始于運算 達于素養(yǎng)
——小學中年級數學運算能力培養(yǎng)的實踐探究

薛燕萍

(江蘇省常州市冠英小學 江蘇 常州 213000)

隨著課程改革的不斷深入，核心素養(yǎng)被置于深化課程改革、落實立德樹人目標的基礎地位。計算教學是發(fā)展學生運算能力的重要載體。一直以來，運算能力在我國小學數學教學中占據重要的地位，被視為三大基本能力之一，是數學學習的基礎，也是日常生活必須的基本技能。蘇霍姆林斯基曾經說過：“知識是最容易被遺忘的，而能力卻永遠伴隨終身?！币虼耍瑪祵W教師在教學中要注重培養(yǎng)學生的運算能力，幫助學生掌握各種運算方法與技能，還要在解決問題的過程中引導學生養(yǎng)成嚴謹的思維習慣。這正是計算教學所蘊含的獨特的育人價值，是培養(yǎng)學生數學核心素養(yǎng)的具體表現。

1.數學運算能力的內涵解讀

1.1 運算能力的認識。在20世紀，我國的數學教學大綱或數學課程標準中，對于小學生運算能力的培養(yǎng)都是極其重視的，都將其作為核心概念。但2001年頒布的《全日制義務教育數學課程標準(實驗稿)》卻未將運算能力作為六大核心概念之一。直到在《義務教育數學課程標準(2011年版)》(以下簡稱《標準》)中，才從增運算能力為十大核心概念之一，并將其定義為：運算能力主要是指能夠根據法則和運算律正確地進行運算的能力。培養(yǎng)運算能力有助于學生理解運算的算理，尋求合理簡潔的運算途徑解決問題。教育部基礎教育課程教材專家工作委員會組織編寫的《義務教育數學課程標準(2011年版)解讀》一書表達得更為詳細：不僅會根據法則、公式等正確地進行運算，而且理解運算的算理，能夠根據題目條件尋求正確的運算途徑，稱為運算能力。歸納起來就是三點：正確運算；理解算理；尋求正確的運算途徑?！稑藴省分匦绿岢鲞\算能力的核心概念，足以表明國家對義務教育階段學生數學運算能力培養(yǎng)的再次重視，這也是對運算能力在小學數學教學中的地位和作用的肯定。

1.2 運算能力的特征。運算能力的特征包括規(guī)范性、理解性、靈活性、合理性和創(chuàng)新性。運算指的是根據一定的數學概念、法則和定理，由一定已知量，通過計算得出確定結果的過程。因此，運算結果和過程的正確是運算“對”的內涵。在運算正確的前提下，教師還應關注學生運算方法的合理性和創(chuàng)新性，過程的理解性和簡潔性，以及書寫的規(guī)范性。

1.3 運算能力的形成。“課標2011年版”指出“運算能力是在不斷地運用數學概念、法則、公式，經過一定數量的練習而逐步形成的”。其中，“不斷地運用”包含兩個方面，一方面是不能讓學生在已有水平上停滯不前，另一方面是不能超越知識的內容和其他能力水平孤立發(fā)展，也就是說，運算能力的培養(yǎng)具有一定的層次性；“一定數量的練習”指出能力培養(yǎng)需要載體和素材，需要把握適度性，它不是“題海戰(zhàn)術”。

運算能力并非單一的、孤立的數學能力，而是運算技能與語言表達、邏輯思維等的有機整合。小學中年級運算能力主要包括整數領域中的口算、估算、筆算、驗算、用計算器計算以及靈活計算的能力，要求學生會根據法則、公式正確地進行運算，并理解算理，能夠根據問題的情景，尋求與設計合理、簡捷的運算途徑，并能選擇或創(chuàng)新方法，還能對運算結果做合理性的判斷。

2.數學運算能力的影響因素

在學生方面，影響學生運算能力的因素主要有以下五點。

2.1 運算書寫的規(guī)范性。中年級學生不規(guī)范的書寫習慣主要有以下幾方面：有的學生書寫不清晰，會把7寫成1,6寫成0等；有的學生書寫不規(guī)范，盡量改正。

2.2 運算過程的理解性。大部分學生都會用豎式準確地計算除法，但有的學生對除法中每一個數字表示的意義并不清楚。通過教師的講解和練習，正確率有所提高，但如果將文字換成圖，學生又容易出錯。

2.3 運算方法的靈活性。學生在計算時沒有靈活計算的意識，拿到題目就做，稍微復雜一點的題目就列豎式，尤其在一步運算中，此現象最為明顯。在兩步及兩步以上的運算中，三年級學生由于還沒有真正接觸簡便計算，所以簡算的意識不強。其次，平時練習中這類題目接觸不多，所以簡算的能力不夠。四年級學生會運用運算律進行簡便計算，但對于稍復雜的簡便計算不能很好的分析題意，沒有克服困難的毅力。例如，計算97×24+72時，學生很難發(fā)現72就是3個24；計算18+17×29時，學生不會意識到需要將18分成17和1。對于需要多次進行簡便計算的，學生不能靈活運算，例如，56×98+56=56×99=5544,在計算56×99時學生沒有簡算的意識。說明學生對靈活運算的類型還不是很清楚，意識和能力還不強，不會聯系運算意義進行簡算。

