小學(xué)數(shù)學(xué)起點(diǎn)型核心知識(shí)長(zhǎng)程教學(xué)的內(nèi)涵、價(jià)值與路徑*

魏光明

站在立德樹(shù)人的高度來(lái)看小學(xué)數(shù)學(xué)教育，我們應(yīng)該堅(jiān)持兒童立場(chǎng)，深度挖掘并充分發(fā)揮數(shù)學(xué)學(xué)科知識(shí)的育人價(jià)值，讓學(xué)生通過(guò)數(shù)學(xué)知識(shí)的學(xué)習(xí)獲得數(shù)學(xué)核心素養(yǎng)的提升，實(shí)現(xiàn)智力水平、學(xué)習(xí)情感和價(jià)值觀念等協(xié)同發(fā)展。在全面落實(shí)“雙減”政策的大背景下，小學(xué)數(shù)學(xué)教學(xué)要實(shí)現(xiàn)減負(fù)提質(zhì)，促進(jìn)每一個(gè)學(xué)生可持續(xù)、高質(zhì)量地發(fā)展，科學(xué)遴選并長(zhǎng)程教學(xué)數(shù)學(xué)核心知識(shí)，特別是起點(diǎn)型核心知識(shí)，就具有重要的現(xiàn)實(shí)意義，有利于促進(jìn)數(shù)學(xué)核心素養(yǎng)在課堂教學(xué)中有效落地，真正實(shí)現(xiàn)學(xué)科育人的長(zhǎng)遠(yuǎn)目標(biāo)。

一、起點(diǎn)型核心知識(shí)長(zhǎng)程教學(xué)的內(nèi)涵分析

數(shù)學(xué)教學(xué)要有全局觀、整體觀，提倡瞻前顧后，實(shí)施長(zhǎng)程教學(xué)。要對(duì)起點(diǎn)型核心知識(shí)實(shí)施長(zhǎng)程教學(xué)，首先需弄清楚以下三個(gè)基本問(wèn)題。

其一，什么是起點(diǎn)型核心知識(shí)？我們知道，數(shù)學(xué)知識(shí)之間普遍存在著邏輯聯(lián)系，借助這種邏輯聯(lián)系，可以實(shí)現(xiàn)從知識(shí)點(diǎn)到知識(shí)鏈再到知識(shí)體系的不斷生長(zhǎng)和擴(kuò)展。在縱橫聯(lián)結(jié)的知識(shí)體系中，有一些適用范圍廣、自我生長(zhǎng)和遷移能力強(qiáng)、不可或缺、處于基礎(chǔ)和中心地位、具有關(guān)鍵性、結(jié)構(gòu)性、統(tǒng)攝性和生發(fā)性的知識(shí)，這些知識(shí)就是數(shù)學(xué)核心知識(shí)。由于知識(shí)不斷生長(zhǎng)，知識(shí)體系不斷進(jìn)階，必然會(huì)存在一些相對(duì)意義上的起點(diǎn)型知識(shí)。其中，處于某個(gè)知識(shí)領(lǐng)域、知識(shí)序列、知識(shí)段落或知識(shí)單元起點(diǎn)位置、具有“種子”作用的核心知識(shí)，就可以稱為起點(diǎn)型核心知識(shí)。起點(diǎn)型核心知識(shí)具有根基性、原點(diǎn)性和生長(zhǎng)性，是眾多知識(shí)中的干細(xì)胞，是知識(shí)生長(zhǎng)的起點(diǎn)，是搭建知識(shí)框架的承重柱，是支撐知識(shí)體系的根基。起點(diǎn)型核心知識(shí)一般指向數(shù)學(xué)基本思想、基本方法、基本概念、基本原理、基本關(guān)系等內(nèi)容初次集中教學(xué)的節(jié)點(diǎn)。起點(diǎn)型核心知識(shí)既可以按照其具有的特點(diǎn)進(jìn)行判斷，也可以采用抽象度分析法進(jìn)行遴選。

