微粒子噴丸齒輪法向接觸剛度模型

莫海軍 趙航 成雨 黃杰 陳思宏 柯韋圣 萬珍平?

（1.華南理工大學機械與汽車工程學院，廣東廣州 510640；2.珠海市鈞興機電有限公司，廣東珠海 519170）

隨著新能源汽車齒輪箱向著高轉(zhuǎn)速、高效率、長壽命、低噪音方向發(fā)展，齒輪制造技術(shù)也由高精度制造向高性能制造方向轉(zhuǎn)變［1-2］。噴丸強化技術(shù)由于工藝簡單、提高零件疲勞壽命效果顯著、成本低等特點，成為齒輪加工制造的關(guān)鍵技術(shù)之一［3］。傳統(tǒng)噴丸因采用較大的彈丸直徑，導(dǎo)致噴丸強化后的齒輪表面粗糙度以及齒面變形增大，無法滿足高精度、高性能齒輪的制造要求。微粒子噴丸因彈丸粒徑在0.02～0.10 mm之間，噴丸速度大于150 m/s，具有變形小以及降低零件表面粗糙度等優(yōu)點［4］，因此微粒子噴丸強化技術(shù)已成為高性能齒輪制造的重要方法之一［5］。

近年來，國內(nèi)外研究人員對微粒子噴丸強化機理及應(yīng)用進行了大量研究，但主要集中研究分析齒輪噴丸強化效果以及噴丸工藝參數(shù)對齒輪疲勞壽命的影響，并且大多以實驗為主。一般情況下，微粒子噴丸強化可以使齒輪的疲勞壽命提高30%以上［6-8］。然而，對微粒子噴丸前后齒面微觀形貌表征以及齒輪動態(tài)接觸特性影響的研究較少。高速齒輪系統(tǒng)動力學研究中，法向接觸剛度作為齒輪動態(tài)接觸特性的重要部分，精確建立微粒子噴丸齒面法向接觸剛度模型，對提高齒輪動力學性能以及進一步分析微粒子噴丸對高性能齒輪的影響具有重要意義。

Majumdar等［9］基于分形理論首次建立了結(jié)合面接觸特性模型（M-B模型），并仿真分析了微觀形貌參數(shù)對模型的影響規(guī)律。許多學者基于M-B 模型，進一步研究齒輪的接觸特性。王曉鵬等［10］運用分形理論建立微點蝕齒輪法向接觸剛度模型，研究發(fā)生不同程度微點蝕的齒輪法向接觸剛度特性。劉鵬等［11］通過引入摩擦因素推導(dǎo)出適用于微線段齒輪的法向接觸剛度模型。Wu 等［12］建立了考慮摩擦因素及彈塑性變形的漸開線圓弧齒輪法向接觸剛度模型。李小彭等［13］運用分形理論描述齒輪輪廓并分析不同分形維數(shù)D下的齒輪嚙合剛度對齒輪系統(tǒng)動力學特性的影響。

綜上所述，許多學者針對不同工況或者不同齒形齒輪的接觸特性進行相關(guān)研究，但大多都基于基礎(chǔ)的分形理論對齒面進行形貌表征，構(gòu)建齒輪接觸特性模型，而未針對齒面形貌考慮微凸體相互作用、彈塑性變形等影響因素。微粒子噴丸后齒面會發(fā)生一定程度的彈塑性及塑性變形，且形成微米甚至納米級的凹坑，因此在微粒子噴丸齒輪實際嚙合過程中，微凸體間的接觸會產(chǎn)生相互作用以及彈塑性變形。

為更加精確地分析微粒子噴丸齒輪法向接觸剛度特性，文中對微粒子噴丸齒面微觀形貌進行分析，基于分形理論，結(jié)合齒輪真實嚙合過程，考慮微凸體相互作用及微凸體彈塑性變形對接觸特性的影響，構(gòu)建微粒子噴丸齒輪表面法向接觸剛度模型，定量研究噴丸前后及不同噴丸參數(shù)對齒輪法向接觸剛度的影響，進一步改進和完善齒輪動力學齒輪嚙合剛度計算數(shù)學/力學模型。

1 微粒子噴丸齒面形貌分析

文中采用材料為20CrMo 的漸開線齒輪作為微粒子噴丸對象，噴丸參數(shù)如表1所示。使用Mitutoyo粗糙度儀測其表面粗糙度，圖1為四組齒輪表面粗糙度值，由圖可知，微粒子噴丸齒輪表面粗糙度值低于未噴丸齒輪，其次，隨著噴丸壓強的增大，齒輪表面粗糙度值也隨之增大。

圖1 不同噴丸參數(shù)齒輪表面粗糙度Fig.1 Surface roughness of gears with different shot peening parameters