2.4 運算結果的合理性。主要體現在以下三方面：第一，學生數學語言表達能力欠缺，往往寫了很多卻答不到關鍵點，沒有用算式或字母進行數學語言表達的意識。第二，不會聯系運算的特點進行分析。第三，學生在解決問題的過程中，運用估算的意識不強，而估算的方法又比較靈活，需要根據不同情境選擇不同方法，學生選擇合適的估算方法的能力還不強，例如，足球的單價是72元，王老師買了7個這樣的足球，500元夠嗎？學生常常會運用四舍五入法進行估算，把72估成70，但在此題中顯然不合適，學生還要聯系生活經驗選擇將72估大。

2.5 運算思維的創(chuàng)新性。在教師方面，主要是有的教師沒有清晰的解讀教材，例如，用豎式計算57×40時，如果學生將7和0對位，有的老師也算正確，這些教師往往更注重運算結果，而沒有及時優(yōu)化筆算方法；有的教師教學運算方法時，沒有將所學內容放在學生熟悉的情境中，為教而教，這樣教出來的學生只會按部就班的計算，往往不理解算理，不知道為什么要這樣算，每一步表示什么意思；有的教師在平時的新授課或練習課中，沒有滲透靈活運算和對運算結果合理性的判斷的方法；大部分教師不會將學情和運算內容結合起來自主設計一些關于運算的題目，往往都是讓學生做現成的試卷或練習冊，練習沒有針對性。

3.數學運算能力的培養(yǎng)策略

3.1 培養(yǎng)良好習慣，降低運算的錯誤率。俗話說：“好習慣，益終身”。通過統(tǒng)計學生測試和平時作業(yè)中運算的得分率和分析錯誤原因，發(fā)現很多錯誤都是不良的學習習慣造成的。

3.1.1 教師在新授課時應正確的指導書寫格式，最好能結合數學史介紹，在學生容易出錯的地方重點強調，加深學生的印象。中年級學生用遞等式計算時，往往格式會錯誤，因為學生剛接觸遞等式會受已有經驗影響，如果新授課上老師不強調、不詳細地介紹，就很難給學生留下深刻印象。

3.1.2 教師應通過示范、作業(yè)指導等，培養(yǎng)學生規(guī)范的書寫習慣，并長期嚴格要求。學生書寫的隨意性經常會導致把1看成6，把7看成1等。

3.1.3 教師應培養(yǎng)學生良好的檢查習慣。時時提醒，形成習慣；以身作則，樹立榜樣；教給方法，避免盲目；語言激勵，增強信心；給足時間，落實到位。

3.2 經歷豐富活動，讓算理與算法相融。在計算教學中，要引導學生循“理”入“法”，讓學生不僅“知其然”，更要“知其所以然”，達到以“理”馭“法”、“理”“法”相融的要求。在中年級運算中，對“算理”的理解主要體現在對豎式計算的理解和結合具體問題(算法)步驟的理解，以及對問題解決下的算理理解(表達與分析)。運算教學一般情況下比較枯燥，有的知識點學生自以為會了就不認真聽了，教師可以在運算教學中多設計一些活動，以學生為中心，讓學生多操作、多交流、多對比、多反思、多歸納，教師相機給予點播與總結方法。

3.2.1 讓學生在操作中尋求算法、掌握算理。例如，借助小棒分一分，理解除法計算每一步，尤其是余數的意義；借助正方形擺一擺，理解長方形面積計算公式(長×寬)的由來。

3.2.2 鼓勵學生運用已有經驗自主或合作探究算法，在對比中促進算理理解。例如，學習《三位數乘兩位數》時，當出示例題“月星小區(qū)有18幢樓，平均每幢樓住132戶，一共住了多少戶？”后，學生根據已有經驗，會想到以下方法解答。①132×2×9或132×3×6=2376把三位數乘兩位數拆成三位數乘一位數再乘一位數。 ②130×18=2340，2×18=36，2340+36=2376把132個18分成 130個18和2個18。 ③100×18=1800,32×18=576,1800+576=2376聯系課前復習題。 ④132×20=2640，132×2=264，2640—264=2376聯系估算方法，估大了，那就要減去2幢的戶數。⑤132×8=1056，132×10=1320，1056+1320=2376把8幢的戶數加上10幢的戶數就是18幢的戶數。⑥用豎式計算。學生聯系情境，自主選擇方法，在交流中感悟各種算法之間的聯系，促進了算法和算理的相融，在掌握算法的基礎上理解了算理，對算理的理解能更好的鞏固算法。

3.2.3 引導學生歸納運算方法，教師點撥形成計算法則，方便記憶。例如，整數的除法筆算運算法則是“試商定商位，乘商求余數，移數繼續(xù)除，個位要對齊”。汪履平校長編寫的《小學數學學習手冊》中，將小學階段所有運算法則都編成了口訣，方便學生掌握與記憶。

