一類敏感問題的廣義貝葉斯方法

梁敏

【摘要】對數(shù)據(jù)的條件分布為泊松分布的敏感問題，本文提出一種不需要知道先驗分布的廣義貝葉斯方法，得到了表達式很簡單的貝葉斯估計量.

【關鍵詞】敏感問題;隨機化回答技術;廣義貝葉斯估計

【基金項目】北京師范大學珠海校區(qū)教師科研能力促進計劃項目.

一、問題的提出

對于敏感問題，人們通常采用古典的隨機化回答技術[1-2].為了利用一切可以利用的信息，Winkler和Franklin于1979年首次提出了貝葉斯方法（基于Warner模型）[3]，1980年，Pitz對Simmons模型給出了貝葉斯分析[4]，這些貝葉斯方法大都假定參數(shù)服從某種具體的先驗分布，但先驗分布需要根據(jù)經(jīng)驗和過去的歷史資料確定.

本文指出，對數(shù)據(jù)的條件分布為泊松分布的敏感問題，不需要知道參數(shù)的先驗分布即可算出具有敏感特征的人所占比例的貝葉斯估計量，而且其表達式很簡單.

二、廣義貝葉斯方法簡介

貝葉斯學派認為在沒有先驗信息的場合可以采取廣義先驗分布，其一般定義如下：

則稱π（θ）為θ的廣義先驗密度.

例如，在沒有先驗信息的情況下，人們對θ的任何可能取值既無偏愛，又同樣程度的不了解，因此，很自然地把θ取值范圍上的均勻分布取作θ的先驗分布，這樣當θ取值范圍是無限區(qū)間時，先驗概率密度函數(shù)不滿足

因此，不是一個正常的先驗分布，但由此算出的后驗概率密度函數(shù)卻滿足通常的性質(zhì).

一般情況下，無信息先驗分布不是唯一的，但它們對貝葉斯統(tǒng)計推斷的結(jié)果影響很小，所以任何無信息先驗分布都可以采用.當今無論在統(tǒng)計理論研究還是在應用研究中，采用無信息先驗分布越來越多，連經(jīng)典統(tǒng)計學者也認為無信息先驗是“客觀”的，可以接受的.

三、敏感問題中的廣義貝葉斯方法

從推導過程可看出，我們不需要知道F（λ）具體是什么，即不需要知道λ的先驗分布，只要將實驗多進行幾次，直接根據(jù)樣本數(shù)據(jù)就可算出λ的貝葉斯估計量，此貝葉斯估計量表達式很簡單.

四、結(jié)束語

長期以來，貝葉斯方法由于需要知道未知參數(shù)的先驗分布而備受爭議，本文提出一種不需要知道先驗分布的廣義貝葉斯估計方法，得到了穩(wěn)健的貝葉斯估計量.不過，這種方法的使用要求受調(diào)查者重復同一實驗，重復次數(shù)越多效果越好，極端情況是當重復次數(shù)為無窮大時，該估計值等于真值.但無休止的重復可能會遭到拒絕，只能適當次數(shù)地重復.

【參考文獻】

[1]Warner S L.Randomized response：A survey technique for eliminating evasive answer bias[J].Journal of theAmerican Statistical Association，1965（309）：63-69.

[2]Horvitz D.G.Shah，B.V.Simmons etc.The Unrelated Question Randomized Response Model[J].Proceedings of Social Stati.Sec.Amer.Statist.Assoc.1967，65-72

[3]Winkler R L，F(xiàn)ranklin L A.Warners randomized response model：A Bayesian approach[J].Journal of the American Statistical Association，1979（365）：207-214.

[4]Pitz，G.Bayesian analysis of randomized response models.Journal of Psychological Bulletin 87：209-212.