王振峰 嚴(yán)格 楊建森 李洪亮 田陽(yáng)
(1.中汽研(天津)汽車工程研究院有限公司,天津 300300;2.柳州五菱汽車工業(yè)有限公司,柳州 545000;3.燕山大學(xué),秦皇島 066004)
主題詞:車輛動(dòng)力學(xué) 靈敏度分析 響應(yīng)特性 耦合車輛模型
車輛動(dòng)力學(xué)模型是自動(dòng)駕駛算法、車輛動(dòng)力學(xué)控制算法、底盤/懸架控制算法的核心基礎(chǔ),其關(guān)鍵參數(shù)對(duì)深入分析底盤性能優(yōu)劣與車輛系統(tǒng)響應(yīng)特性有較大影響,研究模型關(guān)鍵參數(shù)對(duì)車輛系統(tǒng)的響應(yīng)特性不僅有利于縮短車輛新技術(shù)的開(kāi)發(fā)時(shí)間,且可有效降低開(kāi)發(fā)成本[1-2]。在當(dāng)下日益復(fù)雜的交通環(huán)境和駕駛場(chǎng)景(如轉(zhuǎn)彎制動(dòng)、障礙物緊急避障與路徑跟蹤等[3-5])輸入工況下,采用非耦合或單車模型的車輛動(dòng)力學(xué)控制很難實(shí)現(xiàn)令人滿意的底盤操縱穩(wěn)定性與乘坐舒適性。與此同時(shí),如何在控制器開(kāi)發(fā)中設(shè)計(jì)快速高效的基于耦合車輛模型的集成控制方法成為該領(lǐng)域的研究熱點(diǎn)與難點(diǎn)[6-7]。
車輛核心參數(shù)對(duì)車輛系統(tǒng)瞬態(tài)與穩(wěn)態(tài)動(dòng)態(tài)響應(yīng)有很大影響,深入研究車輛系統(tǒng)關(guān)鍵參數(shù)與系統(tǒng)響應(yīng)之間的對(duì)應(yīng)關(guān)系,將有助于更好地理解車輛動(dòng)態(tài)響應(yīng)及其底盤集成控制。靈敏度分析(Sensitivity Analysis,SA)被認(rèn)為是基于量化參數(shù)對(duì)系統(tǒng)輸出響應(yīng)特性物理描述的有效方法[8-9]。
本文基于雙層全局靈敏度分析(Global Sensitivity Analysis,GSA)方法研究車輛系統(tǒng)參數(shù)與響應(yīng)之間的關(guān)系,提出一種新的雙層全局靈敏度分析方法,以減少蒙特卡羅技術(shù)帶來(lái)的高計(jì)算量。以整車橫向-縱向耦合的非線性車輛模型作為分析對(duì)象,并在不同轉(zhuǎn)向盤轉(zhuǎn)角與路面激勵(lì)復(fù)合輸入工況下對(duì)所提出的GSA方法進(jìn)行驗(yàn)證。
為了獲得整車垂向與橫向動(dòng)力學(xué)函數(shù)關(guān)系,建立包含車輛的側(cè)傾運(yùn)動(dòng)、車身俯仰運(yùn)動(dòng)、車身垂向運(yùn)動(dòng)、橫向運(yùn)動(dòng)、橫擺運(yùn)動(dòng)以及4 個(gè)輪胎的垂直運(yùn)動(dòng)的整車9自由度模型,如圖1 所示。其中:a、b分別為車輛質(zhì)心與前、后軸的距離;δfl、δfr分別為車輛左、右前輪轉(zhuǎn)角;αf、αr分別為前、后輪側(cè)偏角;lt為輪距;x、y分別為車輛縱、橫向運(yùn)動(dòng)距離;vx、vy分別為車輛質(zhì)心縱、橫向速度;ci、ksi分別為各輪懸架阻尼、垂向剛度;kti為各輪輪胎剛度;zb、zwi分別為車輛質(zhì)心的垂向位移、各輪非簧載質(zhì)量的垂向位移;M、ms、mwi分別為車輛總質(zhì)量、簧載質(zhì)量、各輪非簧載質(zhì)量;zri為各輪路面激勵(lì)位移;hroll為車輛側(cè)傾中心與質(zhì)心間的距離;Ix、Iy、Iz分別為車輛側(cè)傾、俯仰、橫擺轉(zhuǎn)動(dòng)慣量;Cf、Cr分別為車輛前、后輪側(cè)偏剛度;φ、θ分別為車輛簧載質(zhì)量側(cè)傾角、俯仰角;ω為車輛簧載質(zhì)量橫擺角速度;ay為車輛側(cè)向加速度;Fy1、Fy2、Fy3、Fy4分別為車輛左前、右前、左后、右后輪輪胎側(cè)向力。