其二，什么是長(zhǎng)程教學(xué)？眾所周知，教學(xué)是教師把知識(shí)、技能、方法等傳授給學(xué)生的過(guò)程，這一過(guò)程是緩慢的、不斷進(jìn)階的，反映在學(xué)生身上，就是持續(xù)建構(gòu)的過(guò)程。教學(xué)時(shí)，我們不能孤立地看問(wèn)題，將眼光局限于某一課時(shí)范圍內(nèi)的特定知識(shí)，人為割裂所教知識(shí)與現(xiàn)實(shí)生活、其他知識(shí)或問(wèn)題解決之間的聯(lián)系，而應(yīng)立足知識(shí)整體，聯(lián)系現(xiàn)實(shí)生活，設(shè)計(jì)并實(shí)施長(zhǎng)程教學(xué)。本文所指的長(zhǎng)程教學(xué)，是根據(jù)知識(shí)之間的邏輯聯(lián)系以及不同階段學(xué)生的年齡特點(diǎn)、認(rèn)知規(guī)律和思維水平，著眼一個(gè)長(zhǎng)線的教學(xué)過(guò)程，可以是一個(gè)單元或幾個(gè)單元，可以是一個(gè)領(lǐng)域或幾個(gè)領(lǐng)域，也可以是一個(gè)學(xué)段或幾個(gè)學(xué)段，對(duì)特定教學(xué)內(nèi)容進(jìn)行進(jìn)階性的系統(tǒng)設(shè)計(jì)，再根據(jù)階段教學(xué)要求來(lái)分步實(shí)施。

其三，什么是起點(diǎn)型核心知識(shí)的長(zhǎng)程教學(xué)？從一定意義上說(shuō)，就是要求教師能夠依據(jù)數(shù)學(xué)課程標(biāo)準(zhǔn)，在整體把握數(shù)學(xué)課程內(nèi)容和學(xué)情的基礎(chǔ)上，梳理所要教學(xué)的起點(diǎn)型核心知識(shí)的來(lái)龍去脈，在縱向上弄清這一知識(shí)在不同單元、不同年級(jí)、不同學(xué)段的呈現(xiàn)形態(tài)，理順過(guò)去、現(xiàn)在與將來(lái)的關(guān)系；在橫向上弄清這一知識(shí)與其他知識(shí)的內(nèi)在關(guān)聯(lián)，打通不同知識(shí)之間的“隔離墻”，引導(dǎo)學(xué)生整體感知、整體建構(gòu)、遷移應(yīng)用，逐步從單點(diǎn)走向結(jié)構(gòu)，提高知識(shí)的活力。

二、起點(diǎn)型核心知識(shí)長(zhǎng)程教學(xué)的價(jià)值追問(wèn)

每一門(mén)學(xué)科都具有獨(dú)特的育人價(jià)值，整合所有學(xué)科的育人功能，就能有效落實(shí)立德樹(shù)人的根本任務(wù)。就小學(xué)數(shù)學(xué)學(xué)科而言，實(shí)現(xiàn)學(xué)科育人目標(biāo)應(yīng)該堅(jiān)持以數(shù)學(xué)核心素養(yǎng)為導(dǎo)向，培育數(shù)學(xué)核心素養(yǎng)應(yīng)該以數(shù)學(xué)核心知識(shí)為載體，教學(xué)數(shù)學(xué)核心知識(shí)應(yīng)該先從起點(diǎn)型核心知識(shí)著手。簡(jiǎn)言之，我們應(yīng)該以培育數(shù)學(xué)核心素養(yǎng)為目標(biāo)，從起點(diǎn)型核心知識(shí)開(kāi)始實(shí)施長(zhǎng)程教學(xué)。

一方面，起點(diǎn)型核心知識(shí)的內(nèi)涵豐富，在它的表層數(shù)學(xué)符號(hào)概念背后，大多蘊(yùn)含著漫長(zhǎng)的誕生歷史、復(fù)雜的產(chǎn)生背景、多樣的數(shù)學(xué)模型、基本的認(rèn)知圖式、常規(guī)的思維方式、一般的學(xué)習(xí)路徑和重要的思想方法。這些在教材中沒(méi)有用圖片或文字明確呈現(xiàn)出來(lái)的隱性成分，往往比顯性的概念符號(hào)具有更為重要的育人價(jià)值，有利于學(xué)生產(chǎn)生濃厚的數(shù)學(xué)學(xué)習(xí)興趣，感受廣泛的應(yīng)用價(jià)值，培養(yǎng)積極的數(shù)學(xué)情感，確立正確的數(shù)學(xué)觀念，發(fā)展理性的數(shù)學(xué)思維。

另一方面，起點(diǎn)型核心知識(shí)自身具有的根基意義、生發(fā)價(jià)值和遷移功能，以及與其他相關(guān)知識(shí)在內(nèi)容形式上的相似性、數(shù)學(xué)本質(zhì)上的同一性、內(nèi)在邏輯上的連貫性、認(rèn)知圖式上的遷移性、學(xué)習(xí)路徑上的進(jìn)階性、思想方法上的一致性、核心素養(yǎng)上的連續(xù)性，決定了它們?cè)趯W(xué)生進(jìn)行知識(shí)學(xué)習(xí)和知識(shí)體系建構(gòu)過(guò)程中發(fā)揮著極其重要的作用。

