數(shù)學現(xiàn)實原則對培養(yǎng)小學生模型思想的教學啟示

劉蕊 王威 （哈爾濱師范大學教育科學學院）

模型思想是《義務(wù)教育數(shù)學課程標準（2011 年版）》（以下簡稱“新課標”）修訂時新增的核心詞，其中的闡釋是模型思想地建立及學生體會和理解數(shù)學與外部世界聯(lián)系的基本途徑。小學階段所研究的模型思想是根據(jù)現(xiàn)實生活中遇到的問題情境，進行抽象的過程，通過建立數(shù)學模型以及運用數(shù)學模型解決同類問題的意識與方法?，F(xiàn)階段培養(yǎng)小學生模型思想仍存在一些現(xiàn)實問題，如教師教學方法單一、難以連接學生的生活經(jīng)驗和數(shù)學現(xiàn)實引導(dǎo)學生主動構(gòu)建數(shù)學模型；學生模型意識淡薄、應(yīng)用數(shù)學模型能力不強等。基于數(shù)學現(xiàn)實原則，一方面有利于教師根據(jù)學生的數(shù)學現(xiàn)實在課堂中創(chuàng)設(shè)真實情境滲透模型思想，提高學生利用數(shù)學模型解決實際問題的能力；另一方面，有利于學生體會到數(shù)學與現(xiàn)實世界的緊密聯(lián)系，感受數(shù)學在生活中的魅力。

我國早在19 世紀末已經(jīng)有了對高等教育領(lǐng)域模型思想地研究。經(jīng)過多年對模型思想地實踐研究，模型思想逐漸深入小學教學的教學領(lǐng)域，研究目的主要為促進一線教師重視教學中的建模過程，培養(yǎng)學生的數(shù)學思維。目前，對于小學階段模型思想地研究和認知相對比較匱乏，教師教育理念陳舊，教師注重建模結(jié)果忽視建模過程。因此，教師在課堂上高效滲透模型思想還有很大的發(fā)展空間 。

一、基于數(shù)學現(xiàn)實原則探討小學數(shù)學教學中培養(yǎng)學生模型思想的價值

弗萊登塔爾是20 世紀數(shù)學教育領(lǐng)域最偉大的教育家之一， 他的數(shù)學教育思想為我國課程改革帶來了新的思路。弗氏數(shù)學教育理論中的數(shù)學現(xiàn)實原則主張數(shù)學源于生活，存在于生活并應(yīng)用于生活，每個學生在不同階段都有不一樣的數(shù)學現(xiàn)實。學生的數(shù)學現(xiàn)實即兒童在以往的生活與學習中所掌握的與數(shù)學知識結(jié)構(gòu)相關(guān)的認知經(jīng)驗、邏輯思考方式、解決問題的策略等。在數(shù)學教學中，不能將數(shù)學教學與現(xiàn)實生活相割裂，脫離了現(xiàn)實生活的數(shù)學教學是無趣的、抽象的、機械的。不能將數(shù)學教學與學生已有的數(shù)學現(xiàn)實相割裂，脫離了學生數(shù)學現(xiàn)實的數(shù)學教學不易被學生理解與接受。數(shù)學模型通過數(shù)學的語言符號和方法來描述現(xiàn)實世界，構(gòu)建了數(shù)學與現(xiàn)實的橋梁，借助數(shù)學模型有助于數(shù)學教學回歸現(xiàn)實生活。

同樣在新課標中明確提出鼓勵學生主動發(fā)現(xiàn)生活情境中的數(shù)學問題并抽象成為特定的數(shù)學模型、主動對數(shù)學模型進行檢驗與應(yīng)用。這一過程加深了學生對數(shù)學模型的理解，增強學生學習數(shù)學的積極情感體驗。新課標與數(shù)學現(xiàn)實原則相契合，充分體現(xiàn)了模型思想的重要性。數(shù)學模型與學生的生活經(jīng)驗、數(shù)學現(xiàn)實緊密相關(guān)，在數(shù)學教學中走出書本，走進學生的生活現(xiàn)實、數(shù)學現(xiàn)實有助于培養(yǎng)學生的模型思想，發(fā)展學生的數(shù)學思維，提高學生應(yīng)用數(shù)學模型解決實際問題的能力。

二、小學數(shù)學教學中培養(yǎng)學生模型思想存在的問題

（一）教師注重書本教學，忽視學生數(shù)學現(xiàn)實

教學中，小學生數(shù)學模型思想地滲透與培養(yǎng)主要源于課本教材，是經(jīng)過專家學者精心設(shè)計好的數(shù)學問題，學生建立模型思想的過程也是被動接受的過程。弗萊登塔爾在《數(shù)學教育再探》一書中提出，教師講授現(xiàn)成的數(shù)學知識是違反教法的，自然界或現(xiàn)實生活中的問題情境的數(shù)學思想、數(shù)學問題不應(yīng)該由教科書的作者或者教師來示范說明，而應(yīng)該留給學生去發(fā)現(xiàn)、探索與體驗。培養(yǎng)小學生的數(shù)學模型思想不能脫離于學生已有的數(shù)學現(xiàn)實，目前小學數(shù)學教學過程中以教材為主，忽視學生的數(shù)學現(xiàn)實，易使學生失去學習數(shù)學的樂趣與探究數(shù)學模型的興趣。

