小學數(shù)學教學中數(shù)學推理的理論和實踐

朱 瑩

(江蘇省宿遷市南京師范大學附屬中學宿遷分校 江蘇 宿遷 223800)

數(shù)學推理是數(shù)學學習的核心，然而對推理的定義和數(shù)學推理的形式有許多不同的看法。首先分析了理解數(shù)學推理的4種不同視角，涵蓋結(jié)果視角、過程視角、結(jié)構(gòu)視角、模仿與創(chuàng)造視角。在此基礎(chǔ)上，以小學階段代數(shù)、比例和空間3個內(nèi)容為例，對數(shù)學推理能力在其中的具體體現(xiàn)和相關(guān)的推理教學進行了分析。教師可通過在教學中設計創(chuàng)造性的推理任務以及鼓勵學生解釋與表達等方式促進數(shù)學推理在課堂教學中的落實。

1.理解數(shù)學推理

什么是推理。推理是人們學習和生活中經(jīng)常使用的思維方式，也是數(shù)學的基本思維方式。不同學者對推理有不同的看法，總的來說，推理與論證、推斷、思考有緊密的聯(lián)系但又有不同。這里借鑒哲學家圖爾與教育心理學家莫什曼的觀點，來辨析這些與推理相似的概念，希望能為廣大研究者理解課堂中的推理教學，特別是數(shù)學推理提供一些參照。圖爾明認為推理的重要特點在于其社會性。具體而言，個體本身及其所處環(huán)境的差異會造成觀點與判斷標準的不同，某一群體中“不證自明”的觀點并非適用于另一個群體，而推理便是人們在交流中為支持與維護某個主張而批判地檢驗與篩選觀點的過程。圖爾明關(guān)于推理的定義主要強調(diào)個人在推理活動中所處的情境和人際間的互動，注重考慮邏輯結(jié)構(gòu)的完整性和正確性，對學科知識的正確性涉及較少，其論證模式常常被用作分析學生論證的評價標準。教育心理學家莫什曼則從認知心理學的視角對發(fā)展推理所需要的能力進行探討，他認為推斷和思考是推理能力發(fā)展的前提。推斷是最為基本與普遍的行為之一，例如嬰兒時期根據(jù)聲音推斷物體的位置、從成人的面部表情推斷其情感，在日常的對話、閱讀等活動中都離不開推斷。思考則是有意識、有目的地運用推斷解決問題、做出決定、判斷與計劃等，是個體認識與控制自己認知過程的能力，即原認知能力的體現(xiàn)。在具備推斷與思考能力的基礎(chǔ)上，個體進行推理還要能夠?qū)⑼普撆c意圖同適當?shù)耐普摐蕜t相結(jié)合，莫什曼稱之為知識認知、認知心理學視角對推理的理解，凸顯個體的認知能力，以及程序與規(guī)則在推理中的必要性。以上從哲學和心理學層面關(guān)于推理的分析，指出了推理的內(nèi)涵和特點。這些觀點既重視推理的主要成分和邏輯結(jié)構(gòu)，也強調(diào)個體在推理活動中的心理歷程。課堂教學是涉及人的活動，師生與學生間互動和交流是培養(yǎng)推理的重要方面，它不僅僅是具有個人特質(zhì)的行為，更是由一系列集體性的實踐和準則所構(gòu)成的活動。因此，數(shù)學課堂中進行推理的教學，需要了解推理中涉及與學科知識相關(guān)的主張或結(jié)論、資料，以及理由或論據(jù)，在關(guān)注學生個體的心理歷程前提下，多鼓勵學生進行推斷和思考，同時也考慮推理過程中邏輯結(jié)構(gòu)的完整性和正確性。下面結(jié)合數(shù)學學科的具體內(nèi)容分析數(shù)學推理的特點。

