數(shù)學(xué)建模思想在高等數(shù)學(xué)教學(xué)改革中的應(yīng)用探究

劉會彩

高等數(shù)學(xué)課程是很多高等院校普遍開設(shè)的基礎(chǔ)通識課程之一，也是理工科專業(yè)必修的課程，能夠立足于不同專業(yè)技術(shù)領(lǐng)域，將數(shù)學(xué)思想和基本原理方法的具體實(shí)現(xiàn)與推導(dǎo)分析過程進(jìn)行深入研究。高等數(shù)學(xué)課程的抽象性非常顯著，也會對本科學(xué)生的計(jì)算思維模式構(gòu)建過程造成深遠(yuǎn)的影響。數(shù)學(xué)建模思想能夠立足于實(shí)際問題，將高等數(shù)學(xué)課程的教學(xué)改革過程進(jìn)行深化設(shè)計(jì)。

一、高等數(shù)學(xué)教學(xué)改革的要點(diǎn)

(一)概念教學(xué)改革。高等數(shù)學(xué)課程的概念教學(xué)過程非常抽象，也是嚴(yán)重困擾數(shù)學(xué)教師和各專業(yè)學(xué)生的主要因素。概念教學(xué)的創(chuàng)新改革需要重點(diǎn)研究和規(guī)劃設(shè)計(jì)數(shù)學(xué)概念的有效導(dǎo)入過程以及銜接過程，才能夠輔助和引導(dǎo)學(xué)生們認(rèn)知和理解數(shù)學(xué)概念的引申含義和應(yīng)用路徑[1]。在函數(shù)、幾項(xiàng)、連續(xù)以及導(dǎo)數(shù)微分積分等相關(guān)教學(xué)內(nèi)容的概念教學(xué)活動中，很多學(xué)生普遍反映概念之間的銜接程度并不強(qiáng)，并且很多抽象的數(shù)學(xué)定理公式與實(shí)際問題的求解過程也并不能實(shí)現(xiàn)精準(zhǔn)對應(yīng)。概念教學(xué)的改革工作，需要將教學(xué)活動作為重點(diǎn)研究對象，并充分提升學(xué)生的主體性教學(xué)地位。概念教學(xué)的有效改革，需要以教學(xué)質(zhì)量和學(xué)習(xí)效率為主要評估評價(jià)指標(biāo)，才能夠深度挖掘不同專業(yè)學(xué)生的實(shí)際學(xué)習(xí)水平[2]。概念教學(xué)的改革要點(diǎn)，主要集中在將基本數(shù)學(xué)定理公式實(shí)現(xiàn)有效銜接，并采取多樣化的教學(xué)措施，輔助學(xué)生認(rèn)知和理解較為抽象的數(shù)學(xué)定理和公式，并在相關(guān)實(shí)際應(yīng)用問題的求解思路中滲透數(shù)學(xué)概念。

(二)題目教學(xué)改革。題目教學(xué)的改革重點(diǎn)在于提升學(xué)生的學(xué)習(xí)興趣，并對不同類型的數(shù)學(xué)題目進(jìn)行適度引申和拓展，進(jìn)一步拓寬學(xué)生們的數(shù)學(xué)應(yīng)用視野。部分高數(shù)教師會將題目教學(xué)與概念教學(xué)相結(jié)合，但是非常抽象的教學(xué)過程和方法并不利于提升學(xué)生們的學(xué)習(xí)興趣以及認(rèn)知理解能力[3]。將多樣化的教學(xué)手段和方法融入到題目教學(xué)過程之中，則需要從高數(shù)教材中選擇有利于培養(yǎng)學(xué)生計(jì)算思維能力和數(shù)學(xué)建模能力的訓(xùn)練題目，并將學(xué)生的學(xué)習(xí)反饋結(jié)果進(jìn)行深度解析，構(gòu)建以學(xué)生為中心的課堂教學(xué)模式。題目教學(xué)的有效改革不僅需要關(guān)注學(xué)生對題目的認(rèn)知和理解層次，還需要適度引申和拓展數(shù)學(xué)題目的解決思路，并不需要讓學(xué)生完成刻板重復(fù)的題目訓(xùn)練操作，更需要關(guān)注學(xué)生對某一類題型的解題思路是否能夠與相關(guān)數(shù)學(xué)概念實(shí)現(xiàn)精準(zhǔn)對應(yīng)。題目教學(xué)的改革要點(diǎn)，需要從學(xué)生的角度出發(fā)，構(gòu)建更加完善的課堂教學(xué)模式。

