關于說謊者悖論句變元理論的幾點評論

陳龍

1 說謊者悖論的三種不同形式

考慮如下這個語句L：L是假的。如果L為真，那么它所敘述的情況成立，也就是說L是假的。反過來如果L不是真，即為假，那么它所敘述的情形的對立面成立，也即并非L是假的，因此L是真的。合起來我們就可以邏輯地推出L為真當且僅當L是假的。如果我們再假定任何語句非真即假，那么我們便可以得出L既為真又不真（為假）這樣一個徹底的矛盾。上述推理便是經典的說謊者悖論（The Liar Paradox,后文用LP 指代），它所用到的推理規(guī)則只是直觀上非?？尚诺膬蓷l：(1)一個語句P為真當且僅當P所敘述的情形成立：[P]為真?? P；1我們用[P]表示一個可以指稱P 的名稱，比如其哥德爾編碼。(2)二值原則：任何語句都要么真，要么假，而且必取其一。從看似如此簡單而可信的原則卻能推出徹底的矛盾，這也是說謊者語句被稱為“悖論”的原因，它也是哲學史上最早出現(xiàn)的悖論之一2最早可以追溯到公元前5 世紀左右古希臘的歐布里德斯（Eubulides）。。雖然自其出現(xiàn)以來有諸多不同的哲學家、邏輯學家提出過大量的合理的解悖方案，但是時至今日依然沒有一個方案能一致地被所有人接受，以作為LP 的標準解答。3事實上，關于到底什么是LP 的一個解答（solution）這個二階元問題，也存在不少爭議。參見[3]，第八章。

除了經典的說謊者語句，LP 還有幾種其他形式，這些形式不僅僅有助于我們更好地看出LP 的范圍和其本質特征，更重要的，也是我們衡量任意一個解悖方案的力度和解釋力的重要依據(jù)。比如說，通過和一些偶然語句組合起來，我們可以構造出如下偶然的說謊者悖論（Contingent Liar Paradox,CLP）L：L是假的并且外面在下雨。如果L為真，那么我們可以推出L也為假。如果L為假，那么L為真或者并非外面在下雨。因此，如果外面正好不在下雨，L本身并不會推出矛盾。L是否會導致悖論就取決于外面的天氣這個偶然事實。類似地，我們還可以有L：寫在402 教室黑板上的那句話為假。如果這個語句出現(xiàn)在除了402 之外的其他教室黑板上，那么它一般不會得出矛盾，只有當它出現(xiàn)在402 教室黑板上并且它是寫在黑板上唯一的一句話時才會得出類似LP 的推理?？瓷先?，一個語句是否是悖論語句取決于它所出現(xiàn)的地方這個偶然的事實。此外，還有一種被稱之為加強版說謊者悖論或是復仇的說謊者（Strengthened Liar Paradox/revenge liar,SLP）。其基本想法如下：如果你認為說謊者語句本身是成問題的（pathological，比如說無意義的或是有意義但缺乏真假或者缺乏根基）并以此來構造出某個解悖理論，那么說謊者語句總可以以某種新的形式卷土重來，比如L:L是假的或是無意義的。無論假設L為真還是為假都會導致熟悉的矛盾，但是任何認定L是無意義的理論也難逃悖論，因為如果L真的是無意義的，那么L就是真的（因為這正是L所陳述的）。SLP 看似是一個比LP 本身要嚴重得多的挑戰(zhàn)，它至少排除掉了諸多看似合理的一階解悖方案。后文我們可以看出，以何種程度來克服SLP 是我們裁定解悖方案之可信度的重要標準。

