讓學(xué)生品味“數(shù)學(xué)味” 讓課堂彰顯“數(shù)學(xué)化”
——“數(shù)學(xué)歸納法”教學(xué)實(shí)錄與反思*

楊 勇

(江蘇省鎮(zhèn)江市實(shí)驗(yàn)高級(jí)中學(xué) 212003)

1 基本情況

1.1 授課對(duì)象

學(xué)生來自江蘇省四星級(jí)普通高中理科班，基礎(chǔ)較好，有一定的數(shù)學(xué)抽象、數(shù)學(xué)推理和數(shù)學(xué)運(yùn)算能力．

1.2 教材分析

所用教材為《普通高中課程標(biāo)準(zhǔn)實(shí)驗(yàn)教科書(選修2-2)》(蘇教版)，“數(shù)學(xué)歸納法”為第2章“推理與證明”第3節(jié)的內(nèi)容，它是在合情推理的基礎(chǔ)上，對(duì)歸納出來的與正整數(shù)有關(guān)的命題進(jìn)行科學(xué)的證明，它將一個(gè)無窮的歸納過程轉(zhuǎn)化為有限步驟的演繹過程．它是證明與正整數(shù)有關(guān)問題的有力工具，是高中數(shù)學(xué)的一種重要證明方法．通過把猜想和證明結(jié)合起來，讓學(xué)生認(rèn)識(shí)數(shù)學(xué)的本質(zhì)，提高學(xué)生的抽象思維能力，培養(yǎng)學(xué)生科學(xué)探索的創(chuàng)新精神．本節(jié)課是數(shù)學(xué)歸納法的第1課時(shí)，主要讓學(xué)生了解數(shù)學(xué)歸納法的原理，并能夠用數(shù)學(xué)歸納法解決一些簡單的與正整數(shù)有關(guān)的問題．

教學(xué)目標(biāo) (1)通過對(duì)數(shù)學(xué)歸納法的學(xué)習(xí)，感受到數(shù)學(xué)來源于生活而又高于生活，養(yǎng)成善于觀察、勤于思考的學(xué)習(xí)習(xí)慣；(2)理解數(shù)學(xué)歸納法的原理，體會(huì)類比、歸納的數(shù)學(xué)思想，能用數(shù)學(xué)歸納法證明一些簡單的與正整數(shù)有關(guān)的數(shù)學(xué)問題；進(jìn)一步提高數(shù)學(xué)抽象、歸納猜想能力．

教學(xué)重點(diǎn) 數(shù)學(xué)歸納法產(chǎn)生過程的分析和對(duì)數(shù)學(xué)歸納法證題步驟的掌握．

教學(xué)難點(diǎn) 數(shù)學(xué)歸納法中“以一次邏輯推理替代了無限次驗(yàn)證過程”的理解．

2 教學(xué)過程

2.1 創(chuàng)設(shè)情境 引入課題

師：我們已經(jīng)研究了合情推理和演繹推理，現(xiàn)在請(qǐng)同學(xué)們用所學(xué)知識(shí)分析下面的問題．

問題1小明看到樹上有幾只黑烏鴉，就感嘆說：“天下烏鴉一般黑！”小明用了什么推理方法？其結(jié)論正確嗎？

生1：用了歸納推理，結(jié)論不正確．

師：歸納推理有兩種，一種是完全歸納，另一種是不完全歸納．準(zhǔn)確地講，小明是用了不完全歸納，要說明結(jié)論不正確，我們要舉出反例(顯示白烏鴉照片)．歸納法在現(xiàn)實(shí)生活和生產(chǎn)中被廣泛應(yīng)用，比如水文工作者、氣象工作者依據(jù)積累的歷史資料作水文預(yù)報(bào)、氣象預(yù)測(cè)，用的就是不完全歸納法．

問題217世紀(jì)法國著名數(shù)學(xué)家費(fèi)馬(Fermat)曾認(rèn)為，當(dāng)n∈N時(shí)，22n+1一定都是質(zhì)數(shù)，這是他驗(yàn)證F0=3，F(xiàn)1=5，F(xiàn)2=17，F(xiàn)3=257，F(xiàn)4=65 537后得到的．

