問題解決視角下中美初中數(shù)學(xué)教材比較
——以“負(fù)數(shù)四則運算”為例

黃躍琦 張維忠

(浙江師范大學(xué)教師教育學(xué)院 321004)

20世紀(jì)80年代，美國掀起了以數(shù)學(xué)問題解決為主題的一系列數(shù)學(xué)教育改革和研究的熱潮[1]，問題解決成為21世紀(jì)以來歷次國際數(shù)學(xué)教育大會探討的重要議題．[2]我國第八次基礎(chǔ)教育課程改革也將培養(yǎng)問題解決能力作為主要目標(biāo)之一，問題解決成為落實核心素養(yǎng)的重要構(gòu)成部分貫穿在各科課程標(biāo)準(zhǔn)中．[3-5]教材是發(fā)展學(xué)生問題解決能力的關(guān)鍵性載體，不同國家、不同版本的教材在問題解決編寫上存在較大差異．本文將著眼于負(fù)數(shù)的四則運算，運用文本分析法對中美不同版本教材進(jìn)行橫向比較，以期為教材編寫落實核心素養(yǎng)及培養(yǎng)學(xué)生問題解決能力提供借鑒與啟示．

1 研究設(shè)計

1.1 研究對象

數(shù)學(xué)教材是“教”與“學(xué)”活動的工具，也是實現(xiàn)數(shù)學(xué)課程目標(biāo)、培養(yǎng)學(xué)生問題解決能力的重要資源．因此，本文選用在中國使用范圍較廣、時間較長，較有代表性的人民教育出版社(以下簡稱人教版)、浙江教育出版社(以下簡稱浙教版)、江蘇科技出版社(以下簡稱蘇科版)2012年出版的初中數(shù)學(xué)教材以及Mc Graw Hill公司2014年出版的美國中學(xué)主流數(shù)學(xué)教材Glencoe Math(以下簡稱MGH版)四版教材進(jìn)行文本分析．

負(fù)數(shù)是具體數(shù)學(xué)到形式數(shù)學(xué)的第一次轉(zhuǎn)折，理解有關(guān)負(fù)數(shù)的運算(以下簡稱負(fù)數(shù)四則運算)需要有高度的抽象性．鞏子坤的研究指出97%的學(xué)生能正確計算負(fù)數(shù)相乘，但不超過12%的學(xué)生能合理解釋負(fù)負(fù)得正[6]．本文聚焦教材編寫中負(fù)數(shù)四則運算法則的生成過程，即從情境引入到給出法則，探討四版教材的編寫是否有利于培養(yǎng)學(xué)生問題解決能力，深刻把握負(fù)數(shù)四則運算的實質(zhì)．

1.2 分析比較的依據(jù)與維度

課程標(biāo)準(zhǔn)是教材編寫的重要依據(jù)．本次分析的數(shù)學(xué)教材對應(yīng)的課程標(biāo)準(zhǔn)分別為中華人民共和國教育部2012年頒布的《義務(wù)教育數(shù)學(xué)課程標(biāo)準(zhǔn)(2011年版)》與全美州長協(xié)會于2010年推出的《美國州際核心數(shù)學(xué)課程標(biāo)準(zhǔn)》．在中國課標(biāo)中，問題解決作為總目標(biāo)的關(guān)鍵要素之一貫穿整個義務(wù)教育階段，強(qiáng)調(diào)問題解決思維的經(jīng)歷、體驗和探索，積累問題解決活動的經(jīng)驗．[7]在美國課標(biāo)中，問題解決是數(shù)學(xué)實踐標(biāo)準(zhǔn)的首要因素，要求學(xué)生理解問題并能堅持不懈地解決問題．綜上所述，中美數(shù)學(xué)課標(biāo)都強(qiáng)調(diào)培養(yǎng)學(xué)生理解問題、分析問題并解決問題的能力．所以，從問題解決的角度對中美教材進(jìn)行分析是可行的．

杜威認(rèn)為問題解決是一個心智過程，他將問題解決分為五個階段，即問題情境、問題設(shè)定、假設(shè)形成、推理與假設(shè)檢驗．[8]奧蘇伯爾和魯濱遜從人的認(rèn)知層次出發(fā)提出問題解決模式的四個階段，即呈現(xiàn)問題情境命題、明確問題的目標(biāo)和已知條件、填補(bǔ)空隙、解答后的檢驗．[9]喻平認(rèn)為問題解決是一個動態(tài)的過程，提出了問題解決的認(rèn)知模式．[10]呂傳漢、汪秉彝等從教學(xué)角度出發(fā)將問題解決分為四步：設(shè)置數(shù)學(xué)情境(觀察分析)、提出數(shù)學(xué)問題(猜測探究)、解決數(shù)學(xué)問題(求解反駁)、注重數(shù)學(xué)應(yīng)用(學(xué)做學(xué)用)．[11]本文從教材編寫角度出發(fā)，將問題解決分為情境的創(chuàng)設(shè)、問題的呈現(xiàn)、問題的解決三個部分．