（二）學生缺少現(xiàn)實生活經(jīng)驗，難以主動建構(gòu)數(shù)學模型

小學數(shù)學是日常生活的一部分，廣闊的生活中蘊含著豐富的數(shù)學知識，弗萊登塔爾指出數(shù)學教學要與學生的現(xiàn)實生活經(jīng)驗緊密地聯(lián)系在一起?，F(xiàn)實生活中的問題往往包含了很多復(fù)雜的因素且解決問題的辦法是多種多樣的，而在傳統(tǒng)數(shù)學教學中，學生解決的是經(jīng)過專家、教材編者精心設(shè)計的有固定答案的問題而并不是現(xiàn)實中的真實問題。自然中蘊含著豐富有趣的數(shù)學知識，如螞蟻在搬運食物的過程中總能找到最短的路線；丹頂鶴成群結(jié)隊遷徙時，排成的人字形角度是固定不變的。給予學生更多機會接觸大自然，增加學生的現(xiàn)實生活經(jīng)驗有利于師生在教學過程中回歸現(xiàn)實，化抽象為具體，讓學生更容易理解數(shù)學概念，逐步培養(yǎng)學生的數(shù)學興趣，探索自然界中的數(shù)學模型。同樣，基于生活經(jīng)驗培養(yǎng)學生的模型思維也是課程改革貫徹的思想路徑。

培養(yǎng)學生的模型思想需要教育者聯(lián)系學生的生活經(jīng)驗，在學生的數(shù)學現(xiàn)實基礎(chǔ)上滲透。學生積極主動地建構(gòu)數(shù)學模型思想需要有自己獨特的生活經(jīng)驗以及與自然接觸后對問題地思考，讓學生體驗在生活中有趣而復(fù)雜的問題情境，在問題情境中從多角度發(fā)現(xiàn)數(shù)學問題，將數(shù)學問題經(jīng)過思考再次加工提煉出數(shù)學模型，并對自己頭腦中所創(chuàng)建的數(shù)學模型進行進一步地驗證與運用。生活經(jīng)驗的缺失容易使學生逐漸失去接觸現(xiàn)實生活的機會、探索數(shù)學問題的樂趣、體驗解決數(shù)學問題的過程，因此學生很難主動建構(gòu)數(shù)學模型。

（三）教師創(chuàng)設(shè)建模情境脫離學生生活實際，滲透模型思想效果不佳

模型思想是數(shù)學基本思想之一，小學階段的數(shù)學模型是為解決現(xiàn)實生活中的問題而建立的數(shù)學概念、公式、定義、法則等。一些小學教師認為模型思想是高深的、抽象的，需要復(fù)雜的現(xiàn)實情境與條件，包含廣泛的數(shù)學綜合知識，小學階段學生的水平難以汲取其思想內(nèi)核。事實上，部分教師未能深入理解模型思想的內(nèi)涵，在教學中進行模型思想地滲透時，創(chuàng)設(shè)建模情境遠遠脫離于學生生活實際，難以調(diào)動學生主動構(gòu)建數(shù)學模型的積極性。盡管一些教師會根據(jù)教材內(nèi)容創(chuàng)設(shè)情境，滲透內(nèi)容背后的模型思想，但數(shù)學建模的過程僅僅是對數(shù)學模型的生搬硬套，而非引導(dǎo)學生積極表達、思考與解決問題。教學中，教師應(yīng)準確把握教材內(nèi)容背后的模型思想，合理創(chuàng)設(shè)貼近學生現(xiàn)實生活的問題情境，設(shè)計有趣地實踐活動，引導(dǎo)學生積極主動地參與建模過程，潛移默化地向?qū)W生滲透模型思想。

三、數(shù)學現(xiàn)實原則對培養(yǎng)小學生模型思想的教學啟示

（一）引導(dǎo)學生基于個體經(jīng)驗體會數(shù)學發(fā)現(xiàn)

數(shù)學源于生活，生活中蘊含著豐富的知識，數(shù)學現(xiàn)實原則主張教師在進行教學時不能停留于書本而應(yīng)該帶領(lǐng)學生感受大自然與美好的生活，將數(shù)學教學與生活實際聯(lián)系在一起，提高學生發(fā)現(xiàn)生活中數(shù)學模型的能力。