師：后來，18世紀(jì)瑞士出了位偉大的數(shù)學(xué)家歐拉(Euler)，證明了225+1=4 294 967 297= 6 700 417×641，從而否定了費(fèi)馬的推測(cè)．費(fèi)馬之 所以沒有算下去，可能是因?yàn)閿?shù)字太大了，其實(shí)下一個(gè)數(shù)也不是質(zhì)數(shù)：F6=226+1=274 177×

67 280 421 310 721．

(1)求出數(shù)列前3項(xiàng)，你能得到什么猜想？

(2)你認(rèn)為你的猜想正確嗎？如何證明？

生3：(自言自語)嚴(yán)格證明不會(huì)，但我可以發(fā)揚(yáng)“愚公移山”精神一一驗(yàn)證下去．

生眾：(齊笑)雖我之死，有子存焉；子又生孫，孫又生子……

師：發(fā)揚(yáng)“愚公移山”精神，從n=4開始逐個(gè)往下驗(yàn)證，精神可嘉，但“子子孫孫，無窮匱也”就為驗(yàn)證這道題，價(jià)值不大.我們需要尋求一種方法：通過有限個(gè)步驟的推理，證明n取所有正整數(shù)都成立．

2.2 實(shí)驗(yàn)演示 合作探究

問題4播放多米諾骨牌游戲視頻，思考骨牌全倒下，需要哪些條件.

師：看過視頻后，請(qǐng)?jiān)试S我借用一句唐詩來表達(dá)一下我的心情：天長地久有時(shí)盡，此“牌”綿綿無絕期！游戲者沒有一塊一塊地去推倒骨牌，那是怎么做到讓“此牌綿綿無絕期”地倒下去的呢？

生4：必須滿足兩個(gè)條件：(1)第1塊骨牌倒下；(2)任意相鄰兩塊骨牌，假如前一塊倒下，一定能導(dǎo)致后一塊也倒下．

師：條件(2)的作用是什么？

生5：給出了一個(gè)遞推關(guān)系，第一塊倒下后依據(jù)條件(2)，第二塊倒下，接著第三塊倒下，其他的都能相繼倒下．

師：對(duì)于條件(2)，我們能用數(shù)學(xué)符號(hào)語言表述嗎？

生6：k→k+1，k∈N*．

生7：我是這樣對(duì)比理解的．

多米諾骨牌游戲原理通過有限個(gè)步驟的推理,證明n取所有正整數(shù),結(jié)論都成立(1)第一塊骨牌倒下(1)a1=1成立(2)假如第k塊倒下時(shí),一定能導(dǎo)致第k+1塊也倒下(2)假如n=k(k∈N?)時(shí),猜想成立,即ak=k,一定能推出當(dāng)n=k+1時(shí),猜想也成立,即ak+1=k+1只要保證(1)和(2)成立,那么所有骨牌都能全部倒下根據(jù)(1)和(2)可知,對(duì)所有的正整數(shù)n,猜想都成立

師：通過上述類比，問題得以解決，這就是本節(jié)課要學(xué)習(xí)的數(shù)學(xué)歸納法．

2.3 引導(dǎo)概括 感悟新知

師：請(qǐng)根據(jù)上述的探究過程，概括出數(shù)學(xué)歸納法的基本步驟．

(板書)數(shù)學(xué)歸納法 當(dāng)需要證明一個(gè)與正整數(shù)n有關(guān)的命題P(n)時(shí)，可按下列步驟進(jìn)行：