圖1 9自由度整車模型
在車輛參考坐標(biāo)系Sv中,簧載質(zhì)量質(zhì)心位置為:
且
故地面坐標(biāo)系G與車輛坐標(biāo)系v之間的關(guān)系為:
式中,wv=[0 0ω]T為旋轉(zhuǎn)運(yùn)動(dòng)矢量;Rx、Ry分別為繞X軸、Y軸的極坐標(biāo);為車輛質(zhì)心位置的偏導(dǎo)。
車輛相對(duì)地面固定坐標(biāo)系SG的質(zhì)心速度vs可以用相對(duì)車輛坐標(biāo)系的車輛速度vv與los表示:
與此同時(shí),相關(guān)的簧載質(zhì)量加速度、非簧載質(zhì)心相對(duì)位置及其相對(duì)的旋轉(zhuǎn)運(yùn)動(dòng)可分別表示為:
a.車輛簧載質(zhì)量加速度as相對(duì)坐標(biāo)系SG的計(jì)算公式為:
b.車輛非簧載質(zhì)量質(zhì)心的轉(zhuǎn)移。利用車輛簧載質(zhì)量質(zhì)心轉(zhuǎn)移方法,非簧載質(zhì)量質(zhì)心相對(duì)坐標(biāo)系Sv的轉(zhuǎn)移可表示為:
式中,lwi為非簧載質(zhì)量質(zhì)心轉(zhuǎn)移矩陣。
c.車輛簧載與非簧載質(zhì)量質(zhì)心的旋轉(zhuǎn)運(yùn)動(dòng)?;奢d質(zhì)量的旋轉(zhuǎn)角動(dòng)量Ds可表示為:
式中,DCG為質(zhì)心角動(dòng)量;Dw為非簧載質(zhì)量角動(dòng)量。
同時(shí),非簧載質(zhì)量角動(dòng)量Dw可表示為:
式中,wi、vi分別為旋轉(zhuǎn)與直線運(yùn)動(dòng)速度矢量。
Pacejka[10]提出的“魔術(shù)公式”可以很好地描述輪胎橫向非線性特性:
式中,高高高高為輸入狀態(tài),主要指滑移率或側(cè)偏角;高高高高為輸出量,主要指橫向力、縱向力或回正力矩;影響因子B、C、、E分別為試驗(yàn)擬合曲線的斜率、試驗(yàn)曲線的形狀、峰值、曲率,可從試驗(yàn)數(shù)據(jù)中獲??;SH、SV分別為輸入與輸出狀態(tài)的補(bǔ)償量。
由牛頓第二定律以及圖1所示的整車9自由度動(dòng)力學(xué)模型可知,針對(duì)整車的不同運(yùn)動(dòng),有:
a.車輛簧載質(zhì)量垂向運(yùn)動(dòng)方程為:
式中,F(xiàn)si為第i個(gè)簧載質(zhì)量懸架作用力;為簧載質(zhì)量總的垂向加速度。
Fsi可表示為:
同時(shí):
b.車輛非簧載質(zhì)量垂向運(yùn)動(dòng)方程為:
式中,F(xiàn)wi為第i個(gè)非簧載懸架作用力;為非簧載質(zhì)量總的垂向加速度。
Fwi可表示為:
同時(shí),整車左前輪、左后輪、右前輪、右后輪對(duì)應(yīng)的垂向輪胎力可分別表示為:
c.車輛俯仰運(yùn)動(dòng)方程為:
式中,Myi、Iyi分別為車輛不同i位置對(duì)應(yīng)的俯仰力矩和俯仰轉(zhuǎn)動(dòng)慣量;kiz為車身與懸架系統(tǒng)不同接觸位置彈簧剛度的垂向分量;G、H為關(guān)于俯仰運(yùn)動(dòng)的函數(shù)。
