Bernoulli泛函空間上的算子構(gòu)造的量子隨機游蕩模型Bernoulli泛函空間上的算子構(gòu)造的量子隨機游蕩模型

◎張 銀 李 唯

(吉利學院智能科技學院,四川 成都 641402)

一、引言

量子概率理論 (von Neumann) 以二元組(A,φ)為概率空間,其中A是一個von Neumann 代數(shù),φ是A上的態(tài) (即定義在A上的非負正規(guī)線性映射).A中的投影算子稱為量子隨機事件,因投影算子的乘積未必是投影算子,從而量子隨機事件一般不構(gòu)成σ-代數(shù),但如果它們的乘積可交換,則構(gòu)成σ-代數(shù),于是化為經(jīng)典情形.在這個意義上稱量子概率論為非交換的概率論,經(jīng)典概率論屬于它的特殊情形.作為經(jīng)典概率論的非交換推廣,量子概率論中的一些概念可看作經(jīng)典概率論中相應(yīng)概念的直接推廣,如，量子隨機變量、量子隨機過程、量子Markov 鏈、量子Markov過程等.作為另一類重要的隨機過程,經(jīng)典隨機游蕩在傳統(tǒng)的信息技術(shù)處理領(lǐng)域有著非常廣泛的應(yīng)用.

隨著量子信息理論在20世紀90年代的研究熱潮，量子隨機游蕩(quantum random walk)成為一種新的游蕩模式，這種新的模式開始被人們所關(guān)注，它在量子信息理論和量子計算等領(lǐng)域中有著廣泛的應(yīng)用.量子隨機游蕩簡稱為量子游蕩，是基于量子力學原理的一種隨機游蕩，我們可將其看作經(jīng)典隨機游蕩的量子類似物，由于量子隨機游蕩的演化速度遠遠快于經(jīng)典的隨機游蕩，因此，它們的演化行為與經(jīng)典的隨機游蕩有著極大的不同.

2008年，Privault給出了關(guān)于Bernoulli噪聲泛函的兩種運算——散度運算和梯度運算，并在這基礎(chǔ)上，構(gòu)建了一種Malliavin型隨機分析框架.2010年，Nourdin等研究了一種對稱型的Bernoulli泛函的正態(tài)逼近，這種對稱型的Bernoulli泛函也叫作Rademache泛函.2011年，王才士等在根據(jù)Privault的Malliavin型隨機分析框架，定義了增生和湮滅兩種算子，證明了這兩種算子滿足等時典則反交換關(guān)系，并利用這兩種算子給出了量子Bernoulli噪聲的定義.2015年,針對一類具有有限多個內(nèi)部自由度的開放型量子隨機游蕩,Attal運用經(jīng)典Markov鏈方法證明了相應(yīng)的中心極限定理.2016年，量子Bernoulli噪聲首次被王才士等用在了量子隨機游蕩的研究當中，并利用量子Bernoulli噪聲構(gòu)建了一種量子隨機游蕩模型，這種模型是定義在一維整數(shù)格上的具有無窮多個內(nèi)部自由度的離散時間量子隨機游蕩模型，可歸于酉量子隨機游蕩的范疇.從文獻[1]的結(jié)論可看出，該模型在特殊的初始態(tài)下，與經(jīng)典隨機游蕩模型有相同的極限概率分布.因此，該量子隨機游蕩呈現(xiàn)了強烈的退相干效應(yīng).

本文組織結(jié)構(gòu)如下.第一部分，主要回顧一些基本概念和事實.第二部分，給出了定義在Bernoulli泛函空間上的兩類新算子，并研究了這兩類算子的性質(zhì)，利用這兩類算子構(gòu)造了一種量子隨機游蕩模型，給出了該模型在任意初始態(tài)下的態(tài)及其概率分布，證明了該量子隨機游蕩在某些特殊的初始態(tài)下的極限分布為正態(tài)分布，此結(jié)果與經(jīng)典隨機游蕩模型的極限概率分布相同.

二、預備知識

本章先簡單介紹Bernoulli泛函空間相關(guān)的概念、記號以及結(jié)論，詳細內(nèi)容可見文獻[1].

Γ={σ|σ?,#σ<∞}，這里#σ表示σ中元素的個數(shù).設(shè)n≥0是非負整數(shù)，則記Γn={0,1,…,n}.此處，當σ=?時，約定maxσ=-1，否則maxσ表示σ中的最大數(shù).

設(shè)Ω={-1，1}表示所有映射ω:{-1,1}構(gòu)成的集合.以(ζn)n≥0表示定義在Ω上的典則投影序列，即對每個n≥0，投影ζn由ζn(ω)=ω(n),ω∈Ω來定義.

令I(lǐng)=σ(ζn;n≥0)，即I表示Ω上由序列(ζn)n≥0生成的σ-域.設(shè)(pn)n≥0是給定的正數(shù)序列，這里0

其中k,nj∈，εj∈{-1,1}(1≤j≤k)，當i≠j時，ni≠nj，因此，就能得到一個概率測度空間(Ω,I,P)，此概率測度空間(Ω,I,P)稱為Bernoulli空間.

利用序列(ζn)n≥0可定義(Ω,I,P)上的隨機變量序列：

因此，Z=(Zn)n≥0可看作離散時間的Bernoulli噪聲.并且，我們還可以證明I=σ(Zn;n≥0)是由Bernoulli噪聲(Zn)n≥0生成的σ-域.因此，我們把Bernoulli空間(Ω,I,P)上的隨機變量也叫作Bernoulli噪聲的泛函，簡稱Bernoulli泛函.為了簡便，用In=σ(Zk;0≤k≤n)表示Ω上由(Zk)0≤k≤n生成的σ-域，其中n≥0，且I-1={?,Ω}.

