初中數(shù)學(xué)教學(xué)中數(shù)形結(jié)合思想的運(yùn)用

福建省泉州市惠安縣荷山中學(xué) 蔡麗明

學(xué)生在學(xué)習(xí)的過(guò)程中，常常會(huì)由于題目的信息量龐大而不能夠?qū)π畔⑦M(jìn)行有效整理。因此，教師可以引導(dǎo)學(xué)生通過(guò)畫(huà)圖的形式，將題目的信息呈現(xiàn)出來(lái)，讓學(xué)生能夠形象地感知圖像信息。因此，教師可以借助該種教學(xué)模式，讓學(xué)生在學(xué)習(xí)的過(guò)程中，更為高效地解答相應(yīng)的問(wèn)題，使得學(xué)生能夠應(yīng)用數(shù)形結(jié)合的思想，完成對(duì)于問(wèn)題的解答，這對(duì)于提高學(xué)生的學(xué)習(xí)質(zhì)量有著重要的意義。

一、在代數(shù)問(wèn)題中引入數(shù)形結(jié)合思想

在代數(shù)學(xué)習(xí)的過(guò)程中，由于題目的信息量龐大，學(xué)生并不能夠?qū)ζ溥M(jìn)行靈活處理，因而這對(duì)于學(xué)生開(kāi)展后續(xù)的題目解答過(guò)程是不利的。同時(shí)，由于學(xué)生的抽象思維能力較弱，他們?cè)陂喿x代數(shù)問(wèn)題時(shí)，并不能快速地整理出不同量之間的關(guān)系，因而不能夠?qū)崿F(xiàn)對(duì)于題目的整體把握。同時(shí)，學(xué)生也不能夠在作答的過(guò)程中，以合適的方式對(duì)相應(yīng)的問(wèn)題進(jìn)行解決，這對(duì)于提高學(xué)生對(duì)代數(shù)問(wèn)題的解答能力是不利的。

為了有效解決這個(gè)問(wèn)題，教師可以引導(dǎo)學(xué)生應(yīng)用數(shù)形結(jié)合思想解決代數(shù)問(wèn)題，讓他們通過(guò)畫(huà)圖的方式，將代數(shù)題目中的信息以圖像的信息進(jìn)行呈現(xiàn)，并且在繪圖的過(guò)程中，實(shí)現(xiàn)對(duì)于題目信息的把握，這對(duì)于學(xué)生實(shí)現(xiàn)對(duì)題目?jī)?nèi)容的整體把握有一定的幫助。然后，他們能夠較好地利用自己的視覺(jué)對(duì)其進(jìn)行觀察，并且應(yīng)用自己的思維能力，快速地獲取不同量之間的關(guān)系式，并且能夠應(yīng)用恰當(dāng)?shù)墓?，?duì)代數(shù)問(wèn)題進(jìn)行解決。因此，數(shù)形結(jié)合的思想能夠幫助學(xué)生在作答的過(guò)程中，將抽象的代數(shù)問(wèn)題轉(zhuǎn)變?yōu)樾蜗蟮膱D像問(wèn)題，這將降低學(xué)生的理解難度，提高學(xué)生的解題效率，讓學(xué)生不再懼怕代數(shù)問(wèn)題的求解，而是樂(lè)于對(duì)其進(jìn)行解答。由此可見(jiàn)，數(shù)形結(jié)合教學(xué)方法的應(yīng)用，能夠幫助學(xué)生提高對(duì)于代數(shù)問(wèn)題的把握程度，這對(duì)于提高學(xué)生的數(shù)學(xué)成績(jī)有著較大的幫助。