d.車輛側(cè)傾運(yùn)動(dòng)方程為:
式中,Mxi、Ixi分別為車輛不同位置i的側(cè)傾力矩和側(cè)傾轉(zhuǎn)動(dòng)慣量;kiz為車身與懸架系統(tǒng)不同接觸位置i的彈簧剛度的垂向分量。
e.車輛橫向運(yùn)動(dòng)方程為:
式中,F(xiàn)yi為車輛轉(zhuǎn)向離心力所產(chǎn)生的車輛不同位置橫向力;kiy為車身與懸架系統(tǒng)不同接觸位置彈簧剛度的橫向分量;χf、χr分別為俯仰、側(cè)傾相關(guān)的函數(shù),是車身對(duì)應(yīng)位移變量;asy、awyi分別為簧載質(zhì)量橫向加速度、非簧載質(zhì)量橫向加速度;δf、δr分別為前、后輪的轉(zhuǎn)向角。
f.車輛橫擺運(yùn)動(dòng)方程為:
式中,Mzi、Izi分別為車輛不同位置橫擺力矩和橫擺轉(zhuǎn)動(dòng)慣量;為車身與懸架系統(tǒng)不同接觸位置的橫向力矩。
針對(duì)復(fù)雜多變量系統(tǒng)輸入工況,由于無(wú)法較好地獲取系統(tǒng)關(guān)鍵參數(shù)以及常規(guī)參數(shù)之間的內(nèi)在耦合關(guān)系,導(dǎo)致無(wú)法對(duì)系統(tǒng)響應(yīng)特性進(jìn)行定量研究。為有效解決上述問(wèn)題,本文利用GSA 方法中莫里斯(Morris)篩選方法的首要影響(Elementary Effects,EE)與基于方差(Variance-based,VA)理論,全面定量分析參數(shù)對(duì)車輛系統(tǒng)響應(yīng)狀態(tài)的影響,對(duì)應(yīng)的整體流程如圖2所示。
圖2 雙層GSA方法整體分析流程
假設(shè)已知系統(tǒng)模型具有n個(gè)獨(dú)立輸入xi(i=1,2,…,n),此系統(tǒng)輸入在n維空間中決定著p個(gè)系統(tǒng)輸出,對(duì)于已知的系統(tǒng)輸出參數(shù)X,利用EE方法可得第i個(gè)輸入元素對(duì)已知系統(tǒng)模型的影響Eii:
式中,Δ為預(yù)定義數(shù)值且取值范圍為{1/(p-1),2/(p-2),…,(i-1)/(p-i)};由于X=(x1,…,xi-1,xi,…,xn)是輸入?yún)?shù)空間的隨機(jī)采樣,同理傳遞點(diǎn)(x1,…,xi-1,xi+Δ,…,xn)也是輸入?yún)?shù)空間。
此處,EE方法提供2種測(cè)量敏感性數(shù)據(jù)分析方式:估計(jì)輸入?yún)?shù)對(duì)于系統(tǒng)輸出的整體均值μ;估計(jì)輸入?yún)?shù)之間非線性與相互作用的最高階方差σ。為了準(zhǔn)確估計(jì)μ與σ,此處對(duì)不同輸入?yún)?shù)x進(jìn)行參數(shù)區(qū)域X中的隨機(jī)采樣,以保證采樣區(qū)域的完整性。其中,μ代表EE方法的分布均值,其數(shù)值與相關(guān)度成正比;σ代表輸入?yún)?shù)的非線性對(duì)輸出響應(yīng)的影響,其數(shù)值與非線性成正比??紤]到部分函數(shù)是非單調(diào)函數(shù),其求解的μ存在正負(fù)相消的情況,為了改進(jìn)此工況,本文采用改進(jìn)的μ*(|Eii|)描述以上問(wèn)題:
利用上述理論,參考CarSim 動(dòng)力學(xué)軟件提供的不同等級(jí)乘用車參數(shù),對(duì)車輛懸架系統(tǒng)關(guān)鍵參數(shù)進(jìn)行整理,如表1所示。
