小學(xué)高年級(jí)數(shù)學(xué)教學(xué)中培養(yǎng)學(xué)生合情推理能力措施

□南京市江寧區(qū)東善橋中心小學(xué) 高敏

素質(zhì)化教育不斷深入的同時(shí)對(duì)小學(xué)數(shù)學(xué)教學(xué)提出了新的要求，以合情推理能力為代表的數(shù)學(xué)綜合素養(yǎng)培養(yǎng)正受到數(shù)學(xué)教學(xué)工作者們的廣泛重視。合情推理的概念源于數(shù)學(xué)教育家波利亞，在他的觀念中：“數(shù)學(xué)是一門系統(tǒng)的演繹學(xué)科”“數(shù)學(xué)定理的產(chǎn)生是數(shù)學(xué)家進(jìn)行創(chuàng)造性工作的結(jié)果，這個(gè)創(chuàng)造性的工作最初源于一個(gè)猜想”，而圍繞著這個(gè)猜想展開的合情推理無疑會(huì)促成發(fā)明、創(chuàng)造的實(shí)現(xiàn)。所以說，在數(shù)學(xué)課堂教學(xué)中培養(yǎng)學(xué)生的合情推理能力極具現(xiàn)實(shí)意義，為了切實(shí)提升學(xué)生的創(chuàng)新、創(chuàng)造能力，以下將在充分認(rèn)知合情推理能力培養(yǎng)必要性的基礎(chǔ)上，分析合情推理能力的概念及其具體作用，然后再以此為依據(jù)提出相應(yīng)的能力培養(yǎng)策略。

一、培養(yǎng)高年級(jí)數(shù)學(xué)學(xué)生合情推理能力的必要性分析

在小學(xué)高年級(jí)數(shù)學(xué)教學(xué)中培養(yǎng)學(xué)生的合情推理能力是貫徹素質(zhì)化教育的必然要求，推理思維是數(shù)學(xué)的基本思維方式，這種思維方式不僅能在數(shù)學(xué)中得到應(yīng)用，還可以在日常生活的方方面面中得到體現(xiàn)。關(guān)于合情推理能力的培養(yǎng)，《義務(wù)教育數(shù)學(xué)課程標(biāo)準(zhǔn)》指出要通過觀察、歸納、類比等方法引導(dǎo)學(xué)生發(fā)展合情推理能力。另外，學(xué)生還要在長期學(xué)習(xí)中形成理性思維，能在邏輯清晰的前提下，提出問題、推理論證，最終解決問題。

除了素質(zhì)化教育的硬性要求以外，小學(xué)階段合情推理能力培養(yǎng)的需求也是不同忽視的內(nèi)容。結(jié)合相關(guān)的數(shù)學(xué)研究文獻(xiàn)與數(shù)學(xué)教育實(shí)情來看，我國對(duì)合情推理的研究和教育主要集中于中學(xué)階段，小學(xué)階段的合情推理教育研究則相對(duì)較少。究其原因，可以認(rèn)識(shí)到這種狀況的存在與不同學(xué)段的教學(xué)內(nèi)容有關(guān)。以小學(xué)階段的學(xué)習(xí)來說，學(xué)生接觸的知識(shí)內(nèi)容只有少部分涉及猜測(cè)、推導(dǎo)，所以教師對(duì)合情推理的教學(xué)相對(duì)較少，即使有也呈現(xiàn)零散、不成體系的狀態(tài)。不過需要注意的是，小學(xué)階段正是合情推理能力發(fā)展的關(guān)鍵時(shí)期，這不僅是因?yàn)樾W(xué)高年級(jí)學(xué)生需要提前適應(yīng)初中嚴(yán)謹(jǐn)?shù)淖C明知識(shí)，更是因?yàn)樾W(xué)高年級(jí)學(xué)生的思維形式正處于直觀轉(zhuǎn)抽象的過程。這個(gè)年齡段的學(xué)生普遍存在思維水平不高的特點(diǎn)，所以在思考問題時(shí)習(xí)慣從直觀思維的角度出發(fā)，這樣也導(dǎo)致學(xué)生在理解數(shù)知識(shí)的時(shí)候不得法，不能準(zhǔn)確把握住知識(shí)間的關(guān)聯(lián)。相應(yīng)地，這個(gè)年齡段的學(xué)生充滿想象力，數(shù)學(xué)思維的可塑性極強(qiáng)，所以教師要把握好這段時(shí)期培養(yǎng)學(xué)生的推理能力，引導(dǎo)學(xué)生提出數(shù)學(xué)猜想，用合理的思維方式進(jìn)行思考，逐步的鍛煉學(xué)生的合情推理能力。

