出現(xiàn)的貫穿效應(yīng)。下面的計(jì)算中，有機(jī)玻璃、水的密度、波速分別為:ρ1=1180kg/m3、ρ2= ρ0=1000kg/m3、v1L=2670 m/s、v1T=1120 m/s、v2L=v0L=1500 m/s，取 d1=v1L/(4f0)、d2=v2L/(4f0)，f0為中心頻率，取 f0=10000Hz。

2 貫穿效應(yīng)

由波的折射定律可知，當(dāng)波從波速小(ν0)的介質(zhì)入射到波速大(ν1)的介質(zhì)的分界面時(shí)會(huì)發(fā)生全反射現(xiàn)象，其全反射角為θm=arcsinν0/ν1。當(dāng)彈性波從水中射入到該聲子晶體時(shí)其全反射角為θm=0.6 rad。計(jì)算出彈性波從水中射入到有機(jī)玻璃單一界面上其透射率隨入射角的響應(yīng)曲線，如圖1。由圖1可以清楚地看出:當(dāng)彈性波小于全反射角入射時(shí)透射率保持為T=0.88。當(dāng)入射角接近全反射角時(shí)透射率迅速降低為0。當(dāng)彈性波大于全反射角入射時(shí)透射率恒為0，彈性波不能進(jìn)去有機(jī)玻璃內(nèi)。即當(dāng)彈性波大于全反射角入射時(shí)不能產(chǎn)生貫穿效應(yīng)，并且這一特征與入射波的頻率無關(guān)。

由(1)式—(5)式計(jì)算出頻率為10000Hz的彈性波入射該聲子晶體(N=5)時(shí)其透射率隨入射角的響應(yīng)曲線，如圖2。由圖2可以清楚地看出它與圖1有明顯的不同:其一，當(dāng)彈性波小于于全反射角入射時(shí)，在入射角θ0=0－0.4 rad范圍內(nèi)出現(xiàn)了禁帶，這是聲子晶體的基本特性。其二，當(dāng)彈性波大于全反射角入射時(shí)出現(xiàn)了新的現(xiàn)象，即在入射角 θ0=0.7 rad處和 θ0=1.1 rad處出現(xiàn)了兩個(gè)明顯的透射峰。我們將彈性波大于全反射角入射聲子晶體時(shí)產(chǎn)生的透射現(xiàn)象稱為全反射貫穿效應(yīng)。為了研究貫穿效應(yīng)的規(guī)律，下面分別從三個(gè)方面研究，即貫穿效應(yīng)隨入射角變化的特性、貫穿效應(yīng)隨介質(zhì)厚度變化的特性、貫穿效應(yīng)隨周期數(shù)變化的特性。

圖1 單一界面上透射率隨入射角的響應(yīng)曲線Fig.1 Response curves of transmissivity of interface versus incident angle

圖2 聲子晶體的透射率隨入射角的響應(yīng)曲線Fig.2 Response curves of transmissivity of phononic crystal versus incident angle

2.1 貫穿效應(yīng)隨入射角的變化

為了研究貫穿效應(yīng)隨入射角的變化規(guī)律，固定N=5，計(jì)算出透射率隨入射角和頻率的響應(yīng)曲線，如圖3。在圖3中x軸表示入射角，y軸表示入射波頻率，z軸表示透射率。由圖3可以看出:

(1)在入射角大于全反射角θm=0.6 rad的區(qū)域內(nèi)出現(xiàn)了兩條明顯的透射峰帶，稱它們?yōu)樨灤┓鍘?。第一條出現(xiàn)在入射角θm=0.7 rad附近，第二條出現(xiàn)在入射角θ0=1.1 rad附近，并且第二條比第一條更加明顯。

(2)兩條貫穿峰帶的頻率都隨入射角的增加而迅速減小。

(3)對于第一條貫穿峰帶，當(dāng)入射角從0.65 rad 變到0.72 rad 時(shí)，對應(yīng)的入射波頻率從11000Hz降低到9000Hz。對于第二條貫穿峰帶，當(dāng)入射角從1.05 rad 變到 1.14 rad時(shí)，對應(yīng)的入射波頻率從11000Hz降低到9000Hz。