表1 整車系統(tǒng)參數(shù)選取范圍
利用CarSim 動(dòng)力學(xué)軟件中所提供的B 級(jí)車型(Hatchback),在80 km/h 車速、不同轉(zhuǎn)向盤轉(zhuǎn)角且不同路面激勵(lì)工況下進(jìn)行車輛系統(tǒng)輸出參數(shù)對(duì)其垂向與橫向響應(yīng)影響的靈敏度分析驗(yàn)證,分別可得到不同轉(zhuǎn)向盤轉(zhuǎn)角以及ISO-A/C 級(jí)路面激勵(lì)工況下,Hatchback 車型對(duì)應(yīng)的系統(tǒng)輸入?yún)?shù)與系統(tǒng)響應(yīng)之間的靈敏度對(duì)應(yīng)關(guān)系,如圖3所示。
圖3 不同工況下B級(jí)車型參數(shù)對(duì)系統(tǒng)垂向與橫向響應(yīng)靈敏度
由圖3a、圖3b 可知,轉(zhuǎn)向盤大轉(zhuǎn)角正弦輸入ISOA/C 級(jí)路面激勵(lì)工況下:車輛懸架系統(tǒng)的垂向響應(yīng)(車輛簧載加速度、左前動(dòng)行程與輪胎變形)主要受懸架阻尼、簧載質(zhì)量、非簧載質(zhì)量、輪胎剛度以及懸架剛度影響;橫向響應(yīng)(橫向加速度與橫擺角速度)主要受到簧載質(zhì)量、質(zhì)心與車輛前、后軸之間的距離以及懸架阻尼的影響,且影響趨勢(shì)依次遞減;側(cè)傾響應(yīng)(側(cè)傾角與側(cè)傾角速度)主要受到質(zhì)心與側(cè)傾中心間的側(cè)傾高度、懸架阻尼、輪距、簧載質(zhì)量以及側(cè)傾轉(zhuǎn)動(dòng)慣量的影響。ISO-C級(jí)路面激勵(lì)工況與ISO-A級(jí)路面激勵(lì)工況相比,影響車輛垂向響應(yīng)、橫向響應(yīng)以及側(cè)傾響應(yīng)的主要系統(tǒng)參數(shù)及影響程度類似。由此可知,Hatchback 車型在轉(zhuǎn)向盤大轉(zhuǎn)角輸入且不同路面激勵(lì)工況下,系統(tǒng)響應(yīng)與系統(tǒng)輸入?yún)?shù)之間靈敏度權(quán)重關(guān)系相對(duì)固定。
由圖3c、圖3d 可知,轉(zhuǎn)向盤小轉(zhuǎn)角輸入工況下,Hatchback 車型在ISO-A/C 級(jí)路面激勵(lì)工況下,車輛懸架系統(tǒng)的垂向響應(yīng)也主要受懸架阻尼、簧載質(zhì)量、非簧載質(zhì)量、輪胎剛度以及懸架剛度影響,且對(duì)應(yīng)參數(shù)影響權(quán)重也相近。由此可知,B級(jí)車型(Hatchback)在轉(zhuǎn)向盤小轉(zhuǎn)角不同路面激勵(lì)工況下,路面因素對(duì)車輛系統(tǒng)響應(yīng)影響較弱,且車輛垂向與橫向響應(yīng)主要受簧載質(zhì)量影響。由于在此激勵(lì)工況下,懸架阻尼與輪胎剛度主要影響車輛垂向響應(yīng),但對(duì)橫向響應(yīng)影響較弱;質(zhì)心與車輛前、后車軸距離主要影響車輛橫向響應(yīng),但對(duì)垂向響應(yīng)影響較弱;車輛側(cè)傾響應(yīng)主要受簧載質(zhì)量質(zhì)心位置、懸架阻尼、輪距、簧載質(zhì)量以及側(cè)傾轉(zhuǎn)動(dòng)慣量影響,其他整車參數(shù)影響相對(duì)較弱。
基于協(xié)方差分析理論,Sobol 方法可以有效計(jì)算輸入?yún)?shù)及其之間的耦合關(guān)系對(duì)系統(tǒng)輸出的靈敏度[11]。首先,利用協(xié)方差方法計(jì)算系統(tǒng)分解方差V(i1…iX):