2 四版教材在問題解決編寫維度的具體比較

教材編排富有啟發(fā)性的問題情境，科學(xué)呈現(xiàn)引導(dǎo)思維活動的問題，合理運用策略進(jìn)行問題解決，是培養(yǎng)學(xué)生問題解決能力的關(guān)鍵．本文采用文本分析法，從情境創(chuàng)設(shè)、問題呈現(xiàn)、問題解決三個角度比較四版教材在問題解決編寫維度的異同．

2.1 問題情境的創(chuàng)設(shè)比較

情境學(xué)習(xí)理論適用于問題解決學(xué)習(xí)活動[12]．借鑒楊孝曼、汪曉勤提出的負(fù)數(shù)概念情境引入的分類框架[13]，結(jié)合四版教材的具體內(nèi)容，最終將負(fù)數(shù)四則運算情境分為以下七種：數(shù)學(xué)情境、距離情境、氣溫情境、生產(chǎn)情境、海拔情境、負(fù)債情境與比賽情境．根據(jù)情境分類，對四版教材進(jìn)行比較(表1)．

表1 四版教材“負(fù)數(shù)四則運算”情境對比

人教版多用數(shù)學(xué)情境進(jìn)行引入，注重數(shù)學(xué)的內(nèi)部邏輯，減少生活情境的引入，適當(dāng)?shù)厝趸藢W(xué)生與具體背景的互動．例如加法法則的引入中，直擊本節(jié)課的核心“引入負(fù)數(shù)之后，怎樣進(jìn)行加法運算”，讓學(xué)生馬上進(jìn)入問題解決的思考狀態(tài)．

浙教版采取的生活情境豐富，每一節(jié)的導(dǎo)入都先讓學(xué)生經(jīng)歷生活情境，再脫離情境抽象出數(shù)學(xué)模型進(jìn)行解答，符合學(xué)生的認(rèn)知發(fā)展規(guī)律，重點關(guān)注其對生活經(jīng)驗的深化和拓展．

蘇科版采取的情境與浙教版相似，但浙教版更強(qiáng)調(diào)生活數(shù)學(xué)化，蘇科版強(qiáng)調(diào)數(shù)學(xué)生活化．例如溫度情境下，浙教版先給出廈門與哈爾濱的溫度，讓學(xué)生直觀感受溫度的差異后拋出計算溫差問題，使其在體驗生活中產(chǎn)生疑問，而蘇科版先列舉數(shù)學(xué)中運用減法的例子——溫差，再讓學(xué)生計算某天的溫差，使其體會數(shù)學(xué)中的生活模型．

MGH版采取的情境載體最生動，最能引起學(xué)生的興趣.例如減法引入中，另外三版教材情境載體均為某地溫差，但MGH版情景載體為海豚從水下躍出的距離差，同時配上海豚躍出水面的圖，大大增加了情境的趣味性．

綜上所述，在情境創(chuàng)設(shè)方面，人教版更關(guān)注數(shù)學(xué)的內(nèi)部邏輯，多用數(shù)學(xué)情境引入;浙教版、蘇科版與MGH版更關(guān)注數(shù)學(xué)的外部需求，多用生活情境引入．在生活情境引入中，浙教版更注重生活數(shù)學(xué)化，蘇科版更注重數(shù)學(xué)生活化，MGH版更注重情境的趣味性．

2.2 問題呈現(xiàn)的設(shè)置比較

在現(xiàn)實情境中，數(shù)學(xué)問題呈現(xiàn)的過程既是分析情境的過程又是提出任務(wù)的過程．分析情境時是否將現(xiàn)實問題數(shù)學(xué)化、提出任務(wù)時采用何種驅(qū)動方式，這二者是問題呈現(xiàn)部分教材編寫應(yīng)該注意的問題．

人教版多從數(shù)學(xué)情境中產(chǎn)生疑問，因此只討論任務(wù)的驅(qū)動方式．人教版以問題來驅(qū)動學(xué)生的學(xué)習(xí)．例如在負(fù)數(shù)加法引入中先提出起點問題“如何計算負(fù)數(shù)的加法運算”，再提供“引入負(fù)數(shù)后，加法有哪幾種情況”等一系列子問題，將復(fù)雜問題拆分成可以操作的子問題，最后提煉問題，得到普遍性的結(jié)論，以問題鏈的形式步步引導(dǎo)學(xué)生解決問題．