從上述意義上說(shuō)，我們應(yīng)該將起點(diǎn)型核心知識(shí)置于整體知識(shí)體系之中，按照知識(shí)發(fā)生、發(fā)展的脈絡(luò)進(jìn)行整體審視、解讀和分析，在此基礎(chǔ)上，匹配學(xué)生現(xiàn)有的認(rèn)知水平，遵循數(shù)學(xué)學(xué)科的學(xué)習(xí)規(guī)律，科學(xué)擬訂細(xì)化的學(xué)習(xí)目標(biāo)，確定進(jìn)階的學(xué)習(xí)路徑，設(shè)計(jì)長(zhǎng)線的學(xué)習(xí)活動(dòng)，切實(shí)解決當(dāng)下數(shù)學(xué)教學(xué)存在的各說(shuō)各理、前后割裂等問(wèn)題。具體教學(xué)時(shí)，我們應(yīng)該重視引導(dǎo)學(xué)生積極參與、深度卷入長(zhǎng)線的學(xué)習(xí)活動(dòng)，經(jīng)歷創(chuàng)生學(xué)習(xí)、探究學(xué)習(xí)和遷移學(xué)習(xí)的過(guò)程，不斷積累發(fā)現(xiàn)、建構(gòu)、理解和應(yīng)用起點(diǎn)型核心知識(shí)的經(jīng)驗(yàn)，學(xué)會(huì)長(zhǎng)時(shí)間思考和結(jié)構(gòu)化思考，學(xué)會(huì)獨(dú)立解決問(wèn)題和提出新問(wèn)題，逐步發(fā)展和完善數(shù)學(xué)核心素養(yǎng)，落實(shí)數(shù)學(xué)學(xué)科育人目標(biāo)。

三、起點(diǎn)型核心知識(shí)長(zhǎng)程教學(xué)的一般路徑

對(duì)起點(diǎn)型核心知識(shí)實(shí)施長(zhǎng)程教學(xué)，還需明晰起點(diǎn)型核心知識(shí)在整個(gè)知識(shí)體系至少是單元知識(shí)體系中處于什么位置，它從哪里來(lái)，又將往哪里去，它與相關(guān)聯(lián)的知識(shí)在數(shù)學(xué)本質(zhì)、認(rèn)知圖式、思維方式、思想方法、核心素養(yǎng)等方面存在怎樣的一致性，學(xué)生在學(xué)習(xí)時(shí)一般沿著怎樣的學(xué)習(xí)路徑，教師應(yīng)該選擇怎樣的教學(xué)策略來(lái)支持學(xué)生建構(gòu)新知、遷移學(xué)習(xí)和有聯(lián)系地思考。限于文章篇幅，這里僅從以下三個(gè)方面談?wù)勂瘘c(diǎn)型核心知識(shí)長(zhǎng)程教學(xué)的常規(guī)路徑。

1.著眼育人，體現(xiàn)核心素養(yǎng)的連續(xù)性

數(shù)學(xué)核心素養(yǎng)體現(xiàn)數(shù)學(xué)的本質(zhì)，是數(shù)學(xué)學(xué)科育人目標(biāo)的具體化。數(shù)學(xué)核心素養(yǎng)是學(xué)生在學(xué)習(xí)數(shù)學(xué)和應(yīng)用數(shù)學(xué)的過(guò)程中逐漸形成的，是一種相對(duì)穩(wěn)定的心智結(jié)構(gòu)和思維方式，主要包括會(huì)用數(shù)學(xué)的眼光觀察現(xiàn)實(shí)世界、會(huì)用數(shù)學(xué)的思維思考現(xiàn)實(shí)世界、會(huì)用數(shù)學(xué)的語(yǔ)言表達(dá)現(xiàn)實(shí)世界等三個(gè)方面。起點(diǎn)型核心知識(shí)的長(zhǎng)程教學(xué)，應(yīng)將與所教具體知識(shí)相關(guān)的數(shù)學(xué)核心素養(yǎng)貫穿始終，并且不斷進(jìn)階。