圖3 透射率隨入射角和頻率的響應(yīng)曲線(N=5)Fig.3 Response curves of transmissivity versus incident angle and frequency(N=5)

(4)第一條貫穿峰帶隨入射角的增加而更加明顯。第二條貫穿峰帶隨入射角的增加而減弱。

(5)兩條貫穿峰帶都不僅是一個(gè)單一峰帶，而是多峰帶的結(jié)構(gòu)。

圖4 透射率隨厚度和頻率的響應(yīng)曲線(N=5)Fig.4 Response curves of transmissivity versus thickness and frequency(N=5)

2.2 貫穿效應(yīng)隨介質(zhì)厚度的變化

介質(zhì)厚度是指構(gòu)成聲子晶體的兩層介質(zhì)的厚度，即 d1和 d2。為了研究方便令 d1=XνL1/f0、d2=XνL2/f0，X為無量綱的參變量，當(dāng)介質(zhì)材料一定時(shí)(波速一定)介質(zhì)厚度正比于X。因此可以用X描述介質(zhì)的厚度，這里就通過X的變化來描述介質(zhì)厚度的變化。固定N=5。

在入射角為θ0=1.0 rad處(第二條貫穿峰帶上)，計(jì)算出透射率隨厚度和頻率的響應(yīng)曲線，如圖4，由圖4可以知:當(dāng)入射角一定時(shí)，貫穿峰帶的頻率隨介質(zhì)厚度的增加而減小。當(dāng)X=0.25時(shí)對應(yīng)的頻率為12000Hz，當(dāng)X=0.52時(shí)對應(yīng)的頻率降低為6000Hz，并且是非線性變化。

2.3 貫穿效應(yīng)隨周期數(shù)的變化

為了研究周期數(shù)對貫穿效應(yīng)的影響，固定d1=ν1L/(4f0)、d2=ν2L/(4f0)，計(jì)算出N=3時(shí)透射率隨入射角和頻率的響應(yīng)曲線的俯視圖，如圖5。比較N=3和N=5(圖5和圖3(b))兩個(gè)不同周期的情況可以得出:

(1)周期數(shù)N=3和N=5兩種情況下對應(yīng)的兩條貫穿峰帶在圖中的位置沒有變化，這表明聲子晶體的周期數(shù)對貫穿峰帶的整體位置沒有影響。

(2)周期數(shù)N=3的兩條貫穿峰帶內(nèi)部結(jié)構(gòu)比N=5的兩條貫穿峰帶內(nèi)部結(jié)構(gòu)要簡單，這表明聲子晶體的周期數(shù)對貫穿峰帶的內(nèi)部結(jié)構(gòu)要產(chǎn)生影響。

下面研究周期數(shù)對貫穿峰帶的內(nèi)部結(jié)構(gòu)的影響。計(jì)算出N=3、N=5、N=6三種情況下兩條貫穿峰帶隨頻率的響應(yīng)曲線，如圖6(a)、6(b)、6(c)(在第一條貫穿峰帶上取入射角θ0=0.7 rad，在第二條貫穿峰帶上取入射角 θ0=1.08 rad)。由圖6(a)、6(b)、6(c)可以得出:

(1)同一周期的兩條貫穿峰帶的內(nèi)部結(jié)構(gòu)是相同的。如周期數(shù)N=5時(shí)其兩條貫穿峰帶都由5個(gè)透射峰構(gòu)成，并且同一貫穿峰帶內(nèi)相鄰兩個(gè)透射峰的頻率間隔近似相等。

(2)同一貫穿峰帶內(nèi)的透射峰數(shù)隨周期數(shù)的增加而增加，并且兩者的數(shù)目相等。

圖5 透射率隨入射角和頻率的響應(yīng)曲線(N=3俯視圖)Fig.5 Response curves of transmissivity sus incident angle and frequency(N=3 top view)