(三)趣味教學(xué)改革。趣味教學(xué)的改革工作，則需要重點(diǎn)提升不同專業(yè)學(xué)生的高數(shù)學(xué)習(xí)興趣，并對不同知識章節(jié)的具體教學(xué)過程和環(huán)節(jié)進(jìn)行創(chuàng)新優(yōu)化設(shè)計(jì)。通過應(yīng)用趣味化教學(xué)方法，能夠讓學(xué)生從抽象的數(shù)學(xué)概念中釋放出來，還能夠從不同學(xué)科專業(yè)的視角看待實(shí)際應(yīng)用類問題，并對可以選擇的數(shù)學(xué)概念和定理公式進(jìn)行詳細(xì)分類。在高數(shù)上冊教材中，洛必達(dá)法則的應(yīng)用非常廣泛，能夠充分體現(xiàn)微分中值定理與函數(shù)導(dǎo)數(shù)計(jì)算之間存在的差異和聯(lián)系，還能夠?qū)⒍喾N函數(shù)的導(dǎo)數(shù)運(yùn)算模式進(jìn)行有效變化，更加考驗(yàn)學(xué)生的變式思維能力[4]。通過引入趣味化教學(xué)方法，能夠進(jìn)一步提升高數(shù)課堂的互動性，還能夠?qū)⒍喾N數(shù)學(xué)概念和公式定理等教學(xué)內(nèi)容實(shí)現(xiàn)有效融合，有利于推動數(shù)學(xué)概念教學(xué)活動的實(shí)質(zhì)性進(jìn)展。趣味教學(xué)改革的重點(diǎn)在于研究和設(shè)計(jì)教學(xué)實(shí)施方案，并對課堂互動環(huán)節(jié)和團(tuán)隊(duì)協(xié)作環(huán)節(jié)進(jìn)行深化設(shè)計(jì)。

(四)競賽教學(xué)改革。很多高數(shù)課程的課堂教學(xué)活動都并未研究設(shè)計(jì)競賽教學(xué)環(huán)節(jié)，也會影響到學(xué)生對全國大學(xué)生數(shù)學(xué)建模競賽的正確認(rèn)知和理解過程。高等數(shù)學(xué)教材中會單獨(dú)設(shè)置數(shù)學(xué)建模相關(guān)內(nèi)容，但是并不能夠充分認(rèn)知和理解全國大學(xué)生數(shù)學(xué)建模競賽的真實(shí)性和解題策略[5]。競賽教學(xué)的改革要點(diǎn)主要集中在對數(shù)學(xué)建模思想和解題思路的教學(xué)設(shè)計(jì)層面之上，因此高數(shù)教師需要重點(diǎn)研究和設(shè)計(jì)數(shù)學(xué)建模方法的實(shí)踐應(yīng)用路徑，并對比較經(jīng)典的競賽題目進(jìn)行集中探討，有效引導(dǎo)和輔助學(xué)生理解數(shù)學(xué)建模競賽的真實(shí)含義和意義。通過競賽教學(xué)的改革，能夠進(jìn)一步引申和拓展不同專業(yè)學(xué)生的實(shí)踐操作技能，還能夠著重培養(yǎng)計(jì)算思維能力以及信息素養(yǎng)能力。競賽教學(xué)的改革過程，需要充分運(yùn)用多種教學(xué)資源，并對每年公布的數(shù)學(xué)建模競賽題目進(jìn)行詳細(xì)分類，才能夠有效提升不同專業(yè)學(xué)生的課堂參與度和學(xué)習(xí)興趣。