案例1：認識人民幣是人教版一年級下冊的教學內(nèi)容，教師可以充分利用學生在生活中的購物經(jīng)驗，將這一節(jié)課程設(shè)計成為實踐活動，讓學生在真實的購物活動中，了解各類商品的價格，認識元、角、分之間的進率關(guān)系。教師在設(shè)計實踐活動時留給學生一定的時間和空間，讓學生成為課堂真正的主人，教師在課堂中扮演組織者與引導(dǎo)者的角色。教師可以聯(lián)系學生生活中的購物經(jīng)驗，盡量多地為學生提供實踐與合作交流的機會，使每一名學生都能參與到認幣、換幣的活動中并在活動中得到充分展示，在感受購物活動樂趣的同時使學生認識人民幣。

在模擬真實生活情境中進行模型思想地滲透，有利于學生運用模型解決簡單的實際問題，培養(yǎng)學生在生活中發(fā)現(xiàn)數(shù)學模型的能力，增加學生的數(shù)學現(xiàn)實，有利于學生在生活情境中主動地提取出數(shù)學模型。引導(dǎo)學生在現(xiàn)實生活中善于發(fā)現(xiàn)數(shù)學模型、感受數(shù)學模型，雖然不能起到立竿見影的效果，但對于學生模型思想與數(shù)學思維的長遠發(fā)展是大有裨益的。

（二）創(chuàng)設(shè)教學情境理解數(shù)學模型

數(shù)學具有抽象性，許多學生認為數(shù)學是有難度的,尤其是低年級的學生，思維以具體形象思維為主，逐步向抽象思維過渡，這一階段的思維仍然依賴于學生在生活中的直接經(jīng)驗。學生不依賴于具體的事物與實物，難以感受具象化數(shù)學。因此，在教學中如何能使學生感受到數(shù)學的魅力是值得教師思考的。數(shù)學現(xiàn)實原則主張數(shù)學必扎根于生活，要將數(shù)學教學與學生的現(xiàn)實生活緊密聯(lián)系在一起，相比于教師對書本知識的講解，創(chuàng)設(shè)貼近學生生活的教學情境，更容易調(diào)動學生學習數(shù)學的熱情。教師在設(shè)計課堂活動時應(yīng)投其所好，更多地考慮這一階段學生思維特征與興趣愛好，幫助學生深入理解數(shù)學模型。

案例2：“鴿巢問題”是人教版數(shù)學六年級下冊的內(nèi)容，這部分內(nèi)容是教學中的難點。很多教師的教學急于求證“鴿巢問題”的結(jié)論，忽視了創(chuàng)設(shè)真實的教學情境，未能連接學生的數(shù)學現(xiàn)實，學生難以解決“鴿巢原理”的變式問題。教學中，教師可以首先創(chuàng)設(shè)“搶凳子”的游戲激發(fā)學生的興趣；其次設(shè)計課堂活動，讓學生動手操作并討論4 支鉛筆放進3 個文具盒的情況；再次引導(dǎo)學生深入探究，回顧反思，建構(gòu)“鴿巢原理”模型；最后應(yīng)用“鴿巢原理”解決簡單的實際問題。這樣的課堂設(shè)計重在接近學生的現(xiàn)實生活，使學生經(jīng)歷從生活情境中抽象出“鴿巢原理”的過程，深入理解“鴿巢原理”的模型思想，會用“鴿巢原理”解決簡單的實際問題；通過對“鴿巢原理”的問題變式，提高學生應(yīng)用“鴿巢原理”數(shù)學模型的能力，使學生感受到數(shù)學模型與生活是息息相關(guān)的。

在身心愉悅的課堂氛圍中，通過創(chuàng)設(shè)游戲為滲透“鴿巢原理”這一數(shù)學模型做鋪墊，教師充分調(diào)動學生的求知欲，因地制宜巧妙地設(shè)計課堂游戲活動，對學生滲透模型思想有著潤物細無聲的作用。積極創(chuàng)設(shè)真實情境，在增強學生課堂體驗感的同時也為學生搭建增強數(shù)學現(xiàn)實的平臺。在模擬現(xiàn)實生活情境中抽象出數(shù)學模型，培養(yǎng)學生在生活中主動去建構(gòu)數(shù)學模型的意識，發(fā)現(xiàn)現(xiàn)實情境中的問題及數(shù)學變量及關(guān)系，再從學生已有的知識背景、現(xiàn)實經(jīng)驗中出發(fā)，發(fā)展學生的模型思想。這需要教師精心緊湊地設(shè)計每一環(huán)的教學活動，創(chuàng)設(shè)貼近學生生活的真實情境，激發(fā)學生主動探索現(xiàn)實世界與數(shù)學世界的聯(lián)系，最終主動建構(gòu)自己對于數(shù)學模型的理解。