二、小學(xué)數(shù)學(xué)合情推理能力概述及其意義

（一）小學(xué)數(shù)學(xué)合情推理能力的含義

厘清合情推理概念是培養(yǎng)合情推理的基礎(chǔ)前提，簡(jiǎn)單地說，合情推理就是從既有事實(shí)出發(fā)，憑借自身的經(jīng)驗(yàn)或直覺提出猜想，然后再經(jīng)過歸納、類比等推理手段推斷結(jié)果，最終明確思路或確定結(jié)論。其中歸納和類比手法的推理過程存在一定的差異，即歸納的方式是從大量的案例中得到一般性的認(rèn)知，推理方法是從特殊到一般的方法；類比推理則是對(duì)相似的案例進(jìn)行推理，推理的過程是從特殊到特殊的方法，所以類比推理的應(yīng)用建立在兩者相似的前提下，如此方能通過一類事物的性質(zhì)推理另一類事物。

數(shù)學(xué)合情推理能力是一個(gè)更狹義的概念，準(zhǔn)確地來說是一種心理特征，即順利完成合情推理活動(dòng)的心理?xiàng)l件。學(xué)生從自己已經(jīng)學(xué)習(xí)過的知識(shí)、定理出發(fā)，根據(jù)自身學(xué)習(xí)經(jīng)驗(yàn)和判斷直覺，歷經(jīng)猜想、歸納、推理等活動(dòng)，對(duì)某些結(jié)論進(jìn)行合乎情理的推斷。小學(xué)數(shù)學(xué)合情推理能力則是細(xì)化到小學(xué)階段，學(xué)生依靠小學(xué)階段學(xué)習(xí)的知識(shí)、積攢的經(jīng)驗(yàn)，通過猜想推理等思維過程，進(jìn)行合情推斷時(shí)表現(xiàn)出的心理特征。

（二）培養(yǎng)學(xué)生合情推理能力的現(xiàn)實(shí)意義

合情推理能力的培養(yǎng)過程中，學(xué)生的數(shù)學(xué)綜合素養(yǎng)也會(huì)得到相應(yīng)的提升，以下將對(duì)學(xué)生具體的發(fā)展進(jìn)行分析。

1.數(shù)學(xué)觀察能力提升

觀察是人類認(rèn)識(shí)世界的基本手段，學(xué)生觀察能力的好壞會(huì)在很大程度上影響最終的學(xué)習(xí)效果。過去的教育理念對(duì)觀察的重要性認(rèn)知不到位，認(rèn)為觀察只能對(duì)事物產(chǎn)生感性的印象，但事實(shí)上很多數(shù)學(xué)的性質(zhì)研究都是從觀察開始，若是不能進(jìn)行合理的觀察，人們也就無從得知這些數(shù)的性質(zhì)。數(shù)學(xué)觀察能力指的是有計(jì)劃、有目的地對(duì)數(shù)字和數(shù)學(xué)關(guān)系式進(jìn)行觀察的“數(shù)學(xué)感知能力”。學(xué)生在合情推理的過程中，需要廣泛觀察推理對(duì)象，具體觀察中要做到觀察目的明確、具備相應(yīng)基礎(chǔ)知識(shí)、觀察方法得當(dāng)，如此方能保證觀察的有序性。經(jīng)過持續(xù)的合情推理培養(yǎng)以后，學(xué)生對(duì)基礎(chǔ)知識(shí)的理解、觀察方法的把握也會(huì)得到顯著的改善。

2.歸納和類比推理能力優(yōu)化

歸納推理和類比推理是合情推理中最常見的兩種情況，合理地利用歸納和類比可以有效地改善數(shù)學(xué)推理活動(dòng)。小學(xué)數(shù)學(xué)學(xué)習(xí)中的歸納推理同樣需要經(jīng)歷從特殊事實(shí)到一般原理的過程，學(xué)生需要對(duì)數(shù)學(xué)事實(shí)進(jìn)行一定的觀察和分析后，才能從中歸納相應(yīng)的結(jié)論。由此可見，這樣的歸納推理屬于不完全歸納推理，但是學(xué)生也能從中窺見真理和端倪。