(1)當(dāng)n取第一個(gè)值n0(=1或2)時(shí)結(jié)論正確；

(2)假設(shè)當(dāng)n=k(k∈N*,k≥n0)時(shí)結(jié)論成立，證明當(dāng)n=k+1時(shí)結(jié)論也成立．

那么，命題對(duì)從n0開始的所有正整數(shù)n都成立．這種方法就叫作數(shù)學(xué)歸納法．

問題5課的開頭，同學(xué)提到“愚公移山”精神，其中有數(shù)學(xué)歸納法的原理嗎？

生8：有，但愚公家族的無限性是有條件的，即需要“子又生孫，孫又生子；子又有子，子又有孫”．也就是說，倘若愚公及其子孫的每一代都能生出子孫，則愚公家族是無限的．

師：你分析得很好，用數(shù)學(xué)語言寫下來就是：如果愚公本人能夠生育男性后代，且第k代能夠生育第k+1代的男性后代，則愚公家族是無限的．

師：與此類似，生活中還有放鞭炮、體育課站隊(duì)等例子．

2.4 數(shù)學(xué)應(yīng)用 鞏固新知

例1如果數(shù)列{an}是等差數(shù)列，那么an=a1+(n-1)d對(duì)于一切n∈N*都成立，試用數(shù)學(xué)歸納法給予證明．(證明過程略)

師：能說說步驟(1)和(2)的作用嗎？

生9：步驟(1)是遞推的基礎(chǔ)；步驟(2)是遞推的依據(jù)．

例2下面用數(shù)學(xué)歸納法證明1+3+5+…+(2n-1)=n2(n∈N*)正確嗎？

證明 (1)當(dāng)n=1時(shí)，左邊=1，右邊=1，等式是成立的．

生10：錯(cuò)誤，第(2)步用求和公式不是數(shù)學(xué)歸納法，因?yàn)樽C明時(shí)沒有用到歸納假設(shè)．

師：該證法從外在形式上看很具迷惑性，數(shù)學(xué)歸納法的核心是在驗(yàn)證n取第一個(gè)值n0的基礎(chǔ)上，由P(k)正確證明P(k+1)也正確，而該同學(xué)用的是求和公式，讓證明失去了傳遞性．我們知道，僅有第一步驗(yàn)證而沒有第二步傳遞性的證明是不行的，那么沒有第一步行嗎？

生11：第一步僅是為了驗(yàn)證當(dāng)n取起始值n0時(shí)結(jié)論正確，這是顯而易見的，可以省略．

生12：我不同意．第一步是遞推的基礎(chǔ)，若沒有第一步，則第二步就無法進(jìn)行遞推．

師：兩種意見截然不同，讓我們通過具體例子來說明．

例3試問等式2+4+6+…+2n=n2+n+1成立嗎？

生13：成立，因?yàn)榧僭O(shè)n=k時(shí)等式成立，即2+ 4+6+…+2k=k2+k+1，那么當(dāng)n=k+1時(shí)，2+4+6+…+2k+2(k+1)=k2+k+1+2(k+1)=(k+1)2+(k+1)+1，也就是說，當(dāng)n=k+1時(shí)，等式也成立．

生14：不同意，若僅從n=k到n=k+1這一步“遞推”來看，似乎無懈可擊，但是，當(dāng)n=1時(shí)，左邊=2，右邊=3，左邊≠右邊．仔細(xì)觀察你會(huì)發(fā)現(xiàn)，該等式左邊總是偶數(shù)，右邊=n(n+1)+1總是奇數(shù)，因此對(duì)任何的n∈N*該式都是不成立的．

師：兩者缺一不可，只有第一步，屬不完全歸納法；只有第二步，假設(shè)就失去了基礎(chǔ)．我們可以把證題過程總結(jié)為“遞推基礎(chǔ)不可少，歸納假設(shè)要用到，結(jié)論寫明莫忘掉．”

