初中數(shù)學(xué)教科書中折紙活動(dòng)的對(duì)比研究
——以大陸人教版和臺(tái)灣康軒版為例

朱佳威

(華東師范大學(xué)教師教育學(xué)院 200062)

張 雪

(杭州師范大學(xué)經(jīng)亨頤教育學(xué)院 310018)

1 折紙活動(dòng)在初中數(shù)學(xué)教學(xué)中的重要性

學(xué)生從初中開始系統(tǒng)地學(xué)習(xí)幾何知識(shí)，但對(duì)初中生來講，幾何圖形的性質(zhì)與變換是相當(dāng)抽象的，其可直接利用的資源和工具也不多，而折紙活動(dòng)操作簡(jiǎn)單又有趣，恰好符合初中生的認(rèn)知規(guī)律和年齡特征.我國《義務(wù)教育數(shù)學(xué)課程標(biāo)準(zhǔn)(2011年版)》的總目標(biāo)提出“通過義務(wù)教育階段的學(xué)習(xí)，學(xué)生能夠獲得適應(yīng)社會(huì)生活和進(jìn)一步發(fā)展所需的數(shù)學(xué)的基礎(chǔ)知識(shí)、基本技能、基本思想和基本活動(dòng)經(jīng)驗(yàn)”，并提出“感悟數(shù)學(xué)思想，積累數(shù)學(xué)活動(dòng)的經(jīng)驗(yàn)”[1]的建議.在一定程度上，折紙內(nèi)容豐富了幾何知識(shí)的呈現(xiàn)形態(tài)，幫助學(xué)生化解了幾何學(xué)習(xí)中的痛點(diǎn)和難點(diǎn)，使其在掌握基礎(chǔ)知識(shí)和基本技能的基礎(chǔ)上，能夠進(jìn)一步收獲數(shù)學(xué)活動(dòng)經(jīng)驗(yàn).常文武指出：通過數(shù)學(xué)折紙的任務(wù)驅(qū)動(dòng)方式可以有效培養(yǎng)學(xué)生創(chuàng)造力，折紙對(duì)學(xué)生創(chuàng)造力的激發(fā)尤其在于通過操作和想象來促進(jìn)發(fā)散思維，加強(qiáng)知識(shí)、觀念的新聯(lián)結(jié)、新組合.[2]茍述珍通過個(gè)案分析得出結(jié)論：折紙能夠促進(jìn)學(xué)生的幾何思維水平，對(duì)差生效果更為顯著[3].由此可見，折紙?jiān)诔踔袛?shù)學(xué)教學(xué)實(shí)踐中有著非常重要的作用.

2 研究設(shè)計(jì)

2.1 研究對(duì)象與問題

大陸和臺(tái)灣同宗同源、同文同語，擁有共同的文化傳統(tǒng)，兩者對(duì)于學(xué)生數(shù)學(xué)知識(shí)的理解、數(shù)學(xué)思維的訓(xùn)練、數(shù)學(xué)核心素養(yǎng)的培育等方面呈現(xiàn)出相同或相近的趨勢(shì)[4].本研究選取的大陸教材是2013年教育部審定的人民教育出版社的初中數(shù)學(xué)教材(簡(jiǎn)稱“人教版”).人教版是大陸應(yīng)用十分廣泛的主流教科書之一,具有基礎(chǔ)性、豐富性和開放性的特點(diǎn).選取的臺(tái)灣教材是康軒文教事業(yè)出版社的初中數(shù)學(xué)教材(簡(jiǎn)稱“康軒版”).康軒版在臺(tái)灣當(dāng)?shù)厥褂梅秶顝V、時(shí)間最長[5].本文主要回答以下三個(gè)問題：(1)大陸和臺(tái)灣教材折紙活動(dòng)的分布情況、活動(dòng)目的各有什么特點(diǎn)？(2)這些特點(diǎn)的差異所隱含的教學(xué)理念差異是什么？(3)這些教學(xué)理念的差異對(duì)教學(xué)實(shí)踐有哪些影響？本文試圖發(fā)掘兩種數(shù)學(xué)教科書的編寫特點(diǎn)，進(jìn)而對(duì)中國大陸的數(shù)學(xué)教科書編寫和教師教學(xué)提供一定參考.

本文所界定的折紙所采用的紙張為正方形、長方形、三角形和圓面四種紙張.一般折疊過程中，不允許使用剪刀或膠水，但在涉及立體圖形的活動(dòng)中，必要時(shí)可使用剪刀剪出所需紙張的形狀，再進(jìn)行折疊.