表1 噴丸參數(shù)Table 1 Shot peening parameters

采用Quanta 200 環(huán)境掃描電子顯微鏡觀察分析微粒子噴丸前后齒面的表面形貌，如圖2（a）、2（b）所示。未噴丸表面存在許多平行的磨痕，為明顯的磨削加工痕跡。微粒子噴丸表面形貌整體呈現(xiàn)為疊浪型，且表面呈現(xiàn)微米甚至納米級彈坑，表面形貌更加均勻，微凸體尺度更小，因此微粒子噴丸后表面粗糙度值小于未噴丸齒輪表面，可將微粒子噴丸齒面視為隨機分布著無數(shù)個微凸體。

圖2 微粒子噴丸前后齒面形貌圖Fig.2 Surface topography before and after fine particle shot peening

通過對微粒子噴丸齒面微凸體的分布及接觸特性分析，推導(dǎo)微粒子噴丸齒面的分形接觸參數(shù)，從而建立微粒子噴丸齒面接觸剛度模型。為能夠更加準確表征實際齒面形貌特征及提取相關(guān)特征參數(shù)，文中對微粒子噴丸齒輪齒面形貌的高度數(shù)據(jù)進行提取，圖3（a）、3（b）為采用Olympus OLS 5000-SAF激光共聚焦顯微鏡對齒面形貌高度信息的采集結(jié)果。根據(jù)齒面高度信息，后文將采用功率譜密度函數(shù)法計算得出齒輪微觀分形參數(shù)。

圖3 微粒子噴丸齒輪高度信息Fig.3 Height information of fine particle shot peening gears

2 考慮微凸體相互作用的分形接觸模型

2.1 單個微凸體分形接觸模型

為了表征具有無序、隨機分布微凸體的微粒子噴丸齒面，進而分析齒輪法向接觸剛度，文中運用Weierstrass-Mandelbrot 分形函數(shù)［14］（W-M 函數(shù)）表征具有無序、隨機等行為的微粒子噴丸齒面，表達式如下：

式中：z為輪廓高度；G為分形粗糙度幅值；D（1

將兩粗糙接觸表面等效簡化為一粗糙表面和一剛性光滑平面接觸，單個微凸體與剛性光滑平面接觸如圖4所示。其中δ為微凸體的變形量，r為微凸體真實接觸面積的半徑，r'為微凸體的截斷接觸面積的半徑，R為微凸體的峰頂曲率半徑。

圖4 微凸體接觸示意圖Fig.4 Contact diagram of asperity

根據(jù)式（1），加載后單個微凸體的變形量δ等于余弦函數(shù)的峰谷幅度差，即當cos?n=1 和時，單個微凸體的變形量δ如下：

式中，a'為微凸體的截斷接觸面積，a'=πr'2。

由圖4的幾何關(guān)系可知，微凸體的峰頂曲率半徑R為

2.2 單個微凸體接觸狀態(tài)分析

為了確定微凸體的分形接觸參數(shù)，必須對單個微凸體的接觸狀態(tài)進行研究，即微凸體的三種變形狀態(tài)：彈性變形、彈塑性變形和完全塑性變形［15-16］。

2.2.1 彈性變形階段

Wang等［17］基于彈性理論和Hertz接觸理論建立了考慮微凸體相互作用的結(jié)合面力學模型，推導(dǎo)出彈性變形狀態(tài)下微凸體的接觸載荷表達式：

式中，ae為微凸體的實際接觸面積，ae=πr2；E為兩接觸面材料的綜合彈性模量［17］，其表達式為

式中：E1、E2、γ1、γ2分別是兩粗糙表面的彈性模量和泊松比。

根據(jù)圓形彈性微接觸［18］，微凸體在彈性變形狀態(tài)下的實際接觸面積ae可表示為

將式（3）和式（6）代入式（4）可得到彈性變形狀態(tài)下微凸體的接觸載荷fe與截斷接觸面積a'的函數(shù)關(guān)系式：

則單一微凸體接觸剛度的表達式為

當微凸體剛發(fā)生屈服時，微凸體臨界接觸載荷fec表達式［17］為

式中，σy為較軟材料的屈服強度；aec為臨界接觸面積。

由式（7）和（9）可得剛發(fā)生屈服時的臨界截斷接觸面積和臨界接觸彈性變形量δec。

2.2.2 彈塑性變形階段

2002 年Kogut 等［19］建立了可變形球被剛性平面壓扁后的有限元接觸模型，分析了變形量增大時彈塑性接觸界面的演化過程，該模型提供了接觸載荷、接觸面積的無量綱表達式：