（三）根據(jù)學生現(xiàn)有水平選擇數(shù)學模型解決策略

學生的數(shù)學現(xiàn)實是從以往的學習生活中抽象出來的數(shù)學知識、數(shù)學方法以及數(shù)學思維與經(jīng)驗的總和。基于學生已有的數(shù)學背景與經(jīng)驗，教師要引導(dǎo)學生獨立思考，對數(shù)學知識進行分析、檢驗和判斷，主動建構(gòu)對模型思想地理解。在小學數(shù)學教學中，教師滲透模型思想的效果最終體現(xiàn)于學生對于數(shù)學模型的應(yīng)用能力。從多種角度去探索數(shù)學問題的本質(zhì)有利于學生從不同角度深入理解數(shù)學模型，激發(fā)學生對數(shù)學模型進行轉(zhuǎn)換與再創(chuàng)造的興趣，提高學生的數(shù)學模型應(yīng)用的能力。因此，在課堂上基于學生數(shù)學現(xiàn)實，發(fā)展學生的模型思想，使學生在問題解決的過程中尋求多種方法與策略是必不可少的環(huán)節(jié)。

案例3：“雞兔同籠”是人教版數(shù)學四年級下冊的教學內(nèi)容，這一問題既是數(shù)學趣題也是教學中的難題。在雞兔同籠的教學設(shè)計中，教師讓學生在問題解決中經(jīng)歷從猜測到熟悉的列表法，再到“假設(shè)法”探究“雞兔同籠”問題過程，最終引出列方程解決“雞兔同籠”問題方法?；趯W生數(shù)學現(xiàn)實，逐步探索問題解決的不同方法，感受解決問題的策略和方法的多樣化，最終使學生熟練掌握“雞兔同籠”的數(shù)學模型。

基于學生數(shù)學現(xiàn)實探討解決問題的多種方法，啟發(fā)學生在觀察、猜測中提出新思路、在驗證與推理后提出新設(shè)想，注重一題多解，重視多解歸一，使學生深入掌握數(shù)學模型的同時訓練學生思維的廣闊性和靈活性，不斷推動學生發(fā)展認知策略與模型思想。

（四）建立數(shù)學模型解決實際問題

弗萊登塔爾認為生活為數(shù)學教育提供了豐富的背景，現(xiàn)實生活緊密包含了數(shù)學中的各個要素，數(shù)學源于生活必然要回歸生活、應(yīng)用于生活以解決實際生活中的問題。數(shù)學教學如果脫離了那些多姿多彩而又錯綜相連的現(xiàn)實問題必將成為“無根之木”。數(shù)學必扎根于生活，實施現(xiàn)實原則的關(guān)鍵是讓學生接觸現(xiàn)實中的實際問題、提取出數(shù)學問題，主動思考如何解決這一問題，總結(jié)方法并能提煉數(shù)學模型，遇到問題能主動應(yīng)用數(shù)學模型，提高學生利用數(shù)學模型解決非刻板化的、靈活的現(xiàn)實問題的能力。

案例4：“植樹問題”是人教版數(shù)學五年級上冊的教學內(nèi)容，這一內(nèi)容的教學目標主要是滲透植樹問題的思想方法，教師在教學中設(shè)計學生常見的生活中的問題，通過畫線段圖，使學生主動探索植樹規(guī)律，提取植樹模型，再用探索到的植樹模型解決生活中常見的實際問題。

數(shù)學應(yīng)用于生活，教師應(yīng)善于將模型思想與生活中的實際問題聯(lián)系起來，結(jié)合具體的事例進行數(shù)學模型思想地滲透。教師應(yīng)意識到培養(yǎng)學生的數(shù)學模型思想是為了提高學生解決實際生活中的復(fù)雜問題，而不是有準確答案的虛擬問題。生活中的問題包含了許多小學生可以嘗試探索的數(shù)學模型，教師要善于將真實問題情境遷移到課堂當中，培養(yǎng)學生在實際生活中主動探索與應(yīng)用數(shù)學模型的意識。

弗氏數(shù)學教學思想中數(shù)學現(xiàn)實原則充分重視了學生在教學中的主體地位。根據(jù)學生數(shù)學現(xiàn)實，教師應(yīng)精心設(shè)計貼近學生生活的教學探究活動，讓學生在生活情境中仔細觀察、合理猜測驗證和解決問題的過程中建構(gòu)數(shù)學模型；根據(jù)學生的現(xiàn)實經(jīng)驗引導(dǎo)學生在生活中善于發(fā)現(xiàn)數(shù)學模型、利用數(shù)學模型解決實際生活中的問題?？傊?，基于數(shù)學現(xiàn)實原則培養(yǎng)小學生模型思想，可以發(fā)展學生數(shù)學思維，促進學生全面發(fā)展。