類比的應(yīng)用建立在數(shù)學(xué)研究對(duì)象具有相似性的基礎(chǔ)上，學(xué)生在應(yīng)用類比推理的過程中，往往需要用已經(jīng)學(xué)習(xí)到的數(shù)學(xué)知識(shí)探測(cè)新概念、新法則，所以這項(xiàng)過程更像是知識(shí)和方法的遷移應(yīng)用。妥善的使用類比推理方法，可以產(chǎn)生舉一反三的學(xué)習(xí)效果。

3.數(shù)學(xué)猜想能力的改善

提出猜想是解決問題、實(shí)現(xiàn)創(chuàng)新的第一步，在合情推理的研究中，人們普遍認(rèn)為猜想是合情推理的重要內(nèi)容，甚至有人將合情推理與猜想等同起來。當(dāng)然，合情推理必然要圍繞猜想進(jìn)行推論和證明，所以想要提升合情推理的能力，就必須做到合理猜想。

在合情推理的發(fā)展過程中，學(xué)生的數(shù)學(xué)猜想能力也會(huì)持續(xù)改善，這種改善不僅體現(xiàn)在提出數(shù)學(xué)猜想方面，還表現(xiàn)在檢驗(yàn)、修正數(shù)學(xué)猜想這兩方面。以提出猜想的改善來說，學(xué)生的猜想可能呈現(xiàn)有理有據(jù)或毫無根據(jù)的狀態(tài)，其中有理有據(jù)地猜想屬于可貴、可靠的猜想，毫無根據(jù)的猜想則完全相反，學(xué)生應(yīng)具備大膽猜想的能力，而不是無端猜想的能力。合情推理是一個(gè)系統(tǒng)的過程，學(xué)生在完成觀察與思考后，猜想的合理性也會(huì)自然改善。正如植樹問題的學(xué)習(xí)中，“在一千米長的道路一側(cè)植樹，每棵樹距離5米，共需要載多少棵樹”這是學(xué)生就可以在簡(jiǎn)單的計(jì)算以后，結(jié)合生活經(jīng)驗(yàn)說出自己的猜想“200棵、201棵、202棵……”。

完成初步的猜想后，學(xué)生就要對(duì)結(jié)論進(jìn)行證實(shí)，確保猜想的基礎(chǔ)正確性，若是猜想沒有明顯的錯(cuò)誤，就應(yīng)加入有力的修正條件，以此提升猜想的可靠性。所以說，在合情推理能力的作用下，學(xué)生的猜想過程會(huì)變得更加規(guī)范、可靠。

4.數(shù)學(xué)思維表達(dá)能力清晰化

合情推理能力的發(fā)展能幫助學(xué)生更好地思考數(shù)學(xué)問題，經(jīng)過系統(tǒng)的觀察、推論以后，學(xué)生的思考過程也會(huì)變得更加清晰，而這顯然有利于學(xué)生用數(shù)學(xué)語言表達(dá)自己的思維。當(dāng)學(xué)生能快速、準(zhǔn)確地表達(dá)自己的想法時(shí)，教師也能根據(jù)學(xué)生的思考進(jìn)行有效指導(dǎo)，而這最終也會(huì)推動(dòng)課堂教學(xué)效率的提升。

三、在小學(xué)高年級(jí)數(shù)學(xué)中培養(yǎng)學(xué)生合情猜想能力的具體措施

（一）教師及時(shí)轉(zhuǎn)變教學(xué)理念，強(qiáng)化對(duì)合情推理思想的滲透

合情推理思想的滲透是一項(xiàng)系統(tǒng)的工作，教師作為小學(xué)數(shù)學(xué)教學(xué)工作者的主導(dǎo)者，理應(yīng)在教學(xué)理念方面做出轉(zhuǎn)變，用合理的教學(xué)方式鼓勵(lì)學(xué)生進(jìn)行猜想，幫助學(xué)生從合情推理的過程中發(fā)展綜合素養(yǎng)。

傳統(tǒng)的數(shù)學(xué)課堂遵循著學(xué)習(xí)新知、復(fù)習(xí)鞏固的教學(xué)模式，不過有很多教師在這項(xiàng)教學(xué)模式中習(xí)慣忽視學(xué)生的主觀能動(dòng)性，學(xué)生接觸知識(shí)的過程更像是灌輸，而不是主動(dòng)得到。所以說，教師應(yīng)嘗試對(duì)教學(xué)活動(dòng)進(jìn)行改善，在教學(xué)中加入更多有益于學(xué)生創(chuàng)造能力發(fā)展的部分，如合情推理能力的引導(dǎo)和練習(xí)。為了實(shí)現(xiàn)這項(xiàng)目標(biāo)，教師要在正式授課以前深入挖掘教學(xué)資源，然后再根據(jù)學(xué)生的實(shí)際狀況，有機(jī)地結(jié)合實(shí)際教學(xué)與合情推理知識(shí)，讓學(xué)生自然而然地加入求證猜想和發(fā)現(xiàn)的學(xué)習(xí)。由于小學(xué)高年級(jí)的學(xué)生依然童心未泯，教師在具體實(shí)施教學(xué)的時(shí)候可以加入更多的趣味性因素，將課堂打造成富有探索意味的“實(shí)驗(yàn)室”，促使學(xué)生在沉浸式的學(xué)習(xí)中實(shí)踐合情推理，實(shí)現(xiàn)知識(shí)的“再創(chuàng)造”。