2.5 回顧總結(jié) 提煉升華

小結(jié)：一個(gè)數(shù)學(xué)方法，兩個(gè)重要步驟，三類思想認(rèn)識(shí)．

師：哪三類思想認(rèn)識(shí)，能具體說說嗎？

生15：類比發(fā)現(xiàn)，傳遞相推，有限到無限(辯證思想)．

3 教學(xué)反思

人們運(yùn)用數(shù)學(xué)的眼光觀察現(xiàn)實(shí)世界，分析研究其中的具體現(xiàn)象，并加以歸納總結(jié)，進(jìn)一步發(fā)現(xiàn)內(nèi)在的結(jié)構(gòu)和規(guī)律，這個(gè)過程就是“數(shù)學(xué)化”；數(shù)學(xué)是思維的體操，數(shù)學(xué)思考是數(shù)學(xué)課堂當(dāng)然的主角．?dāng)?shù)學(xué)課堂應(yīng)該有數(shù)學(xué)課獨(dú)特的味道，學(xué)生的數(shù)學(xué)素養(yǎng)應(yīng)該在不斷品位“數(shù)學(xué)味”、經(jīng)歷數(shù)學(xué)化的過程中得以形成和發(fā)展．下面結(jié)合本節(jié)課的教學(xué)設(shè)計(jì)，談?wù)劚救说囊恍┛捶ǎ?/p>

3.1 生活問題數(shù)學(xué)化 飄灑數(shù)學(xué)味

數(shù)學(xué)源于生活，也植根于生活，數(shù)學(xué)化不是脫離生活情境，單純地就數(shù)學(xué)而數(shù)學(xué)，也不是讓生活情境僅為引出課題而用，然后棄之不顧，而是要在教學(xué)時(shí)引導(dǎo)學(xué)生從生活問題出發(fā)，啟發(fā)學(xué)生類比聯(lián)想，充分挖掘其中隱含的數(shù)學(xué)原理，在不斷數(shù)學(xué)化的過程中品味其中蘊(yùn)含的數(shù)學(xué)味，逐步抽象出生活問題的數(shù)學(xué)本質(zhì).比如本課中對(duì)“天下烏鴉一般黑”“多米諾骨牌”“愚公移山”等生活問題的數(shù)學(xué)化，歸納出其中的推理方法，就讓這些生活問題飄灑出了濃濃的數(shù)學(xué)味．

3.2 語言表達(dá)數(shù)學(xué)化 體會(huì)數(shù)學(xué)味

數(shù)學(xué)是自然科學(xué)的重要基礎(chǔ)，不僅是運(yùn)算和推理的工具，更是表達(dá)和交流的語言．學(xué)生通過數(shù)學(xué)學(xué)習(xí)和數(shù)學(xué)應(yīng)用能學(xué)會(huì)用數(shù)學(xué)語言表達(dá)世界是新課改提出的目標(biāo)之一．我們?cè)谡n堂教學(xué)中不僅要培養(yǎng)學(xué)生在情境中抽象出數(shù)學(xué)概念,更要能夠進(jìn)行高度概括和準(zhǔn)確表達(dá)．如本課中鼓勵(lì)學(xué)生從多米諾骨牌這一生活現(xiàn)象中，先學(xué)會(huì)用文字語言提煉出“任意相鄰兩塊骨牌，假如前一塊倒下，一定能導(dǎo)致后一塊也倒下”的內(nèi)涵，再到符號(hào)語言“k→k+1,k∈N*”的高度概括，通過層層設(shè)問的方法引導(dǎo)學(xué)生不斷思考，逐步修正，最后通過類比得出其與數(shù)學(xué)歸納法原理的一致性，學(xué)生在不斷體會(huì)數(shù)學(xué)語言的抽象性、準(zhǔn)確性和深刻性的同時(shí)，數(shù)學(xué)表達(dá)、邏輯推理、數(shù)學(xué)抽象等素養(yǎng)也得到了提升和發(fā)展．

