例談平行線分線段成比例定理的應用
2022-11-17 07:24:47蘇國東
數理天地(初中版) 2022年21期
蘇國東
【摘要】 學生在運用平行線分線段成比例定理時，常常會出現列錯比例式的情形，原因在于對定理和推論的本質理解不清.要做到正確運用，關鍵在于借助圖形和符號語言理解本質，正確識別圖形中的對應線段，并借助口訣準確列出比例式.
【關鍵詞】 平行線分線段成比例；相似三角形；對應線段；比例式
平行線分線段成比例定理是研究相似形的最重要和最基本的理論，要正確理解和運用平行線分線段成比例定理及推論，關鍵是借助圖形和符號語言理解定理和推論的本質，正確識別圖形中的對應線段，并借助口訣準確列出比例式.
1 定理及其應用
平行線分線段成比例定理：兩條直線被一組平行線所截，所得的對應線段成比例.
符號語言：如圖1，若a∥b∥c，則有A1A2A2A3=B1B2B2B3，A1A2A1A3=B1B2B1B3，
A2A3A1A3=B2B3B1B3，……
記憶口訣：上下=上下，上全=上全，下全=下全，……
例1 如圖2，已知l1∥l2∥l3，判斷下列比例式是否正確：
①ACCE=BDDF；
②CEAE=DFBF；
③AEBF=ACBD；
④ABCD=CDEF.
分析 ①屬于上下=上下，②屬于下全=下全，④通過比例式性質可變?yōu)锳EAC=BFBD，屬于全上=全上，而④中的線段不屬于對應那段，故正確的是①②③.
如圖3，把圖1中的直線B1B3左右平移任意距離后，這些對應線段依然成比例.
例2 如圖4，AB∥CD∥EF，AF與BE相交于點G，且AG=2，GD=1，DF=5，求BCCE的值.
分析 正確識別圖中的對應線段，因為
AB∥CD∥EF，
所以BCCE=ADDF=2+15=35.
2 推論及其應用
保留圖3中的“A字形”和“X字形”，移除其余線條，定理仍然成立，即得到了以下推論.
平行線分線段成比例定理的推論：平行于三角形一邊的直線截其他兩邊（或兩邊的延長線），所得的對應線段成比例.
符號語言：如圖5，圖6，若DE∥BC，則有
ADDB=AEEC，ADAB=AEAC，DBAB=ECAC，……
例3 ?如圖7，在△ABC中，EF∥BC.
（1）若AE=BE=7，FC=4，求AF；
（2）若AB=10，AE=6，AF=5，求FC.
分析 根據題目所求選用合適的比例式.
（1）因為EF∥BC，所以AFFC=AEEB，代入數據求得AF=4.由此得到一個熟悉的結論：已知點E為AB中點，EF∥BC，則有點F為AC的中點；
（2）BE=10-6=4，因為EF∥BC，所以FCAF=BEAE，代入數據求得FC=103.
例4 如，DE∥FG∥BC.
（1）AEAC=25，則ADAB=；
（2）AGCG=2，則AFAB=；
（3）若AD=3，AF=4，BF=2，AG=6，求EC.圖8
分析 正確識別圖中的“A字形”和“X字形”，找出對應線段.
（1）因為DE∥BC，
所以ADAB=AEAC=25；
（2）因為FG∥BC，
所以AFAB=AGAC=22+1=23；
（3）BD=3+4+2=9，
因為DE∥FG∥BC，
根據已知數據選用合適的比例式ECAG=DBAF，代入數據求得EC=272.
3 綜合提升
通過兩組線段比例之間的轉換，可以解決更多綜合性問題.
例5 如圖9，DE∥BC，EF∥CD，求證：ADAB=AFAD.
分析 因為DE∥BC，
所以ADAB=AEAC，
因為EF∥CD，
所以AFAD=AEAC，
因此有ADAB=AFAD.
例6 如圖10，四邊形ABCD是菱形，AE=5，AF=4，求菱形的邊長.
分析 在菱形ABCD中，BC∥AF，CD∥AE，
則有EBEA=ECEF，ADAF=ECEF，
所以EBEA=ADAF.
設菱形的邊長為x，則有
5-x5=x4，解得x=209.