2.理解數(shù)學推理的3種視角

在現(xiàn)有關(guān)于數(shù)學推理的研究中，存在多種類別的劃分方式，而不同類別與表述的背后所反映出來的實際是研究者對數(shù)學推理不同方面的關(guān)注。例如，在課堂教學中應將推理視為數(shù)學學習結(jié)果還是學習過程本身？推理教學應著重于不同推理結(jié)構(gòu)的理解，還是關(guān)注推理策略得到的方式？下面將結(jié)合前文中提出的邏輯結(jié)構(gòu)與心理特征兩個方面對數(shù)學推理的界定從3個不同的視角進行分析和總結(jié)。

視角1：結(jié)果視角，這一視角更關(guān)注推理中的邏輯結(jié)構(gòu)，著重推理所產(chǎn)出的結(jié)果，將推理視為在任務解決過程中形成主張并得出結(jié)論的一系列想法，強調(diào)推理所產(chǎn)生的新知識與新成果。這種看法并非否定推理的過程性，更多是出于對觀察與分析便利的考慮，從結(jié)果的視角來定義數(shù)學推理，看重學生思考分析、解決問題的結(jié)果。

視角2：結(jié)構(gòu)性視角，側(cè)重在推理中如何從主張走向結(jié)論，著重描述構(gòu)成推理邏輯結(jié)構(gòu)的各個要素及其相互關(guān)系，據(jù)此也有公認的3種推理形式，它們是演繹)推理、歸納(inductive)推理和溯因推理。演繹推理和歸納推理是較為熟悉的類型。中國《義務教育數(shù)學課程標準(2011年版)》將數(shù)學推理是劃分為合情推理和演繹推理。合情推理是從已有的事實出發(fā)，憑借經(jīng)驗和直覺，通過歸納和類比等手段推斷某些結(jié)果；演繹推理是從已有的事實(包括定義、公理、定理等)和確定的規(guī)則(包括運算的定義、法則、順序等)出發(fā)，按照邏輯推理的法則證明和計算。最新修訂的《普通高中課程標準》中進一步指出，邏輯推理主要包括兩類：一類是從特殊到一般的推理，推理形式主要有歸納、類比；一類是從一般到特殊的推理，推理形式主要有演繹。演繹推理被視為唯一一類能夠得到確定結(jié)論的推理，也是數(shù)學教學中常常涉及的一種推理形式。而歸納推理在實踐中更多表現(xiàn)為對規(guī)律的找尋，通過猜想、尋找模式等提出一個具有一般性的結(jié)果。

視角3：模仿和創(chuàng)造性推理。較之前3種視角，利特納提出的模仿與創(chuàng)造性推理更加聚焦于推理策略得到的方式，也就是更關(guān)注推理中個體經(jīng)歷的心理過程。模仿推理是指通過回想或效仿某些既定程序而進行的機械推理，主要包括記憶推理和算法推理兩類。當學生進行記憶推理時，問題解決策略的選擇是基于對一個完整答案的回憶，而策略的實施僅僅是將回憶出的答案抄寫下來。此類推理在數(shù)學教學中也十分常見：學生將背誦的證明或解題步驟套用于新問題中；也會因“之前的題目有(沒有)這樣的答案”等理由而選擇(拒絕)某種作法。模仿推理中另一類是算法推理，這里的算法并非僅指計算中的步驟或方法，而是泛指一切預先制定的程序。學生在進行算法推理時，會對全部已知的策略進行篩選，在預測不同策略的可能結(jié)果后作出選擇，策略的實施等其余推理環(huán)節(jié)對于推理者則不太重要，除非由于粗心所造成的計算錯誤，否則一定會得到正確答案。換而言之，識別與選擇合適的程序是算法推理中的關(guān)鍵與主要任務。不同于傳統(tǒng)的演繹推理和歸納推理劃分，著重于推理邏輯結(jié)構(gòu)的各個要素及其相互關(guān)系，利特納所提出的推理類型更關(guān)注學生個體在推理中的心理歷程，為理解數(shù)學推理提供了新的視角，特別是幫助理解學生數(shù)學問題解決的過程，比如透過分析學生的推理過程，可以知道學生在問題解決過程中的策略和答案究竟是來源于對問題內(nèi)容的分析、比較等，還是僅僅是基于回憶與猜測?？偟膩碚f，盡管研究中存在對數(shù)學推理的不同理解，但還是脫離不開圖爾明提到的推理結(jié)構(gòu)中的各個要素及其相互關(guān)系。不同視角下的推理類型只是更強調(diào)這一邏輯結(jié)構(gòu)的某些部分，這些不同的理解會有助于研究者從不同角度培養(yǎng)學生的數(shù)學推理能力。例如，重視過程視角的數(shù)學推理促使教師關(guān)注推理所包含的具體環(huán)節(jié)，重視結(jié)構(gòu)視角的數(shù)學推理為教師設計與選擇教學任務提供依據(jù)，重視模仿與創(chuàng)造性推理，則能幫助教師對教學活動中學生的數(shù)學推理進行診斷和分析。