式中，fep、aep分別為微凸體彈塑性狀態(tài)下的接觸載荷、實際接觸面積。

由式（4）、（10）、（13）、（14）得：

當δ=6δec時，第一彈塑性臨界截斷接觸面積可聯(lián)立式（12）得：

2.2.3 完全塑性變形階段

當δ≥110δec時，微凸體發(fā)生完全塑性變形，臨界完全塑性變形量［16］表達式為：

將式（18）帶入（12），得到微凸體臨界完全塑性變形截斷接觸面積：

完全塑性變形階段，其接觸載荷和接觸面積［16］表達式為

2.3 法向接觸剛度模型

由文獻［20］可知，平面接觸面積分布函數(shù)n1(a')表達式如下：

式中：ψ為區(qū)域擴展系數(shù)；a'l為最大微凸體的截斷接觸面積；ψ與分形維數(shù)之間的關(guān)系［21］為：

由于齒輪齒面接觸微凸體接觸個數(shù)與平面微凸體接觸不同，陳奇［22］將兩曲面接觸等效為兩圓柱體接觸，給出圓柱面接觸系數(shù)λC表達式：

式中：B為圓柱體寬度；R1、R2為對應(yīng)的圓柱體曲率半徑。則齒面接觸微凸體的面積分布函數(shù)n(a')為

兩接觸表面真實接觸面積是所有接觸微凸體接觸面積總和［23］，表達式為

式中：Are、Arep1、Arep2、Arp分別為彈性接觸面積、第一彈塑性接觸面積、第二彈塑性接觸面積和塑性接觸面積。

兩接觸表面總的接觸載荷是所有接觸微凸體接觸載荷的總和［23］，表達式為

式中：Fne、Fnep1、Fnep2、Fnp分別為彈性接觸載荷、第一彈塑性接觸載荷、第二彈塑性接觸載荷和塑性接觸載荷。

王潤瓊等［24］研究表明微凸體在彈性變形階段表現(xiàn)出剛度特性，而在塑性變形階段微凸體并不會表現(xiàn)出剛度特性。所以兩接觸表面總的法向接觸剛度是表面所有接觸微凸體發(fā)生彈性變形表現(xiàn)的接觸剛度之和，表達式為

將式（28）、式（29）進行無量綱化，得到量綱一的法向載荷、法向接觸剛度計算模型：

式中，Aa為名義接觸面積。

2.4 分形接觸模型仿真分析

圖5（G=10-11，λC=0.7）為法向接觸剛度隨法向載荷以及分形維數(shù)D的變化規(guī)律，可以看出，量綱一的法向接觸剛度Kn*隨著量綱一法向總載荷Fn*的增大而增大，即法向載荷增大時，圓柱接觸面法向接觸剛度也隨著增加。此外，量綱一的法向接觸剛度隨著分形維數(shù)D的增大而增大。

圖5 分形維數(shù)對法向接觸剛度的影響Fig.5 Influence of fractal dimension on normal contact stiff?ness

圖6（D=1.6，λC=0.7）為法向接觸剛度隨法向載荷以及分形粗糙幅值G的變化規(guī)律?？梢钥闯?，法向接觸剛度隨分形粗糙幅值的增大而減小。

圖6 分形粗糙幅值對法向接觸剛度的影響Fig.6 Influence of fractal roughness amplitude on normal contact stiffness

圖7（D=1.6，G=10-11，λC=0.7）為法向接觸剛度隨法向載荷以及材料特性參數(shù)的變化規(guī)律，可以看出，量綱一的法向接觸剛度Kn*隨材料特性參數(shù)的增大而增大，即提高材料屈服強度可以提高法向接觸剛度，進而提高接觸表面承載能力以及抵抗變形的能力。

圖7 材料特性參數(shù)對法向接觸剛度的影響Fig.7 Influence of material characteristic parameter on normal contact stiffness

通過對分形接觸模型仿真分析可知，分形參數(shù)D和G對法向接觸剛度的影響具有一致性，即增大分形維數(shù)和提高表面光潔度能增大表面法向接觸剛度；從而提高接觸表面抵抗變形的能力。

3 微粒子噴丸齒面法向接觸剛度

3.1 分形參數(shù)的提取

分形參數(shù)是由W-M 函數(shù)的功率譜函數(shù)與波長的對數(shù)曲線確定的，根據(jù)文獻［25］得到微觀形態(tài)的功率譜密度函數(shù)如下：

功率譜密度函數(shù)兩邊同時取對數(shù)，得：

令k=2D-5，c=2(D-1)lgG-lg(2lnγ)，則式（32）可以表示為

如方程式（34）所示，在雙對數(shù)坐標系下微觀形態(tài)的功率譜密度函數(shù)是一條直線，通過斜率和縱坐標截距求得分形參數(shù)D和G：

前文對粗糙表面的輪廓高度信息進行測量，得到離散的輪廓高度數(shù)據(jù)z（x），如圖3（b）所示。將測量的離散數(shù)據(jù)進行快速傅里葉變換（FFT）并取雙對數(shù)，得到測量輪廓的對數(shù)功率譜密度函數(shù)lgS（ω），再對其進行最小二乘法的一次多項式擬合，得到如圖8所示的功率譜圖。

