運(yùn)用“猜想—探索”教學(xué)方式促進(jìn)整體數(shù)學(xué)教學(xué)

安志軍 | 山東省青島市教育科學(xué)研究院

劉乃志 | 山東省膠州市第十七中學(xué)

我國(guó)一些產(chǎn)業(yè)技術(shù)瓶頸主要源于原始創(chuàng)新能力薄弱，而基礎(chǔ)研究是原始創(chuàng)新的基石，數(shù)學(xué)又是一切科學(xué)的基礎(chǔ)。為了引領(lǐng)今天的學(xué)生成為具有創(chuàng)新品質(zhì)的未來(lái)建設(shè)者，我們亟須增強(qiáng)數(shù)學(xué)教學(xué)質(zhì)量。

未來(lái)時(shí)代的教育必須是整體教育。具有結(jié)構(gòu)性和系統(tǒng)性的數(shù)學(xué)知識(shí)原本是一個(gè)知識(shí)整體，但教材、教學(xué)和測(cè)試往往把這個(gè)整體劃分成一個(gè)個(gè)知識(shí)點(diǎn)，具有豐富聯(lián)結(jié)的數(shù)學(xué)知識(shí)被人為處理成以點(diǎn)為單位的符號(hào)系統(tǒng)，割裂了整體之間的聯(lián)系，學(xué)生很難再通過組合已有概念去發(fā)現(xiàn)那些不曾知曉的數(shù)學(xué)關(guān)系。長(zhǎng)此以往，將不利于在數(shù)學(xué)學(xué)習(xí)中培養(yǎng)學(xué)生的創(chuàng)新能力。打破教學(xué)壁壘，運(yùn)用“猜想—探索”這一開放的教學(xué)方式，可以吸引學(xué)生參與到數(shù)學(xué)知識(shí)建構(gòu)中，讓他們像科學(xué)家那樣去經(jīng)歷完整的探究過程，有效提升整體數(shù)學(xué)教學(xué)質(zhì)量，促進(jìn)學(xué)生核心素養(yǎng)的發(fā)展。

“猜想—探索”與“整體數(shù)學(xué)教學(xué)”

“猜想—探索”教學(xué)方式是指教師引導(dǎo)學(xué)生從數(shù)學(xué)和生活中選取研究主題，交替運(yùn)用合情推理、演繹推理的方法，提出觀點(diǎn)并加以判斷，通過多維互動(dòng)的教學(xué)過程，使學(xué)生主動(dòng)建構(gòu)知識(shí)，獲得情感、態(tài)度的發(fā)展，并促進(jìn)學(xué)生創(chuàng)新能力提升的一種教與學(xué)的方式。學(xué)生在“猜想—探索”過程中主動(dòng)勾連自己的已知與未知，豐富、完善自己的整體數(shù)學(xué)認(rèn)知結(jié)構(gòu)。

縱觀數(shù)學(xué)發(fā)展史，每一次數(shù)學(xué)的發(fā)展都伴隨著數(shù)學(xué)猜想的出現(xiàn)，以及著名數(shù)學(xué)猜想被論證的過程。猜想體現(xiàn)數(shù)學(xué)的創(chuàng)造性，探索依賴數(shù)學(xué)的嚴(yán)謹(jǐn)性，猜想與探索是完整研究過程中不可或缺的兩部分。但國(guó)內(nèi)外主要教育學(xué)術(shù)期刊很少把“猜想—探索”作為一個(gè)完整的教學(xué)過程加以研究，而且猜想的研究也很少涉及初中數(shù)學(xué)。一項(xiàng)針對(duì)國(guó)內(nèi)師生的調(diào)查結(jié)果顯示，近1/3的學(xué)生把數(shù)學(xué)猜想窄化為猜想習(xí)題結(jié)論，同時(shí)，數(shù)學(xué)猜想能力難以命題也導(dǎo)致教師重視程度不夠；探索類教學(xué)研究較多，但存在泛化的危機(jī)?！皩W(xué)生學(xué)習(xí)應(yīng)當(dāng)是一個(gè)生動(dòng)活潑的、主動(dòng)的和富有個(gè)性的過程?！薄皩W(xué)生應(yīng)當(dāng)有足夠的時(shí)間和空間經(jīng)歷觀察、實(shí)驗(yàn)、猜測(cè)、計(jì)算、推理、驗(yàn)證等?！逼渲?，觀察、實(shí)驗(yàn)可以形成猜想，計(jì)算、推理是探究過程，在親身實(shí)踐后去驗(yàn)證觀點(diǎn)。2022版新課標(biāo)關(guān)注大觀念、大任務(wù)、真實(shí)性、實(shí)踐性四大核心概念，針對(duì)數(shù)學(xué)教學(xué)而言，大觀念、大任務(wù)指向數(shù)學(xué)的整體性。“猜想—探索”教學(xué)方式遵從課程標(biāo)準(zhǔn)的要求，促進(jìn)學(xué)生整體性數(shù)學(xué)的建構(gòu)。