浙教版以現(xiàn)實情境為起點，分析情境時已經(jīng)將現(xiàn)實問題數(shù)學(xué)化，具體表現(xiàn)在將現(xiàn)實中表示相反意義的量賦予數(shù)學(xué)中的正負(fù)號，例如“進(jìn)貨表示正，出貨表示負(fù)”，同時浙教版也以問題驅(qū)動學(xué)生的學(xué)習(xí)．

蘇科版在加法與乘法中未將問題數(shù)學(xué)化，需要學(xué)生進(jìn)行主動思考后補(bǔ)充條件才能將現(xiàn)實問題轉(zhuǎn)化為數(shù)學(xué)問題進(jìn)而求解．此外，蘇科版以問題驅(qū)動為主、活動驅(qū)動并存的形式引導(dǎo)學(xué)生的學(xué)習(xí)，從問題驅(qū)動模式來說，難度較低，例如加法的情境引入中已經(jīng)給出比賽結(jié)果，所以重點不在于引導(dǎo)學(xué)生怎么計算異號兩數(shù)相加，而在于培養(yǎng)學(xué)生數(shù)學(xué)語言翻譯的能力．同時活動驅(qū)動作為輔助形式，例如在加法法則的引入中讓學(xué)生體驗筆尖左右移動的過程，讓學(xué)生在“做”中探索總結(jié)數(shù)學(xué)規(guī)律，加深學(xué)生對加法運算法則的理解．

MGH版中多呈現(xiàn)原始現(xiàn)實情境，即未將問題數(shù)學(xué)化．任務(wù)的提出多以活動驅(qū)動學(xué)習(xí)，即讓學(xué)生在“動手實踐”環(huán)節(jié)中解決問題．此外，MGH版提出的問題關(guān)注方法的總結(jié)，例如“思考怎么從正籌碼中移出負(fù)籌碼”，這道題實質(zhì)是讓學(xué)生采用正負(fù)抵消的思想，用同時移入正籌碼與負(fù)籌碼個數(shù)相等的一組0籌碼來解決問題，讓學(xué)生從籌碼模型來直觀感受正數(shù)如何減去負(fù)數(shù)．

綜上所述，從情境的分析來看，浙教版最為詳實，蘇科版居中，MGH版分析最少，也就是說MGH版留給學(xué)生思考的空間更多;從驅(qū)動方式來看，人教版與浙教版用問題驅(qū)動學(xué)生的學(xué)習(xí)，MGH以活動驅(qū)動學(xué)生的學(xué)習(xí)，蘇科版兩種方式并驅(qū)．特別地，MGH版問題提出更指向過程而非結(jié)果．

2.3 問題解決的策略比較

問題解決是面臨新的問題而又沒有現(xiàn)成對策時尋求處理問題的方法和策略的一種思維活動．[14]策略的使用也可以反映出教材問題解決的編寫風(fēng)格．減法是加法的逆運算，減法法則生成過程是將減法轉(zhuǎn)化為加法，除法同理．所以在探討負(fù)數(shù)四則運算問題解決的策略時，我們主要考慮加法與乘法．

李單對比五國教科書將“負(fù)負(fù)得正”法則的解釋模型歸納為三類[15]，邵愛娣則對比美國早期教科書并將解釋方式歸為七類[16].參考以上文獻(xiàn)，將四版教材中的加法與乘法法則的解釋策略歸納為五類：數(shù)軸分析策略、籌碼分析策略、反意建構(gòu)策略、相反數(shù)建構(gòu)模型與歸納推理策略．其中，籌碼分析策略指的是在MGH版中用紅色籌碼表示負(fù)籌碼，黃色籌碼表示正籌碼，加號表示移入籌碼，減號表示移出，通過移動籌碼來觀察最后的結(jié)果，例如(-1)+(-2)表示在一個負(fù)籌碼的基礎(chǔ)上移入兩個負(fù)籌碼，觀察得出共有三個負(fù)籌碼，也就是說結(jié)果為-3．根據(jù)以上策略分類，對四版教材進(jìn)行對比(表2)．

表2 四版教材“負(fù)數(shù)加法乘法運算”策略對比

人教版使用的問題解決策略最少．人教版歸納推理策略使用中利用“保持原有運算律仍然成立”的思想進(jìn)行合情推理生成乘法法則，為將來學(xué)習(xí)實數(shù)數(shù)系的擴(kuò)充奠定基礎(chǔ)．由此可見，人教版注重學(xué)科知識的連貫性．