3.3 創(chuàng)設探索時空，體驗方法靈活多樣。著名數學家陳省身曾說過，數學實自己思考的產物，首先要能夠自己思考起來，用自己的見解與別人的見解進行交換……教師要給學生充足的時間去嘗試探究、體驗感悟，在充分的思考和交流中，對比各種資源，并從中對比、選擇出最優(yōu)方法。例如，在三年級《認識面積單位》這節(jié)課，當學生知道了1平方分米有多大時，讓學生想辦法求出《小學生數學報》的面積，有的學生會用1平方分米的正方形比一比，在比的過程中，學生會感悟到其實只要比一比報紙的長和寬，再相乘，還有的學生會把報紙對折再對折，估出四分之一報紙的面積。在這些方法中，后兩種方法顯然比較好，對學生思維要求較高，也為后面學習長方形的面積公式奠定基礎。

教師在鼓勵學生尋求多種方法解決問題的過程中，還要重視讓學生體驗靈活運算的優(yōu)勢。靈活運算在計算模塊(運用運算律簡便計算)和解決問題中涉及的比較多。教師在平時教學和練習中，應多設計此類題目，培養(yǎng)學生數感，讓學生感受運算方法的多樣性、簡便性和運算方式的靈活性。

3.4 巧用錯誤資源，感受方法的合理性。課上，教師應充分利用學生的錯誤資源，多問“這些同學的方法對嗎？你是怎樣想的？”等類似問題，讓同桌互相說一說，既訓練了學生口頭表達能力，又促進學生對運算結果合理性的判斷。在這樣的糾錯過程中，錯誤的學生知道了自己運算方面的不足，正確的學生加深了印象。在交流的過程中，教師要適當滲透判斷運算結果合理性的方法的指導，例如，末尾數值判斷，結果位數判斷，結果與某個乘數的大小判斷，結果實際意義判斷，估算方法判斷，首位結果判斷，估算區(qū)間值判斷等。

課后，教師可以針對學生計算中易混或易錯的地方，設計一些對運算結果合理性的判斷題或題組對比練習題，給學生提供更多合理選擇不同運算方式解決問題的機會，引導學生在比較和辨析中澄清認識，通過分析各種方法，感受方法的多樣性，在對比中體悟方法的合理性，更有利于提升運算水平。

3.5 理解運算意義，根據學情創(chuàng)新方法。一個過于簡單的問題，學生不用跳就能摘到“果子”，他們的思維就難以被激活，就會失去探究的欲望。在運算教學中，教師可以基于學生經驗生長意義，這里的經驗可以是學生具有某些能力或者對相關知識的掌握，例如，學習《筆算三位數乘兩位數》時，學生可以聯系乘法意義和兩位數乘兩位數的經驗，這對于學生不難。那教師設計教案時就要拓寬思路豐富意義，創(chuàng)新方法，設計幾個具有合理挑戰(zhàn)性的問題，讓學生經過深入思考后才能做出應答，這樣才能激發(fā)學生的內驅力。這樣的課堂能夠充分激發(fā)學生學習的主動性，培養(yǎng)學生自主探究、合作交流的能力。課堂適當延伸可以激發(fā)學生的學習熱情，培養(yǎng)自主學習的習慣和深度學習的能力。

3.6 合理轉化知識，感受數學運算之美。小學數學教材的知識體系都是前后聯系的，合理轉化可以溝通知識間的聯系，引導學生運用轉化的策略解決問題，以豐富學生的思維活動經驗，增強合理、靈活地進行運算的能力。例如,在學習《三角形的內角和》時，有的學生會將直角三角形轉化成長方形，根據長方形的內角和是360°，推算出直角三角形的內角和都是180°，再將銳角三角形或鈍角三角形轉化成兩個直角三角形，再次推算出銳角三角形和鈍角三角形的內角和也是180°，從而得出結論“所有三角形的內角和都是180°”，這里既有知識間的轉化，也有方法間的轉化，合理轉化知識可以幫助學生發(fā)現一些有趣的數學現象，感受數學的美與趣，激發(fā)對數學的好奇心。

核心問題是一節(jié)課的教學“主線”，運算教學中通過設計具有開放性、針對性、挑戰(zhàn)性和生長性的核心問題來改造傳統(tǒng)課堂教學面貌，可以促進學生的運算能力的發(fā)展。但運算能力的培養(yǎng)與發(fā)展是一個長期的過程，應伴隨數學知識的積累而淡化。運算能力的培養(yǎng)與發(fā)展不僅包括運算技能的逐步提高，還應包括思維素質的提升和發(fā)展，真正把運算能力作為數學核心素養(yǎng)，就要從純碎計算的外表進入學生思維的核心，從能算、會算發(fā)展到合理的算、簡潔的算的核心，這就是運算教學的至高追求，也是發(fā)展學生數學核心素養(yǎng)的重要路徑。