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    大于中位數(shù)與大于等于中位數(shù)數(shù)據(jù)個數(shù)的區(qū)別

    2022-11-17 01:45:21相劍利
    數(shù)理天地(初中版) 2022年21期
    關(guān)鍵詞:中位數(shù)

    相劍利

    【摘要】中位數(shù)是刻畫數(shù)據(jù)集中趨勢的統(tǒng)計量之一,反映數(shù)據(jù)集中趨勢的位置代表值.由中位數(shù)的定義可以得到結(jié)論:這組數(shù)據(jù)中大于等于中位數(shù)的至少有一半,大于中位數(shù)的至多有一半.

    【關(guān)鍵詞】中位數(shù);大于中位數(shù);大于等于中位數(shù)

    1中位數(shù)的意義

    將一組數(shù)據(jù)按照由小到大(或由大到?。┑捻樞蚺帕?,如果數(shù)據(jù)的個數(shù)是奇數(shù),則稱處于中間位置的數(shù)為這組數(shù)據(jù)的中位數(shù);如果數(shù)據(jù)的個數(shù)是偶數(shù),則稱中間兩個數(shù)據(jù)的平均數(shù)為這組數(shù)據(jù)的中位數(shù).

    例如:一組數(shù)據(jù)有20個,這些數(shù)據(jù)由小到大排列后分別記為a1,a2,a3,…,a20.

    根據(jù)中位數(shù)的定義,這組數(shù)據(jù)的中位數(shù)為

    a10+a112,

    那么a11≥a10+a112,a10≤a10+a112.

    于是可以得到結(jié)論:

    (1)這組數(shù)據(jù)中大于等于中位數(shù)的至少有一半.因為后10個數(shù)據(jù)a11,a12,…,a20都大于等于中位數(shù),而且前10個數(shù)據(jù)a1,a2,…,a10中也可能有等于中位數(shù)的,所以這組數(shù)據(jù)中大于等于中位數(shù)的至少有一半.

    (2)這組數(shù)據(jù)中大于中位數(shù)的至多有一半.因為后10個數(shù)據(jù)a11,a12,…,a20有可能都大于中位數(shù),但前10個數(shù)據(jù)a1,a2,…,a10中不可能有大于中位數(shù)的,所以這組數(shù)據(jù)中大于中位數(shù)的至多有一半.

    2應(yīng)用結(jié)論解決問題

    例1為了解甲、乙兩座城市的郵政企業(yè)4月份收入的情況,從這兩座城市的郵政企業(yè)中,各隨機抽取了25家郵政企業(yè),獲得了它們4月份收入(單位:百萬元)的數(shù)據(jù),并對數(shù)據(jù)進行整理、描述和分析.下面給出了部分信息.

    a.甲城市郵政企業(yè)4月份收入的數(shù)據(jù)的頻數(shù)分布直方圖如圖1(數(shù)據(jù)分成5組:6≤x<8,8≤x<10,10≤x<12,12≤x<14,14≤x≤16):

    b.甲城市郵政企業(yè)4月份收入的數(shù)據(jù)在10≤x<12這一組的是:

    10.010.010.110.911.411.511.611.8

    c.甲、乙兩座城市郵政企業(yè)4月份收入的數(shù)據(jù)的平均數(shù)、中位數(shù)如下:

    平均數(shù)中位數(shù)甲城市10.8m乙城市11.011.5

    根據(jù)以上信息,回答下列問題:

    (1)寫出表中m的值;

    (2)在甲城市抽取的郵政企業(yè)中,記4月份收入高于它們的平均收入的郵政企業(yè)的個數(shù)為p1.在乙城市抽取的郵政企業(yè)中,記4月份收入高于它們的平均收入的郵政企業(yè)的個數(shù)為p2.比較p1,p2的大小,并說明理由.

    解(1)由題意可得m為甲城市的中位數(shù),由于總共有25家郵政企業(yè),所以第13家郵政企業(yè)的收入作為該數(shù)據(jù)的中位數(shù),

    因為6≤x<8有3家,8≤x<10有7家,10≤x<12有8家,

    所以中位數(shù)落在10≤x<12上,

    所以m=10.1.