例如：“若已知拋物線y=（x+2）（x-6a）同x 軸一共有兩個(gè)交點(diǎn)，分別用A 點(diǎn)和B 點(diǎn)表示，同y 軸只有一個(gè)交點(diǎn)，用C 點(diǎn)表示，試求使得三角形ABC 為等腰直角三角形時(shí)，拋物線的解析式是什么？”如果學(xué)生僅僅憑借著自己對(duì)于題目條件的抽象理解，那么，他們便不能夠?qū)崿F(xiàn)對(duì)于題目信息的整理和理解，也不能夠?qū)υ搯?wèn)題進(jìn)行解答，這對(duì)于學(xué)生推進(jìn)解題的過(guò)程是不利的。為了幫助學(xué)生對(duì)題目進(jìn)行解答，教師可以引導(dǎo)他們應(yīng)用畫(huà)圖的方式，將自己已知的信息進(jìn)行體現(xiàn)。因此，教師可以輔助學(xué)生將抽象的文字信息轉(zhuǎn)變?yōu)樾蜗笠锥膱D像信息，方便學(xué)生對(duì)題目信息進(jìn)行感知，這將大大降低學(xué)生的理解難度。然后，教師可以繼續(xù)引導(dǎo)學(xué)生通過(guò)畫(huà)出圖中的三角形ABC 的方式，讓他們根據(jù)已有的條件對(duì)題目進(jìn)行分析，并且鼓勵(lì)學(xué)生應(yīng)用自己的數(shù)學(xué)思維方式，應(yīng)用合適的策略，對(duì)數(shù)學(xué)問(wèn)題進(jìn)行解答，從而能夠大大地降低解決代數(shù)問(wèn)題的難度，這對(duì)于提高學(xué)生的學(xué)習(xí)效果有著較大的幫助。

例如，“我國(guó)近年的國(guó)內(nèi)生產(chǎn)總值如下：2017 年，820754 億人民幣；2018 年，919281 億人民幣；2019 年，986515 億人民幣；2020 年，1013567 億人民幣；2021 年，1143670 億人民幣。請(qǐng)嘗試預(yù)測(cè)2022 年的國(guó)內(nèi)生產(chǎn)總值是多少。”如果學(xué)生僅僅憑借著自己對(duì)于題目條件的抽象理解，他們往往并不能夠明確自己的解題思路，因而會(huì)通過(guò)試錯(cuò)的方式，通過(guò)構(gòu)想不同的方程式對(duì)其進(jìn)行求解，這種方式不僅需要學(xué)生做大量的計(jì)算，而且學(xué)生也并不容易得出正確的結(jié)果。為了幫助學(xué)生高效地對(duì)題目進(jìn)行解答，教師可以引入數(shù)形結(jié)合的思想，引導(dǎo)他們應(yīng)用畫(huà)圖的方式，將自己已知的年份信息和相應(yīng)的國(guó)內(nèi)生產(chǎn)總值以畫(huà)圖的方式體現(xiàn)。這種做題方式能夠?qū)⒊橄蟮奈淖中畔⒁孕蜗笠锥膱D像信息進(jìn)行呈現(xiàn)，方便學(xué)生直觀地觀察到相應(yīng)的信息。因此，在該種做題方法的引導(dǎo)下，學(xué)生能夠?qū)π畔⑦M(jìn)行進(jìn)一步處理，這將大大降低學(xué)生的做題難度。然后，在完成已知點(diǎn)的繪制后，學(xué)生能夠大致看出相應(yīng)的函數(shù)關(guān)系式，于是學(xué)生可以采用代值的方式對(duì)自己的猜想進(jìn)行驗(yàn)證，從而快速地獲取答案。

二、在幾何問(wèn)題中引入數(shù)形結(jié)合思想

對(duì)于學(xué)生來(lái)說(shuō)，幾何問(wèn)題也是較為困難的。這是因?yàn)閷W(xué)生的空間想象能力較弱，他們并不能夠較好地結(jié)合題目的信息，對(duì)題目中涉及的內(nèi)容進(jìn)行想象，這對(duì)于提高學(xué)生的解題能力是不利的。為了幫助學(xué)生解決這個(gè)問(wèn)題，教師可以引導(dǎo)學(xué)生結(jié)合幾何圖形的特點(diǎn)，應(yīng)用數(shù)形結(jié)合的思想對(duì)幾何問(wèn)題進(jìn)行解答，讓他們能夠在數(shù)形結(jié)合思想的輔助下，提高自己的幾何能力，能夠在解答幾何題目時(shí)更加得心應(yīng)手。與此同時(shí)，通過(guò)對(duì)于數(shù)形結(jié)合思想的學(xué)習(xí)，學(xué)生能夠掌握多樣的解題策略，因而他們能夠?yàn)楹罄m(xù)的學(xué)習(xí)任務(wù)做好一定的準(zhǔn)備。