且全局方差V為:
同時(shí),全局靈敏度索引方差因子S(i1…iX)可表示為[12]:
利用式(27)可知全局靈敏度索引因子為非負(fù)值,且:
其中,S(i1…iX)代表一系列變量i1,…,ix的靈敏度測(cè)量,與全局方差一一對(duì)應(yīng),即S1主要受參數(shù)X1影響,S12主要受X1與X2參數(shù)相互關(guān)系因素影響。
在應(yīng)用Sobol方法進(jìn)行全局靈敏度分析時(shí),均需使用蒙特卡羅方法求解對(duì)應(yīng)系統(tǒng)參數(shù)的方差。具體可表示:
式中,E[f(X)]為數(shù)學(xué)期望,且近似為:
式中,{Xi}為空間In中長(zhǎng)度為N的隨機(jī)序列,且當(dāng)N→∞時(shí)式(30)和式(31)近似相等,且對(duì)應(yīng)參數(shù)之間相互關(guān)系如表2、表3所示。其中,Sα為所有參數(shù)方差S(i1…iX),為所有輸入?yún)?shù)對(duì)系統(tǒng)輸出的靈敏度索引因子,I為單位矩陣。
表2 α與β子集靈敏度索引因子關(guān)鍵參數(shù)總結(jié)
表3 基于全局靈敏度索引因子的輸入?yún)?shù)相關(guān)性
首先,在空間In中選取2 個(gè)隨機(jī)獨(dú)立的一致點(diǎn),即π1=[α1;β1]與π2=[α2;β2];利用模型f(X)對(duì)這2 個(gè)點(diǎn)進(jìn)行估計(jì),得到f(π1)與f(α1;β1)。假設(shè)模型f(X)平方可積,對(duì)于獨(dú)立采樣點(diǎn)N(N→∞),有:
利用式(32)~式(34)可對(duì)一階靈敏度索引因子Vα進(jìn)行變換:
式(35)說(shuō)明了V(i1…im)關(guān)于參數(shù)α在(m-r)維隨機(jī)序列中的方差總和,且π1k為第k點(diǎn)的隨機(jī)獨(dú)立一致點(diǎn)。
同時(shí),在置信度50%工況下的Vα估計(jì)關(guān)聯(lián)誤差可表示為:
采用以上方法可以有效避免蒙特卡羅方法在隨機(jī)取點(diǎn)中的堆棧以及取空等問(wèn)題,且為減少取樣數(shù)量N,對(duì)于采樣k插入2n維擬隨機(jī)點(diǎn),并將其平分為2 個(gè)n維的與,對(duì)其進(jìn)行描述計(jì)算。
利用以上理論,可得此工況下對(duì)應(yīng)的簧載質(zhì)量、輪胎剛度、懸架阻尼、輪距、質(zhì)心與后軸的距離、側(cè)傾中心與質(zhì)心的距離以及側(cè)傾轉(zhuǎn)動(dòng)慣量對(duì)應(yīng)車輛垂向以及橫向響應(yīng)的一階靈敏度影響因子,以及全局靈敏度影響因子,如圖4所示。
圖4 轉(zhuǎn)向盤小轉(zhuǎn)角A級(jí)路面激勵(lì)工況下B級(jí)車型關(guān)鍵系統(tǒng)參數(shù)對(duì)垂向與橫向響應(yīng)全局靈敏度影因子
由圖4可知:此工況下車輛懸架垂向響應(yīng)主要受懸架阻尼、輪胎剛度、簧載質(zhì)量以及懸架剛度參數(shù)影響;橫向響應(yīng)主要受到簧載質(zhì)量、質(zhì)心與車輛前、后軸之間的距離的影響,且影響程度依次遞減;側(cè)傾響應(yīng)主要受簧載質(zhì)量質(zhì)心位置、懸架阻尼、輪距、側(cè)傾轉(zhuǎn)動(dòng)慣量以及簧載質(zhì)量影響,且影響程度依次遞減。