3.小學數(shù)學教學中數(shù)學推理的體現(xiàn)

從理論層面對推理的概念進行分析后，不難發(fā)現(xiàn)，數(shù)學推理作為一種思維方式貫穿于數(shù)學學習活動的全過程。因此，教師并非只有在特定的數(shù)學內(nèi)容或特定的教學環(huán)節(jié)才適合培養(yǎng)學生的數(shù)學推理能力。不過也應看到，對于不同的學習內(nèi)容，數(shù)學推理的表現(xiàn)形式確有不同。故此，結(jié)合國內(nèi)外的相關(guān)研究，對學校數(shù)學教學中的代數(shù)推理、比例推理和空間推理3種常見的數(shù)學推理的特點進行介紹，并結(jié)合具體的例子為教師如何進行數(shù)學推理教學提供參考。

3.1 代數(shù)推理。代數(shù)推理往往涉及到對數(shù)學結(jié)構(gòu)的探索，而這是進行一切數(shù)學思考的基礎(chǔ)，而且代數(shù)推理也滲透于日常生活的方方面面，諸如購物中對商品的比較，駕車時對行駛時間的估計，等等。另外，從小學數(shù)學學習到中學的一個明顯轉(zhuǎn)變就是正式開始代數(shù)學習，這一轉(zhuǎn)換對于大多數(shù)學生而言往往是十分困難的．研究表明，在小學階段有意識地培養(yǎng)學生代數(shù)推理能力能夠為學生實現(xiàn)這一轉(zhuǎn)換提供相應的支持。代數(shù)推理可以視作是對具體的數(shù)字與計算進行概括，將所得到的結(jié)論用有意義的數(shù)學符號進行表達，并對所得到的模式進行探索。簡而言之，尋找、識別概括與運用潛在的數(shù)學結(jié)構(gòu)構(gòu)成了代數(shù)推理的幾個重要方面。其中，數(shù)學結(jié)構(gòu)既可以指代廣義的群、環(huán)、域等課題，也包括由具體運算所抽象出的結(jié)構(gòu)、規(guī)則和一般化的算理等。這里主要基于后者對數(shù)學結(jié)構(gòu)的定義對小學階段的代數(shù)推理進行分析。小學階段的代數(shù)推理主要體現(xiàn)在理解符號的意義與數(shù)字的不同屬性，明晰加減乘除運算中的算理等。代數(shù)推理的核心是用符號表示出概括的結(jié)構(gòu)，但在正式的學習中，代數(shù)通常是以預定的規(guī)則語法和符號語言呈現(xiàn)，供學生記憶，學生幾乎沒有對符號意義及其規(guī)則進行探索與表達的機會。那么要如何滲透代數(shù)推理？舉例來說，在早期數(shù)學學習中，教師可采用實物或鼓勵學生使用自己“創(chuàng)造”的非正式符號表示算術(shù)屬性，如“★+★=2×★”，并對其中的關(guān)系進行陳述與解釋。同樣，教師也可通過引導學生考慮奇數(shù)、偶數(shù)不同組合相加后所得結(jié)果的奇偶性，以促使學生從關(guān)注“和”的多少，到對“和”的不同屬性進行代數(shù)思考。類似的例子還包括探索加法交換律與乘法交換律等。學生在這一過程中進行猜想、比較與歸納等，在形成意義理解的同時也提高升了推理能力。再如教學8的乘法口訣，如果只是簡單引入口訣，然后請學生通過背的方式記憶口訣再應用到問題解決中，那么學生就只是在應用簡單的模仿推理。而如果將教學的過程豐富起來，引導學生思考并交流討論，提出諸如“八八六十四”這句口訣是怎么來的這樣的問題，學生就可能提出：(1)8×4=32(4個8相加)，那么8×8=64(8個8相加，就是4個8相加的翻倍)；(2)8×3=24(3個8相加)，8×5=40(5個8相加)，合起來就是8×8=64(8個8相加)等不同的思路，如果從過程的角度來看待這段教學，學生就是在經(jīng)歷“通過與自我對話或與他人進行對話，而從一個數(shù)學觀點推斷出另一個數(shù)學觀點的過程”，這一過程中恰恰可以體現(xiàn)學生對內(nèi)容的“比較與分析”，創(chuàng)造性地解決問題。此外，“找規(guī)律”的形數(shù)問題也是代數(shù)領(lǐng)域推理能力的體現(xiàn)。小學階段可通過提供有一定規(guī)律的視覺圖片為學生提供探索與建立數(shù)量間的關(guān)系的機會。例如，圖4左邊是一種重復變化模式，為低年級學生創(chuàng)造了一種簡單的遞歸模式，體驗初步的模式分析與預測的推理過程；圖4右邊則屬增長變化模式，可以用以引導學生從關(guān)注“每次增加2淺灰色磚”的數(shù)量變化到提煉出圖形序號同磚塊數(shù)之間的關(guān)系，并對任何序號下的磚塊數(shù)量進行預測。這一過程也能為將來中學階段的函數(shù)思想的形成奠定基礎(chǔ)。