經(jīng)過(guò)一段時(shí)間的學(xué)習(xí)后，學(xué)生能夠較為靈活地應(yīng)用幾何學(xué)習(xí)的特點(diǎn)，應(yīng)用等式關(guān)系對(duì)題目的信息進(jìn)行整理，并且應(yīng)用自己的思維能力，完成對(duì)于數(shù)學(xué)問(wèn)題的分析，實(shí)現(xiàn)對(duì)于結(jié)論的概述。由此可見(jiàn)，教師在教學(xué)幾何問(wèn)題的過(guò)程中，可以通過(guò)引入數(shù)形結(jié)合思想的方法，為學(xué)生的解題提供更多的策略，使得學(xué)生能夠在問(wèn)題解答的過(guò)程中，不僅能夠?qū)崿F(xiàn)對(duì)于知識(shí)點(diǎn)的把握，還能夠?qū)崿F(xiàn)對(duì)于數(shù)形結(jié)合思想的學(xué)習(xí)。

例如在學(xué)習(xí)“多邊形的內(nèi)角和與外角和”時(shí)，對(duì)于學(xué)生來(lái)說(shuō)，他們的空間思維能力相對(duì)較弱，因此他們并不能夠借助個(gè)人的想象能力，完成對(duì)于“多邊形的內(nèi)角和與外角和”課時(shí)內(nèi)容的學(xué)習(xí)?；诖?，在解答有關(guān)“多邊形的內(nèi)角和與外角和”的幾何題目時(shí)，學(xué)生并不能夠根據(jù)自己對(duì)于題目信息的把握，在腦海中構(gòu)建相應(yīng)的圖案，因而他們并不能夠?qū)崿F(xiàn)對(duì)“多邊形的內(nèi)角和與外角和”題目的想象，這極大地阻礙了學(xué)生完成幾何題目的進(jìn)程。為了幫助學(xué)生解決空間思維能力的問(wèn)題，使得學(xué)生能夠在作答“多邊形的內(nèi)角和與外角和”題目時(shí)更加得心應(yīng)手，教師可以對(duì)數(shù)形結(jié)合的思想進(jìn)行應(yīng)用，通過(guò)引導(dǎo)學(xué)生結(jié)合“多邊形”的特點(diǎn)，讓學(xué)生通過(guò)繪畫(huà)的方式，對(duì)“多邊形的內(nèi)角”進(jìn)行繪畫(huà)，讓形象的圖案輔助自己完成對(duì)于模型的構(gòu)建。教師可以借助該種教學(xué)方式，幫助學(xué)生降低解題的難度，也將方便學(xué)生對(duì)圖形中的信息進(jìn)行記憶。

同時(shí)，在圖形的輔助下，學(xué)生可以應(yīng)用數(shù)形結(jié)合的思想，對(duì)已知的信息進(jìn)行標(biāo)注，對(duì)未知的信息進(jìn)行思考，并且能夠在圖形的輔助下，作出相應(yīng)的輔助線，在解答“多邊形的內(nèi)角和與外角和”題目的過(guò)程中，實(shí)現(xiàn)對(duì)于問(wèn)題的快速分析和準(zhǔn)確解答。因此，教師可以借助該種教學(xué)方式，提高學(xué)生的空間思維能力，讓學(xué)生能夠更好地應(yīng)對(duì)幾何問(wèn)題；促使學(xué)生能夠在解答幾何題目時(shí)，不再慌忙失措，而是能夠更為自信地面對(duì)有關(guān)“多邊形的內(nèi)角和與外角和”的問(wèn)題，讓學(xué)生能夠更加得心應(yīng)手地處理空間思維上的問(wèn)題，這對(duì)于提高學(xué)生的數(shù)學(xué)思維能力有著重要的作用。