以歸納推理方法的指導(dǎo)來說，由于學(xué)生的猜想驗(yàn)證能力比較弱，教師在日常教學(xué)中要注意培養(yǎng)學(xué)生提出猜想、驗(yàn)證猜想的能力。正如圓錐體積公式的推導(dǎo)學(xué)習(xí)中，教師可以利用多媒體教學(xué)設(shè)備投用圓錐體圖形，讓學(xué)生觀察圓錐體的特點(diǎn)，學(xué)生經(jīng)過觀察以后回答道“側(cè)面展開是一個(gè)扇形”“只有圓形的下底，所以從正上面看是一個(gè)圓”“從側(cè)面水平看是一個(gè)等腰三角形”等。完成圓錐體的觀察以后，教師可以再次展示等高、等底的圓柱體，讓學(xué)生重復(fù)觀察環(huán)節(jié)，尋找兩者的相似之處，這時(shí)就有學(xué)生提出“底面相同、高相同”等相同屬性；觀察完成后，教師詢問學(xué)生是否有關(guān)于圓錐和圓柱的思考，讓學(xué)生用書面或語言的形式表達(dá)出來。需要注意的是，學(xué)生的猜想可能存在謬誤，但是敢于猜想的精神值得肯定，所以教師要始終保持開放鼓勵(lì)的態(tài)度，讓學(xué)生合理地進(jìn)行猜想。這時(shí)就有學(xué)生提出來“圓錐的側(cè)視圖看起來像是等腰三角形，圓柱的側(cè)視圖是一個(gè)長方形，按照側(cè)視圖的面積來看，圓錐和圓柱存在數(shù)量關(guān)系，圓柱的側(cè)面積是圓錐的兩倍，所以體積也可能是圓錐的兩倍”；猜想完成以后，教師可以將學(xué)生的猜想羅列在黑板上，并開始用實(shí)際行動(dòng)驗(yàn)證猜想的正確性。為了思考學(xué)生猜想的正確性，教師首先選擇舉正例的形式，即登高的長方形和正方形的側(cè)視圖面積比等于兩者的體積比。不過緊接著教師又利用實(shí)驗(yàn)的方式進(jìn)行驗(yàn)證，讓學(xué)生用圓錐容器盛沙子，然后再倒進(jìn)等底同高的圓柱中，最后發(fā)現(xiàn)圓柱的容量是圓錐的三倍。經(jīng)過證明以后，學(xué)生發(fā)現(xiàn)圓錐的體積計(jì)算比較特殊，不能采用對(duì)比側(cè)面積的方式得出與圓柱的正確關(guān)系。經(jīng)過這項(xiàng)教學(xué)以后，學(xué)生認(rèn)識(shí)到合情推理有助于幫助深度理解知識(shí)，辨析知識(shí)間的聯(lián)系和差異，從錯(cuò)誤的猜想中明白要從多種角度進(jìn)行分析，這樣才能更大限度地保證合情推理的有效性。