2.2 研究方法

本文采用內(nèi)容分析法對(duì)人教版、康軒版初中數(shù)學(xué)教材進(jìn)行具體內(nèi)容的分析，主要對(duì)教材中折紙活動(dòng)進(jìn)行探尋，尋求兩套數(shù)學(xué)教材在折紙活動(dòng)內(nèi)容上的特征，并從分布情況、活動(dòng)目的兩個(gè)維度對(duì)大陸和臺(tái)灣教材中折紙活動(dòng)進(jìn)行比較分析，呈現(xiàn)兩套數(shù)學(xué)教材編寫的異同.

3 研究結(jié)果

3.1 分布情況對(duì)比

3.1.1折紙活動(dòng)的分布

人教版教材總計(jì)29個(gè)章節(jié)，折紙出現(xiàn)了28處：七年級(jí)上冊(cè)7處；七年級(jí)下冊(cè)2處；八年級(jí)上冊(cè)7處；八年級(jí)下冊(cè)8處；九年級(jí)上冊(cè)1處；九年級(jí)下冊(cè)3處.

康軒版教材總計(jì)22個(gè)章節(jié)，折紙共出現(xiàn)20處：七上1處，八下16處，九上3處，其余分冊(cè)均未出現(xiàn)，具體分布情況如表1.

從表1可知，人教版教科書折紙活動(dòng)出現(xiàn)總次數(shù)與密度均高于康軒版，且康軒版教科書的折紙活動(dòng)分布較為集中，主要出現(xiàn)在八年級(jí)下冊(cè)的三角形的基本性質(zhì)、幾何圖形與尺規(guī)作圖兩個(gè)章節(jié).用統(tǒng)計(jì)軟件SPSS20.0進(jìn)行Fisher精確檢驗(yàn)，也得出其有極其顯著的差異(χ2=19.371，p<0.01).

表1 人教版、康軒版折紙活動(dòng)教材分冊(cè)分布情況表

3.1.2折紙活動(dòng)所在章節(jié)分布

在初中階段，折紙多被用來探究數(shù)學(xué)圖形結(jié)構(gòu)之間的共性與區(qū)別，多被應(yīng)用于幾何領(lǐng)域.兩版本教材的折紙活動(dòng)章節(jié)分布如表2：

表2 人教版、康軒版折紙活動(dòng)所在章節(jié)分布表

由表2可見，兩版本教材的不同處在于人教版將折紙活動(dòng)安排在立體幾何領(lǐng)域，通過折紙來溝通二維與三維圖形，而康軒版教材雖然有立體幾何有關(guān)內(nèi)容，但折紙內(nèi)容未涉及立體幾何領(lǐng)域.

相同的是兩地教科書中折紙活動(dòng)多應(yīng)用于平面幾何領(lǐng)域，尤其是幾何圖形認(rèn)識(shí)、軸對(duì)稱、三角形、平行四邊形等章節(jié).在教學(xué)過程中把折紙作為一種教學(xué)的輔助手段，通過折紙去觀察、探究、驗(yàn)證某個(gè)幾何結(jié)論.在代數(shù)領(lǐng)域均出現(xiàn)一次折紙活動(dòng)，可見折紙有溝通幾何與代數(shù)的作用.具體代數(shù)內(nèi)容如下：

大陸人教版數(shù)學(xué)教材在14.1“整式的乘法”的復(fù)習(xí)題部分設(shè)置了這樣一道折紙習(xí)題：“如圖1，有一張長方形紙板，在它的四周各角切去一個(gè)同樣的正方形，然后將四周突出部分折起，制成一個(gè)高為a的長方體形狀的無蓋紙盒.如果紙盒的容積為4a2b，底面長方形的一邊長為b(b<4a)，求長方形紙板的長和寬.”此問題在設(shè)置上不僅實(shí)現(xiàn)了“二維”平面向“三維”空間的過渡，并且溝通了幾何與代數(shù)，借助折紙問題幫助學(xué)生復(fù)習(xí)整式的乘法.

圖1

臺(tái)灣康軒版數(shù)學(xué)教材在七上“數(shù)學(xué)悅讀”欄目介紹了“報(bào)紙的奧秘”，對(duì)應(yīng)教材“指數(shù)律”與“科學(xué)記號(hào)”.通過漫畫的形式富有趣味性地呈現(xiàn)出“將報(bào)紙折疊30次后的高度與珠穆朗瑪峰的高度進(jìn)行對(duì)比”這一內(nèi)容.并通過這一欄目讓學(xué)生了解到“指數(shù)的運(yùn)算”與“科學(xué)計(jì)數(shù)法”在生活中的廣泛應(yīng)用性.對(duì)學(xué)生來說，這部分內(nèi)容可讀性強(qiáng)，文中拋出的問題“一張報(bào)紙能對(duì)折幾次？”充分地調(diào)動(dòng)起學(xué)生的積極性，文末呈現(xiàn)“只能折8次”的結(jié)論也激起了學(xué)生自己動(dòng)手驗(yàn)證的強(qiáng)烈好奇心.

