保持雙向等價關(guān)系的變換半群的一些結(jié)果

陳 輝，劉 鑫，王守峰

（云南師范大學 數(shù)學學院，云南 昆明 650500）

0 引言

設(shè)S是半群，E(S)是S中冪等元的集合.眾所周知，格林關(guān)系L,R,H,D,J在半群理論中扮演重要角色.關(guān)于格林關(guān)系的定義和半群理論的相關(guān)概念可看參考文獻[1].一個半群S稱為純正的，若E(S)形成S的子半群.半群S稱為完全正則的，若它的每個H-類包含冪等元.

20 世紀70 年代，作為格林關(guān)系的推廣，文獻[2]研究了半群上的格林*-關(guān)系.半群S的L*和R*關(guān)系定義如下：

若a∈S且a所在的R*-類含冪等元，則稱a是左富足元，對偶地，可定義右富足元.

1991 年，Lawson 引入了一種新的廣義格林關(guān)系[3].設(shè)S是半群，定義S上關(guān)系～L和R～如下：

設(shè)X為非空集合，E是X上等價關(guān)系，T(X)是X上的全變換半群，X/E表示X的E-類的集合.從每個E-類中各取一個元素組成的集合稱為E的一個截面.對任意α∈T(X)，α的核和像分別表示為kerα={(x,y)∈X×X|xα=yα}和Xα={(xα|x∈X}.設(shè)

許多學者對半群(X)作了研究.文獻[5～7]研究了(X)上的格林關(guān)系及正則性.文獻[8，9]研究了(X)的格林*-關(guān)系和富足性.文獻[10，11]描述了(X)上的自然偏序.文獻[12]則研究了(X)的變種半群上正則元的一些性質(zhì).

本文的目的是沿著這些方向繼續(xù)研究半群(X).我們刻畫了(X)上的關(guān)系，給出了=L*和R=R*的充要條件，證明了(X)中的正則元集Reg((X))形成子半群，得到了Reg((X))形成完全正則半群和純正半群的充要條件.

1 預備結(jié)果

下面給出一些預備結(jié)果.

先給出TE*(X)上的格林關(guān)系.對

引理1[6]設(shè)（1）(α,β)∈L當且僅當Xα=Xβ；（2）(α,β)∈R當且僅當kerα=kerβ，|Z(α)|=|Z(β)|；（3）(α,β)∈H當且僅當kerα=kerβ，Xα=Xβ.

引理2[6]設(shè)α∈(X)，則α正則當且僅當對任意A∈X/E，有A∩Xα≠ ?.也就是說，α正則當且僅當Xα含E的一個截面.特別的，若α是冪等元，則對任意A∈X/E，有Aα=A.

推論1設(shè)α∈(X)，R是E的截面，若α正則，則Rα也是E的一個截面.

證明任取r,s∈R，r≠s.則由α∈(X)知(rα,sα)?E.另一方面，設(shè)x∈X，則由α正則及引理1.2 知存在y∈X使得(x,yα)∈E.由于R是E的截面，故存在r∈R使得(y,r)∈E，從而(yα,rα)∈E.于是(x,rα)∈E.這就證明了Rα是E的截面.

引理3[8](X)正則當且僅當|X/E|有限.

引理4[8]設(shè)α,β∈(X)（.1）(α,β)∈L*當且僅當Xα=Xβ；（2）(α,β)∈R*當且僅當kerα=kerβ；（3）α是左富足元.

引理5[4]設(shè)S是半群，a,b∈S，若a,b正則，則

若a,b為左富足元，則aR*b當且僅當

2 主要結(jié)果

本節(jié)給出半群(X)的一些新結(jié)果，先考慮(X)上的關(guān)系.

定理 1設(shè)α,β∈(X).則(α,β)∈當且僅當Xα=Xβ或者對任意所在E-類為{a}.

證明(?)若Xα=Xβ，則由引理4，下設(shè)Xα≠Xβ.任取e∈E((X)).設(shè)αe=α.任取x∈X.若xβ∈Xα，則存在y∈X，使得xβ∈yα.由αe=α知xβe=yαe=yα=xβ.若xβ∈XβXα，由條件知xβ所在E-類為{xβ}，由e冪等及引理2 知{xβ}e?{xβ}，即xβe=xβ.于是βe=β.對偶地，可證βe=β蘊含αe=α，故(α,β)∈

(?)設(shè)(α,β)∈則對任意e∈E((X))，αe=α當且僅當βe=β.假設(shè)Xα≠Xβ且存在(XαXβ)使得a所在E-類至少有兩個元素.不妨設(shè)a∈XβXα，A∈X/E且a,c∈A.由a∈XβXα知，存在b∈X使得a=bβ.定義X上的變換e如下：

則e∈(X)且e2=α.顯然，αe=α.然而，bβe=αe=c≠a=bβ，這與(α,β)∈矛盾.