    (2)甲城市由4月份收入的數(shù)據(jù)可得p1=12;乙城市中位數(shù)為11.5,說明大于等于11.5的至少有13家,這些數(shù)據(jù)都高于平均數(shù)11.0,則p2至少為13個.

    所以p1<p2.

    例2某商場為了解甲、乙兩個部門的營業(yè)員在某月的銷售情況,分別從兩個部門中各隨機抽取了20名營業(yè)員,獲得了這些營業(yè)員的銷售額(單位:萬元)的數(shù)據(jù),并對數(shù)據(jù)進行整理、描述和分析.下面給出了部分信息.

    a.設(shè)營業(yè)員該月的銷售額為x(單位:萬元),甲部門營業(yè)員銷售額數(shù)據(jù)的頻數(shù)分布直方圖如圖2(數(shù)據(jù)分成5組:10≤x<15,15≤x<20,20≤x<25,25≤x<30,30≤x≤35):

    b.甲部門營業(yè)員該月的銷售額數(shù)據(jù)在20≤x<25這一組的是:

    21.322.122.623.724.324.324.824.9

    c.甲、乙兩部門營業(yè)員該月銷售額數(shù)據(jù)的平均數(shù)、中位數(shù)如下:

    平均數(shù)中位數(shù)甲部門22.8m乙部門23.022.7

    根據(jù)以上信息,回答下列問題:

    (1)寫出表中m的值;

    (2)在甲部門抽取的營業(yè)員中,記該月銷售額超過23.0萬元的人數(shù)為n1.在乙部門抽取的營業(yè)員中,記該月銷售額超過23.0萬元的人數(shù)為n2.比較n1,n2的大小,并說明理由.

    解(1)24.0.

    (2)n1>n2.理由如下:

    由甲部門抽取的營業(yè)員該月的銷售額的數(shù)據(jù)可知n1=11.

    因為在乙部門抽取的20名營業(yè)員該月銷售額數(shù)據(jù)的中位數(shù)是22.7萬元,說明大于22.7萬元的至多有10家,那么大于23.0萬元的也至多有10家,所以n2≤10.

    所以n1>n2.

    例32022年是中國共產(chǎn)主義青年團建團100周年.某校團委組織七、八年級學(xué)生開展主題為“成團百年,勇當(dāng)先鋒”的團史知識學(xué)習(xí)活動.為了解這兩個年級學(xué)生團史知識的學(xué)習(xí)情況,從七、八年級的學(xué)生中,各隨機抽取了20名學(xué)生進行測試,獲得了他們的成績(百分制,且成績均為整數(shù)),并對數(shù)據(jù)(成績)進行了整理、描述和分析,下面給出了部分信息.

    a.該校七年級抽取的學(xué)生測試成績的數(shù)據(jù)的頻數(shù)分布直方圖如圖3(數(shù)據(jù)分為5組:75≤x<80,80≤x<85,85≤x<90,90≤x<95,95≤x≤100):

    b.該校七年級抽取的學(xué)生測試成績的數(shù)據(jù)在85≤x<90這一組的是:

    858585868788

    c.該校七、八年級抽取的學(xué)生的測試成績的數(shù)據(jù)的平均數(shù)、中位數(shù)、眾數(shù)如下:

    平均數(shù)中位數(shù)眾數(shù)七年級85.2m85八年級87.189.590

    根據(jù)以上信息,回答下列問題:

    (1)寫出表中m的值;

    (2)此次測試成績90分及90分以上為優(yōu)秀.記該校七年級抽取的學(xué)生中成績優(yōu)秀的人數(shù)是x1,八年級抽取的學(xué)生中成績優(yōu)秀的人數(shù)為x2.比較x1,x2的大小,并說明理由.

    解(1)85;

    (2)x1<x2.理由如下:

    由七年級抽取的學(xué)生測試成績的數(shù)據(jù)可知

    x1=5.

    由八年級抽取的20名學(xué)生測試成績的數(shù)據(jù)的中位數(shù)是89.5分可知成績大于89.5分的至多10個,

    因為成績均為整數(shù),而且眾數(shù)等于90分,說明成績從小到排第11個恰好是90分,

    于是成績90分及90分以上的恰好為10個,

    故x2=10.

    所以x1<x2.

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