二、數(shù)學(xué)建模思想在高等數(shù)學(xué)教學(xué)改革中的具體應(yīng)用

(一)正確引入數(shù)學(xué)建模思想。正確引入數(shù)學(xué)建模思想，是逐步完善高等數(shù)學(xué)教學(xué)改革體系的重要思路之一，也是教學(xué)方法改革和優(yōu)化設(shè)計(jì)的核心要點(diǎn)。在高數(shù)上冊教材中，數(shù)學(xué)建模簡介知識章節(jié)能夠涵蓋數(shù)學(xué)模型概述、數(shù)學(xué)建模方法步驟、數(shù)學(xué)模型特點(diǎn)和分類以及實(shí)例等相關(guān)內(nèi)容，但是如何正確引入數(shù)學(xué)建模的基本思想，還需要高數(shù)教師進(jìn)行創(chuàng)新優(yōu)化設(shè)計(jì)。對于不同專業(yè)學(xué)生而言，數(shù)學(xué)建模思想的實(shí)際應(yīng)用方向存在顯著的差異，因此高數(shù)教師可以充分結(jié)合不同專業(yè)知識結(jié)構(gòu)特點(diǎn)，將相關(guān)實(shí)際應(yīng)用類問題與數(shù)學(xué)建模思想進(jìn)行有機(jī)融合，并充分引導(dǎo)和鼓勵(lì)學(xué)生們進(jìn)行自主探究學(xué)習(xí)，從實(shí)際操作過程中收獲數(shù)學(xué)建模經(jīng)驗(yàn)，才能夠逐步引申和拓展數(shù)學(xué)模型構(gòu)建的深層次含義。通過正確引入數(shù)學(xué)建模思想，能夠讓學(xué)生們從全新的視角認(rèn)知和理解比較抽象的數(shù)學(xué)概念和定理公理公式等相關(guān)教學(xué)內(nèi)容，還能夠服務(wù)于本專業(yè)知識體系的建構(gòu)與完善過程。

(二)將數(shù)學(xué)建模思想應(yīng)用于公式推導(dǎo)。將數(shù)學(xué)建模思想應(yīng)用于公式推導(dǎo)，能夠逐步強(qiáng)化和鞏固學(xué)生們對高等數(shù)學(xué)基礎(chǔ)知識的認(rèn)知和理解能力。尤其對于定積分、常微分方程等關(guān)鍵高數(shù)公式的推導(dǎo)和分析過程而言，需要將數(shù)學(xué)建模的基本思想和問題解決路徑進(jìn)行深度解析，才能夠?qū)⒐酵茖?dǎo)和分析結(jié)果與理論知識體系實(shí)現(xiàn)有效銜接。數(shù)學(xué)公式的推導(dǎo)與分析過程非常考驗(yàn)學(xué)生的抽象邏輯思維能力，因此將數(shù)學(xué)建模思想滲透在公式推導(dǎo)過程之中，能夠讓學(xué)生們從全新的視角認(rèn)知其他關(guān)聯(lián)知識點(diǎn)之間存在的區(qū)別和聯(lián)系。由于部分高數(shù)教師的理論教學(xué)能力較強(qiáng)，但是在公式推導(dǎo)與分析過程中，并不能充分調(diào)動學(xué)生的參與積極性，也會逐步形成刻板思維，并不利于構(gòu)建數(shù)學(xué)建模知識體系。將數(shù)學(xué)建模思想應(yīng)用于公式推導(dǎo)的過程中，還需要對定積分常微分無窮級數(shù)等相關(guān)知識內(nèi)容進(jìn)行分類整合，并著重研究和規(guī)劃設(shè)計(jì)頂層設(shè)計(jì)思路。

(三)將數(shù)學(xué)建模思想應(yīng)用于例題講解。在高等數(shù)學(xué)教材中，經(jīng)典例題的講解過程有助于將學(xué)生從抽象的數(shù)學(xué)概念公式之中解放出來，也非?？简?yàn)學(xué)生的聯(lián)想能力和應(yīng)用拓展能力。在將數(shù)學(xué)建模思想應(yīng)用于例題講解的過程中，高數(shù)教師也需要科學(xué)運(yùn)用多種教學(xué)手段，將更加生動直觀的經(jīng)典例題解析過程進(jìn)行詳細(xì)展示，讓學(xué)生們從全新的視角認(rèn)知和理解數(shù)學(xué)建模思想的具體應(yīng)用思路。以微分中值定理以及導(dǎo)數(shù)應(yīng)用相關(guān)教學(xué)內(nèi)容為例，高數(shù)教師需要將微分中值定理章節(jié)中的羅爾定理、拉格朗日中值定理以及柯西中值定理的具體應(yīng)用策略進(jìn)行分類整合與對比分析，并協(xié)助和引導(dǎo)學(xué)生們對微分中值定理的變形過程進(jìn)行深度解讀，還有利于構(gòu)建與實(shí)際問題相關(guān)聯(lián)的數(shù)學(xué)模型和解決方案。將數(shù)學(xué)建模思想應(yīng)用于例題講解，還能夠充分體現(xiàn)學(xué)生的自主探究學(xué)習(xí)潛力，并對部分經(jīng)典例題的變式解析過程進(jìn)行直觀展示，有利于培養(yǎng)良好的計(jì)算思維能力和數(shù)學(xué)建模觀念。