參考轉(zhuǎn)向盤小轉(zhuǎn)角A級(jí)路面激勵(lì)工況,可得此工況下系統(tǒng)輸出參數(shù)對(duì)應(yīng)車輛垂向與橫向響應(yīng)的一階靈敏度影響因子以及全局靈敏度影響因子,如圖5所示。
圖5 轉(zhuǎn)向盤大轉(zhuǎn)角C級(jí)路面激勵(lì)工況下B級(jí)車型關(guān)鍵系統(tǒng)參數(shù)對(duì)垂向與橫向響應(yīng)全局靈敏度影因子
由圖5可知:此工況下車輛懸架垂向響應(yīng)受懸架阻尼、簧載質(zhì)量、胎剛度以及懸架剛度參數(shù)的影響明顯;橫向響應(yīng)主要受到簧載質(zhì)量、質(zhì)心與車輛前、后軸之間的距離以及懸架阻尼影響;側(cè)傾響應(yīng)主要受到簧載質(zhì)量質(zhì)心位置、懸架阻尼、輪距、簧載質(zhì)量以及側(cè)傾轉(zhuǎn)動(dòng)慣量影響。以上分析可知,B級(jí)車型在轉(zhuǎn)向盤大轉(zhuǎn)角ISO-C級(jí)路面激勵(lì)工況下,得出的結(jié)論與利用EE 方法在此工況下所獲的結(jié)論相似,但是方差分析方法相較于后者,靈敏度權(quán)重系數(shù)存在一定差異。
為進(jìn)一步驗(yàn)證所設(shè)計(jì)雙層GSA 方法的有效性,此處基于已搭建整車半主動(dòng)懸架測(cè)控平臺(tái)系統(tǒng),以轉(zhuǎn)向盤轉(zhuǎn)角15°、車速40 km/h 的J-turn 實(shí)車行駛工況為例,對(duì)獲取的側(cè)傾角速度和橫擺率試驗(yàn)數(shù)據(jù),與整車觀測(cè)器仿真數(shù)據(jù)進(jìn)行比較[13-14],如圖6所示。
圖6 整車測(cè)試系統(tǒng)整體框架
利用上述測(cè)試平臺(tái),在上述仿真類似工況下,利用整車模型關(guān)鍵參數(shù)對(duì)系統(tǒng)響應(yīng)狀態(tài)估計(jì)結(jié)果進(jìn)行驗(yàn)證。同時(shí),為進(jìn)一步說(shuō)明利用所設(shè)計(jì)雙層GSA 方法對(duì)實(shí)車系統(tǒng)響應(yīng)結(jié)果與整車觀測(cè)器得到的側(cè)傾角速度與橫擺率之間的差異,引入標(biāo)準(zhǔn)偏差對(duì)數(shù)據(jù)結(jié)果進(jìn)行對(duì)比,如表4所示。
表4 實(shí)車數(shù)據(jù)與整車觀測(cè)器仿真數(shù)據(jù)標(biāo)準(zhǔn)偏差對(duì)比
由表4可知,ISO-C級(jí)路面?zhèn)葍A角速度標(biāo)準(zhǔn)偏差較ISOB級(jí)路面小。綜合以上仿真與試驗(yàn)驗(yàn)證結(jié)果可知,所設(shè)計(jì)的雙層GSA方法在整車狀態(tài)識(shí)別影響方面有較好效果。
本文基于雙層全局靈敏度分析方法對(duì)車輛懸架系統(tǒng)響應(yīng)狀態(tài)及其動(dòng)態(tài)特性進(jìn)行定量分析并試驗(yàn)驗(yàn)證,進(jìn)而為基于關(guān)鍵參數(shù)的車輛系統(tǒng)底盤控制提供一定的理論與實(shí)踐參考,主要得出以下結(jié)論:
a.所提出的雙層GSA 方法采用的靈敏度指標(biāo)對(duì)車輛速度和車輛類型具有較好魯棒性。
b.ISO-B 級(jí)與ISO-C 級(jí)路面系統(tǒng)響應(yīng)狀態(tài)對(duì)應(yīng)的標(biāo)準(zhǔn)偏差不高于3,驗(yàn)證了雙層GSA方法的有效性。