圖8 功率譜圖Fig.8 Graph of power spectrum

3.2 微粒子噴丸齒輪法向接觸剛度分析

本文采用材料為20CrMo 的漸開線齒輪作為微粒子噴丸對象，漸開線齒輪副相關(guān)計算參數(shù)如表2所示。

表2 漸開線齒輪副相關(guān)計算參數(shù)Table2 Relevant calculation parameters of involute gear pair

由Bobillier 法則作圖法［26］和齒輪齒廓相關(guān)計算參數(shù)，得出齒面上嚙合點的曲率半徑與嚙合角的關(guān)系［27］：

式中：m為模數(shù)；α為壓力角；z1、z2為主從動輪齒數(shù)；α1m、α2m為主從動輪嚙合點嚙合角；ρ1m、ρ2m為主從動輪嚙合點曲率半徑。

由兩圓柱體Hertz 接觸理論推導(dǎo)出接觸半寬與嚙合角的關(guān)系［27］：

式中，F(xiàn)為載荷，P為輸入功率，n為轉(zhuǎn)速，R1m為主動輪嚙合點半徑，B為齒寬，b為接觸半寬。

由前文分形參數(shù)提取方法對不同微粒子噴丸參數(shù)齒輪進行計算，得到不同噴丸參數(shù)齒輪表面的分形參數(shù)D和G如表3所示。

表3 不同噴丸參數(shù)齒輪的分形參數(shù)Table 3 Fractal parameters of gears with different shot peening parameters

由表3可知，隨著噴丸壓強的增大，分形維數(shù)減小，粗糙幅值增大，其變化趨勢與齒面粗糙度變化一致，即表面粗糙度增加，表面光潔度降低，分形越粗糙。因此分形參數(shù)提取結(jié)果可信。

將各計算參數(shù)代入法向接觸剛度模型進行仿真計算，并與Yang-Sun模型［28］和NASA報告中的半經(jīng)驗公式［29］對比，結(jié)果如圖9所示。由圖可知，微粒子噴丸齒輪法向接觸剛度大于未噴丸齒輪法向接觸剛度，即微粒子噴丸可以提高齒輪法向接觸剛度；其次，隨噴丸壓強的增大，齒輪法向接觸剛度呈現(xiàn)出減小的趨勢，因此合理的調(diào)控微粒子噴丸參數(shù)是提高齒輪接觸剛度，進而增強齒輪接觸疲勞強度的關(guān)鍵。

圖9 不同噴丸效果的齒輪法向接觸剛度Fig.9 Normal contact stiffness of gears with different fine par?ticle shot peening effects

通過與兩種剛度模型的對比可知，本文中提出的模型與兩種對比模型的法向接觸剛度數(shù)量級均在109，體現(xiàn)出本文模型的正確性。由于Yang-Sun模型和NASA 報告中的半經(jīng)驗公式兩種剛度模型都未考慮接觸表面微觀形貌特征，僅從齒輪宏觀幾何尺寸角度分析齒輪剛度特性，因此在具體數(shù)值上本文模型與兩種對比模型存在差異。由文中模型分析結(jié)果可知：微粒子噴丸在一定程度上影響齒輪法向接觸剛度，可見對于分析高性能齒輪的接觸特性，不僅需要考慮齒輪宏觀幾何尺寸，還應(yīng)對齒面微觀形貌特性進行分析，從而更加準確地分析齒輪接觸特性。

4 結(jié)論

（1）從微觀層面對比分析了微粒子噴丸前后齒輪表面形貌的變化。結(jié)果表明，微粒子噴丸使得齒面發(fā)生變形，形成隨機的微米級甚至納米級凹坑，且微粒子噴丸齒輪表面粗糙度低于未噴丸齒輪表面粗糙度。

（2）建立了考慮彈性-彈塑性-塑性變形以及微凸體相互作用的齒輪結(jié)合面法向接觸剛度模型，得到分形參數(shù)對法向接觸剛度的影響規(guī)律。法向接觸剛度隨分形維數(shù)的增大而增大，隨粗糙幅值的增大而減小。

（3）分析了微粒子噴丸前后及不同噴丸強度對齒輪法向接觸剛度的影響規(guī)律。相較于未噴丸齒輪，微粒子噴丸能提高齒輪法向接觸剛度，隨著噴丸強度的提升，齒輪法向接觸剛度降低。

綜上所述，微粒子噴丸工藝不僅在提升齒輪疲勞壽命及控制變形方面有獨特的優(yōu)勢，而且對齒輪接觸剛度的提升也具有一定的效果。本文也為后續(xù)齒輪系統(tǒng)動力學及微粒子噴丸工藝等的進一步研究做了鋪墊。