3.2 巧妙轉(zhuǎn)化數(shù)學語言，完善學生推理能力。啟發(fā)性教學，不僅僅是思維的啟發(fā)，還在于語言的啟發(fā)?？紤]到這一點，教師可以有效地將數(shù)學問題和知識點轉(zhuǎn)化為數(shù)學語言，融入課堂課程，激發(fā)學生在練習后進行語言表達。例如，在傳授“三角形的面積”內(nèi)容時，老師在課上提出的第一個問題是：“我怎樣才能找到平行四邊形面積的公式？”還要記住平行四邊形面積的公式。之后，老師利用多媒體將兩個大小相同的三角形分成了一個平行四邊形。通過這個，學生們討論了“這兩個三角形之間的關(guān)系”，這是平行四邊形的基礎(chǔ)。而地球的高和高與三角形的高低又是什么關(guān)系呢？“區(qū)域公式是什么？”在反思的過程中，學生將圖形知識用語言表達出來，在演示的過程中，自主推理出三角形的面積公式。

3.3 猜想求證培養(yǎng)學生推理能力。由于小學生推理能力的發(fā)展不是一蹴而就的，因此教師在教授推理能力時必須要有耐心，讓學生有足夠的時間和空間去思考和提高。此外，教師應注重實施教學方法和策略?？梢詫W生組織成小組，實施公開的小組教學方式，讓小學生大膽預測，敢于掌控小組合作的意識形態(tài)。并進行討論，不斷改進。例如，老師研究學生的一門課：“如果三角形的一邊長5厘米，另一邊長6厘米，那么第三邊是多少厘米？”這道題目的學習時，就可以讓學生結(jié)合教材中所學的“三角形任意兩條邊的邊長之和大于第三邊、任意兩條邊之差小于第三邊”的定理進行合理推算。然后，老師將學生帶到教室里，讓小組分享和測試他們的假設。進而讓學生能夠在思維碰撞和多向交流中對三角形的相關(guān)知識有深入的了解。