比如，“5以內(nèi)數(shù)的認(rèn)識(shí)”是一個(gè)起點(diǎn)型核心知識(shí)。現(xiàn)在幾乎所有幼兒園的小朋友都能流利地唱數(shù)10以內(nèi)的數(shù)，那么，進(jìn)入一年級(jí)以后，學(xué)生再次學(xué)習(xí)“5以內(nèi)數(shù)的認(rèn)識(shí)”的價(jià)值究竟在哪里呢？這就需要我們跳出知識(shí)本位，堅(jiān)持素養(yǎng)導(dǎo)向，為培育一年級(jí)學(xué)生的數(shù)學(xué)核心素養(yǎng)開(kāi)個(gè)好頭，定個(gè)方向。以“1”的認(rèn)識(shí)為例進(jìn)行說(shuō)明，首先，呈現(xiàn)1個(gè)蘋(píng)果、1個(gè)梨、1個(gè)桃，讓學(xué)生依次說(shuō)一說(shuō)這是什么，再引導(dǎo)學(xué)生比較它們的個(gè)數(shù)，并鼓勵(lì)學(xué)生用“○”“□”“△”等圖形來(lái)表示；接著，引導(dǎo)學(xué)生比較幾種圖形的數(shù)量，引出自然數(shù)“1”。這里從實(shí)物或?qū)嵨飯D到圖形再到數(shù)“1”，目的在于引導(dǎo)學(xué)生學(xué)習(xí)兩級(jí)數(shù)學(xué)抽象，學(xué)習(xí)用數(shù)學(xué)的眼光觀察現(xiàn)實(shí)世界：第一級(jí)抽象是去除所有實(shí)物的物理背景，只保留實(shí)物的數(shù)量屬性，即都是“1個(gè)”，實(shí)現(xiàn)從感性具體到感性一般；第二級(jí)抽象是去除具體的量，只保留抽象的數(shù)的形式，揭示第一個(gè)數(shù)概念“1”，實(shí)現(xiàn)從感性一般到理性具體。

這樣大費(fèi)周折地教學(xué)，旨在引導(dǎo)學(xué)生參與數(shù)學(xué)抽象的過(guò)程，學(xué)習(xí)、感悟和了解數(shù)學(xué)抽象的一般方法，以便于在后續(xù)學(xué)習(xí)中發(fā)揮積極的作用。從5以內(nèi)數(shù)的認(rèn)識(shí)開(kāi)始，到10以內(nèi)數(shù)的認(rèn)識(shí)、20以內(nèi)數(shù)的認(rèn)識(shí)、100以內(nèi)數(shù)的認(rèn)識(shí)、萬(wàn)以內(nèi)數(shù)的認(rèn)識(shí)……再到分?jǐn)?shù)的認(rèn)識(shí)、小數(shù)的認(rèn)識(shí)，然后到用字母表示數(shù)，在這樣一個(gè)長(zhǎng)線的過(guò)程中，學(xué)生就會(huì)慢慢形成并逐漸增強(qiáng)符號(hào)意識(shí)。沿著這樣的路徑，到初中再學(xué)習(xí)式的認(rèn)識(shí)等知識(shí)時(shí)，學(xué)生就會(huì)逐步形成并發(fā)展抽象意識(shí)。到了高中階段，結(jié)合相關(guān)知識(shí)的學(xué)習(xí)，學(xué)生就會(huì)逐步形成數(shù)學(xué)抽象能力。從符號(hào)意識(shí)到抽象意識(shí)再到抽象能力，反映了長(zhǎng)程教學(xué)中學(xué)生數(shù)學(xué)抽象素養(yǎng)不斷進(jìn)階的層級(jí)。當(dāng)然，不同類型的知識(shí)對(duì)應(yīng)的數(shù)學(xué)核心素養(yǎng)有所側(cè)重，教學(xué)時(shí)需要科學(xué)地分析，有針對(duì)性地培育。

2.整體把握，凸顯知識(shí)本質(zhì)的同一性

數(shù)學(xué)是一門(mén)研究數(shù)量、結(jié)構(gòu)、變化、空間以及信息等概念的學(xué)科，數(shù)學(xué)知識(shí)的本質(zhì)是對(duì)現(xiàn)實(shí)世界的數(shù)量關(guān)系、空間形式、變化規(guī)律、結(jié)構(gòu)模式等的抽象描述，可以用于解釋現(xiàn)實(shí)世界的現(xiàn)象，解決現(xiàn)實(shí)世界的問(wèn)題。起點(diǎn)型核心知識(shí)的長(zhǎng)程教學(xué)應(yīng)該深度挖掘、完整理解其本質(zhì)，利用和保持其與相關(guān)知識(shí)在知識(shí)本質(zhì)上的一致性，用同一個(gè)“理”貫穿一個(gè)知識(shí)單元、一個(gè)知識(shí)序列、一個(gè)知識(shí)領(lǐng)域，甚至更大的范圍。