1991年“全球教育改革聯(lián)盟（GATE）”發(fā)表的《整體教育構(gòu)想宣言》指出，整體教育是被作為根治“病態(tài)教育”提出的。整體教育突出“人文”“科學(xué)”與“創(chuàng)造”的和諧統(tǒng)一，以此衍生的“整體數(shù)學(xué)教學(xué)”是指在數(shù)學(xué)教學(xué)中以整體觀、系統(tǒng)論為指導(dǎo)，以單元教學(xué)為統(tǒng)領(lǐng)，做好單元學(xué)習(xí)的整體謀劃和統(tǒng)領(lǐng)下的后續(xù)學(xué)習(xí)，建立每個(gè)學(xué)習(xí)單元間、數(shù)學(xué)學(xué)習(xí)和生活間的聯(lián)系，讓“部分”始終在“整體”中進(jìn)行，建立起學(xué)生的認(rèn)知結(jié)構(gòu)系統(tǒng)，形成數(shù)學(xué)學(xué)習(xí)的一般觀點(diǎn)和基本策略，發(fā)展學(xué)生的核心素養(yǎng)。我們希望通過“猜想—探索”的教學(xué)方式促進(jìn)整體數(shù)學(xué)教學(xué)的推進(jìn)，改變數(shù)學(xué)教學(xué)中的碎片化現(xiàn)象。

“猜想—探索”教學(xué)依賴于學(xué)生整體數(shù)學(xué)的認(rèn)知結(jié)構(gòu)

“猜想—探索”教學(xué)過程順利與否取決于學(xué)生是否具有整體數(shù)學(xué)知識(shí)、掌握數(shù)學(xué)研究方法和擁有知難而上的勇氣。認(rèn)知心理學(xué)研究表明，人的信息表征方式隨著知識(shí)量的增加和鞏固而緩慢增加。學(xué)生對(duì)數(shù)學(xué)缺乏整體的、全貌的感知就難以進(jìn)行知識(shí)的遷移和建構(gòu)，不利于形成有意義的猜想，探索也缺乏基礎(chǔ)。

學(xué)生根據(jù)問題情境重組已有的與之相關(guān)的基礎(chǔ)知識(shí)，準(zhǔn)確檢索、選擇與提取相關(guān)知識(shí)，使問題從初始狀態(tài)轉(zhuǎn)化為目的狀態(tài)，即形成猜想。整體性更有利于產(chǎn)生新穎和高層次洞察的思維方式，在數(shù)學(xué)教學(xué)中，我們需要鼓勵(lì)學(xué)生從整體角度進(jìn)行猜想。

探索階段學(xué)生處于已知和未知之間，是從確定性向“奇特性”發(fā)展的過程。若學(xué)生的數(shù)學(xué)知識(shí)依據(jù)內(nèi)在本質(zhì)聯(lián)系形成了整體網(wǎng)絡(luò)，就更便于其發(fā)現(xiàn)新舊知識(shí)的接洽點(diǎn)及新知的生長(zhǎng)點(diǎn)，然后根據(jù)個(gè)人的理解和建構(gòu)方式整合新知，形成更豐富的整體數(shù)學(xué)認(rèn)知結(jié)構(gòu)。