除此之外，通過(guò)對(duì)于數(shù)形結(jié)合思想的學(xué)習(xí)，學(xué)生能夠從更為新穎的角度思考幾何問(wèn)題的本質(zhì)，這將幫助他們?cè)谧鞔鸬倪^(guò)程中，以更為高效的方式完成對(duì)于題目的解答。因此，在該種教學(xué)模式下，教師能夠推動(dòng)學(xué)生完成對(duì)于有關(guān)“多邊形的內(nèi)角和與外角和”問(wèn)題的解答，并且能夠讓學(xué)生較好地為后續(xù)的學(xué)習(xí)任務(wù)做好一定的準(zhǔn)備，使得學(xué)生的綜合能力得到一定提升，這對(duì)于提高學(xué)生的數(shù)學(xué)核心素養(yǎng)有著較大的幫助。

三、在生活問(wèn)題中引入數(shù)形結(jié)合思想

學(xué)生在生活中，可以應(yīng)用數(shù)形結(jié)合的思想，對(duì)遇到的問(wèn)題進(jìn)行解決，從而能夠自如地解答生活問(wèn)題。由此可見(jiàn)，數(shù)形結(jié)合的思想和我們的生活也有著密不可分的關(guān)系。數(shù)形結(jié)合的思想可以對(duì)學(xué)生的思維能力進(jìn)行一定訓(xùn)練，使得學(xué)生的綜合能力能夠得到一定提升，這對(duì)于提高學(xué)生的核心素養(yǎng)有著重要的幫助。因此，教師在開(kāi)展教學(xué)活動(dòng)的過(guò)程中，可以對(duì)數(shù)形結(jié)合的思想進(jìn)行應(yīng)用，讓學(xué)生能夠按照自己對(duì)于數(shù)形結(jié)合思想的理解，嘗試應(yīng)用畫(huà)圖的方式，將生活中抽象的條件以形象的方式進(jìn)行呈現(xiàn)，讓學(xué)生能夠直觀地觀察相應(yīng)的信息，并且能夠?qū)⑵溥M(jìn)行整理，這對(duì)于學(xué)生開(kāi)展后續(xù)的題目解答過(guò)程有著重要的幫助。同時(shí)，學(xué)生能夠靈活地應(yīng)用自己的數(shù)學(xué)思維能力，結(jié)合自己對(duì)于數(shù)形結(jié)合思想的理解，嘗試從中找到其中的關(guān)系式，能夠在解答生活難題的過(guò)程中，實(shí)現(xiàn)對(duì)于知識(shí)的靈活應(yīng)用。學(xué)生也能夠利用合適的公式，搭建不同量之間的聯(lián)系，并且對(duì)問(wèn)題進(jìn)行解答，能夠自如地應(yīng)對(duì)相應(yīng)的生活問(wèn)題，在解題的過(guò)程中，實(shí)現(xiàn)對(duì)于數(shù)學(xué)知識(shí)的把握。

在這個(gè)過(guò)程中，學(xué)生能夠較好地加深對(duì)于數(shù)形結(jié)合思想的理解，并且能夠在解答生活問(wèn)題的過(guò)程中，強(qiáng)化對(duì)于數(shù)形結(jié)合思想的實(shí)踐應(yīng)用。因此，教師可以借助該種教學(xué)方式，推進(jìn)數(shù)學(xué)教學(xué)任務(wù)的進(jìn)行，這對(duì)于學(xué)生更為有效地開(kāi)展后續(xù)的學(xué)習(xí)任務(wù)有著較大的幫助。同時(shí)，教師可以鼓勵(lì)學(xué)生應(yīng)用數(shù)形結(jié)合的方法，將題目中的信息呈現(xiàn)到一張圖中，讓學(xué)生能夠根據(jù)自己對(duì)于生活經(jīng)驗(yàn)的把握，一目了然地把握題目信息，并且能夠應(yīng)用自身的數(shù)學(xué)思維能力，較為快速地找到解題的策略，從而實(shí)現(xiàn)對(duì)于問(wèn)題的準(zhǔn)確把握和準(zhǔn)確理解，這對(duì)于提高學(xué)生的解題速度有一定的幫助。