2 主流理論

從現(xiàn)代邏輯的角度來看，對LP 這個語義學悖論最有影響的兩種解決方案無疑是塔斯基的語言分層理論（[10]）以及克里普克的真值間隙理論（[6]）4還有一些邏輯理論并不將悖論視為不可接受的，而是試圖從悖論度的角度來分析LP 以及其他相應的悖論，這一思路也極為有趣，但是并不在本人討論的視角之下。參見[4,8,15]。，他們分別是從自指以及真謂詞的角度來試圖解決LP。塔斯基認為由于日常語言的語義封閉特性5一個語言L 是語義封閉的，如果這個語言中包含足夠豐富的資源來談論這個語言自身中語句的真假。，不一致性很難避免。要從形式上解決LP，我們必須嚴格地將包含真謂詞的語句與這個語句所指涉到的語句置于不同層次，從而就可以從語法上直接規(guī)避掉語句談論自身真假的可能性，LP 也就隨之消解。比如說，假設P是對象語言L中的語句，那么“[P]不是真的”這一語句是與對象語言對應的不同層級的元語言中的語句。沒有一個絕對的真謂詞，而只有對應于不同語言層級的帶有不同下標的真謂詞。雖然塔斯基的理論能很好地解決形式語言中關于真謂詞的語義問題并且避免形式化的LP，但是他所付出了代價是禁止一切形式的自指，這一點既違背直覺，很多時候看上去也很成問題6比如克里普克給出的著名的例子：假設瓊斯斷言(1)尼克松關于水門事件的大部分言論都是錯的”，而恰好尼克松關于水門事件的所有其他斷言正好對錯各半，除了如下這句(2)瓊斯關于水門事件的一切言論都是對的”。這兩句話放在一起會產生矛盾，但是如果只單獨考察語句(1)，任何內在的無論是語義的還是語形的標準都無法診斷出其悖謬之處。（[6]）這和我們前文引入偶然說謊者悖論CLP 的意圖是一致的，如果悖論的產生是偶然的，那么我們不能通過任何在先的邏輯的原因將其排除掉。。正是出于上述考慮，克里普克提出了一個新的真理論，在這個理論中語言和真謂詞都不再分層，并且語句可以一致地談論自身的真假。7就本文目的而言，我們不需要呈現(xiàn)出克里普克真理論的所有技術細節(jié)，但是要想徹底理解他這個理論的獨特之處，這一點是必要的，因為克里普克自己也宣稱他自己理論區(qū)別于其他哲學理論的一大優(yōu)勢就在于給出了一個真正的形式化的理論，并且可以從邏輯上證明很多精確的哲學斷言。在他發(fā)表的原文中，克里普克并沒有給出所有的證明細節(jié)，完整的證明可以參見[2]。但是其所必須付出的理論代價便是真謂詞只能是一個偏謂詞（partial predicate），其外延（真的語句）和反外延（假的語句）不能包括所有的語句，而必須允許若干既不真也不假的語句的存在（說謊者語句就是其中之一）。在此理論中我們要放棄經典的二值語義原則而允許“非真非假”（真值間隙，truth-gap）語句。8雖然最常使用的來形式化克里普克真理論的語義工具是三值邏輯（更具體地，強克里尼三值邏輯），但是克里普克堅持認為“非真非假”并不是和真假并列的第三個真值（[6]）。此外，雖然經典的LP 在這個理論中可以被避免，但是它卻無法處理形如“L:L是假的或者L沒有真值”的這一加強版悖論SLP。也就是說，雖然理論中允許包含自身真謂詞的語句，但是它并不能表達形如說謊者語句這類缺乏真值的語句的性質，即“L并不真也不假”，因而“L不是真的”，我們必須在另外一個更豐富的元語言中才能表達這個事實，因此，克里普克也不得不承認“塔斯基的層級幽靈依舊與我們同在”（[6]）。

3 文蘭的“句變元理論”

上述經典理論所面臨的困難似乎在警示我們，在承認自指原則以及經典邏輯和語義的前提下LP 是不可解的，我們必須要放棄掉一些根本原則。然后，文蘭教授從代數(shù)學中的幾個根本概念（變元，值，方程，解）入手，指出LP 的本質是語言學中的代數(shù)現(xiàn)象，無需以禁自指或放棄經典邏輯和語義學為代價來解決LP，解悖的關鍵在于區(qū)分“變元”與“值”，我們暫且將其理論稱為說謊者悖論的句變元理論9句變元理論最早出現(xiàn)在[11]中，后來在其書[13]中又有所擴展，前述文章包含了這個理論最精確的表述和論證。。其精確表述如下：

說謊者悖論的解答.說謊者悖論L：L為假是一個句變元問題，應該寫成一個句方程X：X為假。說謊者悖論推出矛盾是因為隱蔽地假設了該句方程有句解，即隱蔽地假設了存在X的一個值L使得L：L為假。說謊者悖論的矛盾證明，不存在X的值L使得L：L為假。（[14]）