浙教版先從學(xué)生的生活經(jīng)驗出發(fā)，采用反意建構(gòu)策略;再利用學(xué)生的最近發(fā)展區(qū)——數(shù)軸與相反數(shù)的相關(guān)理論，分別使用數(shù)軸分析策略與相反數(shù)建構(gòu)策略．可以看出，浙教版教材注重對學(xué)生經(jīng)驗與已有知識的拓展．

蘇科版在加法和乘法法則的生成過程中都采用反意建構(gòu)策略，都以現(xiàn)實問題為背景，對正、負(fù)號賦予現(xiàn)實意義，從現(xiàn)實角度解釋法則的合理性．可見蘇科版以生活為中心，注重學(xué)生的生活經(jīng)驗．

MGH版采用的策略最多．其中籌碼分析策略貫穿負(fù)數(shù)四則運算，教材提供不同問題情境讓學(xué)生多次使用籌碼分析策略，可見MGH版注重學(xué)生使用策略的經(jīng)驗遷移，從而讓學(xué)生達(dá)到策略使用的融會貫通．特別地，在使用策略時，教材的左邊提供明確可供遵循的步驟，右邊則是圖示版籌碼模型，幫助學(xué)生進(jìn)行理解．

綜上所述，人教版注重學(xué)科知識的連貫性，浙教版注重對已有知識的拓展，蘇科版則關(guān)注生活經(jīng)驗的遷移，MGH版注重策略經(jīng)驗的遷移．特別地，MGH版教材在策略使用時為學(xué)生提供了注釋，讓學(xué)生更容易理解．

3 對我國初中數(shù)學(xué)教材修訂的建議

3.1 教材編寫應(yīng)適量增加不良結(jié)構(gòu)的情境問題

四版教材從現(xiàn)實情境引入的問題多為結(jié)構(gòu)優(yōu)良型問題，即條件完整目標(biāo)清晰，但現(xiàn)實生活中的問題多為結(jié)構(gòu)不良型．結(jié)構(gòu)不良的問題具有條件模糊、解決方法多樣、結(jié)果開放等特點[17]，能為學(xué)生提供理解問題、分析問題的空間，是學(xué)生提高問題解決能力的重要抓手．因此，建議適度增加教科書中不良結(jié)構(gòu)問題，即在呈現(xiàn)問題時提供原始問題，留給學(xué)生更多的思考空間．

3.2 教材編寫應(yīng)適當(dāng)提供具有思考空間的問題鏈

問題鏈教學(xué)倡導(dǎo)通過主干問題驅(qū)動學(xué)生深入思考、建構(gòu)知識[18]，因此指向問題解決的教材編寫應(yīng)通過具有思考空間的主干問題，即設(shè)置連貫的、探究的問題鏈，讓新知與學(xué)生已有知識產(chǎn)生意義關(guān)聯(lián)，激發(fā)學(xué)生求知欲，進(jìn)而讓其主動參與課堂進(jìn)行深度思考．

3.3 教材編寫應(yīng)滲透問題解決策略的多樣性

不同的策略從不同的角度對法則進(jìn)行闡釋，數(shù)軸分析策略從抽象角度、籌碼分析策略從具象角度、反意構(gòu)建策略從生活實際角度、相反數(shù)建構(gòu)策略從數(shù)學(xué)內(nèi)部角度、歸納推理策略從分配律角度分別對法則進(jìn)行了解釋，讓學(xué)生從不同側(cè)面理解法則的實際意義．因此教材編寫時可以采用多種策略或在課后思考題中滲透不同策略的使用，既能讓學(xué)生意識到問題解決策略的多樣性，又可以讓學(xué)有余力的學(xué)生從其他角度認(rèn)識抽象的法則．

3.4 教材編寫應(yīng)注重策略模型的具象性與操作性

Sfard提出，許多代數(shù)中的概念既表現(xiàn)為一種過程操作，又表現(xiàn)為對象、結(jié)構(gòu)．概念的形成往往要從操作過程開始，再轉(zhuǎn)變?yōu)閷ο蟮恼J(rèn)知．[19]這就是說，初學(xué)概念時，要將概念轉(zhuǎn)變?yōu)榭梢圆僮鞯摹皩嶓w”，學(xué)生才能理解概念的本質(zhì)．所有策略中只有籌碼分析策略將負(fù)數(shù)轉(zhuǎn)化為可以操作的實體，一個黃籌碼代表1，一個紅籌碼代表-1，而表示運算符號的“-”則表示“移出”，這讓學(xué)生很好地區(qū)分運算符號和性質(zhì)符號．因此，建議我國初中數(shù)學(xué)教材引入籌碼模型，讓學(xué)生在操作中理解四則運算的本質(zhì)．