MATLAB在“自動控制原理”課程中的應用

席敏燕

（山西工程技術學院 電氣與控制工程系，山西 陽泉 045000）

0 引 言

“自動控制原理”是電氣自動化學科的重要理論基礎課程，也是電氣工程及其自動化專業(yè)的核心課程，在整個課程體系中為后續(xù)的專業(yè)課程打下了重要的理論基礎。近幾年，本科都在進行專業(yè)建設，專業(yè)課的學分變少，但是要學的知識沒有減少。在這種情況下，老師就必須進行課程教學改革，改變教學手段和方法，提高教學的質(zhì)量。將自動控制原理的理論教學和MATLAB 仿真結合起來，使學生不僅能學習課堂理論知識，而且可以掌握通過計算機軟件對自動控制系統(tǒng)進行分析。通過把傳統(tǒng)的填鴨式的課堂講授與現(xiàn)代化的教學工具相結合，利用MATLAB 軟件仿真對書本上所學知識點進行驗證和分析，激發(fā)學生主動參與到學習中來，體會到學習的樂趣，同時加深學生對所講內(nèi)容的理解。

1 “自動控制原理”課程的特點

“自動控制原理”是專門研究有關自動控制系統(tǒng)中基本概念、基本原理和基本方法的一門課程，具有概念抽象、公式推導復雜、題目計算量大等特點。本課程所講授的內(nèi)容包括：對自動控制系統(tǒng)中的基本概念和基本原理的介紹、線性定常系統(tǒng)的數(shù)學模型的建立、如何對控制系統(tǒng)進行時域和頻域分析、用根軌跡法分析系統(tǒng)的性能、如何對控制系統(tǒng)進行設計和校正等。多年來，該課程一直是主講理論內(nèi)容，存在很多抽象和復雜的概念，很難理解，不管是利用教室黑板板書還是引入多媒體教學，學生掌握情況都不是很好。很多同學感覺聽懂了，但是一做題就不會，特別是綜合性的計算題，失分是最嚴重的。雖然有8 學時的實驗教學，但是學生每次做實驗都是按照實驗指導書上的電路圖進行接線，因為實驗箱上很多元器件不穩(wěn)定，尤其是電容，所以造成實驗結果不準確甚至出不來實驗結果的現(xiàn)象，嚴重阻礙了課程教學。因此，必須迫切探究一種合適的教學方法，使學生既能學習到書本上的理論內(nèi)容，又能鍛煉學生實際操作的能力，進一步提高學生的綜合素質(zhì)。

2 MATLAB 軟件的介紹

MATLAB 這個名稱是由英文單詞Matri 和Laboratory 的前三個字母組成，是MathWorks 公司推出的一種具有廣泛應用前景的計算機高級編程語言[1]。MATLAB 主要應用于控制系統(tǒng)的分析、數(shù)學模型的建立、信號的檢測和分析處理等領域[2]。隨著科技的發(fā)展，許多工程師對MATLAB 進行完善，使其逐漸發(fā)展成為一個具有極高通用性且?guī)в斜姸鄬嵱霉ぞ叩倪\算操作平臺[3]。Simulink 是MATLAB 提供的實現(xiàn)動態(tài)系統(tǒng)建模和仿真的一個軟件包，是基于框圖的仿真平臺。Simulink 提供了各種仿真工具，尤其是它不斷擴展的、內(nèi)容豐富的模塊庫，為系統(tǒng)的仿真提供了非常方便的條件。Simulink 仿真對系統(tǒng)的建模過程非常簡單，通過在搭建的模型上改變仿真參數(shù)，能立馬把仿真的結果展示出來。

3 MATLAB 在“自動控制原理”課程中的教學改革實例

3.1 通過MATLAB 仿真對系統(tǒng)的穩(wěn)定性進行分析

系統(tǒng)穩(wěn)定性是系統(tǒng)自身的固有特性，是系統(tǒng)能夠正常工作的前提條件。因此分析系統(tǒng)的穩(wěn)定性，研究系統(tǒng)穩(wěn)定的條件，是控制理論的重要組成部分。只有穩(wěn)定的系統(tǒng)，分析系統(tǒng)的快速性和準確性才有意義。線性定常系統(tǒng)穩(wěn)定的充分必要條件是系統(tǒng)特征根的實部都小于零，或者系統(tǒng)的特征根均在根平面的左半平面。根據(jù)穩(wěn)定的充分必要條件判別系統(tǒng)的穩(wěn)定性，需要求出系統(tǒng)的全部特征根，但當系統(tǒng)階數(shù)變高時，求解特征方程將會遇到較大困難，計算工作將相當難。使用MATLAB 仿真不需要求解系統(tǒng)的特征方程，通過簡單地幾行代碼就能求出系統(tǒng)的閉環(huán)極點。而且根據(jù)MATLAB 編程得到系統(tǒng)的閉環(huán)零、極點分布圖，可以快速地分析出系統(tǒng)的穩(wěn)定性[4]。

圖1 判斷系統(tǒng)穩(wěn)定性的代碼

由圖1 可知，系統(tǒng)存在3 個特征根，并且它們的實部都小于0，滿足系統(tǒng)穩(wěn)定的充分必要條件，所以該系統(tǒng)是穩(wěn)定的。通過圖2 的閉環(huán)零、極點分布圖也可以看出，3 個特征根也都在虛軸的左側(cè)，也能證明該系統(tǒng)是穩(wěn)定的。