由引理1 和4 知，L=L*.下面給出L*=和R=R*.的充要條件.

定理2在(X)中，L*=當且僅當|X/E|有限或者|X/E|無限且每個E-類至少含2 個元素.

證明(?)若|X/E|有限，由引理3 知(X)正則，從而由引理5，L*=.設(shè)|X/E|無限且每個E-類至少含2 個元素.若(α,β)∈，則由定理1 知Xα=Xβ.據(jù)引理4，

定理3在(X)中，R=R*當且僅當|X/E|有限.

證明若|X/E|有限，由引理3 知(X)正則，從而由引理5，R=R*.反之，設(shè)R=R*，則由引理4 知中每個元均為左富足元，即每個R*-類均含冪等元，從而每個R-類均含冪等元，于是正則.

定理 4設(shè)α,β∈(X)，α,β正則，則αβ正則.即Reg((X))形成正則子半群.

證明因為α正則，由引理2，Xα包含E的截面.又β正則，由推論1 知Xαβ也包含E的一個截面.再次利用引理2 知αβ正則.

下面給出Reg((X))完全正則的充要條件.

定理5Reg((X))完全正則當且僅當下列條件之一成立：（1）E為相等關(guān)系；（2）存在唯一的一個E-類含2 個元素，其余E-類均為單點集.

證明(?)對任意α∈(X)，由引理1 知，

假設(shè)（1）（2）均不成立，則有兩種情況需要考慮.

情況一：假設(shè)存在兩個非單點集的E-類A1,A2.不妨設(shè)A1={a1,b1,…}，A2={a2,b2,…}.定義X上的變換α如下：

由引理2 知

若存在e∈E((X))且e∈Hα，則Xα=Xe，kerα=kere.由引理2 得A1e={a1}，A2e?{a2,b2}.但這導致(a1,b1)∈kere=kerα，矛盾.故Hα中無冪等元.

情況二：假設(shè)只有一個非單點集E-類A，但該類元素個數(shù)大于2.不妨設(shè)A={a,b,c,…}，定義X上的變換α如下：

(?)假設(shè)E為相等關(guān)系，則(X)={σ | σ是X上的單射變換}.設(shè)α∈(X).若α正則，則由引理2知Xα包含E的一個截面，但E的截面只有X，從而Xα=X.這表明α是雙射.于是αH1X.假設(shè)存在唯一的一個E-類A含2 個元素，其余E-類均為單點集.不妨設(shè)A={a,b}.對任意的α∈Reg((X))，由引理2知Xα包含E的一個截面.于是(XA)?Xα.若，定義冪等元e如下：

則αHe.若，定義冪等元f如下：

則αHf.若Xα=X，則αH1X.

綜上所述，Reg((X)完全正則.

下面給出Reg((X))純正的充要條件.

定理6Reg((X))是純正半群當且僅當每個E-類至多含2 個元素.

證明(?)假設(shè)某個E-類A含元素多于2 個，取a,b,c=A.定義X上的變換e,f如下：

易證e,f∈E(TE*(X)),cef=a≠b=c(ef)2.故ef≠ (ef)2，從而Reg((X)不純正.

(?)設(shè)X的每個E-類至多含2 個元素，e,f∈E((X))，由引理2 知對任意A∈X/E，有Ae?A，Af?A.設(shè)x∈X.若x所在的E-類為{x}，則必有xe=x=xf.從而xefef=x=xef.若x所在的E-類不是單點集，則存在唯一的y∈X使得x所在的E-類為{x,y}.于是{x,y}e?{x,y}.注意到e冪等，有以下三種情況：xe=x,ye=y或xe=x=ye或xe=y=ye.同理可知，xf=x,yf=y或xf=x=yf或xf=y=yf.于是有以下9 種情況：

（1）xe=x,ye=y,xf=x,yf=y；（2）xe=x,ye=y,xf=x=yf；

（3）xe=x,ye=y,xf=y=yf；（4）xe=x=ye,xf=x,yf=y；

（5）xe=x=ye,xf=x=yf；（6）xe=x=ye,xf=y=yf；

（7）xe=y=ye,xf=x,xf=y；（8）xe=y=ye,xf=x=yf；（9）xe=y=ye,xf=y=yf.

對情形1，有xef=yf=x,xefef=xef=x.對情形2，有xef=yf=x,xefef=xef=x.

對情形3，有xef=xf=y,xefef=yef=yf=y.類似可證后面幾種情形.

綜上所述，(ef)2=ef.于是是純正半群.