基于數(shù)學(xué)抽象的“裂項(xiàng)法”教學(xué)設(shè)計(jì)探析*

俞文銳

(福建省福清華僑中學(xué) 350300)

數(shù)學(xué)抽象是數(shù)學(xué)的基本思想，是數(shù)學(xué)的本質(zhì)特征的一種反應(yīng)，也是形成數(shù)學(xué)學(xué)科理性思維的基礎(chǔ)，數(shù)學(xué)抽象貫穿于概念公式的產(chǎn)生、發(fā)展、應(yīng)用的過程中．[1]如何在數(shù)學(xué)教學(xué)過程中培養(yǎng)學(xué)生的數(shù)學(xué)抽象核心素養(yǎng)呢？這需要教師把握問題的數(shù)學(xué)本質(zhì)，結(jié)合數(shù)學(xué)抽象的特點(diǎn)，創(chuàng)設(shè)有序多級的問題情境引導(dǎo)學(xué)生主動思考，逐步提高抽象概括能力，積累從具體到抽象的基本活動經(jīng)驗(yàn)，形成良好的思考問題的習(xí)慣，靈活運(yùn)用數(shù)學(xué)抽象的思維方式思考新問題、解決新問題．下面以“裂項(xiàng)法”教學(xué)為例，探究如何培養(yǎng)和發(fā)展學(xué)生的數(shù)學(xué)抽象核心素養(yǎng)．

對于這個(gè)問題，多數(shù)教師采用如下解法：

那么裂項(xiàng)法求和的思維起點(diǎn)是什么？教師要如何創(chuàng)設(shè)問題情境來讓學(xué)生自然地接受這一裂項(xiàng)求和的過程呢？

1 數(shù)學(xué)情境，感知“裂項(xiàng)”背景

情境1 若已知數(shù)列{an}的前n項(xiàng)和Sn，那么數(shù)列{an}的通項(xiàng)an(n>1)與數(shù)列{Sn}的通項(xiàng)之間存在什么樣的聯(lián)系？

情境2 等差數(shù)列{an}的首項(xiàng)為a1，公差為d，令bn=d，那么數(shù)列{bn}的每一項(xiàng)d與數(shù)列{an}的通項(xiàng)an之間存在什么樣的聯(lián)系？數(shù)列{bn}的前n項(xiàng)和能否用等差數(shù)列{an}的項(xiàng)表示？

師生活動：(1)根據(jù)等差數(shù)列的定義，可得d=an-an-1，則數(shù)列{bn}的每一項(xiàng)d可以“裂成”數(shù)列通項(xiàng){an}前后兩項(xiàng)之差的形式：d=a2-a1，d=a3-a2，…,d=an+1-an．

(2)數(shù)列{bn}的前n項(xiàng)和Tn=nd=(a2-a1)+(a3-a2)+(a4-a3)+…+(an+1-an)=an+1-a1．

評析：數(shù)學(xué)抽象的過程必須遵循循序漸進(jìn)的原則，要明晰學(xué)生的認(rèn)知結(jié)構(gòu)和最近發(fā)展區(qū)，可以確定等差數(shù)列的公差、通項(xiàng)等相關(guān)概念，以及任意數(shù)列{an}的通項(xiàng)與其前n項(xiàng)和Sn之間的關(guān)系是“裂項(xiàng)法”抽象的原型．教學(xué)應(yīng)當(dāng)引導(dǎo)學(xué)生在抽象原型的基礎(chǔ)上進(jìn)行數(shù)學(xué)抽象，從而獲得裂項(xiàng)的本質(zhì)特征．

2 數(shù)學(xué)探究，抽象“裂項(xiàng)”特征

提高裂項(xiàng)本質(zhì)特征出現(xiàn)的頻率，從而引起學(xué)生對“升冪裂項(xiàng)”和“構(gòu)造函數(shù)裂項(xiàng)”這一特征的關(guān)注，使這一特征獨(dú)立于任何問題情境，并且每一次特征的出現(xiàn)都具有一種優(yōu)勢聯(lián)結(jié)．

問題1已知數(shù)列{an}的前n項(xiàng)和為Sn，且Sn=2n，你能求出an嗎？你能把數(shù)列{an}裂成新數(shù)列{bn}的前后兩項(xiàng)之差嗎？你能從函數(shù)的角度予以解釋嗎？

師生活動：因?yàn)閿?shù)列{an}的前n項(xiàng)和為Sn,Sn=2n，當(dāng)n=1時(shí),代入可得S1=a1=2，而由an=Sn-Sn-1,代入可得an=2n-2(n-1)=2，當(dāng)n=1時(shí)上式也成立．綜上可知，an=2．如果我們變換角度觀察，可以發(fā)現(xiàn)2=2n-2(n-1)．