圖2 系統(tǒng)的閉環(huán)零、極點分布圖

3.2 利用MATLAB 畫系統(tǒng)的根軌跡

控制系統(tǒng)的穩(wěn)定性、快速性等性能，主要取決于s 平面上系統(tǒng)的特征根的分布情況，但是直接求取高階系統(tǒng)的閉環(huán)極點是很困難的。根軌跡法作為一種圖解法，它不直接求解特征方程，而利用系統(tǒng)的開環(huán)零、極點分布圖，研究某些參數(shù)變化時系統(tǒng)的特征根的變化情況，然后對控制系統(tǒng)的性能指標進行分析。自動控制原理可以通過基本規(guī)則來概略畫出系統(tǒng)的根軌跡，但是對于比較復雜的系統(tǒng)，這些規(guī)則計算步驟較多，計算量大，學生求解比較麻煩，人工繪制根軌跡就變得十分復雜和困難。然而如果使用MATLAB 軟件繪制根軌跡是十分方便的，只需調(diào)用rlocus()函數(shù)，編寫幾行代碼就可以快速繪制出系統(tǒng)的根軌跡。

圖3 繪制根軌跡的程序

圖4 系統(tǒng)的根軌跡圖

從圖3 可以很明顯的看出來，用MATLAB 軟件繪制系統(tǒng)的根軌跡，三行代碼就可以完成，非常簡單方便。如果人工繪制該系統(tǒng)的根軌跡，系統(tǒng)的開環(huán)傳遞函數(shù)最高階次是4，那么系統(tǒng)的開環(huán)極點和開環(huán)零點就很難求出來，更不用說后續(xù)的那些規(guī)則了。所以對于階次比較高的復雜系統(tǒng)，用MATLAB 仿真軟件繪制系統(tǒng)的根軌跡就變得十分簡便。

3.3 利用MATLAB 通過系統(tǒng)的傳遞函數(shù)求系統(tǒng)的輸出響應

將上式進行拉普拉斯反變換求輸出響應c（t），求解過程是非常復雜的，很難計算。如果用MATLAB 仿真求解系統(tǒng)的輸出響應，可由下面的MATLAB 語句求出系統(tǒng)輸出的部分分式展開式。

所以系統(tǒng)的單位階躍響應可以寫為

由上述可知，已知系統(tǒng)的傳遞函數(shù)，如果先求出輸出函數(shù)C（s），再通過拉普拉斯變換求出輸出響應c（t），對于上述例子是很難求解的。通過MATLAB 軟件幾行代碼就可以求出系統(tǒng)的單位階躍響應，非常的簡單方便。

3.4 利用MATLAB 分析系統(tǒng)的動態(tài)性能指標

評價一個控制系統(tǒng)的好壞，總是用一定的性能指標來衡量的。性能指標可以再時域里提出，也可以在頻域里提出。動態(tài)過程是系統(tǒng)從初始狀態(tài)到接近穩(wěn)態(tài)的響應過程，即過渡過程。為便于分析和比較，通過動態(tài)性能指標是以系統(tǒng)對單位階躍輸入的瞬態(tài)響應形式給出的[5]。動態(tài)性能指標包括最大超調(diào)量、峰值時間、上升時間、振蕩次數(shù)、調(diào)整時間等，其定義及計算公式都很煩瑣。通過MATLAB 仿真，幾行程序就可以畫出系統(tǒng)的單位階躍響應曲線，并且鼠標在曲線上一點就可以顯示該時刻的值。MATLAB 仿真出的結果非常直觀，還可以改變系統(tǒng)的參數(shù)來演示動態(tài)性能指標的變化，讓學生更容易理解參數(shù)變化對系統(tǒng)性能指標的影響，進而對課堂知識進行鞏固。

通過圖5 和圖6 的曲線可以得到，當ξ=0.2 時系統(tǒng)的動態(tài)性能指標，即系統(tǒng)的超調(diào)量為52%，上升時間為0.454 s，峰值時間為0.778s。當ξ=0.4 時，即系統(tǒng)的超調(diào)量為25%，上升時間為0.542 s，峰值時間為0.853 s。由對比可以看出，當二階振蕩系統(tǒng)的wn 相同時，ξ越大，超調(diào)量越小，系統(tǒng)響應的平穩(wěn)性越好。ξ越小，響應的起始速度較快，但因振蕩強烈，衰減緩慢，所以調(diào)整時間也長，系統(tǒng)的快速性較差。通過MATLAB 仿真圖的對比可發(fā)現(xiàn)，當wn相同，ξ發(fā)生變化時，系統(tǒng)階躍響應曲線變化，動態(tài)性能指標也變化，圖像清晰明了，簡單直觀，有利于學生加深對理論知識的理解。

圖5 ξ=0.2 系統(tǒng)的單位階躍響應曲線

圖6 ξ=0.4 系統(tǒng)的單位階躍響應曲線

4 結 論

通過以上分析可知，必須迫切地把MATLAB 軟件仿真引入到自動控制原理理論知識講解過程中。采用MATLAB仿真軟件進行仿真教學，有非常多的優(yōu)點，不僅比實驗室連接電路安全，不用擔心燒壞實驗箱，而且不受時間和地點的限制，既可以在課堂上、實驗室進行仿真，也可以讓學生課下自己操作。將MATLAB 仿真教學和傳統(tǒng)的課程講授相結合，既充實了教學的多樣性，又激發(fā)了學生主動學習的興趣，提高了學生的學習效率，更進一步提升了學生的實踐應用能力。