（二）在課堂教學(xué)的各個(gè)環(huán)節(jié)中引入合情推理

小學(xué)數(shù)學(xué)課堂教學(xué)內(nèi)容可以分為知識(shí)講解和問題解決，教師可以在兩種教學(xué)中采用不同的方式發(fā)展學(xué)生合情推理能力。在知識(shí)講解課中，學(xué)生會(huì)接觸大量的概念和規(guī)則，而概念與規(guī)則形成的過程需要經(jīng)歷大量的觀察、對(duì)比和歸納，才能全面概括同類事物的本質(zhì)。由此可見，數(shù)學(xué)課堂中具有豐富的合情推理資源，教師要妥善地利用知識(shí)講解課的結(jié)匯，引導(dǎo)學(xué)生識(shí)別規(guī)律、初步猜想、驗(yàn)證猜想。在這項(xiàng)教學(xué)過程中，教師可以引入類比推理和歸納推理的方法，正如學(xué)習(xí)了“商不變的規(guī)律”后，教師可以引導(dǎo)學(xué)生將這個(gè)知識(shí)點(diǎn)推至“分?jǐn)?shù)和除法的關(guān)系”中，此時(shí)學(xué)生就會(huì)產(chǎn)生猜想“分?jǐn)?shù)中是否也存在相同的性質(zhì)”，如此便實(shí)現(xiàn)了應(yīng)用屬性推理的過程。經(jīng)過的例子驗(yàn)證，學(xué)生發(fā)現(xiàn)這項(xiàng)猜想行得通。在此基礎(chǔ)上上，教師要求學(xué)生繼續(xù)增加猜想有關(guān)的條件，以此增加可靠性，最后學(xué)生在“相同的數(shù)”中排除了0，實(shí)現(xiàn)了歸納推理和類比推理的全過程。另外，在問題解決的教學(xué)中，教師可以引導(dǎo)學(xué)生從不同的角度觀察問題，充分利用歸納和類比的方式，將問題解決的過程簡(jiǎn)單化。

（三）合理架構(gòu)知識(shí)點(diǎn)，構(gòu)建完整數(shù)學(xué)知識(shí)體系

合情推理需要堅(jiān)實(shí)的數(shù)學(xué)基礎(chǔ)知識(shí)做支撐，教師在日常教學(xué)中既要引導(dǎo)學(xué)生自主思考和分析問題，還要持續(xù)優(yōu)化學(xué)生的知識(shí)結(jié)構(gòu)。為此，教師要加深對(duì)學(xué)生知識(shí)結(jié)構(gòu)的了解，在日常教學(xué)中幫助學(xué)生組織數(shù)學(xué)結(jié)構(gòu)，將原本散亂的數(shù)學(xué)知識(shí)打造成完整的系統(tǒng)。這樣做不僅能夯實(shí)數(shù)學(xué)基礎(chǔ)，還可以促進(jìn)學(xué)生提升歸納、類比能力，因?yàn)闃?gòu)建數(shù)學(xué)知識(shí)系統(tǒng)本身就是歸納的過程，學(xué)生在甄別知識(shí)類型的同時(shí)也會(huì)對(duì)相同的知識(shí)做類比。在完整知識(shí)體系的作用下，學(xué)生將會(huì)融會(huì)貫通既有的知識(shí)，進(jìn)而用合情推理的方式提出新問題，作出新思考。

（四）把握合情推理時(shí)機(jī)，確保合情推理培養(yǎng)的有效性

合情推理的培養(yǎng)是一項(xiàng)持續(xù)的工作，小學(xué)數(shù)學(xué)教師應(yīng)將其貫穿于日常教學(xué)中，不過教師在培養(yǎng)學(xué)生合情推理能力的同時(shí)也要把握適度性原則，在恰當(dāng)?shù)臅r(shí)機(jī)與教學(xué)內(nèi)容中展開合情推理培養(yǎng)，而不是生搬硬套地用于各項(xiàng)教學(xué)活動(dòng)中?？少F的、可靠的猜想才是有意義的猜想，所以合情推理的培養(yǎng)要緊密圍繞教學(xué)目標(biāo)進(jìn)行，對(duì)能引發(fā)學(xué)生猜想的內(nèi)容，教師應(yīng)深入地講解，給學(xué)生創(chuàng)造自主思考、猜想驗(yàn)證的機(jī)會(huì)。在不適宜合情推理的教學(xué)部分，教師只需一筆帶過，過多贅述反而浪費(fèi)教學(xué)時(shí)間。就小學(xué)階段的教學(xué)內(nèi)容來看，合情推理的主要對(duì)象還是集中于數(shù)與代數(shù)、圖形與幾何的教學(xué)中。

四、結(jié)語

在小學(xué)高年級(jí)數(shù)學(xué)教學(xué)中培養(yǎng)學(xué)生合情推理能力的重要性不言而喻，小學(xué)數(shù)學(xué)教師應(yīng)在準(zhǔn)確認(rèn)知合情推理的基礎(chǔ)上，不斷優(yōu)化合培養(yǎng)方式，構(gòu)建內(nèi)容豐富的評(píng)價(jià)體系，持續(xù)關(guān)注學(xué)生合情推理能力的發(fā)展，讓學(xué)生在合情推理能力的支持下深度學(xué)習(xí)數(shù)學(xué)知識(shí)，發(fā)展創(chuàng)新、創(chuàng)造能力。