已有的數(shù)學(xué)認(rèn)知為學(xué)生提供了智慧、方法和策略，如果學(xué)生的相應(yīng)認(rèn)知結(jié)構(gòu)缺乏整體性，“猜想—探索”活動(dòng)就失去了穩(wěn)固的腳手架，缺乏順利開展下去的保障。整體觀下的數(shù)學(xué)教學(xué)更容易讓學(xué)生形成整體性的數(shù)學(xué)認(rèn)知結(jié)構(gòu)，為數(shù)學(xué)知識(shí)的“再創(chuàng)造”提供支持，利于學(xué)生開展“猜想—探索”。

“猜想—探索”能有效促進(jìn)整體數(shù)學(xué)教學(xué)

我們時(shí)常糾結(jié)于教學(xué)中的一個(gè)“通病”：教師把教材中一個(gè)個(gè)的概念、定理、法則和公式講得清清楚楚，但對(duì)整節(jié)、整章、整本書的結(jié)構(gòu)卻鮮少關(guān)注，學(xué)生學(xué)完后極少能悟到什么。散點(diǎn)式、孤立式的教學(xué)方式，不利于學(xué)生建構(gòu)自己的整體數(shù)學(xué)認(rèn)知。數(shù)學(xué)教育的最高要求應(yīng)該是使學(xué)生具有邏輯推理和掌握復(fù)雜抽象概念的能力，我們的目的是幫助學(xué)生形成智慧而不僅僅是儲(chǔ)存記憶，這就要求我們重建數(shù)學(xué)教學(xué)價(jià)值觀并付諸實(shí)踐。

《義務(wù)教育數(shù)學(xué)課程標(biāo)準(zhǔn)（2011 年版）》提出，學(xué)生自己發(fā)現(xiàn)和提出問題是創(chuàng)新的基礎(chǔ)，要使學(xué)生增強(qiáng)發(fā)現(xiàn)和提出問題的能力、分析和解決問題的能力。發(fā)現(xiàn)和提出問題等同于猜想，分析和解決問題即探索猜想解決之路。猜想、探索新知的過程中，學(xué)生在思維層面上會(huì)更加積極主動(dòng)，更能夠培養(yǎng)高階思維。這一過程中，學(xué)生把收獲納入自己的認(rèn)知結(jié)構(gòu)，形成一個(gè)新的整體，利于知識(shí)的遷移和發(fā)展，也就具有創(chuàng)新性。世界各國(guó)對(duì)此都高度重視，如美國(guó)指導(dǎo)21世紀(jì)數(shù)學(xué)教育的文件中提出，對(duì)所有年齡的學(xué)生應(yīng)滲透的四個(gè)標(biāo)準(zhǔn)之一，就是學(xué)生應(yīng)有機(jī)會(huì)施展推理能力，能對(duì)各種信息做出猜想，并驗(yàn)證自己的結(jié)論。

數(shù)學(xué)知識(shí)結(jié)構(gòu)本身連接緊密，創(chuàng)生和發(fā)展的過程環(huán)環(huán)相扣。這種內(nèi)在聯(lián)系可以幫助學(xué)生借助經(jīng)驗(yàn)、憑借直覺、通過類比等方式進(jìn)行猜想，有效調(diào)動(dòng)學(xué)生的主動(dòng)精神和探索欲望。探究自己的猜想讓學(xué)生雀躍，學(xué)生不再是容器，而是一個(gè)個(gè)生動(dòng)的個(gè)體，他們按照自己對(duì)情境的理解調(diào)用數(shù)學(xué)知識(shí)，備選的是數(shù)學(xué)知識(shí)整體而不是哪一個(gè)或哪一些定向的知識(shí)點(diǎn)。探索的過程中，學(xué)生得以發(fā)現(xiàn)知識(shí)的來(lái)龍去脈，感受數(shù)學(xué)知識(shí)之間豐富的內(nèi)在聯(lián)系，體會(huì)數(shù)學(xué)知識(shí)的整體性。