3.1.3折紙活動(dòng)欄目分布

折紙活動(dòng)在不同版本教材中出現(xiàn)的欄目不同，其所表現(xiàn)的作用也不盡相同.其出現(xiàn)的位置可以分為以下三類：第一類，呈現(xiàn)在正文中，多利用折紙引入概念、性質(zhì)和定理或直觀感知幾何變換，如軸對(duì)稱、旋轉(zhuǎn)、平移等，讓學(xué)生參與到概念的形成中來；第二類，呈現(xiàn)在例題或習(xí)題中，以折紙作為問題情境的試題鞏固知識(shí)；第三類，章節(jié)末作為拓展閱讀或數(shù)學(xué)活動(dòng)的折紙活動(dòng).統(tǒng)計(jì)結(jié)果如表3：

表3 人教版、康軒版折紙活動(dòng)出現(xiàn)欄目分布情況表

兩版教材中折紙活動(dòng)出現(xiàn)欄目有顯著差異(Fisher精確檢驗(yàn)，χ2=7.315，p<0.05),人教版教材較少在正文中使用折紙活動(dòng)，多出現(xiàn)在習(xí)題與章節(jié)末作為數(shù)學(xué)活動(dòng).而康軒版教材多將折紙活動(dòng)安排在正文中以引出概念，折紙題相對(duì)較少.如同樣有關(guān)“大邊對(duì)大角、大角對(duì)大邊”的折紙活動(dòng)，人教版教材將其作為習(xí)題出現(xiàn)，而康軒版教材則將其作為概念引入的方式出現(xiàn)在正文中.

3.2 活動(dòng)目的對(duì)比

3.2.1通過折紙來講授新知的比較

通過折紙來講授新知識(shí)在人教版教材中并不常用,只出現(xiàn)3處，而康軒版則出現(xiàn)了9次，具體內(nèi)容對(duì)比見表4：

表4 人教版、康軒版折紙活動(dòng)講授新知對(duì)比表

折紙活動(dòng)很適用于幾何新知識(shí)的教學(xué)，因?yàn)槠渚哂酗@著的直觀性.幾何中的點(diǎn)、線、面等基礎(chǔ)概念，又或是垂直、平分、重合等基本關(guān)系都可以在折紙中體現(xiàn).但在人教版教科書中，卻鮮見用折紙來講授新知，康軒版教材的折紙內(nèi)容在新知教學(xué)上分量較重.值得注意的是，康軒版教材在利用折紙?zhí)骄咳切蝺?nèi)角和問題上，沒有嚴(yán)格的證明，使這一內(nèi)容缺乏嚴(yán)謹(jǐn)性.如果只通過量一量、剪一剪、拼一拼就得出三角形的內(nèi)角和是180°，缺乏理論證明，不利于學(xué)生思維品質(zhì)的提升[6].

3.2.2通過折紙來鞏固知識(shí)的比較

以折紙為背景的題目，在人教版教材中總計(jì)16題，康軒版為7題.戴再平按照題目的外在特征將習(xí)題分成三類:求解題、證明題或說明題、變換題或求作題[7].結(jié)合教材及習(xí)題分類，將折紙習(xí)題按求解題、說明題、制作題進(jìn)行分類，統(tǒng)計(jì)結(jié)果如圖2所示.

圖2 人教版、康軒版折紙活動(dòng)習(xí)題對(duì)比

從圖2可以看出人教版教材中的折紙習(xí)題類型豐富且多樣，既有某一圖形的制作類題目，如利用正方形折出三棱錐，也有常規(guī)的求解題及說明題.在目的上，有的題目側(cè)重于考查幾何變換，也有的側(cè)重考查空間想象及動(dòng)手能力.而康軒版教材題目則均為說明題，并且全部分布于“剪出線對(duì)稱”這一主題，內(nèi)容相對(duì)單調(diào)且集中，題型也比較一致.如下題：

承例7，若依照?qǐng)D3指示對(duì)折兩次，剪下三角形后，剩下的紙張展開是下列哪一個(gè)圖形？

圖3

答：.

3.2.3折紙作為拓展活動(dòng)或拓展閱讀的比較

人教版教材安排了九處與折紙有關(guān)的拓展活動(dòng)，既有數(shù)學(xué)內(nèi)部的探究活動(dòng)，如利用折紙折出過一點(diǎn)的平行線；也有和現(xiàn)實(shí)生活結(jié)合的綜合活動(dòng)，如制作筆筒、包裝盒，等等，這些活動(dòng)與學(xué)生的日常活動(dòng)是直接相關(guān)的，是能夠直接激活學(xué)生知覺的素材.這些活動(dòng)是教材編寫者為學(xué)習(xí)者精心編寫設(shè)計(jì)的，符合學(xué)生的認(rèn)知規(guī)律且有利于學(xué)生的學(xué)習(xí).但有關(guān)研究表明：雖然教師比較認(rèn)可在教材中設(shè)置“閱讀與思考”等欄目，但是從教師對(duì)欄目的了解程度來看，教師的研究力度普遍不高，該欄目的教學(xué)價(jià)值與教學(xué)作用還未得到全面的重視[8].