比如，“可能性”是一個(gè)起點(diǎn)型核心知識(shí)。教材中的摸球游戲，帶給學(xué)生的更多是覺(jué)得好玩，并印證他們對(duì)簡(jiǎn)單事件發(fā)生的可能性的直覺(jué)判斷。但是，如果從知識(shí)體系和集合理論的角度來(lái)看，“可能性”背后隱藏著一個(gè)數(shù)學(xué)大概念——“概率”，其本質(zhì)是對(duì)簡(jiǎn)單隨機(jī)事件發(fā)生可能性大小的度量。就小學(xué)階段學(xué)習(xí)“可能性”首先遇到的古典概型而言，簡(jiǎn)單隨機(jī)事件的可能結(jié)果是有限的，且每個(gè)結(jié)果發(fā)生的可能性是相等的。弄清楚這些，與“可能性”相關(guān)的內(nèi)容教學(xué)就會(huì)更加連貫。我們可以這樣教學(xué)“可能性”：首先給2個(gè)紅球編號(hào)，引導(dǎo)學(xué)生說(shuō)出并記錄所有可能摸出的結(jié)果，即1號(hào)紅球、2號(hào)紅球；接著將2個(gè)紅球放入袋中，讓學(xué)生隨機(jī)摸球，摸后放回打亂，記錄多次摸球結(jié)果；再引導(dǎo)學(xué)生觀察、比較，得出“摸出的要么是1號(hào)紅球，要么是2號(hào)紅球”的結(jié)論，從而認(rèn)識(shí)“摸出的一定是紅球”“摸出的不可能是黃球”這兩種確定性事件；然后，將2個(gè)紅球替換為1個(gè)紅球和1個(gè)黃球，重復(fù)上述操作，引導(dǎo)學(xué)生認(rèn)識(shí)“摸出的可能是紅球”這一不確定性事件。

這樣教學(xué)，旨在引導(dǎo)學(xué)生感悟和理解運(yùn)用確定性的數(shù)學(xué)語(yǔ)言來(lái)表達(dá)不確定性的隨機(jī)現(xiàn)象，學(xué)會(huì)有根有據(jù)地討論隨機(jī)事件，為后續(xù)包括中學(xué)階段學(xué)習(xí)概率知識(shí)預(yù)留寬敞的通道。就拿列出所有可能的結(jié)果這一點(diǎn)來(lái)說(shuō)，將來(lái)就可以據(jù)此進(jìn)行比較，討論簡(jiǎn)單隨機(jī)事件發(fā)生的可能性（概率）的大??；對(duì)接集合理論下樣本點(diǎn)和樣本空間等概念；運(yùn)用隨機(jī)事件發(fā)生的頻率來(lái)估計(jì)概率和推斷樣本點(diǎn)；計(jì)算簡(jiǎn)單隨機(jī)事件發(fā)生的概率（包括最簡(jiǎn)單的用分?jǐn)?shù)或百分?jǐn)?shù)來(lái)表示）；理解必然事件發(fā)生的概率為1，也就是100%，不可能事件發(fā)生的概率為0，隨機(jī)事件發(fā)生的概率在0～1或0～100%之間。事實(shí)上，所有的起點(diǎn)型核心知識(shí)教學(xué)都應(yīng)該立足長(zhǎng)程視野，借助知識(shí)本質(zhì)的同一性打通知識(shí)教學(xué)的“堵點(diǎn)”，讓教師教得順暢，學(xué)生學(xué)得通透，體會(huì)到許多知識(shí)講的是一回事，用的是一個(gè)理。

3.發(fā)展思維，利用認(rèn)知圖式的遷移性

皮亞杰認(rèn)為：發(fā)展是個(gè)體在與環(huán)境不斷地相互作用中的一種建構(gòu)過(guò)程，圖式是被構(gòu)造出來(lái)的，是人們?yōu)榱藨?yīng)付某一特定情境而產(chǎn)生的認(rèn)知結(jié)構(gòu)，是人們表征、組織和解釋經(jīng)驗(yàn)的一些思維和動(dòng)作模式或心理結(jié)構(gòu)。認(rèn)知圖式具有很強(qiáng)的吸附、解釋和遷移功能。起點(diǎn)型核心知識(shí)的長(zhǎng)程教學(xué)，應(yīng)該借助學(xué)生在起點(diǎn)型核心知識(shí)學(xué)習(xí)時(shí)形成的基本認(rèn)知圖式，通過(guò)同化和順應(yīng)，經(jīng)由自身調(diào)整或自身調(diào)節(jié)，持續(xù)建構(gòu)和理解新知識(shí)，擴(kuò)充和完善認(rèn)知結(jié)構(gòu)，識(shí)別和解決相似或相近的實(shí)際問(wèn)題。