從數(shù)列角度看，常數(shù)列{an}的每一項(xiàng)“2”都可以裂成新數(shù)列{2(n-1)}的前后兩項(xiàng)之差，令bn=2(n-1)，則an=2=bn+1-bn．

數(shù)列是特殊的函數(shù)，從函數(shù)的觀點(diǎn)看，令f(x)=2(x-1)，則an=2=f(n+1)-f(n)，即{an}的每一項(xiàng)“2”都可以裂成一次函數(shù)f(x)=2(x-1)的兩個(gè)函數(shù)值f(n+1)與f(n)的差．

問題2已知數(shù)列{an}的前n項(xiàng)和為Sn，且Sn=n2+2n，你能求出an嗎？你能把數(shù)列{an}裂成新數(shù)列{bn}的前后兩項(xiàng)之差嗎？你能從函數(shù)的角度予以解釋嗎？

師生活動：因?yàn)閿?shù)列{an}的前n項(xiàng)和為Sn,Sn=n2+2n,當(dāng)n=1時(shí),代入可得S1=a1=12+2=3，an=Sn-Sn-1=n2+2n-[(n-1)2+2(n-1)]=2n+1，當(dāng)n=1時(shí)上式也成立．綜上，可知an=2n+1， 如果我們變換角度觀察，可以發(fā)現(xiàn)：2n+1=n2+2n-[(n-1)2+2(n-1)]．

從數(shù)列角度看,{an}的每一項(xiàng)“2n+1”都可以裂成新數(shù)列{(n-1)2+2(n-1)}的前后兩項(xiàng)之差，令bn=(n-1)2+2(n-1)，則an=2n+1=bn+1-bn．

從函數(shù)的觀點(diǎn)看,令f(x)=(x-1)2+2(x-1)=x2-1，則an=2n+1=f(n+1)-f(n)，即{an}的每一項(xiàng)“2n+1”都可以裂成二次函數(shù)f(x)=x2-1的兩個(gè)函數(shù)值f(n+1)與f(n)的差．

問題3已知數(shù)列{an}的前n項(xiàng)和Sn=2n+1-2，你能求出an嗎？你能把數(shù)列{an}裂成新數(shù)列{bn}的前后兩項(xiàng)之差嗎？你能從函數(shù)的角度予以解釋嗎？

師生活動：因?yàn)閍n=Sn-Sn-1(n≥2,n∈N*)，所以an=(2n+1-2)-(2n-2)=2n．檢驗(yàn)當(dāng)n=1時(shí)，a1=S1=2，故an=2n．

如果我們變換角度觀察，可以發(fā)現(xiàn)2n=(2n+1-2)-(2n-2)，簡化得2n=2n+1-2n，從數(shù)列角度看，{an}的每一項(xiàng)“2n”都可以裂成新數(shù)列{2n}的前后兩項(xiàng)之差，令bn=2n，則an=2n=bn+1-bn．

從函數(shù)的觀點(diǎn)看,令f(x)=2x，則an=2n=f(n+1)-f(n)，即{an}的每一項(xiàng)“2n”都可以裂成指數(shù)型函數(shù)f(x)=2x的兩個(gè)函數(shù)值f(n+1)與f(n)的差．

評析：能否從“裂項(xiàng)法”抽象物的原型中發(fā)現(xiàn)并抽取裂項(xiàng)法的本質(zhì)屬性，是教師能否培養(yǎng)和提高學(xué)生數(shù)學(xué)抽象核心素養(yǎng)的關(guān)鍵．我們可以采用突出“特征”法，提高“特征”出現(xiàn)次數(shù)，通過對問題情境的變化，讓學(xué)生發(fā)現(xiàn)變化的背景中不變的東西，就是我們要抽象的“特征”．

3 數(shù)學(xué)體悟，概括“裂項(xiàng)”公式

運(yùn)用數(shù)學(xué)符號表征指導(dǎo)裂項(xiàng)法的教學(xué)，引導(dǎo)學(xué)生將裂項(xiàng)的本質(zhì)屬性轉(zhuǎn)化為公式的形式．