3.3 探究過程數(shù)學(xué)化 品味數(shù)學(xué)味

用問題驅(qū)動(dòng)探究，讓方法自主建構(gòu)是提升學(xué)生核心素養(yǎng)的有效途徑．而問題情境是探究過程得以進(jìn)行的前提，在設(shè)置適合的問題情境后，鼓勵(lì)學(xué)生自主探究，并在獨(dú)立思考的基礎(chǔ)上進(jìn)行合作交流，讓學(xué)生通過觀察、歸納、抽象、驗(yàn)證、推理等數(shù)學(xué)手段去探究數(shù)學(xué)知識(shí)的發(fā)現(xiàn)和創(chuàng)生過程，在探究和交流的過程中獲得對(duì)問題的數(shù)學(xué)化思考，積累數(shù)學(xué)實(shí)踐經(jīng)驗(yàn)．如本課中學(xué)生難以理解歸納法中第二步為什么可以根據(jù)歸納假設(shè)進(jìn)行證明．鑒于此，師生共同探究多米諾骨牌倒下的原理，并類比此原理，逐步探究出數(shù)學(xué)歸納法的原理、步驟，培養(yǎng)了學(xué)生類比推理、歸納猜想的能力,讓學(xué)生在這一問題提出、發(fā)現(xiàn)、分析和解決的過程中品味其中真切的數(shù)學(xué)味．

3.4 提煉思想數(shù)學(xué)化 回味數(shù)學(xué)味

數(shù)學(xué)核心素養(yǎng)的形成，不是依賴單純的課堂教學(xué)，而是依賴學(xué)生參與其中的數(shù)學(xué)活動(dòng)；不是依賴記憶與理解，而是依賴感悟與思維；它應(yīng)該是日積月累的、自己思考的經(jīng)驗(yàn)的積累．

本節(jié)課上，當(dāng)多數(shù)學(xué)生對(duì)蘊(yùn)含其中的“以一次邏輯推理替代了無限次驗(yàn)證過程”這一遞推的思想認(rèn)識(shí)還處于膚淺、形式化的直觀感覺時(shí)，通過構(gòu)造反例，既使學(xué)生在具體的例題中感知數(shù)學(xué)歸納法的用途，又從本質(zhì)上理解兩個(gè)步驟的內(nèi)在聯(lián)系，更加體會(huì)到：歸納原理中無窮遞推的“鏈條”環(huán)環(huán)相扣這一數(shù)學(xué)思想的巨大魅力．?dāng)?shù)學(xué)教學(xué)內(nèi)容是“數(shù)學(xué)基礎(chǔ)知識(shí)”“數(shù)學(xué)方法”和“數(shù)學(xué)思想”的有機(jī)結(jié)合，其中數(shù)學(xué)思想和方法是數(shù)學(xué)的靈魂，但在教材中大都沒有直接的文字表述，往往被教師忽略.這就要求我們?cè)谡n堂教學(xué)中要盡力去挖掘和提煉知識(shí)背后所蘊(yùn)含的數(shù)學(xué)思想，然后把它巧妙地融入到學(xué)習(xí)過程中，讓學(xué)生感悟、體驗(yàn)其中的數(shù)學(xué)味，在潛移默化中實(shí)現(xiàn)學(xué)生核心素養(yǎng)的提升．本課中，在筆者的啟發(fā)下學(xué)生總結(jié)出：類比發(fā)現(xiàn)、傳遞相推、有限到無限(辯證思想)的數(shù)學(xué)思想方法，值得大家回味．

史寧中教授在談到培養(yǎng)學(xué)生核心素養(yǎng)時(shí)提出：讓學(xué)生學(xué)會(huì)用數(shù)學(xué)的眼光觀察世界，學(xué)會(huì)用數(shù)學(xué)思維思考世界，學(xué)會(huì)用數(shù)學(xué)語言表達(dá)世界．其實(shí)，綜合前文所述，這就是讓學(xué)生品味數(shù)學(xué)味，經(jīng)歷數(shù)學(xué)化.在充滿數(shù)學(xué)思考的課堂上，學(xué)習(xí)氣氛不一定熱烈但要深沉，學(xué)生不能在喧嘩的情境中浮光掠影，要在思索中前行；不是在言說別人的思想，一定是在表達(dá)自己的心聲．因此，我們數(shù)學(xué)課堂上要力爭去其浮華、探其本質(zhì)，讓學(xué)生能感受到躬身前行的姿態(tài)，能體悟到生命拔節(jié)的聲音．