比如，“認(rèn)識(shí)厘米”是一個(gè)起點(diǎn)型核心知識(shí)。學(xué)生在學(xué)習(xí)“認(rèn)識(shí)厘米”時(shí)，一般會(huì)經(jīng)歷這樣的過(guò)程：一是觀察兩條長(zhǎng)短明顯不一的線段，知道線段是有長(zhǎng)有短的；二是采用重疊等方法直接比較兩條線段的長(zhǎng)短，并提出“兩條線段的長(zhǎng)度究竟相差多少”的問(wèn)題；三是分別用非標(biāo)準(zhǔn)單位去測(cè)量線段的長(zhǎng)度，發(fā)現(xiàn)測(cè)量得出的結(jié)果不同，產(chǎn)生統(tǒng)一測(cè)量單位的需求，感受統(tǒng)一測(cè)量單位的必要性；四是由數(shù)學(xué)史引出統(tǒng)一的長(zhǎng)度單位，揭示學(xué)生正式認(rèn)識(shí)的第一個(gè)通用標(biāo)準(zhǔn)長(zhǎng)度單位“厘米”，通過(guò)反復(fù)操作和比較，建立“1厘米”的表象；五是用“1厘米”連續(xù)測(cè)量線段的長(zhǎng)度，初步感悟和認(rèn)識(shí)測(cè)量的本質(zhì)是單位的重復(fù)和累加；六是將多個(gè)標(biāo)準(zhǔn)單位“1厘米”依次連接，創(chuàng)造出測(cè)量工具直尺，知道直尺與單位的關(guān)系，并用直尺正確測(cè)量線段的長(zhǎng)度；七是從不同刻度出發(fā)，用直尺靈活測(cè)量指定線段的長(zhǎng)度。在這一過(guò)程中，學(xué)生不僅認(rèn)識(shí)了第一個(gè)長(zhǎng)度單位“厘米”，建立了1厘米和幾厘米的表象，理解了長(zhǎng)度測(cè)量的本質(zhì)，更重要的是，伴隨著這一過(guò)程，學(xué)生同步建構(gòu)了關(guān)于測(cè)量的一般認(rèn)知圖式。

這樣教學(xué)，旨在引導(dǎo)學(xué)生著重學(xué)習(xí)“認(rèn)識(shí)厘米”的方法、程序和結(jié)構(gòu)，并能夠?qū)@得的學(xué)習(xí)經(jīng)驗(yàn)遷移到其他測(cè)量知識(shí)的學(xué)習(xí)中去，逐漸形成相對(duì)穩(wěn)定、前后關(guān)聯(lián)、具有生長(zhǎng)活力的認(rèn)知圖式。整體審視“測(cè)量”板塊，無(wú)論是長(zhǎng)度還是面積、體積，或者是角的測(cè)量，本質(zhì)上都是對(duì)與其相對(duì)應(yīng)的某種測(cè)量單位的重復(fù)與累加，不同的只是研究對(duì)象從一維空間變成二維空間再變成三維空間。清晰地建構(gòu)“認(rèn)識(shí)厘米”獲得的認(rèn)知圖式之后，借助認(rèn)知遷移，可以更加有效、快速地學(xué)習(xí)其他有關(guān)測(cè)量的知識(shí)。

綜上所述，教師要以起點(diǎn)型核心知識(shí)的發(fā)生、發(fā)展為生長(zhǎng)線索，匹配學(xué)生的認(rèn)知能力和思維水平，科學(xué)設(shè)計(jì)學(xué)習(xí)路徑，實(shí)施長(zhǎng)程教學(xué)，從而引導(dǎo)和支持學(xué)生深度卷入學(xué)習(xí)，學(xué)會(huì)數(shù)學(xué)思考，提高數(shù)學(xué)關(guān)鍵能力，形成數(shù)學(xué)核心素養(yǎng)，最終實(shí)現(xiàn)人的心智、情感、信念等的完整發(fā)展。