康軒版教材安排了四處與折紙有關(guān)的拓展閱讀，分別是“利用折紙制作正三角形”“64=65？”“報(bào)紙的奧秘”“相似嗎？”這些內(nèi)容可讀性非常強(qiáng)，首先內(nèi)容本身就能引起學(xué)生的閱讀興趣，其次又配有插畫，使得整個(gè)內(nèi)容呈現(xiàn)非常生動(dòng).

人教版拓展欄目上的折紙活動(dòng)更強(qiáng)調(diào)讓學(xué)生自己動(dòng)手操作，而康軒版在拓展欄目上則側(cè)重利用折紙有關(guān)問題來引起學(xué)生的學(xué)習(xí)興趣，側(cè)重于對(duì)某些問題的解答.但相同的是兩版教材的折紙內(nèi)容都與生活緊密相連，體現(xiàn)了數(shù)學(xué)在實(shí)際生活中的應(yīng)用.

4 結(jié)論與教學(xué)啟示

總的來說，人教版教材體現(xiàn)的理念是“在折紙中體驗(yàn)數(shù)學(xué)”，而康軒版教材則是“將折紙融入數(shù)學(xué)”[9].當(dāng)前，數(shù)學(xué)活動(dòng)經(jīng)驗(yàn)的研究是一個(gè)熱點(diǎn)問題[10].數(shù)學(xué)概念涵蓋數(shù)學(xué)定義、公式、定理等，是數(shù)學(xué)學(xué)習(xí)的基礎(chǔ).數(shù)學(xué)本身嚴(yán)肅的學(xué)科特征，使得在教學(xué)實(shí)踐中，學(xué)生在數(shù)學(xué)概念學(xué)習(xí)環(huán)節(jié)的課堂體驗(yàn)普遍不好，降低了教學(xué)效率[11].在人教版教材編寫的基礎(chǔ)上，吸收臺(tái)灣數(shù)學(xué)教材的編寫優(yōu)點(diǎn)，在概念教學(xué)時(shí)加入數(shù)學(xué)活動(dòng)值得借鑒.近年來，出現(xiàn)了不少以折紙為背景的中考、高考題，使得折紙活動(dòng)改頭換面以題目的形式和學(xué)生見面.在日常教學(xué)中，教師就要讓學(xué)生積累折紙的數(shù)學(xué)活動(dòng)經(jīng)驗(yàn).在折紙教學(xué)活動(dòng)中，教師必須要有一定的把控能力.要讓學(xué)生明白教學(xué)不是為折紙而折紙，而要給學(xué)生營造一個(gè)手、腦并用的操作環(huán)境.另一方面，教師也要適當(dāng)放手，否則將不能達(dá)到培養(yǎng)學(xué)生發(fā)散思維、提高學(xué)生探究能力的目的[12]，這對(duì)教師的教學(xué)設(shè)計(jì)提出了更高的要求.另一方面，臺(tái)灣教科書在每?jī)?cè)書后設(shè)置了附件，以供學(xué)生剪下作為教學(xué)使用，同時(shí)在書的右下角還設(shè)置了翻頁動(dòng)畫來展示勾股定理的動(dòng)態(tài)證明過程，這樣的安排使教科書變得更為充實(shí)有趣，不僅將教科書作為知識(shí)的載體，更豐富了數(shù)學(xué)教學(xué)活動(dòng)的資源，值得借鑒.

對(duì)于教師教學(xué)來說，雖然折紙?jiān)诔尸F(xiàn)概念時(shí)有一定優(yōu)勢(shì)，但并不是唯一的手段.教科書不是知識(shí)的唯一載體，而是一扇窗，可以通往外面的旖旎風(fēng)光.教師可以設(shè)置其他多樣化的教學(xué)活動(dòng)來幫助學(xué)生理解概念，如在圓的周長教學(xué)時(shí)，就可以讓學(xué)生利用“線測(cè)法”或“滾動(dòng)法”自己測(cè)量圓的周長.作為教師要充分考慮數(shù)學(xué)活動(dòng)的主體性、直觀性、過程性、合作性、開放性等優(yōu)勢(shì)，根據(jù)教學(xué)內(nèi)容和學(xué)生實(shí)際，有目的地多設(shè)計(jì)一些好的數(shù)學(xué)活動(dòng)，依托于這些數(shù)學(xué)活動(dòng)，有效促進(jìn)學(xué)生基本活動(dòng)經(jīng)驗(yàn)的積累.長此以往，學(xué)生自然能形成數(shù)學(xué)直觀，提升抽象概括等能力[13].