“猜想—探索”教學(xué)可提高教師整體數(shù)學(xué)教學(xué)的意識(shí)和能力

教師、學(xué)生、教學(xué)內(nèi)容是課堂教學(xué)不可或缺的三個(gè)基本元素，其中，教師是變革的前提。美國(guó)二十世紀(jì)五六十年代的“新數(shù)學(xué)運(yùn)動(dòng)”及后來(lái)的“建構(gòu)主義教學(xué)”沒有取得預(yù)期效果，相關(guān)人士認(rèn)為主因皆是基層教師無(wú)法配合學(xué)者的教學(xué)理念。教師的數(shù)學(xué)知識(shí)與教師在課堂教學(xué)中實(shí)施任務(wù)的認(rèn)知要求之間存在著顯著的相關(guān)性，這不僅體現(xiàn)在對(duì)其教學(xué)的影響上，同時(shí)對(duì)教師課程觀念的形成也存在一定的影響。

所謂課堂是教師的主場(chǎng)。通常，數(shù)學(xué)課由教師創(chuàng)設(shè)情景，按照邏輯關(guān)系講授知識(shí)，引導(dǎo)學(xué)生認(rèn)真聽講，并參與有限的教學(xué)生成。教師對(duì)教學(xué)過程可控，客觀上知識(shí)儲(chǔ)備的壓力就小，這在一定程度上影響了教師學(xué)習(xí)的積極性。張奠宙教授曾指出，立足于知識(shí)發(fā)生發(fā)展規(guī)律和學(xué)生認(rèn)知規(guī)律的內(nèi)容和策略的創(chuàng)新，更能展示教師深厚的數(shù)學(xué)功底和教學(xué)智慧。

運(yùn)用“猜想—探索”模式開展教學(xué)時(shí)，教師要依據(jù)學(xué)生特點(diǎn)設(shè)計(jì)易于引發(fā)學(xué)生猜想、探索的情境。因此，選擇哪些情境，怎樣呈現(xiàn)，以及如何處理學(xué)生的反饋，如何鼓勵(lì)其探索，考量的都是教師的功底。學(xué)生猜想、探索的路徑，教師很難掌控和駕馭，教學(xué)中既要適時(shí)地為學(xué)生提供幫助，又要搜集學(xué)生的生成以形成新的教學(xué)資源，也就是教師通常所說的“學(xué)生的東西老師是否能接得住”。臺(tái)上一分鐘，臺(tái)下十年功，這是數(shù)學(xué)功底和教學(xué)智慧的集中體現(xiàn)。教師使用“猜想—探索”這一開放的教學(xué)方式，既要在課前準(zhǔn)備講解的知識(shí)，又必須儲(chǔ)備大量數(shù)學(xué)的、跨學(xué)科的知識(shí)，以免被學(xué)生“掛在黑板上”，這無(wú)形中增強(qiáng)了教師自我提升的動(dòng)力。

調(diào)查研究發(fā)現(xiàn)，教師特征（數(shù)學(xué)知識(shí)、性別、專業(yè)技能等）與教師信念、教師對(duì)學(xué)生的數(shù)學(xué)處理意識(shí)之間存在顯著的線性關(guān)系。教師知識(shí)能力的提升，可以促進(jìn)課堂駕馭能力的提升，也會(huì)讓教師的教學(xué)進(jìn)一步開放，更有利于學(xué)生建構(gòu)具有整體性的數(shù)學(xué)認(rèn)知結(jié)構(gòu)，推動(dòng)師生互相促進(jìn)，教學(xué)進(jìn)入良性循環(huán)。

中國(guó)的發(fā)展需要?jiǎng)?chuàng)新，需要具有創(chuàng)新精神、創(chuàng)新意識(shí)和創(chuàng)新能力的人才，而培養(yǎng)這樣的人才需要?jiǎng)?chuàng)新的教育。我們希望運(yùn)用“猜想—探索”的教學(xué)方式促進(jìn)師生開展整體數(shù)學(xué)教學(xué)，以培養(yǎng)出面向未來(lái)的具有創(chuàng)新精神和創(chuàng)新能力的學(xué)生。