乍看上去，句變元理論是如此之簡潔而直白，它既沒有很多主流理論中的繁瑣技術構造，也不像很多哲學味濃厚的解悖方案一樣充滿著大量理論術語，以至于很難讓人相信這會是一個有足夠解釋力的理論。然而，句變元理論無論從方法論還是實質的哲學論證角度來看都是一個新穎而豐富的理論。首先，通過對康托定理和理發(fā)師悖論的一個精微的對比分析，它指出幾乎所有悖論的真正形式實質上是隱去了某個假設之后的反證法的翻譯，這就是文蘭所說的“隱蔽假設原理”（[14]）。應該指出，對絕大多數(shù)悖論來說，其對應的反證法不是現(xiàn)成的，而是在悖論被解答之后，將其隱蔽的假設寫成“頭尾”加上去而做成的。因此對大多數(shù)悖論而言，這個原理并不能幫助解答悖論，而只是在悖論被解答后幫助理解這一解答。10比如說導致羅素悖論的概括原則（comprehension principle）：相應于每一個概念都有一個集合作為其外延。即便沒有羅素悖論，我們也可能有其他獨立的原因去說明這個原則的非普遍有效性。LP卻十分幸運，它與一個現(xiàn)成的布爾方程無解的反證法相對應。因此，依循這一原理，就發(fā)現(xiàn)LP 隱蔽地假設了該句方程有句解。也就是說，這一原理雖然對解答絕大多數(shù)悖論沒有什么幫助，卻獨獨對解答LP 起了至關重要的作用。當然布爾代數(shù)也起了重要的作用。若不是歷史上先出現(xiàn)了布爾代數(shù)，即使知道這個隱蔽假設原理，也應無可能發(fā)現(xiàn)這個隱藏極深的“有解”假設。這一方法論視角是很獨特的，以往的大部分理論都著重從關于真謂詞的語義特征或是LP 中所使用的邏輯推理規(guī)則進行適當?shù)南拗坪托薷囊越鉀QLP。后面我們將看到，這一視角轉換不僅有助于我們用一個一致的模式來審視諸多看似十足不同的悖論，同時，將LP 視為某個反證法的主體部分，我們也能建設性地從LP 獲得一些正面結論，這是很多特設性的解悖方案所無法做到的。

與此方法論直接相關的是句變元理論對悖論的診斷，它認為“自我指涉”和“真謂詞”雖然是說謊者悖論的明顯特征，但卻不是問題的要害，問題的要害是說謊者悖論里的一個隱蔽的假設。這和諸多傳統(tǒng)的解悖理論11我們在文中主要考察了最有代表性的兩種理論，其他更多的理論可以參見[1]。更是大相徑庭。通過構造出一個自制的三卡悖論（[11]）以及從隱蔽假設原理出發(fā)給出與之對應的解答，文蘭強有力地論證了他對LP 要害之點的診斷：三卡悖論的推理中隱蔽地假設了句變元有句解，這個在原始的LP 中隱藏很深且?guī)缀鯊膩頉]被注意到的假設在另一個形式幾乎一樣的悖論中就變得很明顯了。有了隱蔽假設原理方法論的指引和三卡悖論的對照之后，再結合若干代數(shù)學術語在語言學上的類比，句變元理論就是一個很自然也很嚴密的解悖方案了。值得注意的是，雖然借用了語言學上的一些概念，但是句變元理論不是從純語言學的角度來解決LP 的，它是一個邏輯的解決方案。雖然建立了“句變元”和“句解”以及“值”這樣的代數(shù)概念，但是理論的哲學根基乃是未定之變元與已定之值以及二者之間微妙的“之字形”轉換關系。它本質上是一個哲學的而非代數(shù)的理論。下一節(jié)作者打算從自指以及真謂詞在LP 中所起的非本質作用以及悖論中的存在性假設和克里普克的有根性概念（grounded sentence）為對照來對句變元理論做一些簡單的評論。

4 難以捉摸的說謊者

正如克里普克已經指出過，LP 中的自指并不是其悖論之源。首先我們的語言中有很多自指但無害的語句，而且我們還可以構造出像雙卡悖論或文蘭三卡悖論以及雅布羅悖論12雅布羅悖論（[12]）是說假設存在一個無窮的語句序列，其中每一個都只需要宣稱在它之后的所有語句都為假，很容易通過類似LP 的推理得出其悖謬。等等似乎并不涉及直接自指的仿-LP 悖論。此外，在包含一定量算術的形式系統(tǒng)中，我們甚至可以通過對角線引理來嚴格證明自指的不可避免性，即對系統(tǒng)內任意可定義的謂詞φ一定存在一個語句ψ，使得?ψ ?φ[ψ]。因此塔斯基用以證明真謂詞在形式系統(tǒng)內不可定義定理恰好可以看作是LP 未掐頭去尾的某種應用，其隱蔽前提便是“假設形式系統(tǒng)L 可以定義自己的真謂詞”。