為什么會(huì)在一維聲子晶體中產(chǎn)生全反射貫穿效應(yīng)呢?下面給予定性的解釋。該一維聲子晶體可以看成N個(gè)由兩邊為有機(jī)玻璃中間夾一層水的單元構(gòu)成，如果入射角大于全反射角的彈性波進(jìn)入該單元內(nèi)，彈性波就會(huì)在水層中間往復(fù)地全反射，從而產(chǎn)生共振現(xiàn)象。因此每個(gè)這樣的單元對于大于全反射角傳播的彈性波就是一個(gè)諧振腔，彈性波在諧振腔內(nèi)發(fā)生共振時(shí)，由量子理論可知彈性波就會(huì)在腔壁產(chǎn)生隧道貫穿效應(yīng)。入射角大于全反射角的彈性波是怎樣進(jìn)入該一維聲子晶體的第一層有機(jī)玻璃的呢?這可由漸逝波解釋。入射角大于全反射角的彈性波并不是完全不能進(jìn)入有機(jī)玻璃，而是以漸逝波的形式進(jìn)入有機(jī)玻璃一定的深度。為了說明這一問題，計(jì)算出彈性波在大于全反射角(θ0=0.7 rad)進(jìn)入有機(jī)玻璃時(shí)其透射率隨有機(jī)玻璃厚度的響應(yīng)曲線，如圖7。在圖7中橫坐標(biāo)d表示有機(jī)玻璃的厚度，以入射波的波長λ為單位。由圖7可以看出，漸逝波可以進(jìn)入有機(jī)玻璃的深度約為0.5個(gè)波長，而一維聲子晶體中有機(jī)玻璃層的厚度只有四分之一波長。因此彈性波能夠通過一維聲子晶體的有機(jī)玻璃層后進(jìn)入水層，并且在水層中引起了波的共振現(xiàn)象。從而在一維聲子晶體中產(chǎn)生全反射貫穿效應(yīng)。

一維聲子晶體的全反射貫穿效應(yīng)的透射峰與一般情況下一維聲子晶體的兩個(gè)帶隙之間的透射峰既有區(qū)別又有聯(lián)系。其主要區(qū)別在于兩者產(chǎn)生的物理機(jī)理不同，全反射貫穿峰產(chǎn)生的物理機(jī)理是由于彈性波在一維聲子晶體中發(fā)生的共振隧道貫穿效應(yīng)，而兩個(gè)帶隙之間的透射峰產(chǎn)生的物理機(jī)理是由于彈性波在一維聲子晶體中產(chǎn)生的能帶效應(yīng)。其二者的聯(lián)系在于全反射貫穿峰的頻率要受到能帶頻率范圍的限制，即全反射貫穿峰的頻率應(yīng)在導(dǎo)帶允許的頻率范圍內(nèi)。

另外全反射貫穿效應(yīng)與共振隧穿的也有區(qū)別和聯(lián)系。全反射貫穿效應(yīng)是特殊條件下產(chǎn)生的共振隧穿效應(yīng)，即在全反射條件下、在漸逝波能夠通過有機(jī)玻璃層的條件下產(chǎn)生的共振隧穿效應(yīng)。因此，全反射貫穿峰的頻率應(yīng)滿足共振條件。

圖7 透射率隨有機(jī)玻璃厚度的響應(yīng)曲線Fig.7 Response curves of transmissivity versus thick

3 結(jié)論

前面利用轉(zhuǎn)移矩陣法研究了彈性波在大于全反射角入射一維聲子晶體時(shí)所產(chǎn)生的全反射貫穿效應(yīng)。得出了貫穿效應(yīng)隨入射角的變化規(guī)律、貫穿效應(yīng)隨介質(zhì)厚度的變化規(guī)律以及貫穿效應(yīng)隨周期數(shù)的變化規(guī)律。并利用波的量子理論和漸逝波的理論對一維聲子晶體的全反射貫穿效應(yīng)作出了定性的理論解釋。

一維聲子晶體中彈性波的全反射貫穿效應(yīng)是一維聲子晶體研究中的新現(xiàn)象，值得進(jìn)一步研究。特別是從理論上對該現(xiàn)象進(jìn)行定量的解釋還有待深入研究，我們將繼續(xù)對這一問題進(jìn)行深入的研究。

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