題小乾坤大，多法妙解之
2022-11-17 07:24:47王靜
數(shù)理天地(初中版) 2022年21期
王靜
【摘要】比較大小是初中習(xí)題中常見的題型，本文探究了反比例函數(shù)背景下的比較大小，不僅用代數(shù)推理的方法從多角度比較大小，更借助圖形比較大?。ㄟ^對本題多角度的探究，有利于培養(yǎng)我們代數(shù)推理的能力以及靈活運用以形助數(shù)方法解決問題的能力．
【關(guān)鍵詞】 比較大小;代數(shù)推理;以形助數(shù)
例 已知反比例函數(shù)y=3x（x＞0）的圖象經(jīng)過點（m，y1），（m＋1，y2），（m＋2，y3），下列關(guān)于y1＋y3與y2的大小關(guān)系中，正確的是（? ）
（A）y1＋y3＞2y2. （B）y1＋y3＝2y2.
（C）y1＋y3＜2y2.（D）不能確定.
2 解法探究
解法1 特殊值法
分析 特殊值法是選擇、填空題常用的方法，由于題目中反比例函數(shù)的表達(dá)式已經(jīng)確定，所以可以將橫坐標(biāo)取特殊值代入表達(dá)式，求出對應(yīng)的縱坐標(biāo)，進而比較y1＋y3與y2的大?。?/p>
當(dāng)m＝1時，則m＋1＝2，m+2＝3，
所以y1＝3，y2＝32，y3＝1，
所以y1＋y3＝3＋1＝4，
2y2＝2×32＝3，
所以y1＋y3＞2y2，
選（A）．
解法2 放縮法
分析 把選項看作不等式，利用放縮法證明不等式是常用的方法，可以將它的一邊放大或縮小，尋找一個中間量，從而得證．
因為2y2＝6m+1，
y1＋y3＝3m+3m+2＝3（m+2）m（m+2）+3mm（m+2）
＝3（m+2）+3mm（m+2）＝6（m+1）m（m+2）
＞6（m+1）m2+2m+1＝6（m+1）（m+1）2
＝6m+1＝2y2，
所以y1＋y3＞2y2，
選（A）．
解法3 作差法
分析 作差法是比較兩式大小常用的方法．作差法的原理是：若a－b＞0，則a＞b；若a－b＜0，則a＜b；若a－b=0，則a＝b．這樣我們只要判斷差的結(jié)果，就可以知道比較a，b的大小關(guān)系．
由解法2得2y2＝6m+1，
y1＋y3＝6（m+1）m（m+2），
所以y1＋y3－2y2＝6（m+1）m（m+2）－6m+1
＝6（m+1）2m（m+2）（m+1）-6m（m+2）m（m+2）（m+1）
＝6m（m+2）（m+1）.
因為6＞0，
又m＞0，m＋1＞0，m+2＞0，
所以m（m＋2）（m＋1）＞0，
所以y1＋y3－2y2＞0，
所以y1＋y3＞2y2，
選（A）．
解法4 作商法
分析 作商法也是比較兩式大小常用的方法，且本題2y2，y1＋y3所得結(jié)果均為分式，容易聯(lián)想到作商法比較大?。魃谭ǖ脑硎牵?/p>
（1）當(dāng)a＞0，b＞0時
①若ab＞1，則a＞b；
②若ab＜1，則a＜b；
③若ab＝1，則a＝b．
（2）當(dāng)a＜0，b＜0時，
①若ab＞1，則a＜b；
②若ab＜1，則a＞b；
③若ab＝1，則a＝b．
由解法1得
2y2＝6m+1，y1＋y3＝6（m+1）m（m+2），
所以y1+y32y2＝6（m+1）m（m+2）÷6m+1
＝6（m+1）m（m+2）×m+16
＝（m+1）2m（m+2）
＝m2+2m+1m2+2m＞1，
因為m＞0，
所以m2＋2m＞0，
m2＋2m＋1＞0，
所以y1+y32y2＞1，
所以y1＋y3＞2y2，
選（A）．
解法5 倒數(shù)法
分析 因為2y2，y1＋y3所得結(jié)果均為值大于0的分式，又分子都有共同的因數(shù)6，分子比分母的代數(shù)式更簡潔，故聯(lián)想到倒數(shù)法．倒數(shù)法的原理是：如果1a＞1b且ab＞0，那么a<b；如果1a＜1b且ab＞0，那么a＞b．
由解法1得
2y2＝6m+1，y1＋y3＝6（m+1）m（m+2），
1y1+y3＝m（m+2）6（m+1）＝m2+2m6（m+1），
12y2＝m+16＝（m+1）26（m+1）＝m2+2m+16（m+1），
所以1y1+y3＜12y2，
又m＞0，
1y1+y3＝m2+2m6（m+1）＞0，
12y2＝m2+2m16（m+1）＞0，
所以y1＋y3＞2y2，
選（A）．
解法6 構(gòu)造法
分析 由橫坐標(biāo)相差1的關(guān)系，得出對應(yīng)的相等線段，進而構(gòu)造三角形中位線，利用三角形中位線定理，得出相關(guān)線段的數(shù)量關(guān)系．
圖1
如圖1，作AB⊥x軸，作CG⊥x軸，作EF⊥x軸，依次交雙曲線為點B，G，F(xiàn)，連接BF，延長CG交BF于點D，連接AD，延長EF交AD于點M，則A（m，0），C（m＋1，0），E（m＋2，0），可得B（m，y1），G（m＋1，y2），F(xiàn)（m＋2，y3），可得AC＝CE＝1，所以C為AE中點，可證AB∥CD∥EF，由平行線性質(zhì)定理可得D為BF的中點，可證△ABD ≌△GFD，
可得AB＝GF，
由三角形中位線定理可得
DC＝12GE，
所以DC＝12（GF＋EF）＝12（AB＋EF），
即y1+y32＝DC，
又DC＞y2，
所以y1+y32＞y2，
所以y1＋y3＞2y2，
選（A）.