三、主要結(jié)果及證明

本節(jié)首先定義了兩類Bernoulli空間上的單位算子，并討論了這兩類算子的性質(zhì).其次，利用這兩類算子構(gòu)造了一種量子隨機游蕩模型，考察了所給出的量子隨機游蕩模型的動力學性質(zhì)，證明了該量子隨機游蕩在任意初始態(tài)下的態(tài)以及概率分布，該結(jié)果表明，本文所構(gòu)建的模型具有強局部化性質(zhì).最后，證明了其在真空初始態(tài)下的極限分布為正態(tài)分布.

定義2.1對任意k≥0，在H上存在一個有界算子?k，使得

?kZσ=Zσk,σ∈Γ,

其中σk=σ{k}，且‖?k‖=1，稱?k為差算子.

證明?σ∈Γ有

?k?lZσ=?k(?lZσ)=?kZσl=Zσ{k,l},

?l?kZσ=?l(?kZσ)=?lZσk=Zσ{k,l},

同理可證，?k?k=?k.

定義2.4設(shè)l2(Ζ,H)表示整數(shù)格上的離散時間量子隨機游蕩模型的態(tài)空間，其態(tài)由l2(Ζ,H)中的標準正交基線性表示，其時間演化滿足方程

其中Φn表示該量子隨機游蕩在n時刻態(tài)，n≥0，特別地，Φ0表示初始態(tài).

引理2.5設(shè)量子隨機游蕩的初始態(tài)Φ0∈l2(Ζ,H)滿足：Φ0(x)∈Hn-1,x∈,其態(tài)序列(Φn)n≥0具有如下性質(zhì)：

{Φn(x)|x∈}?Hn-1,n≥1,

Hn-1是前一段所定義的子空間.

上述引理說明，當量子隨機游蕩的初始態(tài)滿足適當?shù)臈l件時，其態(tài)序列滿足某種“可料”性質(zhì).結(jié)合文章所給量子隨機游蕩模型和上述引理，我們利用數(shù)學歸納法，能夠給出量子隨機游蕩在任意初始態(tài)下，各個時間態(tài)的具體形式.

定理2.6設(shè)量子隨機游蕩模型的初始態(tài)Φ0∈l2(Ζ,H)為：

這里f(σ)∈，且則對于n≥1就有

證明根據(jù)引理2.5，Φ0(x)∈Hn-1，x∈.

易見，當x∈{-1,1}時，Φ1(x)=0,

因此，定理對于n=1成立；

假設(shè)n=k,k≥1時，定理成立;

那么，當n=k+1時，x?{2j-(k+1)|0≤j≤k+1}時，Φn+1(x)=0，那么

Φk+1[2j-(k+1)]

則當n=k+1時，定理成立；

綜上，定理成立，證畢.

定義2.4中，通過函數(shù)x‖Φn(x)‖2，我們給出了定義在整數(shù)格上的一個概率分布，把它稱為量子隨機游蕩在n≥0時刻，x∈位置的概率分布，這里，‖Φn(x)‖2表示在n≥0時刻，x∈處發(fā)現(xiàn)量子游蕩者的概率.利用定理2.6的結(jié)論，我們就能給出了量子隨機游蕩在真空初始態(tài)下， 量子隨機游蕩的概率分布.

定理2.7設(shè)新模型的初始態(tài)Φ0∈l2(Ζ,H)如定理2.6中所示，則對于n≥1，就有

P{Xn=x}=‖Φn(x)‖2

證明這里我們直接利用定理2.6的結(jié)論.由于

并且當x?{2j-n|0≤j≤n|}時，P{Xn=x}=‖Φn(x)‖2=0，證明完畢.

下面一個定理給出了量子隨機游蕩在真空初始態(tài)的條件下,量子隨機游蕩的態(tài),該定理說明本文中的量子隨機游蕩模型具有很強的局部化性質(zhì).

則對一切n≥1，有

證明這里直接利用定理2.6的結(jié)論.取σ=?，f(σ)=1，就有

得證.

定理2.9設(shè)量子隨機游蕩模型的初始態(tài)為真空初始態(tài),當對于n≥1,量子隨機游蕩模型就有如下的概率分布

證明這里我們直接利用定理2.6的結(jié)論,由于

那么,當x=2j-n，0≤j≤n，時，

并且當x?{2j-n|0≤j≤n}時,就有：P{Xn=x}=‖Φn(x)‖2=0，證明完畢.

下面一個定理給出了量子隨機游蕩模型在真空初始態(tài)下的極限分布.

上述定理說明，本文所給出的模型在真空初始態(tài)下的極限分布是標準正態(tài)分布，這與經(jīng)典的隨機游蕩有著相同的極限分布.

四、總結(jié)與展望

本文定義了在Bernoulli泛函空間上的兩類新算子,利用這兩類算子構(gòu)造了一種量子隨機游蕩模型,給出了量子隨機游蕩模型在任意初始態(tài)下的態(tài)以及概率分布,又給出了該模型在真空初始態(tài)下的態(tài)、概率分布以及其極限分布.在未來,我們可以考慮該模型在開放的量子系統(tǒng)中的表示，并且可以討論該模型在一般初始態(tài)下的極限分布.