與自指相類似的是真謂詞在LP 中所起的非本質作用（red herring）。為了更好地看出真謂詞在LP 中所扮演的角色，我們可以考慮其他從形式規(guī)則上而言和真謂詞擁有相似結構的其他非語義學概念，比如形而上學必然性概念與認識論意義上的可知性概念（或者說是非形式化的可證性/informal provability）。我們用φ[x]來表示x是必然的。而且我們還假定φ擁有一些直觀上必須被接受的推理規(guī)則，最重要的便是(1)如果一個語句是邏輯可證的，那么它是必然的，即?P ?φ([P])；(2)如果一個語句是必然的，那么它所敘述的情形成立，即φ([P])?P。由此我們便可以構造出一個“模態(tài)說謊者”語句N：N不是必然的。如果N為假，那么N所敘述的情形不成立，即并非N不是必然的，也就是說L是必然的，那么L所敘述的情形成立，由此N便是真的，與N為假矛盾。于是我們便可以從邏輯上證明N為真，N便是必然的。N是必然的，而且N不是必然的。13將必然性作為一個謂詞而非一個語句算子便會導致如上困難，至少在足夠豐富的語言系統(tǒng)內如此，上述矛盾最早是由Montague 發(fā)現(xiàn)的。關于這個現(xiàn)象是否證明了模態(tài)算子不能被當做謂詞來處理的討論，參見[9]。

類似地，如果我們將上述φ解釋為絕對可知性（absolute knowability）并且假定絕對可知性這個概念也滿足上述兩條素樸的推理規(guī)則，那么我們便可以構造出一個“認知說謊者”語句K：K是不可知的。如果K為假，那么并非K是不可知的，即K是可知的，因此K為真，矛盾。所以K為真，并且由于我們是通過邏輯推導得出這個K為真，我們也知道它，所以K是可知的，并且K是不可知的。14上述“認知者悖論”最早是由D.Kaplan 和R.Montague（[5]）以及J.Myhill（[7]）發(fā)現(xiàn)的。如果只是從真謂詞的語義特征著手去解決LP，那么很難看出那樣的解悖方案如何應對上述非語義的模態(tài)或是認識論意義上的LP。從“悖論乃是反證法之掐頭去尾”的視角我們便可以得出必然性或是絕對可知性概念不能被當成謂詞來處理15或者要以某種類似塔斯基分層的方式來處理。?；蛘?，從句變元理論的視角，我們可以說上述N和K都只是未知句，并沒有滿足它們的值存在。并不是必然性或是可知性概念的特征導致了悖論的存在，而是同樣的邏輯的原因導致了L，N和K的無解，正如理發(fā)師悖論中的理發(fā)師不能存在的根源在于邏輯，而非性別或是其他因素。由此，我們便可以給各種悖論一個真正的統(tǒng)一（uniform）解決，不管它是語義的，認知的還是形而上的。

除了從技術上構造不動點模型來證明我們可以一致地添加語言自身的真謂詞之外，克里普克還以“有根性”概念給（最?。┎粍狱c做出了哲學辯護。在此不動點中，一切在真謂詞正外延和負外延中的語句都是有根的，其真假最終可以由不包含真謂詞的原子語句的真假來斷定，而諸如說謊者語句之類的無根語句卻不行。有根性這個概念有很強的直覺意涵，而且和句變元理論中的“有滿足方程的值”這個概念有些天然的相似性。然而，一方面，克里普克的“有根性”概念依賴于賦值模式，不同的賦值模式下會產生不同的“有根性”概念16比如，一個真語句和一個無根語句的析取“φ ∨λ“在強克里尼三值邏輯中為真，因而有根，但是在弱克里尼賦值中取真假之外的第三值，因而無根。此外，如果采用超賦值主義（super-valuationism），由兩個無根語句組成的析取“λ ∨?λ“卻是真的，因而有根。，因而這個概念必然是相對的。此外，雖然從理論內部來看，諸如說謊者之類的語句既不真也不假因而缺乏真值，但是從元理論或者外部理論來看我們卻可以斷言說它不是真的，也就會導致我們之前提到過的克里普克的理論無法處理“L：L不是真的”這一SLP。與之相對，從句變元理論的視角出發(fā)我們并不需要提前給定語言中一個類似不動點的模型而限定可解方程的范圍，并且由于不需要放棄經典的二值語義它并不會面臨類似的SLP 問題。如果說克里普克的有根性概念是一種從下往上（bottom-up）的理解真謂詞的模式的話，從“句變元-值”的角度就是一種從上往下（top-down）的方式。最后，從形式上來看，雖然有一些遺留問題，但是克里普克真理論通過不動點的構造確實給出了類似說謊者語句區(qū)別于一般語句的非常符合直覺的說明，句變元理論視角下的有解句方程和無解句方程由于其非構造性并沒有類似的直觀，也許在將此理論形式化之后可以得出更多的洞見和結果。不管怎樣，句變元理論是對LP 的一個自洽的、簡潔且有解釋力的方案，是對說謊者悖論以及更寬泛的邏輯悖論研究文獻的一個重大補充，也提供了若干可供繼續(xù)探索的問題。17比如，從變元（variable）和值（value）以及任意對象（arbitrary object）之間的形而上的和語義學的關系，這些也許會構成句變元理論的必要補充，但是這超出了本文的范圍。