例如：“A 地和B 地相距70 千米，甲同學(xué)從B 點(diǎn)出發(fā)，向著A 點(diǎn)以每小時(shí)14 千米的速度騎行，乙同學(xué)從A點(diǎn)出發(fā)，向著B(niǎo) 點(diǎn)以每小時(shí)16 千米的速度騎行，最后，請(qǐng)問(wèn)他們?cè)谙嗑郃、B 中點(diǎn)多少千米的地方相遇？”初看這道題目，學(xué)生很容易被其中大量的信息所迷惑，因而學(xué)生并不能夠梳理清楚題目的意思，也不能夠快速地找到相應(yīng)的解題策略，這對(duì)于學(xué)生的解題來(lái)說(shuō)是較為不利的。為了有效解決這個(gè)問(wèn)題，教師可以引導(dǎo)學(xué)生應(yīng)用數(shù)形結(jié)合的方式，將題目中的信息呈現(xiàn)到一張圖中，并且鼓勵(lì)學(xué)生應(yīng)用自己的生活經(jīng)驗(yàn)，對(duì)圖像進(jìn)行繪制，使得每一位學(xué)生都能夠自然而然地選擇應(yīng)用線段圖的形式，呈現(xiàn)題目信息，讓學(xué)生能夠通過(guò)對(duì)于線段圖內(nèi)容的把握，完成對(duì)于“路程”“時(shí)間”“速度”等信息的整理，這對(duì)于學(xué)生開(kāi)展后續(xù)的解題過(guò)程有一定的幫助。因此，學(xué)生能夠借助圖像，一目了然地把握題目信息，并且能夠應(yīng)用自己的思維能力，完成對(duì)于題目的分析，找到對(duì)應(yīng)的解題策略，能夠在應(yīng)用數(shù)學(xué)思維能力解決數(shù)學(xué)問(wèn)題的過(guò)程中，實(shí)現(xiàn)對(duì)于問(wèn)題的快速解答。

教師在推進(jìn)數(shù)形結(jié)合思想與教學(xué)內(nèi)容結(jié)合的教學(xué)模式中，也可以幫助學(xué)生較為快速地找到解題的策略，使得學(xué)生能夠更為自如地處理數(shù)學(xué)問(wèn)題中的各類難題，這對(duì)于提高學(xué)生的解題速度有一定的幫助。同時(shí)，他們也能夠應(yīng)用這種方法，思考生活中的其他問(wèn)題，并且能夠?qū)ζ溥M(jìn)行解決，促使學(xué)生能夠在反復(fù)應(yīng)用數(shù)形結(jié)合思想解決實(shí)際問(wèn)題的過(guò)程中，實(shí)現(xiàn)對(duì)于數(shù)形結(jié)合思想的深刻把握。因此，教師可以借助該種教學(xué)模式，幫助學(xué)生對(duì)數(shù)形結(jié)合思想進(jìn)行把握，這對(duì)于提高學(xué)生的數(shù)學(xué)能力有一定的幫助。

總而言之，教師在開(kāi)展初中數(shù)學(xué)教學(xué)活動(dòng)的過(guò)程中，可以引導(dǎo)學(xué)生應(yīng)用數(shù)形結(jié)合思想解決代數(shù)問(wèn)題，幫助學(xué)生降低理解代數(shù)問(wèn)題的難度，同時(shí)向?qū)W生提供解決代數(shù)問(wèn)題的方法，提高學(xué)生的解題效率；可以引導(dǎo)學(xué)生應(yīng)用數(shù)形結(jié)合思想解決幾何問(wèn)題，讓學(xué)生能夠在處理幾何題目時(shí)，采用更為靈活的方式，幫助學(xué)生提高對(duì)于知識(shí)的把握程度；可以引導(dǎo)學(xué)生應(yīng)用數(shù)形結(jié)合思想解決生活問(wèn)題，讓學(xué)生能夠在梳理邏輯關(guān)系的過(guò)程中，找到合適的解決方式，讓學(xué)生能夠靈活地應(yīng)對(duì)生活中的各項(xiàng)難題。