從特殊到一般的抽象概括，把裂項(xiàng)的本質(zhì)特征升冪裂項(xiàng)和構(gòu)造函數(shù)裂項(xiàng)，一步一步抽象出來．

我們可以把常見的數(shù)列{an}裂成新數(shù)列{bn}的前后兩項(xiàng)之差，并且從函數(shù)的角度予以解釋．

結(jié)論1 數(shù)列角度：A=An-A(n-1)，A=(An+B)-[A(n-1)+B],bn=A(n-1)+B．

函數(shù)的觀點(diǎn)：令f(x)=A(x-1)或f(x)=A(x-1)+B，則A=f(n+1)-f(n)，bn=f(n)．

函數(shù)的觀點(diǎn)：令f(x)=k(n-1)2+t(n-1)，則An+B=f(n+1)-f(n)，bn=f(n)．

評析：將數(shù)列納入函數(shù)體系中，從函數(shù)的角度研究數(shù)列，充分體現(xiàn)了新課標(biāo)所倡導(dǎo)的大背景大框架大思路的研究方法，用數(shù)學(xué)符號表達(dá)是數(shù)學(xué)抽象的重要環(huán)節(jié)，能夠提高學(xué)生用數(shù)學(xué)的語言表達(dá)世界的能力．從具體的問題情境中抽象出了裂項(xiàng)的思路和方法，并用數(shù)學(xué)符號(公式)予以表示，在這一過程中，學(xué)生累積了從具體背景中抽象出數(shù)學(xué)概念的活動經(jīng)驗(yàn)．從結(jié)論1～3我們發(fā)現(xiàn)可以通過升冪進(jìn)行裂項(xiàng)，可以通過一次函數(shù)、二次函數(shù)、指數(shù)型函數(shù)構(gòu)造新數(shù)列，提煉出了解決一類裂項(xiàng)問題的基本方法，同時(shí)理解了裂項(xiàng)所蘊(yùn)含的數(shù)學(xué)思想：升冪裂項(xiàng)和構(gòu)造函數(shù)裂項(xiàng)．根據(jù)滿意原則可以認(rèn)為學(xué)生達(dá)到數(shù)學(xué)抽象素養(yǎng)水平二的要求．

4 數(shù)學(xué)內(nèi)化，辨析“裂項(xiàng)”內(nèi)涵

新的概念獲得后學(xué)生掌握得還不牢固，需要創(chuàng)設(shè)新的問題情境強(qiáng)化概念，使其認(rèn)知結(jié)構(gòu)能夠同化或順應(yīng)升冪裂項(xiàng)和構(gòu)造函數(shù)裂項(xiàng)．

問題5設(shè)數(shù)列{an}滿足a1=1，an=2n·(2n-1)，求數(shù)列{an}的前n項(xiàng)和Sn．

證明：an=Sn-Sn-1=2n·(2n-1)．

猜想：Sn-Sn-1=(2n-1)·2n=(An2+Bn+C)2n+1-[A(n-1)2+B(n-1)+C]2n=(An2+Bn+C)2n+1-[A(n-1)2+B(n-1)+C]2n=[An2+(2A+B)n+C+B-A]2n，A=0，B=2，C=-3．

an=(2n-3)2n+1-[2(n-1)-3]2n，令bn= [2(n-1)-3]2n，則Sn=(b2-b1)+(b3-b2)+(b4-a3)+…+(bn+1-bn)=bn+1-b1=(2n-3)2n+1+6．

結(jié)論5 (pn+q)·Cn=(An+B)Cn+1-[A(n-1)+B]Cn=[(AC-A)n+BC+A-B]Cn，其中AC-A=p,BC+A-C=q．

5 數(shù)學(xué)應(yīng)用，深化“裂項(xiàng)”應(yīng)用

通過應(yīng)用不斷提升學(xué)生的數(shù)學(xué)抽象能力，可以鍛煉學(xué)生綜合運(yùn)用數(shù)學(xué)知識分析問題、解決問題的能力，培養(yǎng)和發(fā)展數(shù)學(xué)核心素養(yǎng)．

問題6求數(shù)列{n3·2n}的前n項(xiàng)和.

通過運(yùn)用裂項(xiàng)相消法，能夠輕松解決這類數(shù)列求和問題,避開了利用錯(cuò)位相減法求和的復(fù)雜計(jì)算,顯得思路清晰明了．

問題7已知數(shù)列{an}的通項(xiàng)公式為an=n3，求其前n項(xiàng)和Sn.

利用常規(guī)的數(shù)列前n項(xiàng)和的求和方法無法奏效,但是利用升冪裂項(xiàng)的思想，可以輕松化解難題．

數(shù)學(xué)抽象核心素養(yǎng)培養(yǎng)的五個(gè)環(huán)節(jié)是創(chuàng)設(shè)情境，感知“裂項(xiàng)”背景；數(shù)學(xué)探究，抽象“裂項(xiàng)”特征；數(shù)學(xué)體悟，概括“裂項(xiàng)”公式；數(shù)學(xué)內(nèi)化，辨析“裂項(xiàng)”內(nèi)涵；數(shù)學(xué)應(yīng)用，深化“裂項(xiàng)”應(yīng)用．這五個(gè)環(huán)節(jié)，環(huán)環(huán)相扣構(gòu)建了一個(gè)完整的抽象體系，對培養(yǎng)和發(fā)展學(xué)生數(shù)學(xué)核心素養(yǎng)具有一定的實(shí)踐指導(dǎo)意義．