(四)將數(shù)學(xué)建模思想應(yīng)用于競賽預(yù)備。將數(shù)學(xué)建模思想應(yīng)用于競賽預(yù)備，能夠進(jìn)一步強(qiáng)化和鞏固不同專業(yè)學(xué)生的數(shù)學(xué)建模應(yīng)用意識和能力，還能夠?qū)⒋髮W(xué)生數(shù)學(xué)建模競賽的經(jīng)典題目與不同知識章節(jié)的教學(xué)內(nèi)容實(shí)現(xiàn)精準(zhǔn)對接。以常微分方程知識章節(jié)為例，一階微分方程、可降階的二階微分方程、二階線性微分方程、二階常系數(shù)線性微分方程的問題解決思路都能夠與多種數(shù)學(xué)建模競賽題目進(jìn)行精準(zhǔn)對接。此外，將數(shù)學(xué)建模思想應(yīng)用于競賽預(yù)備，還能夠?qū)⒉煌愋偷母傎愵}目與數(shù)學(xué)概念公式的推導(dǎo)分析過程進(jìn)行有效銜接，有利于培養(yǎng)學(xué)生的競賽題目解析能力，還能夠合理組合數(shù)學(xué)公式和公理定理，深入了解數(shù)學(xué)建模競賽題目的不同解題思路。在滲透數(shù)學(xué)建模思想的過程中，高數(shù)教師和學(xué)生可以針對不同題目內(nèi)容所指向的基礎(chǔ)知識體系進(jìn)行深度探討和分析，并從實(shí)際問題情境中抽離出來，更有利于構(gòu)建數(shù)學(xué)模型，還能夠從基礎(chǔ)的原型解析步驟開始，進(jìn)一步優(yōu)化與完善競賽題目的求解思路體系。

(五)精選實(shí)際教學(xué)案例，滲透數(shù)學(xué)思想。通過精選實(shí)際教學(xué)案例，能夠逐步滲透多種數(shù)學(xué)思想，還能夠?qū)碚摂?shù)學(xué)模型的構(gòu)造規(guī)律和解決思路進(jìn)行深化設(shè)計(jì)。在數(shù)學(xué)建模簡介章節(jié)匯總，需要通過兩個(gè)具體實(shí)例深入解析數(shù)學(xué)建模的基本方法和步驟，并對數(shù)學(xué)模型的構(gòu)造規(guī)律進(jìn)行分類整合與總結(jié)分析。因此需要通過精選實(shí)際教學(xué)案例，才能夠?qū)?shù)學(xué)建模的基本思想滲透在課堂教學(xué)環(huán)節(jié)之中。以路徑規(guī)劃類案例題目為例，需要將不同城市的道路網(wǎng)絡(luò)拓?fù)浣Y(jié)構(gòu)進(jìn)行直觀展示，才能夠進(jìn)一步引申出路徑規(guī)劃目標(biāo)和路線的可行性分析結(jié)果。學(xué)生們需要從實(shí)際教學(xué)案例中抽取更多與數(shù)學(xué)概念公式定理相關(guān)的條件和數(shù)據(jù)信息，并采用數(shù)學(xué)建模的基本解決思路，將教學(xué)案例中待解決的問題進(jìn)行結(jié)構(gòu)化拆解，才能夠?qū)崿F(xiàn)層次化的案例問題拆解過程。但是在選擇實(shí)際教學(xué)案例的過程中，還需要重點(diǎn)關(guān)注學(xué)生們對實(shí)際應(yīng)用類問題的實(shí)際認(rèn)知理解層次，需要采取因材施教的教學(xué)策略，逐步滲透數(shù)學(xué)建模的基本思想。

三、結(jié)語

數(shù)學(xué)建模思想是當(dāng)前生活應(yīng)用類問題解決方案中應(yīng)用非常廣泛的數(shù)學(xué)要素之一，也是立足于實(shí)際問題求解情境的主要數(shù)學(xué)分析思路。數(shù)學(xué)建模思想能夠立足于實(shí)際問題，將高等數(shù)學(xué)課程的教學(xué)改革過程進(jìn)行深化設(shè)計(jì)。對于不同專業(yè)學(xué)生而言，高數(shù)教師可以充分結(jié)合不同專業(yè)的知識結(jié)構(gòu)特點(diǎn)，將相關(guān)實(shí)際應(yīng)用類問題與數(shù)學(xué)建模思想進(jìn)行有機(jī)融合，從實(shí)際操作過程中收獲數(shù)學(xué)建模經(jīng)驗(yàn)，才能夠逐步引申和拓展數(shù)學(xué)模型構(gòu)建的深層次含義。